高中数学 直接证明与间接证明课件17 新人教A版选修1-2
还有其他的证明方法吗 ?
例5 求证 2 是无理数.
分析 直接证明一个数是无理 数比较困难 ,我们采用 反证法.假设 2 不是无理数 ,那么它就是有理数 .我们 m 知道, 任一有理数都可以写成 形如 (m, n互质, m Z, n n N )的形式 .下面我们看看能否由此 推出矛盾 .
证明 假设 2不是无理 两个正整数m, n 数,那么它就是有理数 .于 互质, 是指m ,n 的最 是, 存在互质 的正整数 大公约数是 1,即 m,n 1. m m, n, 使得 2 , n
由上面的例子可以看出 , 反证法的关键是在正确 的推 理下得出矛盾 .这个矛盾可以是与已知 条件矛盾 , 或与 假设矛盾 , 或与定义、公理、定理 、事实矛盾等 . 反证法常常是解决某些 " 疑难"问题的有力工具 ,英 国近代 数学家哈代曾经这样称 赞它 : " 归谬法 ( 反证法)是数学家最有力的一件 武器 ,比起象棋开 局时牺牲一子以取得优 势的让棋法 ,它还要高明 .象 棋对奕者不外牺牲一卒 或顶多一子 , 数学家索性把 全局拱手让予对方 !"
于是2 , 即n2 2k 2 , 所以 n也是偶数 .这与 m, n互质矛盾 .
从而有 m 2n,因此 m2 2n2 , 所以 m 为偶数 .
由上述矛盾可知假设错 误,从而 2是无理数 .
正是 2的发现, 使人们认识到在有理数 之 外, 还有一类数与 1是不可公度的 , 这就是无 理数; 从而引发了数学史上的 第一次危机 , 大大推动了数学前进的 步伐.
2.2.2 反证法
反证法是间接证明的一 种基本方法 .我们对 于这种方法其实并不陌 生, 在日常生活或解 决某些数学问题时 , 有时会不自觉地使用反 证法.
思考 桌面上有 3 枚正面 朝上的硬币 ,每 次用双手同时翻转 2枚硬币 .那么无论怎样 翻转, 都不能使硬币全部反面 朝上.你能解 释这种现象吗 ?
指有面额的那面 .
上述现象可以用直接证 明的方法解释 , 但是, 我们这 里采用反证法 . 假设经过若干次翻转可 以使硬币全部反面向上 . 由于每枚硬币从正面朝 上变为反面朝上 , 都需要 翻转奇数次 , 所以3枚硬币全部反面朝上时 ,需要 翻转 3个奇数之和 次,即要翻转奇数次 .
但由于每次用双手同时 翻转 2枚硬币,3枚硬币被 翻转的次数只能是 2 的倍数 , 即偶数次 .这个矛盾 说明假设错误 , 原结论正确 , 即无论怎样翻转都不 能使3枚硬币全部反面朝上 .
事实上, 数史上有许多经典证明 (如" 质数有无限多 个" 的证明) 就采用了反证法 .感兴趣的同学可以自 己查找相关书籍 , 进一步了解反证法的作 用及应用 .
例 4 如图2.2 2, AB, CD为圆 的两条相交弦, 且不全为直径 . 求证 AB, CD不能互相平分 .
A
D
动画演示 .
C
B
图2.2 2 证明 假设 AB, CD 互相平分 , 则ACBD为平行四边形 , 故ACB ADB, CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形 , 所以 ACB ADB 1800 , CAD CBD 1800.
则ACB 90 , CAD 90 .故对角线 AB, CD 均 为直径,与已知矛盾 .因此, AB, CD不能互相平分 .
0 0
还有其他的证明方法吗 ?
例 4 如图2.2 2, AB, CD A D 为圆的两条相交弦, 且不 全为直径 .求证 AB, CD不 C B 能互相平分 . 证明 假设 AB, CD 互相 图2.2 2 平分, 则ACBD为平行四 边形, 故ACB ADB, CAD CBD.因为ABCD为圆内接四边形 , 所以 ACB ADB 1800 , CAD CBD 1800. 0 0 则ACB 90 , CAD 90 .故对角线 AB, CD 均 为直径,与已知矛盾 .因此, AB, CD不能互相平分 .
