张晓丽论文

本科毕业论文题目:极限的初探院系：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学姓名：张晓丽学号： 0919******** 指导教师：管毅教师职称：讲师填写日期： 2013年 5月 2日摘要在数学分析中,极限方法是一种重要的思想方法,可以看出，极限理论犹如一条红线贯穿于微积分的整个过程,所以，求极限的方法就显得至关重要.本文主要探讨求极限的一般方法,并以实例加以说明,除此之外,我也补充了极限在现实生活中应用的一部分内容.要学好极限,就必须弄清极限的概念,熟练掌握求极限的方法,这对于学好高等数学这门学科是十分必要的,同时我们也要能利用极限的思想方法来解决生活中的一些实际问题.本论文主要由前言,极限的概述,极限在生活中的应用三部分组成.前言部分主要阐述极限的来源和在数学中所占的地位,同时也说明了要学好极限应该注意的方法,这里讨论的极限是以函数极限为主;极限的概述部分分为极限的历史背景,极限的定义,极限的求法和极限在生活中的应用几个板块,其中在求法的过程中分别对一些常见的方法进行讲解与说明,使得极限在数学分析中的主导地位更为明显.关键字：极限；求极限方法；应用AbstractLimit method is one of the though methods in mathematical analysis, it can be seen that the limit theory like a red line throughout the whole process of infinitesimal calculus, so, limit method is critical .This paper mainly discussed and summarized the general method that how to calculate the limit, and explained with some examples. In addition to, the part of the content of limit are added in real life applications. To learn the limit, we must make clear the concept of limit, and killed master the limit of the methods, this is very necessary to learn higher mathematics, at the same time, we can use the limit methods to solve some practical problems in life.This paper is consisted of three parts, mainly composed of preface, overview of the limit and the application of limit in life.The part of introduction mainly explained the source and the status of limit in the mathematics, in the meantime demonstrated the methods that learn limit should pay attention, here the limit discussed is priority given of function limit, overview of the limit is divided into the introduction to the limit of historical background, the definition of limit, the arithmetic of limit and the application of limit in life, in the arithmetic process of limit, some common methods are explained and illustrated respectively, and makes the dominant position of limit is more apparent in mathematical analysis.Key words: Limit; The arithmetic of limit methods; Application目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)第二章极限的概述 (2)第一节极限的历史背景 (2)第二节极限的定义 (3)第三节求极限的方法 (3)3.1 利用两个重要极限公式求极限 (3)3.2 利用等价无穷小量求极限 (4)3.3 利用海涅定理求函数极限 (5)3.4 利用泰勒公式求解函数极限 (5)3.5 利用迫敛性来求极限（夹逼定理） (6)3.6 利用定积分和式求极限 (7)3.7 利用洛比达法则求极限 (8)3.8 利用中值定理求极限 (9)3.9 利用导数的定义求极限 (10)第三章极限在生活中的应用 (12)第一节银行复利计算问题 (12)第二节阿基里斯追乌龟问题 (12)第三节极限在开放方面的应用 (13)第四节极限思想在导数中的应用 (14)致谢 (16)参考文献 (17)第一章前言极限是微积分中最基本的概念,微积分中几乎所有的概念都是用极限来定义的,其中的运算法则也是用极限运算的方法推导出来的.