高考数学专题：概率与统计
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
高考数学复习专题训练—统计与概率解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—统计与概率解答题1.(2021·广东广州二模改编)根据相关统计,2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势,2011~2019年全国农村贫困发生率的散点图如下:注:年份代码1~9分别对应年份2011年~2019年.(1)求y 关于t 的经验回归方程(系数精确到0.01);(2)已知某贫困地区的农民人均年纯收入X (单位:万元)满足正态分布N (1.6,0.36),若该地区约有97.72%的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准,则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元?参考数据与公式:∑i=19y i =54.2,∑i=19t i y i =183.6. 经验回归直线y ^=b ^t+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n t i y i -nt y ∑i=1n (t i -t )2 ,a ^=y −b ^t . 若随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.2.(2021·湖北黄冈适应性考试改编)产品质量是企业的生命线.为提高产品质量,企业非常重视产品生产线的质量.某企业引进了生产同一种产品的A,B 两条生产线,为比较两条生产线的质量,从A,B 生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测,把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.(1)依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析数据,能否据此推断是否为一级品与生产线有关.(2)生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品则亏损20元,以频率估计概率.①分别估计A,B生产线生产一件产品的平均利润;②你认为哪条生产线的利润较为稳定?并说明理由.附:①参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.②临界值表:3.(2021·福建宁德模拟改编)某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格,从中随机抽测100个零件的长度d(单位:mm).该样本数据分组如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63],得到如图所示的频率分布直方图.经检测,样本中d大于61的零件有13个,长度分别为61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6.(1)求频率分布直方图中a,b,c的值及该样本的平均长度x(结果精确到1 mm,同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)视该批次样本的频率为总体的概率,从工厂生产的这批新零件中随机选取3个,记ξ为抽取的零件长度在[59,61)的个数,求ξ的分布列和数学期望;(3)若变量X满足|P(μ-σ≤X≤μ+σ)-0.682 7|<0.03且|P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-0.954 5|≤0.03,则称变量X满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批样本的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利出厂;否则不能出厂.请问,能否让该批零件出厂?4.(2021·山东潍坊期末)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0<r<1),它们之间相互不影响.(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r的最小值;(2)当r=0.9时,求能正常工作的设备数X的分布列;(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万元的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方案:方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.9,更新设备硬件总费用为8万元; 方案2:对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策?答案及解析1.解 (1)t =1+2+3+4+5+6+7+8+99=5, y =12.7+10.2+8.5+7.2+5.7+4.5+3.1+1.7+0.69≈6.02, b ^=∑i=19t i y i -9t y∑i=19(t i -5)2=183.6-270.960≈-1.46,a ^=y −b ^t =6.02-(-1.46)×5=13.32.故y 关于t 的经验回归方程为y ^=-1.46t+13.32.(2)因为P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,所以P (X>μ-2σ)=0.954 5+1-0.954 52=0.977 25. 因为某贫困地区的农民人均年纯收入X 满足正态分布N (1.6,0.36),所以μ=1.6,σ=0.6,μ-2σ=0.4,P (X>0.4)=0.977 25,故该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元.2.解 (1)根据已知数据可建立列联表如下:零假设为H 0:是否为一级品与生产线无关.χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=200×(20×65-35×80)255×145×100×100≈5.643>5.024=x 0.025,依据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H 0不成立,即认为是否为一级品与生产线有关.(2)A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15,35,15.记A 生产线生产一件产品的利润为X ,则X 的取值为100,50,-20,其分布列为B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为720,25 ,14.记B生产线生产一件产品的利润为Y,则Y的取值为100,50,-20, 其分布列为①E(X)=100×15+50×35+(-20)×15=46,E(Y)=100×720+50×25+(-20)×14=50.故A,B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.②D(X)=(100-46)2×15+(50-46)2×35+(-20-46)2×15=1 464.D(Y)=(100-50)2×720+(50-50)2×25+(-20-50)2×14=2 100.因为D(X)<D(Y),所以A生产线的利润更为稳定.3.解(1)由题意可得P(61≤d<62)=10100=0.1,P(62≤d≤63)=3100=0.03,P(59≤d<60)=P(60≤d<61)=12(1-2×0.03-0.14-0.1)=0.35,所以a=0.031=0.03,b=0.11=0.1,c=0.351=0.35.x=(57.5+62.5)×0.03+58.5×0.14+(59.5+60.5)×0.35+61.5×0.1=59.94≈60.(2)由(1)可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件,长度d在(59,61]的概率P=2×0.35=0.7,且随机变量ξ服从二项分布ξ~B(3,0.7),所以P(ξ=0)=C30×(1-0.7)3=0.027,P(ξ=1)=C31×0.7×(1-0.7)2=0.189,P(ξ=2)=C32×0.72×(1-0.7)=0.441,P(ξ=3)=C33×0.73=0.343,所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.(3)由(1)及题意可知x=60,σ=1.所以P(x-σ≤X≤x-σ)=P(59≤X≤61)=0.7.