人教版高中数学版必修四教案 第一章 三角函数

三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式

一、教学分析

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.

三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.

通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等. 二、教学目标

1、知识与技能：

掌握三角函数的基础知识及简单应用. 2、过程与方法：

选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

3、情态与价值：

掌握三角函数的基础知识及简单应用，培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。 三、教学重点与难点

教学重点:三角函数的图形和性质. 教学难点: 三角函数的图形和性质. 四．要点精讲 1．任意角的概念

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一

条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.

角α的弧度数的绝对值是：r

l

=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?

=。 弧度与角度互换公式：1rad ＝π

180° 1°＝180

π（rad ）。

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：2||2

1

21r r l S α==。 4．三角函数定义

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:

(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）

y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y

x x

α=≠。 5．三角函数线

6．同角三角函数关系式 （1）平方关系：2

22222sin

cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=

（2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)

7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈ 诱导公式二： sin(180)α+=

sin α-； cos(180)α+=-cos α

诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=- 诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-= －α απ-

απ+

απ-2

()Z k k ∈+απ2

απ

-2

sin －sin α sin α －sin α －sin α sin α cos α cos

cos α

－cos α

－cos α

cos α

cos α

sin α

（1）要化的角的形式为180k α?±（k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

（3）sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)； （4）sin cos cos 444x x x πππ??

????+=-=- ? ? ??

?????；cos sin 44x x ππ????

+=- ? ?????

。 五．思维总结

2．α、

2

、2α之间的关系。 若α终边在第一象限则2

α

终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y 轴正半

轴。

若α终边在第二象限则2

α

终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。

若α终边在第三象限则2

α

终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。

若α终边在第四象限则2

α

终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。

3．学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。

三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距

离r =

,那么

sin α=

cos α,tan y x α=。

三角函数的图象与性质

二．要点精讲

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是?

?

???

?+-222

2ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是?

?

???

?++2322

2ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈， 递减区间是

[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

x y tan =的递增区间是??

? ?

?+-22

ππππk k ，)(Z k ∈，

3．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=T ，频率是πω2=f ，相位是?ω+x ，

初相是?；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+

=+π

π?ω，

凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”

多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0)或向右

(?＜0＝平移

ω

?|

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y =A sin （ωx +?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω

?

，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．

第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、

ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图： 五点取法是设x =ωx +?，由x 取0、2

π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点

作图。 三．思维总结

1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。

3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。

4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化。 5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。

6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。

7．判断y =－A sin （ωx +?）（ω＞0）的单调区间，只需求y =A sin （ωx +?）的相反区间

即可，一般常用数形结合而求y =A sin （－ωx +?）（－ω＜0＝单调区间时，则需要先将x 的系数变为正的，再设法求之。 三角恒等变形及应用 二．要点精讲

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

。

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-。 3．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式

ααα2sin 21cos sin =

；2

2cos 1sin 2αα-=

；22cos 1cos 2

αα+=。 （2）辅助角公式（万能公式）

()sin cos sin a x b x x ?+=+，

sin cos ??=

=

其中

4．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入

法、消参法或分析法进行证明。 三．思维总结

从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否。

1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：

（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角 如()ββαα

-+=，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等；

（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如

()()()()()()()()。

，，

，

βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos

（4）注意倍角的相对性

（5）要时时注意角的范围 （6）化简要求

熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。 2．证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 第三讲：三角函数单元部分易错题解析

（1）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （2）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （3）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .

（5）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：

,2

k k Z π

απ=+

∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2

k k Z πα=

∈.如α的终边与6π的

终边关于直线x y =对称，则α＝Z k k ∈+

,3

2π

π

2. 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：2

22222sin

cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=

（2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

3、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2

x x k k Z π

π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的

定义域了吗？

（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为

2

π

，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626

y x y x π

π

=-

+=-+，|tan |y x =的周期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π?? ??

?

()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函

数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间ππ??内都是增函数。但要注意在整个

5. 三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R

=

= 2c

R

=

；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：222

2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc

+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形

状.

(4)面积公式：111sin ()222

a S ah a

b C r a b

c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.如ABC

?中，若C B A B A 2

2222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意

A B C π++=这个特殊性：

,sin()sin ,sin

cos 22

A B C

A B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。