常见曲面的参数方程
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
曲线的参数方程
曲线的参数方程曲线是数学中的一种图形，通常可以由一个或多个方程表示。
在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的特征和性质。
参数方程通过引入一个或多个参数，将曲线上的点表示为参数的函数。
本文将介绍曲线的参数方程的概念、应用和一些常见的参数方程示例。
参数方程的概念参数方程通常表示为以下形式：x = f(t) y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同的点。
参数方程提供了一种曲线上每个点的坐标的参数化表示方法。
与直角坐标系方程不同，参数方程可以描述一些非常复杂的曲线，如椭圆、双曲线、螺线等。
通过选择合适的参数函数和参数范围，可以细致地刻画曲线的形状和特性。
参数方程的应用参数方程在许多领域具有广泛的应用，尤其是在计算机图形学、物理学和工程学中。
以下是几个参数方程的应用示例：1. 计算机图形学在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维和三维图形的轨迹。
例如，在绘制动画和游戏中，可以使用参数方程来表示粒子、动画角色的路径等。
参数方程提供了一种简洁的方式来生成复杂的图形效果。
2. 物理学在物理学中，参数方程用于描述质点在空间中运动的路径。
例如，当质点沿着曲线运动时，可以使用参数方程来确定质点在每个时刻的位置。
参数方程还可以应用于描述粒子在电磁场中的运动、弹道轨迹等。
3. 工程学在工程学中，参数方程常用于描述各种曲线和曲面。
例如，工程师可以使用参数方程来描述曲线的轮廓、曲线的弯曲性质以及曲线上不同点的坐标。
参数方程还可以用于描述曲线的焦点、渐近线等重要属性。
常见的参数方程示例以下是几个常见的参数方程示例：1. 二维直线方程对于二维直线，可以使用如下的参数方程：x = at + b y = ct + d其中a、b、c和d为常数，代表直线的斜率和截距。
2. 圆的参数方程对于圆，可以使用如下的参数方程：x = r * cos(t) y = r * sin(t)其中r为半径，t为参数，可以取0到2π之间的值。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结1.参数的定义：在参数方程中，通常使用一个或多个参数来表示变量。
参数的取值范围可以是实数集，也可以是一个有限的区间。
2.参数方程表示的几何对象：参数方程可以描述各种几何对象，包括曲线、曲面、体积等。
常见的参数方程表示几何对象的经典例子有圆的参数方程、直线的参数方程以及曲面的参数方程等。
3.曲线的参数方程：曲线的参数方程通常写为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y是曲线上的点的坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，我们可以得到曲线上的不同点。
参数方程可以用来描述各种曲线，例如直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
4.曲面的参数方程：曲面的参数方程通常写为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中x、y和z是曲面上的点的坐标，而u和v是参数。
通过改变参数u和v的取值，我们可以得到曲面上的不同点。
参数方程可以用来描述各种曲面，例如球面、柱面、锥面等。
5.参数方程的优点：相比于直角坐标方程，参数方程具有一些独特的优势。
它可以更好地描述曲线和曲面的特征，如曲率、切线以及曲面上的法向量等。
此外，参数方程可以更好地描述复杂的几何变换，例如旋转、平移和缩放等。
6.参数方程的应用：参数方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在数学中，它可以用来研究曲线和曲面的性质，解析几何和微积分等。
在物理中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹、电磁场的分布等。
在工程中，参数方程可以用来设计曲线和曲面，生成图形模型等。
7.曲线的特征：通过参数方程，我们可以轻松地计算曲线的长度、曲率、切线方程等。
对于二次曲线，可以通过参数方程推导出焦点、直径、抛物线的方程等。
这些特征可以帮助我们更好地理解曲线的性质和几何意义。
8.曲面的特征：通过参数方程，我们可以计算曲面的方程、法向量、切平面等特征。
这些特征可以帮助我们更好地理解曲面的性质，如曲面的形状、曲率等。
9.曲线和曲面的相交：通过参数方程，我们可以确定曲线和曲面的交点。