|P(x-σ≤X≤x+σ)-0.682 7|=|0.7-0.682 7|=0.017 3≤0.03,P(x-2σ≤X≤x-2σ)=P(58≤X≤62)=0.14+0.35+0.35+0.1=0.94,|P(x-2σ≤X≤x+2σ)-0.954 5|=|0.94-0.954 5|=0.014 5≤0.03.所以这批新零件的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布.所以能让该批零件出厂.4.解(1)要使系统的可靠度不低于0.992,则P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值为0.8.(2)X为正常工作的设备数,由题意可知,X~B(3,r),P(X=0)=C30×0.90×(1-0.9)3=0.001,P(X=1)=C31×0.91×(1-0.9)2=0.027,P(X=2)=C32×0.92×(1-0.9)1=0.243,P(X=3)=C33×0.93×(1-0.9)0=0.729,从而X的分布列为(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1,X2,采用方案1,更换部分设备的硬件,使得设备可靠度达到0.9,由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001,不断掉的概率为0.999,故E(X1)=80000+0.001×500 000=80 500元.采用方案2,对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008,故E(X2)=50 000+0.008×500 000=54 000元,因此,从期望损失最小的角度,决策部门应选择方案2.。
高考数学经典试题与解析 专题九 计数原理与概率统计
专题九计数原理与概率统计——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2023年全国高考真题]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.231．答案：D解析：依题意，用1A ，2A 表示高一的2名学生，1B ，2B 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2名学生的选法有()12,A A ，()12,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共4种，所以所求概率4263P ==，故选D.2．将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A.120种 B.150种 C.180种 D.240种2．答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①先将甲、乙等5名同学分成3组：若分成1，2，2的3组，则有12254222C C C15 A =（种）方法；若分成1，1，3的3组，则有11354322C C C 10 A =（种）方法，故将5人分成3组，每组至少有1人，有151025+=（种）分组方法.②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有3325A 150=（种）.3．[2023春·高二·四川内江·期中校考]在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数是()A.454B.358-C.358D.73．答案：C解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以8n =，二项式展开项的通项公式为842218811C C 22rrr rr r r r T x x x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令462r +=，得4r =，所以6x 的系数为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选C.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =∣()A.112B.29C.13D.234．答案：B解析：易知()()()n AB P BA n A =∣，其中AB 表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故()2n AB =.而1133()C C 9n A =⋅=，所以()2()()9n AB P B A n A ==∣.故选B.5．[2023春·高二·江苏盐城·月考联考]已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量在区间(],μσμσ-+，(]2,2μσμσ-+和(]3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布()290,15N ，则此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有()A.477人B.136人C.341人D.131人5．答案：B 解析：根据题意，()()()60120751050.95440.68261051200.135922P X P X P X <≤-<≤-<≤===，则10000.1359135.9136⨯=≈，故此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有136人.故选：B.6．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）99.29.49.69.810销量y （件）1009493908578预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为()参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：615116iii x y==∑，622160.7i i x x =-=∑.A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元6．答案：B解析：由题意，得1(99.29.49.69.810)9.56x =⨯+++++=，1(1009493908578)906y =⨯+++++=，6162216511669.590ˆ200.76i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===--∑∑，ˆ909.520280a=+⨯=，则ˆ20280y x =-+.设工厂获得利润L 元，则2(5)(20280)20(9.5)405L x x x =--+=--+，当9.5x =时，L 取得最大值.所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.7．[2024春·高一·河南三门峡·期末校考]某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3000名学生每周平均体育运动时长的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是()A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为6007．答案：C解析：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）,故选项A 正确;对于B,该校高一年级的总人数为430001200433⨯=++,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为()0.0250.120.25+⨯=,所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为12000.25300⨯=,故选项B 正确;对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为()0.0750.0252100%20%+⨯⨯=,故选项C 错误;对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为300020%600⨯=,故选项D 正确.故选：C.8．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为()A.14B.724C.1124D.17248．