极限概念的起源可以追溯到古代,古希腊人的“穷竭法”，我国古代的“割圆术”等都是极限方法的体现.极限理论在数学分析中取了很大的作用,是微积分的最重要的基础,事实上,极限理论是在微积分创立近两个世纪之后,为了摆脱人们对微积分的理解在很大程度上仍依赖单纯直观与物理的解释,柯西等一批数学大师先后经过近百年的工作,才使得微积分成为一门有严密理论体系的学科.现代微积分教科书中所采用的表达和证明方法,大部分仍是柯西等数学家们建立起来的极限理论体系.我们学习极限理论,不但要掌握极限的证明和求极限的一些方法技巧,还要懂得它在生活中的应用.极限主要包括数列极限和函数极限,尽管形式不同,但都是变量的无限变化过程的最终状态,数列的极限可以通过海涅定理进行转换成为函数极限,下面本文主要讨论函数极限.第二章极限的概述第一节极限的历史背景极限思想的产生和其他学科思想一样,是经过历代古人的思考与实践,是在直观基础上的一种原始的极限思想的应用.极限这个概念的起源可以追溯到古代,古希腊人的穷竭法蕴含了极限思想,但由于古希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显了的“取极限”,而是利用归谬法来完成有关的证明,这是社会实践的产物.我国古代的“割圆术”，公元3世纪,我国三国时期的数学家刘徽在《九章算术》的文章中提出了用圆的内接正多边形来计算圆面积的“割圆术”，他指出：“割之弥细，所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,则无所失矣”[]6.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域,这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观地运用极限思想思考问题,放弃了归谬法的证明,他在无意中将极限发展成为一个有用的概念.极限思想的进一步发展与微积分的建立是紧密相连的,16 世纪的欧洲正处于资本主义萌芽时期,生产力发展、生产和技术中都存在大量的问题,如果只用初等数学的方法是无法解决的,不仅要求数学要突破研究常量的传统范围,而且还提供了能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展,建立微积分的社会背景,从而出现了“牛顿-莱布尼茨”定理.到了18世纪,罗宾斯、达朗贝尔与罗依里挨等人先后明确地表示:必须将极限作为微积分的基础概念,并且都对极限作出各自的定义.有了极限的定义之后,为了判断具体某一函数是否有极限,人们必须不断地对极限的必要条件和充分条件进行探讨,在经过许多数学家的不断努力之后,法国数学家柯西获得了完善的结果,即柯西收敛准则.到了近代,在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义,极限的许多求法自然而然的就出现了.到了19世纪20年代,柯西陆续发表了三本著作:《工科学分析教程》、《无限小计算概要》和《微积分讲义》,其中革新了微积分中长期遗留下来的模糊的旧概念,重整了他的理论，把它融入到了一个新的严密的理论体系之中.柯西看出了核心的问题是极限，于是他把极限的概念理解为潜无限,并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值时,最终变量和改定值之差要多小就多小”,这个定值就叫做所有其它值的极限.他首次使极限的概念摆脱了与几何运动直观的任何牵连,给出了建立属于函数概念上清楚的定义.但是,柯西的极限概念并没有严格的数学定义,而是停留在直观的描述上面,所以在他的著作叙述中不是用严格的数学语言表达,他的函数并没有完全脱离解析方式的束缚,在函数的连续性和可微性方面也欠明确等等.因此,他的微积分虽然具有近代的形式,但他的基础并不牢固.到了19世纪50年代,魏尔斯特拉斯在分析严密化方面,改进了波尔察诺、阿贝尔和柯柯西的工作,他力求避免直观地分析奠基在算数概念上,而是提出了关于极限的纯算数的定义,从而完成了数学分析的严密化工作,从此,极限理论才得到充实,严密的自身体系才真正成为微积分的基础理论,微积分也从此完全脱离过去集合的直观和不确切的描述, 极限就此进入了一个新的发展时期.到了现代,极限思想在现代数学中乃至物理学中都有着广泛的应用,这是由于他本身固有的思维功能决定的,极限思想揭示了变量与常量,无限与有限的对立与统一关系,事唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中得到应用,借助于极限思想,人们可以从有限到无限,从不变到变,从直线到曲线,从量变到质变,从近似到精确等的认识.第二节 极限的定义定义1[]1 设()x f 为定义在[)+∞;a 上的函数,A 为定数．若对任给的0>ε,存在正数()a M ≥,使得当M x >时有()ε<-A x f ，则称函数()x f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作()A x f x =+∞→lim 或()()+∞→→x A x f .定义2[]1（函数极限的δε-定义） 设函数()x f 在点0x 的某个空心领域()δ';00x U 内有定义,A 为定数．若对任给的0>ε,存在正数()δδ'<,使得当δ<-<00x x 时有()ε<-A x f ,则称函数()x f 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作()A x f x x =→0lim 或 ()()0x x A x f →→ .