一些曲面的参数方程及图形
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
截线为双曲线
y = h
y
x
z
o
③当 时
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
(0 , b , 0)
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
③当 时
截线为直线
②当 时
①当 时
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0）， （0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.
*
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
本章主要内容
柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
x
y
z
o
2°用y = 0 截曲面
3°用x = 0 截曲面
1°用z = 0 截曲面
x
z
y
O
4.主截线
Cx＝0
Cy＝0
两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向
————其为点（0，0，0）
————xoz 面上的抛物线
主抛物线
———— yoz 面上的抛物线
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向
单叶双曲面 双叶双曲面
x
y
o
z
x
y
o
z
单叶双曲面
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
常见空间曲面的参数方程
常见空间曲面的参数方程
空间曲面是三维空间中的曲线的推广，它可以用参数方程来描述。
常见的空间曲面包括球面、圆柱面、抛物面等，它们可以通过参数方程来表示。
首先，让我们来看看球面的参数方程。
对于半径为R的球面，其参数方程可以表示为：
x = Rcos(u)sin(v)。
y = Rsin(u)sin(v)。
z = Rcos(v)。
其中，u和v分别是球面上的参数，u的范围一般是0到2π，v的范围一般是0到π。
这个参数方程可以描述整个球面上的点。
接下来是圆柱面的参数方程。
对于以z轴为轴的圆柱面，其参数方程可以表示为：
x = Rcos(u)。
y = Rsin(u)。
z = v.
其中，u的范围一般是0到2π，v的范围可以根据具体情况来确定。
这个参数方程描述了圆柱面上的点。
最后是抛物面的参数方程。
对于抛物面，其参数方程可以表示为：
x = u.
y = v.
z = u^2 + v^2。
其中，u和v的范围可以根据具体情况确定。
这个参数方程描述了抛物面上的点。
除了这些常见的空间曲面，还有许多其他曲面，它们都可以通
过参数方程来描述。
参数方程的使用可以让我们更直观地理解曲面的性质和特点，从而更好地研究和分析空间中的曲面。
希望这些信息能够帮助到你理解常见空间曲面的参数方程。
曲面方程的概念
3 2 5 2 17 即 ( x ) ( y ) , 2 2 2 它是曲线 关于x y 坐标面的投 影柱面 － 圆柱面的方程， 在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 32 5 2 17 ( x ) ( y ) , 2 2 2 z 0 .
x x ( t ), y y ( t ), z z(t ) .
形如上的方程组称为曲线 的参数方程， t 为参数.
例 4 设质点在圆柱面 x 2 y 2 R 2上以均匀的 角速度 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时， 质点在 P0(R, 0, 0) 处， 求质点的运动方程. z 解 设时间 t 时，质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线 垂足为 Q (x, y , 0) 则从 P0 到 P 所转 过的角 = t， 上升的高度 QP = vt ， 即质点的运动方程为：
表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
设空间曲线 的方程为
消去 z ，得
F1 ( x , y, z ) 0, F2 ( x, y, z ) 0,
G( x , y )= 0.