答案：D解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是()12P A =，()23P B =，()34P C =，则不获一等奖的概率分别是()11122P A =-=，()21133P B =-=，()31144P C =-=，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++1231131211123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，这三人都获得一等奖的概率为()()()()12312344P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率1111724424P =+=.故选：D.二、多项选择题9．[2020年全国高考真题]我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图，()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量9．答案：CD解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A 错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B 错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%，故C 正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D 正确.10．已知()*nx n ⎛+∈ ⎝N 的展开式中共有7项，则该二项展开式中()A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有4项10．答案：ACD解析：由题意知6n =，则6x ⎛⎝的展开式的通项为3666216C C (0,1,2,,6)2rr rr r r r T x x r --+===⋅ .对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，故A 正确；对于B ，令1x =，得6613122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所有项的系数和为632⎛⎫⎪⎝⎭，不为1，故B 错误；对于C，由二项式系数的性质，可知6x ⎛⎝的展开式中第4项的二项式系数最大，为36C 20=，故C 正确；对于D ，当362r-∈Z ，即0,2,4,6r =时，对应的项为有理项，共有4项，故D 正确.故选ACD.11．[2023春·高二·江苏·期中联考]红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲同学调配出红色”，B 表示事件“甲同学调配出绿色”，C 表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.1()15P A =B.1()4P C A =∣C.4()45P BC =D.事件B 与事件C 相互独立11．答案：AC解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为26C .对于A ，A 表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有22C 种方法，则2226C 1()C 15P A ==，故A 正确；对于B ，事件A 发生需要2瓶颜料均为红色，事件C 发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，在事件A 发生的条件下，事件C 不可能发生，所以()0P CA =∣，故B 错误；对于C ，若事件B 发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则112226C C 4()C 15P B ==，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则1224C 1()C 3P C B ==∣，故414()()()15345P BC P B P C B =⨯=⨯=∣，故C 正确；对于D ，若事件C 发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则21111111222242222264C C C C C C C C 4()C C 15P C ++==，444()()()151545P B P C P BC ⋅=⨯≠=，事件B 与事件C 不相互独立，故D 错误.故选AC.三、填空题12．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若,,{1,2,3,4}a b c ∈，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.12．答案：12解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率121242P ==.13．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，则随机变量X 方差的最小值为__________.13．答案：18解析：由1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，得1()2P X x ==，所以随机变量X 的数学期望21()4x E X +=，则方差222221123121111()42444442162x x x D X x ⎡⎤+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当12x =时，()D X 取到最小值18，故答案为18.14．[2023届·西北工业大学附中·模拟考试]将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有_________种.14．答案：72解析：设8张门票的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8.若甲选123，则乙可以是56，67，78共3种，此时共有333A 18=种；若甲选234，则乙可以是67，78共2种，此时共有332A 12=种；若甲选345，则乙可以是78共1种，此时共有33A 6=种；若甲选456，则乙可以是12共1种，此时共有33A 6=种；若甲选567，则乙可以是12，23共2种，此时共有332A 12=种；若甲选678，则乙可以是12，23，34共3种，此时共有333A 18=种.综上所述，不同的分配方法有181266121872+++++=种.四、解答题15．[2024春·高一·青海西宁·期末]为了解学生的周末学习时间（单位：小时）,高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：(1)用分层抽样的方法在[)20,25和[]25,30中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3人接受检测,求检测的3人来自同一区间的概率;(2)估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.15．答案：(1)1 5 ;(2)8.75小时.解析：(1)由图可知,40名学生中周末的学习时间在[)20,25的人数为0.035406⨯⨯=人,周末的学习时间在[]25,30的人数为0.0155403⨯⨯=人,从中用分层抽样抽取6人,则周末的学习时间在[)20,25的有4人,记为A,B,C,D;周末的学习时间在[]25,30的有2人,记为a,b;则再从中选派3人接受检测的基本事件有ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb, ADa,ADb,Aab,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,Bab,CDa,CDb,Cab,Dab共有20个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC,ABD,ACD,BCD共有4个,所以检测的3人来自同一区间的概率41205 P==;(2)学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<,学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>,所以25%分位数在区间[)5,10内,则0.250.1 558.750.30.1-+⨯=-,所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.16．