第三节 求极限的方法求极限的方法一般有：极限的定义,极限的唯一性,极限的局部有界性,极限的局部保号性,极限的迫敛性,极限的四则运算,两个重要的极限,归结原理（海涅定理）,柯西准则,无穷等价小的代换,函数的连续性,洛必达法则,泰勒公式,中值定理,定积分,换元法等,本文主要针对一些常见方法对极限进行求解.3.1 利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式[]2：()1sin lim 0=→x x A x ； ()e x B xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim . 但是我们也常常使用它们的变形：()()()()1sin lim 0='→x x A x ϕϕϕ； ()()()()e x B x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'∞→ϕϕϕ11lim .例1 求极限20cos 1limxx x -→. 解 2122sin 21limcos 1lim 020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-→→x x x x x . 在求解的过程中,可以把它构造成一般形式或者它的变形,这样就可以直接利用公式进行计算了.3.2 利用等价无穷小量求极限当0→x 时，下列函数都是无穷小（极限为0）且相互等价：x x sin ~,x x arcsin ~,x x tan ~,x x arctan ~,1~-x e x ,a x a x ln ~1-,()x x αα~11-+.定理[]3 设函数()()()x h x g x f ,,在()00x U 内有定义,且有()()x g x f ~ ()0x x →.()1若()()A x g x f x x =→0lim ,则()()A x h x g xx =→0lim ;()2若()()B x f x h x x =→0lim,则()()B x g x h x x =→0lim . 注：在用等价无穷小求极限的过程中,不是乘除的情况,不一定能这样做,但可以试着考虑其他的方法．例2 求极限33402sin lim⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x ．解 82lim2sin lim33403340=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→x x x x x x x x ．3.3 利用海涅定理求函数极限海涅定理（归结原则)[]3 设()x f 在()δ';00x U 内有定义,()x f x x 0lim →存在的充要条件是：对任何含于()δ';00x U 且以0x 为极限的数列{}n x ,极限()n n x f ∞→lim 都存在且相等．例3 求极限()01lim 1>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→a a n n . 解 由海涅定理（Heine ）知a a a a x n n n ln ln lim 1lim 01==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→∞→. 如果遇到的极限是数列极限,此时就可以利用海涅定理把它转化成函数极限来求解.3.4 利用泰勒公式求解函数极限泰勒定理[]4 如果函数()x f 在点0x 的某个区间()b a ,内具有直到()1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时,()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()1 其中()()()()()之间与在0101!1x x x x n fx R n n n ξξ++-+=()1式则称函数()x f 在点0x 处关于0x x →的n 阶的泰勒公式.当00=x 时,我们把()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T 00200000!!2-++-''+-'+= 叫做函数()x f 在点0x 处的泰勒多项式.泰勒公式的意义在于它给出了函数()x f 关于0x x -的一个n 次多项式()x T n ,它与函数()x f 的差()()()n n x x x R 0-=ο是比()nx x 0-高阶无穷小,用它可以将一些特殊的函数展成一个形如0x x -的多项式的形式,其中,麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式.例4 求()xxx x 40sin cos sin cos lim-→.解 本题可以运用两个初等函数的麦克劳林公式：()()()nn n x n x x x x x 212153!121!5!3sin ο+--+++-=--()()()12242!21!4!21cos ++-+++-=n nn x n xx x x ο当0→x 时x x ~sin ，则()()()0~sin 44→x x x οο.因为函数()x sin cos 满足泰勒定理的条件,所以()()x xx x 442sin 24sin sin 211sin cos ο++-=.