可知满足曲线 的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ， 而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线 关于 x y 坐标 面的投影柱面. 而
奇特的曲面方程
奇特的曲面方程在数学中，曲面方程是描述曲面形状的数学表达式。
曲面方程由三个参数变量和相应的参数方程组成，它描述了曲面的连续变化的三维空间几何特性。
在实际应用中，例如，计算机图形学、物理学、工程学等领域，曲面方程都扮演着非常重要的角色。
这里，我们讨论一些奇特的曲面方程，如龙线曲面方程、球面方程、抛物面方程、圆柱面方程等。
首先，龙线曲面方程是一种高阶非线性曲面方程。
它的参数方程为：u=x(y^2+z^2)v=y(z^2+x^2)w=z(x^2+y^2)其中，u、v和w分别表示三维空间中的X、Y、Z三个方向。
从这个方程中我们可以看到，它是由两个二次曲面组合而成的，其中第一个是以x轴和y轴为中心，z=1为高的柱面；第二个是以x=y=z为对称轴的平面。
这个曲面方程不仅非常奇特，而且在建筑设计、航空航天、医疗器械等领域都有广泛的应用。
其次，球面方程是一种描述球体表面形状的曲面方程。
其参数方程为：(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2其中，(x,y,z)为球面上一点的坐标，(a,b,c)为球心坐标，R为球的半径。
这个方程描述了球面上任意一点到球心的距离，都是R。
这个方程不仅具有非常优美的几何结构，而且在天文学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
再者，抛物面方程是一种描述椭球体表面形状的曲面方程。
其参数方程为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)=1其中，a、b、c是椭球体的三个半轴长，描述了椭球体的形状和大小。
这个方程描述了椭球体上任意一点到椭球体中心的距离，都是常数。
这个方程不仅在地球科学、建筑设计、航空航天等领域都有着广泛的应用，而且也是人类探索宇宙的重要工具。
最后，圆柱面方程是一种描述柱体表面形状的曲面方程。
其参数方程为：x^2+y^2=r^2其中，x、y表示柱体的横截面的两个坐标，r表示圆柱的半径。
这个方程描述了圆柱面上任意一点到圆柱面中心的距离，都是r。
这个方程在工程学、建筑设计等领域都有着广泛的应用，也是人类探索宇宙的重要工具。
曲面的参数方程1
x z M
Σ
o y
2、曲面的参数方程
定义 2.2.2
如果取 u, v a u b, c v d 的一切可能取的值，
根据题意有 | MA || MB |,
x 1 y 2 z 3
2 2
2
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 x+y=0 与 x-y=0
已知 O(0,0,0), M (2,3,4) ，点M到O，M的距离比为1:2,
求M的轨迹方程 解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 以上方法称为截痕法.
空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面， 旋转曲面，二次曲面等。 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
考研数学常见曲面方程
考研数学常见曲面方程考研数学中常见的曲面方程有以下几类：1. 二次曲面方程：- 平面：Ax + By + Cz + D = 0- 球面：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²- 椭球面：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1 - 马鞍面：x² / a² - y² / b² + z / c = 0- 抛物面：z = ax² + by² + c- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c2. 旋转曲面方程：- 圆锥面：z² = x² + y²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c- 双曲双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 13. 参数方程：- 椭圆柱面：x = a cosθ, y = b sinθ, z = ct- 双曲柱面：x = a secθ, y = b tanθ, z = ct4. 其他方程：- 圆环面：(x - a)² + y² = r²- 双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1- 椭圆抛物面：z = ax² + by²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z- 零亏格曲面：x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0这些是考研数学中常见的曲面方程，但也可能会出现其他不太常见的曲面方程题目。
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
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双曲柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
参数方程：
x a sec y b tan z u
XUXZ 22 July 2010
椭圆柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
参数方程：
x a cos y b sin z t
XUXZ 22 July 2010
星形球面
XUXZ 22 July 2010
8字曲面 Eight Surface
参数方程：
x a cos u sin 2v y b sin u sin 2v z c cos v
XUXZ 22 July 2010
Dini 曲面
参数方程：
x a cos u sin v y a sin u sin v v z b(cos v ln tan ) bu 2
椭圆抛物面
z ax by
参数方程：
2
2
u cos t x a u sin t y b z u2
XUXZ 22 July 2010
双曲抛物面
x y z 2 2 a b
参数方程：
2
2
x a( 2 t ) y b( t ) 2 z 2 t
XUXZ 22 July 2010