还有其他的证明方法吗 ?
例5 求证 2 是无理数.
分析 直接证明一个数是无理 数比较困难 ,我们采用 反证法.假设 2 不是无理数 ,那么它就是有理数 .我们 m 知道, 任一有理数都可以写成 形如 (m, n互质, m Z, n n N )的形式 .下面我们看看能否由此 推出矛盾 .
证明 假设 2不是无理 两个正整数m, n 数,那么它就是有理数 .于 互质, 是指m ,n 的最 是, 存在互质 的正整数 大公约数是 1,即 m,n 1. m m, n, 使得 2 , n
0 0
还有其他的证明方法吗 ?
例 4 如图2.2 2, AB, CD A D 为圆的两条相交弦, 且不 全为直径 .求证 AB, CD不 C B 能互相平分 . 证明 假设 AB, CD 互相 图2.2 2 平分, 则ACBD为平行四 边形, 故ACB ADB, CAD CBD.因为ABCD为圆内接四边形 , 所以 ACB ADB 1800 , CAD CBD 1800. 0 0 则ACB 90 , CAD 90 .故对角线 AB, CD 均 为直径,与已知矛盾 .因此, AB, CD不能互相平分 .
一般地, 假设原命题不成立 , 经过正确 的推理, 最后得出矛盾 ,因此说明假设 错误, 从而证明了原命题成立 , 这样的 证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ).
例 4 如图2.2 2, AB, CD为圆 的两条相交弦, 且不全为直径 . 求证 AB, CD不能互相平分 .
A
D
动画演示 .
C
B
图2.2 2 证明 假设 AB, CD 互相平分 , 则ACBD为平行四边形 , 故ACB ADB, CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形 , 所以 ACB ADB 1800 , CAD CBD 1800.
则ACB 90 , CAD 90 .故对角线 AB, CD 均 为直径,与已知矛盾 .因此, AB, CD不能互相平分 .
人教A版高中数学选修1-2课件2.2《直接证明》(新必修1—2)
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证明 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
直接证明
3.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
综合法 条理清晰，易Hale Waihona Puke 表述。为了证明 CO DO
通常以分析法寻求
只需 ACO BDO
思路，再用综合法有条理地
为了证明 EO FO
表述解题过程
只需证明 AO BO（因为已知AE BF）
也只需 ACO BDO（已知）
因为 EOC与FOD是对顶角，所以它们相等，从而
EOC FOD 成立，因此命题成立.
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止综合法
证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条
件吻合为止
分析法
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AE BF（已知）
所以
EO FO
又因为 EOC FOD（对顶角相等）
所以 EOC FOD
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所以不等式 3 7 2 5 成立。
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12
例5:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
所以
S2 ΔABC
1 4
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
2
b sin 2C
1 4
2
a
2
b (1 cos2C)
2
1 4
a
2
b
2
[1
a• b
a b
]
1
[
a
2
b
2
(a•
b)2 ]
4
于是SΔABC
1 2
2 2
a b (a• b)2
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7
例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分 别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------① 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③ 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, -----------------------------------------------④ 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤ 则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。
人教课标版高中数学选修1-2《直接证明与间接证明(第1课时)》名师课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
点拔：
本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线
面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互
பைடு நூலகம்转化，如：ab∥ ⊥bc
a⊥c
， a∥b b⊥
a⊥
，∥⊥
⊥
等.其中线面平
行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A1B⊥平面
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配套课后作业： 《直接证明与间接证明（第1课时）》基础型 《直接证明与间接证明（第1课时）》能力型 《直接证明与间接证明（第1课时）》探究型 《直接证明与间接证明（第1课时）》自助餐
AC1M来证明A1B⊥AM；本例(3)中，通过证明AM∥平面B1NC，C1M∥
平面B1NC，来证明平面AC1M∥平面B1NC.
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●活动三 用综合法证明数学中的其他问题
例4 设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其 中m为常数，且m≠－3.
等式、数列问题、函数问题等等.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
●活动四 综合法的简单应用 例5 在△ABC中，三边a，b，c成等比数列.求证： 详解：
点拔： （1）综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知. （2）综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性， 求证无条件的等式或不等式问题等.②已知条件明确，且容易通过找已知条件 的必要条件逼近欲得结论的题型.
