北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训一
数学九年级典中点
数学九年级典中点
（最新版）
目录
1.数学九年级典中点的概念和意义
2.数学九年级典中点的求解方法
3.数学九年级典中点的实际应用
正文
【1】数学九年级典中点的概念和意义
数学九年级典中点，是指在数学中，一个三角形或者多边形的内部，到各个顶点的距离之和最小的点。
在几何学中，典中点也称为重心。
它可以用于解决许多与几何形状相关的数学问题，如计算三角形的面积、求解几何图形的稳定性等。
【2】数学九年级典中点的求解方法
数学九年级典中点的求解方法有多种，常见的有以下两种：
（1）欧拉线求解法：对于三角形，可以通过求解欧拉线与三角形边的交点来找到典中点。
欧拉线是指连接三角形的一个顶点和与其不相邻的两个顶点中点的线段。
（2）平行四边形法则：对于多边形，可以将多边形分割成若干个三角形，分别求解每个三角形的典中点，然后找到这些典中点的共同点，即为多边形的典中点。
【3】数学九年级典中点的实际应用
数学九年级典中点在实际生活中有许多应用，例如：
（1）在测量领域，典中点可以用于计算三角形的面积，从而帮助测量土地的面积。
（2）在建筑领域，典中点可以用于求解建筑物的稳定性，确保建筑物的结构安全。
（3）在物理学中，典中点可以用于分析物体的转动惯量，帮助研究物体在旋转过程中的运动规律。
总之，数学九年级典中点作为几何学中的一个基本概念，对于解决许多实际问题具有重要的意义。
2021北师大版九年级数学上：第一章 全章热门考点整合应用 (共57张PPT)
证明： ∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形． ∴CE＝AD.
(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四
边形？请说明理由．
解： 四边形BECD是菱形． 理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE. 又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形． ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD. ∴四边形BECD是菱形．
1 2
AB，DM＝
1 2
AB.∴CM＝DM.
又∵点N为CD的中点，∴MN⊥CD.
(2)解： ∵AB＝10，CD＝8，
∴DM＝
1 2
AB＝5，DN＝
1 2
CD＝4.
又MN⊥CD，∴MN＝ DM 2 DN 2 ＝3. 返回
考点 2 三个图形 （菱形） 2 ． 如 图 ， 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平 分
6 ． ( 中 考 ·湘 西 州 ) 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， DE ⊥ AB ，
BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：
(2)四边形DEBF为矩形．
证明： ∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.
∵CD＝AB，∴DF＝BE.
又∵CD∥AB，
∴四边形DEBF为平行四边形．
又∵∠DEB＝90°，
(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件
时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
解： 当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠A＝45° ∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. ∵点D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°. ∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形． 即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 返回
山东省青岛2中度第一学期北师大九年级数学上册第一章_特殊平行四边形_经典培优试题解析
山东省青岛2中度第一学期北师大九年级数学上册第一章_特殊平行四边形_经典培优试题解析第一章特殊平行四边形经典培优试题解析学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1.在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，E是对角线AC上一点，F是线段BC延伸线上一点，且CF=AE，衔接BE、EF．(1)假定E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF〔不需证明〕；(2)假定E是线段AC或AC延伸线上的恣意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种状况给予证明．2.如下图，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求第1个平行四边形OBB1C，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．3.如图(1)，菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D区分在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；=2，且菱形ABCD的面积是(2)如图(2)假定四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，ACBD20，求矩形EFGH的长与宽．4.菱形ABCD中，∠B=60∘，点E在边BC上，点F在边CD上．〔1〕如图1，假定E是BC的中点，∠AEF=60∘，求证：BE=DF；〔2〕如图2，假定∠EAF=60∘，求证：△AEF是等边三角形．5.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，假定第n次操作余下的四边形是菱形，那么称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，ABCD中，假定AB=1，BC=2，那么ABCD为1阶准菱形．(1)判别与推理：①邻边长区分为2和3的平行四边形是________阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，停止了如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠〔点E在AD上〕，使点A落在BC边上的点F，失掉四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．