常见曲面公式
常见曲面公式嘿，咱们今天来聊聊常见的曲面公式。
先从简单的说起，像球面方程，大家应该不陌生吧。
你想想看，一个足球，那就是个标准的球面。
球面方程的一般形式就是$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$，这里的$(a,b,c)$是球心的坐标，$r$就是半径啦。
我记得有一次，我带着一群小朋友去操场上玩，看到一个小朋友在踢足球。
我就问他们：“你们知道这个足球的表面用数学公式怎么表示吗？”小朋友们都一脸茫然地看着我。
我就给他们慢慢解释，看着他们似懂非懂的小表情，真是可爱极了。
再来说说圆柱面方程。
圆柱面就像咱们平常看到的柱子，它的方程形式也有特点。
假如圆柱面的轴是沿着 z 轴，半径为 r ，高度没有限制，那方程就是$x^2 + y^2 = r^2$ 。
有一回，我去逛商场，看到大厅里有一个巨大的圆柱型装饰，特别漂亮。
我当时就在想，这要是让学生们来分析这个圆柱面的方程，估计能加深他们对知识的理解。
圆锥面方程相对复杂一点，但也别害怕。
它的一般方程形式和参数方程形式都有各自的特点和用途。
记得有一次给学生们讲圆锥面方程，有个学生怎么都理解不了，我就拿了一个圆锥形的纸帽，一点点给他比划解释，最后他终于明白了，那开心的样子让我也特别有成就感。
还有旋转曲面方程，这可是个有趣的家伙。
比如说，把一条曲线绕着某条轴旋转，就能得到一个旋转曲面。
就像我们生活中的很多东西，比如花瓶，很多就是旋转曲面的形状。
上次我在公园里看到一个卖花瓶的小摊，那些花瓶形状各异，我就在心里琢磨着它们对应的旋转曲面方程。
总之，这些常见的曲面公式在我们的生活中无处不在。
只要我们留心观察，就能发现数学的魅力。
从小学到高中的教材里，这些曲面公式是逐步深入学习的。
刚开始可能只是简单的了解，随着学习的深入，要求掌握的程度也越来越高。
但不管怎样，只要我们带着兴趣去学，就会发现数学并不枯燥，反而充满了乐趣。
希望大家以后看到各种曲面的东西，都能想到咱们学过的这些公式，用数学的眼光去欣赏这个世界。
常见空间曲面的参数方程
常见空间曲面的参数方程
空间曲面是三维空间中的曲线的推广，它可以用参数方程来描述。
常见的空间曲面包括球面、圆柱面、抛物面等，它们可以通过参数方程来表示。
首先，让我们来看看球面的参数方程。
对于半径为R的球面，其参数方程可以表示为：
x = Rcos(u)sin(v)。
y = Rsin(u)sin(v)。
z = Rcos(v)。
其中，u和v分别是球面上的参数，u的范围一般是0到2π，v的范围一般是0到π。
这个参数方程可以描述整个球面上的点。
接下来是圆柱面的参数方程。
对于以z轴为轴的圆柱面，其参数方程可以表示为：
x = Rcos(u)。
y = Rsin(u)。
z = v.
其中，u的范围一般是0到2π，v的范围可以根据具体情况来确定。
这个参数方程描述了圆柱面上的点。
最后是抛物面的参数方程。
对于抛物面，其参数方程可以表示为：
x = u.
y = v.
z = u^2 + v^2。
其中，u和v的范围可以根据具体情况确定。
这个参数方程描述了抛物面上的点。
除了这些常见的空间曲面，还有许多其他曲面，它们都可以通
过参数方程来描述。
参数方程的使用可以让我们更直观地理解曲面的性质和特点，从而更好地研究和分析空间中的曲面。
希望这些信息能够帮助到你理解常见空间曲面的参数方程。
曲面方程的概念
3 2 5 2 17 即 ( x ) ( y ) , 2 2 2 它是曲线 关于x y 坐标面的投 影柱面 － 圆柱面的方程， 在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 32 5 2 17 ( x ) ( y ) , 2 2 2 z 0 .
x x ( t ), y y ( t ), z z(t ) .
形如上的方程组称为曲线 的参数方程， t 为参数.
例 4 设质点在圆柱面 x 2 y 2 R 2上以均匀的 角速度 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时， 质点在 P0(R, 0, 0) 处， 求质点的运动方程. z 解 设时间 t 时，质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线 垂足为 Q (x, y , 0) 则从 P0 到 P 所转 过的角 = t， 上升的高度 QP = vt ， 即质点的运动方程为：
表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
设空间曲线 的方程为
消去 z ，得
F1 ( x , y, z ) 0, F2 ( x, y, z ) 0,
G( x , y )= 0.