1 bn
为首项为1，公差为
1 3
的等差数列.
点拔：（1）综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻
人教A版高中数学选修1-2课件2.2直接与间接证明2新.pptx
【作业】《同步导学》P344、8
补充题：已知 a 4 , 求证： a1 a3 a2 a4
AC>AB
B>C
B>C
AC>AB 因为BD=DC,AD=AD
EDC>EDB 因为BD=DC,ED=ED
EC>BE EBC>ECB
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件。
要证：
要证：
只要证：
格 式
只需证：
显然成立
过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC
的垂线，垂足为F。
求证：
AF SC
S F
E
C
A B
【练习】
1、证明： 3 7 2 5
2、求证：若 a 0 , 则
a2
1 a2
2 a 1 2 a
1
1
3、求证：
a2 b
2
b2 a
2
a
b
(a,b R )
高中数ห้องสมุดไป่ตู้课件
（鼎尚图文*****整理制作）
【温故知新】 已知a、b、c为互不相等的正数，
1. 若 abc 1 , 求 证 ：
111 a b c abc
2. 求 证 ：lg a b lg b c lg c a
2
2
2
lg a lg b lg c
【探究】E为ΔABC的中线AD上任意一点
上述各步均可逆
所以结论成立
所以结论成立
【例1】求证：当一个圆与一个正方形的周长 相等时，圆面积比正方形面积大。
人教A版高中数学选修1-2课件直接证明与间接证明5.pptx
不同 证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止。 综合法 （由因导果）
证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条 件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件 吻合为止。（或逆向推出一个明显成立的式子)
分析法
（执果索因）
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
2. 若 a 1, b 1, 求证：a b 1. 1 ab
证
要证
ab 1
1 ab
只需证明 a b 2 1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证明 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
1、 概念
直接证明
直接从原命题的条件逐步推得结论成立, 这种证明方法叫直接证明。
2、 直接证明的一般形式：
本题条件
已知定义 已知公理
本题结论
已知定理
直接证明（学生活动）
思考：在《数学（5 必修）》中，我们如何证明
基本不等式 ab a b (a 0,b 0) ? 2
证法1 对于正数a,b, 有
只需 ACO BDO
为了证明 EO FO
只需证明 AO BO（因为已知AE BF）
也只需 ACO BDO （已知）
因为 EOC与FOD是对顶角， 所以它们相等，从而
EOC FOD 成立，因此命题成立.
直接证明 分析法 解题方向比较明确，
证 （综合法） 因为
利于寻找解题思路；
ACO BD综O合法 条理找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。
人教版2017高中数学(选修2-2)2.2.1直接证明与间接证明PPT课件
=1
1
)
2sin2������
=
2 ”,采用了 sin2������
A.间接证明的方法 B.综合法 C.分析法 D.综合法与分析法结合的方法 解析:该证明过程采用了综合法的证明方法. 答案:B
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课前预习案
课堂探究案
2.分析法 (1)分析法的定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证明方法叫做分析 法. (2)分析法的推理过程: Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件 (3)分析法证明的特点: ①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理 实际上是寻找使结论成立的充分条件. ②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已 知条件、定义、公理、定理等.
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做一做 1 命题“求证:tan θ+tan������ = sin2������”的证明过程
“tan (
1 θ+ tan������
1
2
=
sin������ cos������ + cos������ sin������
=
sin 2 ������+cos 2 ������ sin������cos������
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做一做2 用分析法证明时,欲证①M>N,只需证②C>D,此时,① 是②的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,即②⇒①, 故①是②的必要条件. 答案:B
高中数学 直接证明与间接证明课件一 新人教A版选修1-2
例 :.已 知 a、 b、 c为 不 全 相 等 的 正 数 ，
求 证 ： b+c-a+c+a-b+a+b-c>3.
a
b
c
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
sin(A-B)=0.2, 求证:tanA=2tanB 例3：已知sinA,sinB,cosA成等差数列， sinA,sinC,cosA成等比数列，
求证:2cos2B=cos2C
作业：1.Ｐ46 Ａ组２，Ｂ组２
2.已知a,b,c,为不全相等的正数，
求征 (b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Hale Waihona Puke Q1 Q2Q2 Q3… Qn Q
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
例2：在锐角三角形ＡＢＣ中， sin(A+B)=0.6,
例：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点 为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于 Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线 上，且ＢＣ∥x轴（如图），证明 直线ＡＣ经过原点Ｏ
高中数学新课标人教A版选修1-2课件
类比推理的结论不一定成立.