(2)操作、探求与计算：①ABCD的邻边长区分为1，a(a>1)，且是3阶准菱形，请画出ABCD及裁剪线的表示图，并在图形下方写出a的值；②ABCD的邻边长区分为a，b(a>b)，满足a=6b+r，b=5r，请写出ABCD是几阶准菱形．6.如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2√3，AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)如图2，将一个足够大的直角三角板60∘角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60∘角的两边区分与边BC，CD相交于点E，F，衔接EF与AC相交于点G．①判别△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转进程中，当点E为边BC的四等分点时(BE>CE)，求CG的长．7.△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点〔点D不与B、C重合〕，以AD为边作菱形ADEF〔A、D、E、F按逆时针陈列〕，使∠DAF=60∘，衔接CF．(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；(2)如图2，当点D在边BC的延伸线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD能否成立？假定不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边CB的延伸线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．8.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延伸线上，且PA=PE，PE交CD于F．〔1〕证明：PC=PE；〔2〕求∠CPE的度数；〔3〕如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，事先∠ABC=120∘，衔接CE，试探求线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．9.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延伸线上恣意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，衔接EB，GD．(1)求证：EB=GD；(2)假定∠DAB=60∘，AB=2，AG=√3，求GD的长．10.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．AC；(1)如图1，衔接AC区分交DE、DF于点M、N，求证：MN=13(2)如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′区分与直线AB、BC相交于点G、P，衔接GP，当△DGP的面积等于3√3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，BC=5√3，∠C=30∘．点D从点C动身沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A动身沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点抵达终点时，另一个点也随之中止运动．设点D、E运动的时间是t秒(t>0)．过点D作DF⊥BC于点F，衔接DE、EF．(1)求证：AE=DF；(2)四边形AEFD可以成为菱形吗？假设能，求出相应的t值；假设不能，说明理由．(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．12.如图1，将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，失掉△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一同．(1)操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H〔H点不与B点重合〕，FE交DA于点G〔G点不与D点重合〕．求证：BH⋅GD=BF2(2)操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动〔F点不与B、D点重合〕，且CF一直经过点A，过点A作AG // CE，交FE于点G，衔接DG．探求：FD+DG=________．请予证明．答案1.证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60∘，∴△ABC是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∠ABC=30∘，AE=CE，∴∠CBE=12∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60∘，∴∠F=30∘，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；(2)图2:BE=EF．…图3:BE=EF．…图2证明如下：过点E作EG // BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60∘，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60∘，…又∵EG // BC，∴∠AGE=∠ABC=60∘，又∵∠BAC=60∘，∴△AGE是等边三角形，…∴AG=AE，∴BG=CE，…又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120∘，∴△BGE≅△ECF(SAS)，…∴BE=EF；…图3证明如下：过点E作EG // BC交AB延伸线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60∘，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60∘，…又∵EG // BC，∴∠AGE=∠ABC=60∘，又∵∠BAC=60∘，∴△AGE是等边三角形，…∴AG=AE，∴BG=CE，…又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60∘，∴△BGE≅△ECF(SAS)，…∴BE=EF．…2.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12∴∠ABC=90∘，BC=√AC2−AB2=√202−122=16∴S矩形ABCD=AB⋅BC=12×16=192．