麻花曲面 Cor cos u cos v y a sin u cos v z a sin v bu
XUXZ 22 July 2010
正弦曲面 Sine Surface
参数方程：
x a sin u y a sin v z a sin(u v )
圆锥面
z y x
2
2
2
参数方程：
x u y u sin z u cos
XUXZ 22 July 2010
圆锥面
z x y
2
2
2
参数方程：
x u sin y u z u cos
XUXZ 22 July 2010
椭圆锥面
XUXZ 22 July 2010
双曲抛物面
x y 2z 2 2 a b
参数方程：
2
2
x a(u v) y b(u v) z 2uv
XUXZ 22 July 2010
双曲抛物面
z xy
参数方程：
x v y u z uv
参数曲面
Parametric Surfaces
XUXZ 22 July 2010
展示一些曲面的参数方程及 其图形。 这里的曲面都是用数学软件 Mathematica绘制的。 用参数方程来画曲面效果比 较好，容易控制图形的范围。
XUXZ 22 July 2010
抛物面
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
球 面
XUXZ 22 July 2010
球面
x y z a
2
2
2
2
参数方程：
x a sin cos y a sin sin z a cos
XUXZ 22 July 2010
球面
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
伪球面
XUXZ 22 July 2010
星形球面
参数方程：
x a(cos u cos v) 3 y a(sin u cos v) z a(sin v)3
3
XUXZ 22 July 2010
星形球面
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
莫比乌斯带
XUXZ 22 July 2010
莫比乌斯带
4 July 2010
XUXZ 22 July 2010
螺 旋 面
XUXZ 22 July 2010
螺旋面
参数方程：
x u cos v y u sin v z v
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a{cos t[cos( ) cos ]} y b{sin t[sin( ) sin ]} z c(2t 1)
XUXZ 22 July 2010
Roman 曲面
x y y z z x r xyz
2
2
2 2
2 2
2
参数方程：
x r cos cos sin 2 y r sin cos sin z r 2 cos sin cos2
XUXZ 22 July 2010
2
Roman 曲面
XUXZ 22 July 2010
Roman 曲面
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
螺旋管
27 Jun 2010
参数方程：
x (1 u)(a cos v)cos b u y (1 u)(a cos v)sin b u z au (1 u)sin v
2
2
2
参数方程：
x a tan u cos v y b tan u sin v z c sec u
XUXZ 22 July 2010
双叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a sinh u cos v y b sinh u sin v z c cosh u
XUXZ 22 July 2010
双叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a u 2 1 cos 2 y b u 1sin z cu
XUXZ 22 July 2010
双叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
旋转抛物面
zx y
2
2
参数方程：
x u cos t y u sin t z u2
XUXZ 22 July 2010
旋转抛物面
yx z
2
2
参数方程：
x u cos t 2 y u z u sin t
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
椭球面
XUXZ 22 July 2010
椭球面
XUXZ 22 July 2010
圆 环 面
XUXZ 22 July 2010
圆环面
参数方程：
x ( R r cos t ) sin y ( R r cos t ) cos z r sin t
XUXZ 22 July 2010
单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a 1 u 2 cos 2 y b 1 u sin z cu
XUXZ 22 July 2010
单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
XUXZ 22 July 2010
抛物柱面
zy
2
参数方程：
x v y u z u2
XUXZ 22 July 2010
双曲柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
参数方程：
x a ch y b sh z t
XUXZ 22 July 2010
2
2
2
参数方程：
x a sec u cos v y b sec u sin v z c tan u
XUXZ 22 July 2010
单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a cosh u cos v y b cosh u sin v z c sinh u
圆柱面
x y a
2
2
2
参数方程：
x a cos y a sin z t
XUXZ 22 July 2010
圆柱面
x z a
2
2
2
参数方程：
x a cos y t z a sin
XUXZ 22 July 2010
圆柱面
球面
XUXZ 22 July 2010
球面
XUXZ 22 July 2010
球面
XUXZ 22 July 2010
球面
XUXZ 22 July 2010
椭 球 面
XUXZ 22 July 2010
椭球面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a sin cos y b sin sin z c cos
螺旋面
参数方程：
x u cos v y u sin v z v / 2
XUXZ 22 July 2010
螺 旋 管