可知满足曲线 的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ， 而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线 关于 x y 坐标 面的投影柱面. 而
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
汇报人：XX
contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
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§４、5 常见曲面得参数方程
本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。
掌握旋转曲面得参数方程得建立。
掌握直纹面得参数方程、
本节难点:旋转曲面得参数方程。
直纹面得参数方程。
在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。
现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。
(一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标
设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是
则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是
其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则
再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程
(4、5.1)
特别地,当母线为坐标面上得径线
时,(4。
５、１)成为
(4.5.２)
例１、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。
２)得其参数方程为
(4、5。
3)
它与§2。
１中得球面参数方程得形式就是相同得。
(４、５、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。
这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。
利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。
设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点Ｐ对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。
空间中点得这种坐标叫做球坐标。
显然,轴上点得球坐标可取任意值、
把(４.5。
3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即
(4、5。
４)
反之,有
(4。
5.５)
当时,＝0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。
这时原点就是极点,轴就是极轴,因此,球坐标可以瞧作就是平面极坐标在空间中得一种推广。
例2、如图4-17,以轴为对称轴,半径为得圆柱面可瞧作就是由坐标面上得直线: ,
图4—１7
绕轴旋转所生成得、由(４、５、2)得其参数方程为
(4、5。
６)
利用参数可得圆柱面上得一种曲纹坐标,从而我们可引入空间得又一种坐标系。
设为空间任意一点,它到轴得距离为,过作以轴为轴,半径为r得圆柱面,则在这圆柱面上具有曲纹坐标,可令对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得圆柱面,再由在这圆柱面上确定点。
空间中点得这种坐标叫做柱坐标。
与球坐标一样,轴上点得柱坐标可取任意值、把(４.５、６)中得常数换为变数,即得柱坐标与直角坐标间得关系式
(4。
5、7)
反之,有
(4、5.8)
当时,,从而面上得点也只需即可确定,所以柱坐标也就是平面极坐标在空间中得另一种推广、像广义极坐标一样,柱坐标也可以推广到负值情形。
在一个坐标系下,若让一个坐标固定而其它坐标变化,则所得轨迹叫做坐标曲面;若一个坐标变化而其它坐标固定,则所得轨迹叫做坐标曲线。
例如在柱坐标系下,坐标曲面,(常数)就是以轴为轴,半径等于得圆柱面;坐标曲面(常数)就是过轴得平面(若限定,则轨迹为半平面);(常数)就是平行于面得平面。
显然, 坐标曲线可瞧作就是两个不同类得坐标曲面得交线,如坐标曲线,(叫做线)就是圆柱面与面得平行面得交线,因而就是位于平面上,中心在轴,半径为得圆。
我们已经瞧到,用球坐标或柱坐标表示曲面或曲线,有时就是比较简单明了得。
但要注意,在不同坐标系下,同一方程可能表示不同得图形。
例如方程,在球坐标系下表示得就是球面,而在柱坐标系下表示得却就是圆柱面。
(二)直纹面得参数方程
因为直纹面得母线就是直线,所以其参数方程为
其中就是这直线上点得参数。
只因为直纹面就是一族单参数直线构成得,族中母线就是随着一个参数而变动得,即均为得函数,所以这直母线族方程可以写成
(4.5、9)
其中为族得参数,一个值对应族中一条直母线、当曲面瞧作就是运点轨迹时,就就是由所有母线上得点构成得,故(4、5、9)即为它得方程。
令就是,得直纹面上一曲线、它与所有得母线都有公共点,可称为直纹面得导线。
特别地,当分别为常数(即母线互相平行)时,直纹面(４、5。
9)为柱面
(4、５、10)
而当分别为常数(即导线只含一点)时,直纹面(4.5。
9)为锥面
(４。
5.１１)
平面可以瞧作以直线为导线得柱面、设一个平面通过定点平行于两个不共线向量,我们以为方向向量,过引一直线
为导线,以为母线得共同得方向向量,则由(4、5。
１０)得到平面得参数方程
(４。
5。
１２)
例3、求以直线,为导线,母线平行于直线得柱面得参数方程。
解:将导线方程改写成
并取为参数,得导线得参数方程为
再将它与一同代入(3。
5。
10)使得所求柱面得参数方程为
显然,这柱面就是个平面。
习题4－５
１、求下列曲线按指定轴旋转生成得曲面得参数方程:
(1) 绕Ｚ轴旋转
(２)绕轴旋转。
2、已知径线得参数方程与旋转轴,写出旋转曲面得参数方程
(1) 绕轴旋转
(２) 绕轴旋转。
3、一锥面以为顶点,以椭圆为导线,试求其参数方程。
4、利用直母线得方程,求单叶双曲面与双曲抛物面得参数方程。
5、设以为参数得一族直线,试求:
(１)这族直线所构成得直纹面;
(2)这直纹面得参数方程;
(3)这直纹面得一条导线。
6、设直纹面有一条直导线,且母线平行于一个与导线相交得定平面,则此直纹面叫做劈锥曲面。
今以定平面为面,它与直导线得交点为原点,试求劈锥曲面得参数方程、７、试求球坐标系得坐标曲面与坐标曲线。