又因为()442!4!21cos x x x x ο++-=所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-442442!4!211245211cos sin cos x x x x x x x x οο()446x x ο+=,即()()()6161lim 6lim sin cos sin cos lim 440444040=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-→→→x x x x x x x x x x x οο.3.5 利用迫敛性来求极限（夹逼定理）定理[]1 设()()A x g x f x x x x ==→→0lim lim ，且在某()δ';00x U 内有()()()x g x h x f ≤≤，则()A x h x x =→0lim .例5 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x 1lim 0的极限.解 因为x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111， 且()11lim 0=-→x x x ,由迫敛性知11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x . 做此类题目的关键在于找出大于已知函数和小于已知函数的函数,并且所找出的两函数必须同时收敛于同一个函数,常常采用的方法是放缩法．3.6 利用定积分和式求极限利用定积分和式求极限时首先要选好恰当的可积函数()x f ，然后把所求极限的和式所表示成()x f 在某区间[]b a ,上的等分的积分和式的极限.例6 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim . 解n n n n ++++++12111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++=n n n nn 112111111 n nk nk 1111⋅+=∑- . ()1 令()10,11≤≤+=x xx f ，由积分的定义有， n nk dx x nk n 111lim 11110⋅+=+∑⎰-∞→ . ()2又 2ln 1110=+⎰dx x, ()3 由()1，()2，()3得2ln 12111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n .3.7 利用洛比达法则求极限两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限,分别记为00型或∞∞型的不定式极限,然而解决这类问题可以用洛必达法则,这也是极限中重要的一部分,下面我将用洛必达法则来研究这类极限.3.7.1 0型不定式极限定理[]2 若函数()x f 和()x g 满足:()1()()0lim lim 0==→→x g x f xx x x ；()2在点0x 的某空心邻域()00x U 内两者都可导，且()0≠'x g ；()3()()A x g x f x x =''→0lim()∞∞±或可为实数，也可为A ，则 ()()()()A x g x f x g x f x x x x =''=→→00lim lim. 例7 求123lim 2331+--+-→x x x x x x .解 原式 12333lim 221---=→x x x x23266lim 1=-=→x x x .若()()x g x f x x ''→0lim仍是0型不定式极限,只要有可能,可再次用洛必达法则; 若()()x g x f x x ''→0lim 既不存在,也不是无穷大,则该法失效,但这种情况下,()()x g x f x x 0lim →仍可能存在,可用其他方法求解.3.7.2∞∞型不定式极限 定理[]2 若函数()x f 和()x g 满足：()1()()∞==++→→x g x f x x x x 00lim lim ；()2在0x 的某右邻域()00x U +内两者都可导,且()0≠'x g ；()3()()A x g x f x x =''→0lim()∞∞±，可为实数，也可为A ,则 ()()()()A x g x f x g x f x x x x =''=++→→0lim lim .例8 求()0ln lim>+∞→n x xnx .解 原式01lim 1lim 1===+∞→-+∞→nx n x nx nx x .上面两种情况是最常见的,如果是∞-∞型,可以通过通分转化成∞∞或者00,如果是00,∞1,0∞,∞⋅0型,可以先取对数,然后化成00或者∞∞型的极限.例9 求()x x x tan sec lim 2-→π.解 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→x x x x cos sin cos 1lim 2π 0sin cos lim cos sin 1lim 22=--=-=→→xxx x x x ππ.但是洛必达法则并不是万能的,有时候会失效,当我们选择用洛必达法则时,应先考虑是否满足洛必达法则的条件,如果不满足,则可以另选其他方法.3.8 利用中值定理求极限3.8.1 微分中值定理[]2 若函数()x f 满足：()i 在[]b a , 上连续；()ii 在()b a ,上可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f --='ζ .例8 求()30sin sin sin limx xx x -→.