[2024春·高二·宁夏石嘴山·月考校考]2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G ，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G 、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT 公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 123456收入y （百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dx y c =⋅(a ，b ，c ，d 均为常数)哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7月份的5G 经济收入.(结果保留小数点后两位)（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：x yu 621()i i x x =-∑61()()iii x x y y =--∑61()()iii x x uu =--∑ 1.52e 2.66e 3.5021.15 2.8517.70125.35 6.734.5714.30其中，设ln u y =，ln i i u y =(1,2,3,4,5,6i =).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(21,2,3,,)i i x v n = ，其回归直线ˆˆˆvx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii Ri i x x v v x x β==--=-∑∑，ˆˆv x αβ=-16．答案：（1）e dx y c =⋅更适宜（2） 1.520.38e ˆx y +=，65.35百万元（3）分布列见解析，1解析：（1）根据散点图判断，e dx y c =更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；（2）因为e dx y c =，所以两边同时取常用对数，得ln ln y c dx =+，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50x =， 2.85u =，所以61621()( 6.73ˆ0.380,17.70(iii ii x x u u dx x ==--==≈-∑∑所以ˆln 2.850.380 3.50 1.52c u dx=-≈-⨯=.所以ˆ 1.520.38u x =+，即ˆln 1.520.38y x =+，所以 1.520.38e ˆx y +=.令7x =，得 1.520.387 1.52 2.66ˆe e e 4.5714.3065.35y +⨯==⨯≈⨯≈，故预测该公司7月份的5G 经济收入大约为65.35百万元.（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X 的取值为0，1，2，2326C 1(0)C 5P X ===，113326C C 3(1)C 5P X ===，2326C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X 012P153515所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.17．[2024春·高三·内蒙古赤峰·开学考试校考]卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线250250乙生产线300200（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关；（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7069.8415.0246.63510.82817．答案：（1）没有；（2）分布列见解析，95解析：（1）补充列联表如下：合格品优等品总计甲生产线250250500乙生产线300200500总计5504501000根据列联表中的数据，经计算得到221000(250200250300)10.10110.828550450500500K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为25015002=，乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为20025005=，所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为12，25，由题意随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，()22139025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22211221312331C C 2525510P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2222211221313212372C C 2525525100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22211221212313C C 252555P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2212142525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X 01234P91003103710015125所以X 的期望()933711901234100101003255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．[2024春·高二·福建宁德·期末]毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75145～分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，13.σ=现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望.(结果精确到0.01)；（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为12；若前一关通过，则本关通过的概率为13，已知甲同学第一关通过的概率为13，记甲同学通过第n 关的概率为n P ，请写出n P 的表达式，并求出n P 的最大值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.18．答案：（1）0.012；（2）0.23；（3）13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n P 的最大值为49.解析：（1）由频率分布直方图，得()100.0050.0190.030.020.0021a a ⨯++++++=，解得0.012a =.（2）由题意得：800.05900.121000.191100.3μ=⨯+⨯+⨯+⨯1200.21300.121400.02109.2+⨯+⨯+⨯=，()2109.2,13X N ～，()()()122135.220.022752P X P X P X μσμσμσ--<≤+>=>+=≈，()10,0.02275Y B ～，()0.22750.23E Y np ==≈.（3）记甲同学第()*n n ∈N 关通过为事件n A ，依题意，113P =，当2n ≥时，()113n n P A A -=，()112n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为113P =，则1320721P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为221-，公比为16-的等比数列，所以13217216n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，113213213721672167n n n P --⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n P 随着n 的增大而减小，所以，249n P P ≤=，又4397>，所以n P 的最大值为49.19．[2024春·高二·江苏南通·月考校考]篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若23p =，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；（2）若1223p ≤≤，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：①设事件C 表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求()P C ；（结果用含p 的式子表示）②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？