第二十五页，编辑于星期一：点 十三分。
.
.
第二十六页，编辑于星期一：点 十三分。
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直于 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
第一页，编辑于星期一：点 十三分。
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程就叫推理.
第二页，编辑于星期一：点 十三分。
第三页，编辑于星期一：点 十三分。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
第三十五页，编辑于星期一：点 十三分。
再 见
第三十六页，编辑于星期一：点 十三分。
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
第十页，编辑于星期一：点 十三分。
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
第十一页，编辑于星期一：点 十三分。
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
第十二页，编辑于星期一：点 十三分。
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
第三十三页，编辑于星期一：点 十三分。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明(第1课时)课堂探究 新人教A版选修1-2(
究新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明（第1课时）课堂探究新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明（第1课时）课堂探究新人教A版选修1-2的全部内容。
堂探究新人教A版选修1-2探究一综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥错误!.思路分析:根据题意进行适当配凑，再利用基本不等式进行证明即可．证明：∵a2＋错误!≥错误!,b2＋错误!≥错误!,c2＋错误!≥错误!，∴错误!＋错误!＋错误!≥23a＋错误!b＋错误!c＝错误!（a＋b＋c)＝错误!。
∴a2＋b2＋c2≥错误!。
规律小结综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0（a∈R）．②（a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab,错误!2≥ab，a2＋b2≥错误!。
③若a，b∈（0，＋∞），则错误!≥错误!，特别是错误!＋错误!≥2.【典型例题2】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明:CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理，再用定理进行证明．证明：（1）在四棱锥P－ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC。
人教版数学高二新人教A版选修1-2 2.2直接证明与间接证明教材析
直接证明与间接证明教材精析在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理（归纳、类比等）所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑（演绎）推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.其推理方式可用框图表示为：其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，12Q Q，，表示中间结论．综合法常用的表达格式为：P∵，1Q∴；又∵，2Q∴；，nQ∴；又∵，Q∴．2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.其推理方式可用框图表示为：其中Q表示要证明的结论，1230Q Q Q Q，，，，分别表示使12nQ Q Q Q，，，，成立的充分条件，Q表示最后寻求到的一个明显成立的条件．分析法常用的表达格式为：要证Q，只需证1Q，只需证2Q，，只需证Q，由于Q显然成立，所以Q成立．综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.二、反证法是间接证明的一种基本方法.对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致”，即：“P Q⇒”⇔“Q P⌝⇒⌝”．用反证法证题的格式一般为：假设Q不成立，若()Q⌝，，则p⌝，这与已知P（定义、公理、定理等）相矛盾，∴假设()Q⌝不成立，Q∴成立．1．综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出错.2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证…，只需证…”），而非直接肯定结论. 例1求证3725+<．错证：3725+<∵，22(37)(25)+<∴，1022120+<∴，215<∴，2125<∴，显然原不等式成立．错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了. 正：只需将“∵”改为“要证”，“∴” 改为“只需证”.3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明（教科书99P 例3）.一般是先用综合法由已知条件P 推出一个中间结论M ，再用分析法探求，发现M 正是使所要证结论Q 成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q 成立的充分条件M ，再用综合法由已知条件P 推出M .证明过程用框图2表示.或例2 教科书中对99P 例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证.证明：要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++， 只需证22222222sin sin 11cos cos sin sin 121cos cos βαβααβαβ--=⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 即证22221cos sin (cos sin )2ααββ-=-即证22112sin (12sin )2αβ-=-， 即证224sin 2sin 1αβ-= ③．另一方面，因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将已知中的①②代入上式， 即得224sin 2sin 1αβ-=与③相同，于是问题得证．4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.例3=只需证22≠，即证105，即证2125≠，而该式显然成立，≠不成等差数列．=2125≠∵，5≠，10∴，即3720+≠，即2≠，≠不成等差数列．。