第14章 图的基本概念

实例
设 V = {v1, v2, …,v5}, E = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 则 G = <V,E>为一无向图
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有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
N D (v) N D (v) {v}
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多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数:如果关联一对顶点的无向边多 于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） 如果关联一对顶点的有向边多于1条，并且这些边的始点与 终点相同，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (3) 多重图：含平行边的图称为多重图。 (4) 简单图：既不含平行边也不含有环的图。 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
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图的度数列
1 . V={v1, v2, …, vn}为无向图G的顶点集，称d(v1), d(v2), …, d(vn)为G的度数列 2. V={v1, v2, …, vn}为有向图D的顶点集， D的度数列：d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列：d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的入度列：d(v1), d(v2), …, d(vn) 3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)，什么条件下是可图化的，什 么条件下是可简单图化的？
d (vi ) 2m, 且
i 1
n
d ( v ) d i (vi ) m i 1 i 1
n
n
本定理的证明类似于定理14.1
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握手定理推论
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数. 证 设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | vV d(v)为奇数} V2={v | vV d(v)为偶数} 则V1V2=V, V1V2=，由握手定理可知
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无向图的连通度
定义14.10 设G=<V,E>为无向图, 1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉,称为删除顶点v。 GV——从G中删除V中所有的顶点,称为删除V Ge ——将e从G中去掉，称为删除边e。 GE——删除E中所有边 ,称为删除E 2. 收缩边与加新边 设e=(u,v) E，用G\e表示从G中删除边e后，将e的两个端点 u,v用一个新的顶点w(可以用u或v充当w)代替，并使w关 联除e以外u,v关联的所有边，称为边e的收缩。 设u,v V(u,v可能相邻，也可能不相邻)，用GU（u,v）(或 G+(u,v))表示在u,v之间加一条边(u,v)，称为加新边。 注：收缩边与加新边的过程中可能产生环和平行边。
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14.2 通路与回路
定义14.11 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与 边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi1, vi 是 ei 的端点. (1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路，l 为回路长 度. (2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又若v0=vl， 为简单回路 (3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈) (4) 复杂通路与回路：有边重复出现
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图的同构
定义14.5 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(两个有向 图)，若存在双射函数f:V1V2, 对于vi,vjV1, (vi,vj)E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))E2 （<vi,vj>E1 当且仅当 <f(vi),f(vj)>E2 ) 并且, (vi,vj)（<vi,vj>）与 (f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数相 同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2. 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件： ① 边数相同，顶点数相同; ② 度数列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构 判断两个图同构是个难题 16
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顶点的度数
定义14.4 (1) 设G=<V,E>为无向图, vV, d(v)——v的度数, 简称度 V作为边的端点的次数之和。 (2) 设D=<V,E>为有向图, vV, d+(v)——v的出度： V作为边的始点的次数之和。 d(v)——v的入度： V作为边的终点的次数之和。 d(v)——v的度或度数 (3) (G), (G) (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇顶点度与偶度顶点
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预备知识
多重集合——元素可以重复出现的集合
设A,B为任意的两个集合，称 {{x,y} | xAyB} 为A与B的无序积，记作AB.
任意a，b均有(a,b)=(b,a) 无序集——AB={(x,y) | xAyB}
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14.1 图
定义14.1 无向图G 是一个有序的二元组，G= <V,E>, 其中 (1) V 为顶点集，元素称为顶点或结点 (2) E为VV 的多重集，其元素称为无向边，简称边
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握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图， V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
d ( v ) 2m
i i 1
n
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度. 定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
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相关概念
6. 基图 将有向图的各条有向边改成无向边后所得到的无向图称为 这个图的基图。 7. 设G=<V, E> 为无向图, ek=(vi, vj) E, 称vi, vj为ek的端点， ek与vi（vj）关联。 若vi ≠ vj，则称ek与vi（vj）的关联次数为1，若vi = vj，则称 ek与vi（vj）的关联次数为2，交称为ek环。 若顶点vi不与边ek关联，则称ek与vi的关联次数为0。 8. 设D=<V, E> 为有向图, ek=(vi, vj) E, 称vi, vj为ek的端点， vi为ek的始点，vj为ek的终点，并称ek与vi（vj）关联。若vi = vj，则称ek为D中的环。 顶点相邻：两个顶点有一条边连接， 边相邻：两条边中一条边的终点是另一条边的起点。 孤立点：没有边关联的顶点.
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实例
例2 画出K4的所有非同构的生成子图
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补图
定义14.9 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图
问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
2m d (v ) d (v) d (v)
由于2m, d (v ) 均为偶数，所以 d (v ) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
vV
vV1
vV2
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
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握手定理应用
补例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其 余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则 d(vi) 2，i =1, 2, …, x， 于是得不等式 32 24+2x 得 x 4, 阶数 n 4+4+3=11.
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
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相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D),顶点集与边集， |V(G)|,|E(G)|, |V(D)|, |E(D)|,顶点数与边数。 2. n阶图----顶点数称为图的阶， 有限图(本书讨论都是有限图) 3. n 阶零图与平凡图 一条边都没有的图，称为零图。 n 阶零图记为Nn, 1阶零 图N1称为平凡图。平凡图只有一个顶点，没有边。 4. 空图——，顶点集为空集。 5.标定图与非标定图 标定图：若给每一个顶点和每一条边指定一个符号 。
简单性质：边数
n( n 1) m , n1 2
(2) n (n1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相 反的有向边的有向简单图.（与书本描述不同，结果一样） 简单性质： m n( n 1), 2( n 1), n 1 (3) n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图. 简单性质：边数 n( n 1) m , n1
图同构的实例
(1)
(2)
(3)
(4)
图中，(1)与(2)不同构（度数列不同），(3)与(4)也不同构.
(1)
(2)
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图中(1)与(2)的度数列相同，它们同构吗？为什么？
n 阶完全图与竞赛图
定义14.6 (1) n (n1) 阶无向完全图——每度数列定理
定理14.3 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，当且仅当
d ( v ) 2m
i i 1
n
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则(G)≤n-1 易知：(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的，后者又是可 简单图化的（为什么？） ，而(2, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 都不 是可简单图化的，特别是后者也不是可图化的（为什么？）