19．答案：（1）124；（2）①321388p p +；②15解析：（1）设事件i A 表示甲在一轮比赛中投进i 个球，i B 表示乙在一轮比赛中投进i 个球，()0123i =,,,，D 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球所以2031D A B A B =+()()()2031P D P A B P A B =+2332203133331111211C C C C 22323324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⨯⨯⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭（2）①()()()()203031P C P B A P B A P B A =++()3332231323311113C 1C 22288p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦⎝；②设随机变量X 表示n 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则有3213,88X B n p p ⎛⎫~+ ⎪⎝⎭，故()321388E X n p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要满足题意，则()3E X ≥，即3213388n p p ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，又12,23p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3231388n p p ≥+，令()321388f x x x =+，12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()3208f x x x '=+>在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()f x 的最大值为211354f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即321388p p +的最大值为1154，于是，3231388p p +的最小值为16211，因162141511<<，故理论上至少要进行15轮比赛.。
高考数学专题2024概率与统计历年题目解析
高考数学专题2024概率与统计历年题目解析概率与统计作为高考数学的重要部分，占据了相当大的比重。
掌握概率与统计的相关知识对于考生来说是至关重要的。
本文将通过对2024年高考概率与统计专题历年题目的解析，帮助考生更好地理解和掌握这一部分知识点。
一、选择题解析选择题是高考中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解题技巧是很重要的。
题目1：某班有30名学生，其中男生占总人数的40%。
已知从该班随机抽取一名学生，他是男生的概率是多少？解析：根据题目可知男生的人数为30 × 40% = 12人，所以男生的概率是12/30 = 2/5。
题目2：某工厂生产零件，每天生产150个。
已知每个零件的质量标准为99%，A同学随机抽样抽取2个零件，请问这两个零件都合格的概率是多少？解析：每个零件合格的概率为99% × 1/100 = 0.99。
因为是随机抽取，所以这两个零件都合格的概率为0.99 × 0.99 = 0.9801。
二、解答题解析解答题在概率与统计中也占据重要地位，考察学生的综合应用能力和解题能力。
题目3：某校学生的身高服从正态分布，其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm；女生的平均身高为165cm，标准差为4cm。
已知该校男女生比例为2：3，请问在该校随机抽取一个学生，他身高超过175cm的概率是多少？解析：根据题目可知男生的概率为2/5，女生的概率为3/5。
设男生身高超过175cm的概率为p1，女生身高超过175cm的概率为p2。
根据正态分布的性质，可以计算出男生身高超过175cm的概率为0.5 × (1 - p1) = 2/5，女生身高超过175cm的概率为0.5 × (1 - p2) = 3/5。
解方程得到p1 = 1/5，p2 = 2/5，所以在该校随机抽取一个学生，他身高超过175cm的概率为(2/5) × (1/5) + (3/5) × (2/5) = 11/25。
高考数学概率统计知识点总结(文理通用)
概率与统计知识点及专练（一）统计基础知识：1. 随机抽样：（1）．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.（2）．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.（3）．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.2. 普通的众数、平均数、中位数及方差： （1）.众数：一组数据中，出现次数最多的数（2）.平均数：常规平均数：12nx x x x n ++⋅⋅⋅+=（3）.中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数（4）.方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-（5）.标准差：s3 .频率直方分布图中的频率：（1）.频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数； 频数=总数*频率（2）.频率之和等于1：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；即面积之和为1： 121n S S S ++⋅⋅⋅+=4. 频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差： （1）.众数：最高小矩形底边的中点（2）.平均数：112233n n x x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+（3）.中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值（4）.方差：22221122()()()nn s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-5.线性回归直线方程：（1）.公式：ˆˆˆy bx a=+其中：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---∑∑==--∑∑（展开）ˆˆa y bx=-（2）.线性回归直线方程必过样本中心(,) x y（3）.ˆ0:b>正相关；ˆ0:b<负相关（4）.线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a=+的斜率ˆb中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到6. 回归分析：（1）.残差：ˆˆi i ie y y=-（残差=真实值—预报值）分析：ˆie越小越好（2）.残差平方和：2 1ˆ() ni iiy y =-∑分析：①意义：越小越好；②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()() ni i n niy y y y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑（3）.拟合度（相关指数）：2 2121ˆ()1()ni iiniiy y Ry y==-∑=--∑分析：①.(]20,1R∈的常数；②.越大拟合度越高（4）.相关系数：()()n ni i i ix x y y x y nx y r---⋅∑∑==分析：①.[1,1]r∈-的常数；②.0:r>正相关；0:r<负相关③.[0,0.25]r∈；相关性很弱；(0.25,0.75)r∈；相关性一般；[0.75,1]r∈；相关性很强7. 独立性检验：（1）.2×2列联表（卡方图）： （2）.独立性检验公式①．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②．上界P 对照表：（3）.独立性检验步骤：①．计算观察值k ：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k③．下结论：0k k ≥即认为有P 的没把握、有1-P 以上的有把握认为两个量相关；0k k <：即认为没有1-P 以上的把握认为两个量是相关关系。
新高考数学复习：概率与统计