解 由于()()()[]()10sin cos sin sin sin sin <<+-⋅⋅-=-θθx x x x x x x ， 所以原式()()[]3sin cos sin limx x x x x x x +-⋅⋅-=→θ2031cos lim0cos x x x -⋅=→x xx 6sin lim 0-=→61-=.3.8.2 积分中值定理[]1 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,则在[]b a ,上至少有一点[]b a ,∈ξ，使得()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ.例9 求 dx x n n ⎰∞→40sin lim π.解 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→4004sin lim πξπξn n()nn ξπsin lim 4∞→=.3.9 利用导数的定义求极限导数的定义[]4 设函数()x f 在0x 附近有定义,对x ∆∀,则()()00x f x x f y -∆+=∆.如果()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim存在,则此极限值就称函数()x f 在点0x 处的导数,记为()0x f '，即()()()xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆0000lim.例10 求x x x 2cot 2lim 2⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→ππ.解 取()x x f 2tan =，则222tan 2tan lim122tan lim 12cot 2lim 222πππππππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→x x x x x x x x x ()()2222sec 212122limπππππ=→=⎪⎭⎫ ⎝⎛'=-⎪⎭⎫⎝⎛-=x x xf x f x f21=. 在运用这种方法的过程中，首先要选好()x f ，然后把所求极限表示成()x f 在定点0x 处的导数.求函数极限的方法较多,但是每种方法都有其局限性,都不是万能的,对某个具体的求极限的问题,我们应该采用最简便的方法,在求极限的过程中,要以相关的概念、定理及公式为依据,并借助一些重要的方法和技巧,这样才能又快又准确地解决极限的相关问题．第三章 极限在生活中的应用第一节 银行复利计算问题设本金为0A ,年利率为r .如果每年结算一次,则t 年后本金变为()t r A +10.如果每月结算一次,即每月计息一次,并把利息加入本金,则t 年后本金将变为tr A 120121⎪⎭⎫ ⎝⎛+.相应地,如果每天结算一次利息,则t 年后本金将变成tr A 36503651⎪⎭⎫ ⎝⎛+.一般地,若以m 1年为结算单位,那么t 年后，本金将变为mtm r A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+10.若每时每刻都计算利息（这种计息方式保险学中称为连续复利计算）,则t 年后本金可以有下式计算mtm m r A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim 0.在上式中,若令r mx =,则上式变为rtx x x A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 0,这样,上述问题就可以归结为对极限xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 的讨论,综上所述,此问题就可以用重要极限来解决了. 即rt rtr mm mt m e A r A m r A 00011lim 1lim =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→．第二节 阿基里斯追乌龟问题假设有一个叫阿基里斯的人位于A 处,他沿着射线AB 的方向追赶位于B 处的乌龟,当他跑到B 处时,乌龟在C 处,当他跑到C 处时,乌龟肯定在C 的前方,设为D 处.以此类推,当阿基里斯跑到D 处的时候,乌龟又到了E 处……这样以来,虽然乌龟的速度很小,但是阿基里斯不管怎么跑,总是在乌龟的后面,也就是他不可能追上乌龟.可是常识告诉我们他肯定能够追上乌龟,这是为什么呢?BD为了更好地说明上面的问题,我们假设:阿基里斯的速度为s m 0.5,乌龟是一个假象的超级乌龟,速度可达s m 0.1,再假设AB 的长度为m 20,学过物理的读者可能会绕过上面的文字推理,说因为二者的速度相差s m 0.4,那么用20除以4就可以得到所需的时间.这样的计算很合理,可是却很难说明上面的问题,下面我们按照问题的推理一步步来：阿基里斯到达B 处时,所需时间为520秒,这时乌龟在C 处,BC 的长度为1520⨯,阿基里斯到达C 处时所需要花费时间51520⨯……以此类推,阿基里斯追上乌龟需要的时间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅=+⨯+⨯+= 325151512055152051520520T .由级数的知识可知,()s T 55115120=-⋅=.造成人们对阿基里斯追乌龟问题感到困惑的原因在于：常识上人们总认为一个量只要不断地增加,哪怕是增加得很小很小,那么它就会变为无穷大,其实不然.第三节 极限在开放方面的应用《九章算术》开方术说“若开元不尽者,为不可开,当以面命之.”