新高考数学复习：概率与统计随着新高考改革的深入，数学科目的考查范围与难度也在逐年增加。
作为高考复习的重要环节，概率与统计部分的知识点成为了考生们的焦点。
本文将探讨如何有效地进行新高考数学复习，特别是概率与统计部分的知识点。
一、明确考试要求在复习概率与统计之前，首先要了解新高考数学对于这一部分的考试要求。
通常，高考数学对于概率与统计的考查包括以下几个方面：随机事件及其概率、随机变量及其分布、数理统计的基本概念与方法等。
因此，在复习过程中，要着重这些方面的知识点。
二、扎实基础知识概率与统计部分的知识点较为抽象，需要考生具备扎实的数学基础。
在复习过程中，要注重对基础知识点的掌握，例如：集合、不等式、函数等。
只有掌握了这些基础知识，才能更好地理解概率与统计的相关概念与公式。
三、强化解题能力解题能力是高考数学考查的重要方面。
在复习概率与统计时，要注重强化解题能力。
具体而言，可以通过以下几个方面来提高解题能力：1、掌握解题方法对于概率与统计的题目，要掌握常用的解题方法，例如：直接法、排除法、枚举法等。
同时，要了解各类题型的解题步骤与方法，从而在解题时能够迅速找到突破口。
2、多做真题做真题是提高解题能力的有效途径。
通过多做真题，可以了解高考数学对于概率与统计的考查重点与难点，进而有针对性地进行复习。
同时，也可以通过对比历年真题，发现自身的知识盲点，及时查漏补缺。
3、反思与总结在解题过程中，要及时反思与总结。
对于做错的题目，要分析错误原因，并总结出正确的解题方法。
同时，也要总结出各类题型的解题技巧与注意事项，以便在今后的解题中能够更加得心应手。
四、拓展知识面高考数学对于考生知识面的考查也越来越广泛。
在复习概率与统计时，要注重拓展自身的知识面。
具体而言，可以通过以下几个方面来拓展知识面：1、阅读相关书籍可以阅读相关的数学书籍，例如：《概率论与数理统计》、《统计学》等。
通过阅读这些书籍，可以深入了解概率与统计的相关知识点，拓展自身的知识面。
概率与统计(解答题)(文科专用)(原卷版)五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题16 概率与统计（解答题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， P (K 2⩾k )0.100 0.050 0.010 k 2.7063.8416.6352．【2022年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m 2）和材积量（单位：m 3），得到如下数据：并计算得∑x i 210i=1=0.038,∑y i 210i=1=1.6158,∑x i y i10i=1=0.2474． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =i n i=1i √∑(x i −x̅)2ni=1∑(y i−y ̅)2ni=1√1.896≈1.377．3．【2021年甲卷文科】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++4．【2021年乙卷文科】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s．（1）求x，y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x-≥认为有显著提高）．5．【2020年新课标1卷文科】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务6．【2019年新课标1卷文科】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．7．【2019年新课标2卷文科】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）8.602.8．【2018年新课标1卷文科】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）。
高考数学概率统计解答题专题
高考数学概率统计解答题专题一、归类解析题型一：离散型随机变量的期望与方差【解题指导】离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．【例】某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的a，b值；(2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及期望E(η)．【变式训练】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及期望．题型二：概率与统计的综合应用【解题指导】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【例】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？ 【变式训练】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的期望． 题型三：概率与统计案例的综合应用【解题指导】 概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识．【例】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上总计 男 10 8 7 3 2 15 45 女 5 4 6 4 6 30 55 总计1512137845100(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X ，求X 的分布列及期望． 附公式及表如下：χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.P (χ2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【变式训练】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计 男 女 10 55 合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X )． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.P (χ2≥k 0) 0.10 0.05 0.01 k 02.7063.8416.635二、专题突破训练1．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：优秀 非优秀 合计 男生 15 35 50 女生 30 40 70 合计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和期望． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.2(1)求出y关于x的回归直线方程y＝b x＋a，并在坐标系中画出回归直线；(2)试预测加工10个零件需要的时间．3．为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的期望和方差(精确到0.01)．4．某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：假设每位顾客游泳1(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和期望E(X)．。
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由此得Y的分布列如下：
Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8
所以,E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. [9分]
③安装3台发电机的情形. 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y＝5 000－1 600＝3 400,
因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2； 当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y＝5 000×2－800 ＝9 200, 因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7； 当X>120时,三台发电机运行,此时Y＝5 000×3＝15 000, 因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1,
化简得n2－11n＋30＝0,解得n1＝5,n2＝6.
当n＝5时,x＝5－3＝2；当n＝6时,x＝6－3＝3.
n＝5， n＝6， 故所求的值为x＝2 或x＝3.
(2)在(1)的条件下,记X为选派的2位学生中女学生的人数, 写出X的分布列.
n＝5， 解 当x＝2 时，X 可能的取值为 0,1,2， X＝0 表示只选派 2 位男生，这时 P(X＝0)＝CC02C25 32＝130， X＝1 表示选派 1 位男生与 1 位女生，这时 P(X＝1)＝CC12C25 31 ＝35，
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多 可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系：
年入流量X
40<X<80 80≤X≤120 X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元；若某台发电 机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均 值达到最大,应安装发电机多少台？
＝0.947 7.
[6 分]
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,
对应的年利润Y＝5 000,E(Y)＝5 000×1＝5 000. [7分]
②安装2台发电机的情形. 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y＝5 000－800 ＝4 200,因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2； 当X≥80时,两台发电机运行, 此时Y＝5 000×2＝10 000, 因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.
每道题的概率都是23.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； 解 设甲、乙闯关成功分别为事件A、B, 则 P( A )＝CC14·36C22＝240＝15， P( B )＝(1－23)3＋C13·23(1－32)2＝217＋29＝277， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P( A ·B )＝1－P( A )·P( B )＝1－15×277＝113258200 15 000
P 0.2
0.7
0.1
所以,E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
[11分]
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2
台.
[12分]
评分细则
第(1)问得分点 1.求出各段的概率得3分,每求对一个得1分. 2.求出未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率得3分. 第(2)问得分点 1.求出概率分布列得2分；分布列错,求对所有概率得1分. 2.求对均值得1分,公式对结果错误不得分.
(2)设甲答对题目的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
解 由题意知ξ的可能取值是1,2.
P(ξ＝1)＝CC14C36 22＝51，P(ξ＝2)＝C24CC21＋36 C34＝45，
则ξ的分布列为
ξ
1
2
P
1 5
4 5
∴E(ξ)＝1×15＋2×45＝95.
2.某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女 学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中 学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的机会 是相同的.
规范解答
解 (1)依题意，得 p1＝P(40<X<80)＝1500＝0.2，
p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7，
p3＝P(X>120)＝550＝0.1.
[3 分]
由二项分布,在未来4年中,至多有1年的年入流量超过120
的概率为 p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝(190)4＋4×(190)3×110
答题模板 第一步：分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的 取值； 第二步：根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率； 第三步：列出分布列的表格； 第四步：根据均值的定义式或计算公式求解其值； 第五步：反思回顾,根据分布列的性质检验结果是否正确,计 算是否正确.
跟踪训练 1.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规 则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后 由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关 成功.已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对
X＝2 表示只选派 2 位女生，这时 P(X＝2)＝CC22C25 30＝110. X的分布列为
X0 1 2
P
3 10
3 5
1 10
n＝6， 当x＝3 时，X 可能的取值为 0,1,2，
X＝0 表示只选派 2 位男生，这时 P(X＝0)＝CC23C26 30＝15， X＝1 表示选派 1 位男生与 1 位女生，这时 P(X＝1)＝CC13C26 13＝53，
(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出 n与x的值；
解 若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35 ，
而从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习 教师的总方法数为 C2n＝nn－ 2 1， 2 位学生中恰有 1 位女学生的方法数为 C1n－3C13＝(n－3)×3.
依题意可得C1nC－3n2C13＝3nnn－－31＝53， 2
第二篇 看细则,用模板,解题再规范
第3讲 概率与统计
题型 离散型随机变量分布列及均值、方差的综合问题
题型 离散型随机变量分布列及均值、方差的综合问题
例题 (12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水 电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量： 一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以 上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份 有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率 作为相应段的频率,并假设各年的入流量相互独立.
X＝2 表示只选派 2 位女生，这时 P(X＝2)＝CC03C26 32＝15. X的分布列为
X0 1 2
P
1 5
3 5
1 5