这就是说,凡开不尽的数,可以以面命之[]9.“以面命之”就是用余数表示,即：r A r A =+,其中,()r A +2为被开方数,A 为其平方根的近似值,r 为开方开不尽的余数.在古代,为了表示开方开不尽的数,一般常用的方法是:加借算命分和不加借算命分.但这两种方法并不是理想的方法,所以刘徽说“令不加借算命分,则又微分，其数不可得而定故推以面而命之,为不失和”.这就是说,只有r A r A =+没有误差.但是由于这种表示不够具体,于是刘徽利用极限思想创立了十进制的表示法.他说:“不以面命之,加定法如前,求其徽数.徽数无名者以为分子,其一认十为母,其再十以百为母.退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃之数,不是言之也.”即r A a a a A S n n n n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∞→2221101010lim其中A 为整数,n a a a ,,,21 是平方根的十进分数的分子,都是一位整数.而⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n a a a A S 1010102211 ,取近似值,则得:n n n S r A a a a A r A =+++++=+或101010221 . 因为古代是用正方形来解释开平方的,所谓“朱幂”，相当于被开方数与近似平方根的平方之差,用现代符号表示为:()22n S r A=+,或()22212101010⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+n n a a a A r A .第四节 极限思想在导数中的应用导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的,但与导数概念直接相关的有以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.()1瞬时速度设一质点做直线运动，其运动规律为()t s s =,若0t 为某一确定的时刻,t 为邻近于0t 的时刻,则()()00t t t s t s --=ν是质点在时刻段[]t t ,0上的平均速度. 若0t t →时平均速度ν的极限存在,则称极限()()000limt t t s t s t t --=→ν为质点时刻0t 的瞬时速度.()2切线的斜率曲线()x f y =在其上一点()00,y x p 处的极限,PT 是切线,割线PQ 是当动点Q 沿此曲线无限接近于点P 时的极限位置.由于割线PQ 的斜率为()()00x x x f x f k --=,因此当0x x →时,如果k 的极限存在,则极限()()000limx x x f x f k x x --=→即为切线PT 的斜率. 给出导数的定义:设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内,若极限()()000limx x x f x f x x --→存在,则称函数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作()0x f '. 令()()000,x f x x f y x x x -∆+=∆∆+=,则()()000limx x x f x f x x --→可改写为 ()()()00000lim limx f x x f x x f x yx x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆.致谢首先,感谢我的大学,它让我获得了继续学习的机会,让我懂得人间的真善美.其次,感谢我的每一位大学老师,他们不仅教给我书本上的知识,还教会我一些做人的道理,在生活中也帮助我不少,让我懂得了人生的价值,在即将毕业之际,谨向各位老师表示感谢并致以崇高的敬意.再次,感谢我的论文指导老师——管毅老师,本论文得到了他的大力帮助,在此论文中,管老师从选题指导,论文框架及开题报告,以至于到每个细节上,都给我无微不至的指导,提出了宝贵的意见和建议,在此,我对管老师给我的帮助表示衷心的感谢.最后,感谢所有与我同甘共苦的同学,有你们的陪伴和支持,让我的大学变得更加丰富多彩.也感谢在默默为我付出的家人和朋友,有你们的关怀与奉献,让我的生活更加稳定,从而有一个较好的学习环境.感恩之余,恳请各位老师对我的论文多加批评指正,我会虚心接受各位老师的意见和建议,使我及时完善本论文.谨以此致谢！贵阳学院毕业论文参考文献[1]华东师范大学数学系编．数学分析[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2001．6[2]刘玉琏傅沛仁等编．数学分析讲义[M]．第四版．高等教育出版社，2002．10[3]王家正乔宗敏编．数学分析选讲[M]．安徽大学出版社，2010．9[4]陈克东主编．高等数学（上）[M]．重庆大学出版社，2001．3[5尹国成.常见函数极限的求法[J]．宝山师专学报，2009，（6）：1-3[6]刘里鹏著．从割圆术走向无穷小—揭微积分[M]．湖南科学技术出版社，2008．7[7]李小光求极限的若干技巧，西安航空技术高等专科学校学报，2003年3月，20-21[8]M.克莱因古今数学思想（第四册）[M].上海科技出版社.1983.10[9]梁宗巨.世界数学史简编[M]. 沈阳：辽宁人民出版社，1980[10]李克典，马云苓.数学分析选讲[M].厦门大学出版社.200517。