(2)∵OB // B1C，OC // BB1，∴四边形OBB1C是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴四边形OBB1C是菱形．∴OB1⊥BC，A1B=12BC=8，OA1=12OB1=√OB2−A1B2=6；∴OB1=2OA1=12，∴S菱形OBB1C =12BC⋅OB1=12×16×12=96；同理：四边形A1B1C1C是矩形，∴S矩形A1B1C1C=A1B1⋅B1C1=6×8=48；‥‥‥第n个平行四边形的面积是：S n=1922n∴S6=19226=3．3.(1)证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，∴OA=OC，OD=OB，∵点O是线段FH的中点，∴OF=OH．在△AOF和△COH中，有{OA=OC∠AOF=∠COH OF=OH，∴△AOF≅△COH(SAS)，∴∠AFO=∠CHO，∴AF // CH．同理可得：DH // BF．∴四边形EFGH是平行四边形．(2)设矩形EFGH的长为a、宽为b，那么AC=√a2+b2．∵AC BD =2，∴BD =12AC =√a2+b 22，OB =12BD =√a2+b 24，OA =12AC =√a2+b 22．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOB =90∘．∵四边形EFGH 是矩形，∴∠AGH =90∘，∴∠AOB =∠AGH =90∘，又∵∠BAO =∠CAG ，∴△BAO ∽△CAG ，∴BO CG =OA AG ，即√a 2+b 24b =√a 2+b 22a ，解得：a =2b①．∵S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =12⋅√a 2+b 2⋅√a 2+b 22=20，∴a 2+b 2=80②．联立①②得：{a =2b a 2+b 2=80， 解得：{a =8b =4，或{a =−8b =−4〔舍去〕． ∴矩形EFGH 的长为8，宽为4．4.证明：〔1〕衔接AC ，∵在菱形ABCD 中，∠B =60∘，∴AB =BC =CD ，∠C =180∘−∠B =120∘，∴△ABC 是等边三角形，∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∵∠AEF =60∘，∴∠FEC =90∘−∠AEF =30∘，∴∠CFE =180∘−∠FEC −∠ECF =180∘−30∘−120∘=30∘，∴∠FEC =∠CFE ，∴EC =CF ，∴BE =DF ；〔2〕∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ACB =60∘，∴∠B =∠ACF =60∘，∵AD // BC ，∴∠AEB =∠EAD =∠EAF +∠FAD =60∘+∠FAD ，∠AFC =∠D +∠FAD =60∘+∠FAD ，∴∠AEB =∠AFC ，在△ABE 和△ACF 中，{∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC∴△ABE≅△ACF(AAS)，∴AE=AF，∵∠EAF=60∘，∴△AEF是等边三角形．5.2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE // BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；(2)①如下图：，②答：10阶菱形，∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如下图：故ABCD是10阶准菱形．6.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴△AOB为直角三角形，且OA=12AC=1，OB=12BD=√3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√OA2+OB2=√12+(√3)2=2．(2)①△AEF是等边三角形．理由如下：∵由(1)知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60∘，又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60∘，∴∠BAE=∠CAF．在△ABE与△ACF中，∵{∠BAE=∠CAFAB=AC=2∠EBA=∠FCA=60∘，∴△ABE≅△ACF(ASA)，∴AE=AF，∴△AEF 是等腰三角形，又∵∠EAF =60∘，∴△AEF 是等边三角形．②BC =2，E 为四等分点，且BE >CE ，∴CE =12，BE =32．由①知△ABE ≅△ACF ，∴CF =BE =32．∵∠EAC +∠AEG +∠EGA =∠GFC +∠FCG +∠CGF =180∘〔三角形内角和定理〕， ∠AEG =∠FCG =60∘〔等边三角形内角〕，∠EGA =∠CGF 〔对顶角〕∴∠EAC =∠GFC ．在△CAE 与△CFG 中，∵{∠EAC =∠GFC ∠ACE =∠FCG =60∘， ∴△CAE ∽△CFG ，∴CG CE =CF AC ，即CG12=322， 解得：CG =38．7.(1)证明：∵菱形AFED ，∴AF =AD ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠BAC =60∘=∠DAF ，∴∠BAC −∠DAC =∠DAF −∠DAC ，即∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中{AB =AC ∠BAD =∠CAF AD =AF，∴△BAD ≅△CAF ，∴CF =BD ，∴CF +CD =BD +CD =BC =AC ，即①BD =CF ，②AC =CF +CD ．(2)解：AC =CF +CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC =CF −CD ，理由是：由(1)知：AB =AC =BC ，AD =AF ，∠BAC =∠DAF =60∘，∴∠BAC +∠DAC =∠DAF +∠DAC ，即∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中{AC =AB ∠BAD =∠CAF AD =AF，∴△BAD ≅△CAF ，∴BD=CF，∴CF−CD=BD−CD=BC=AC，即AC=CF−CD．(3)AC=CD−CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60∘，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中{AB=AC∠DAB=∠FAC AD=AF，∴△BAD≅△CAF(SAS)，∴CF=BD，∴CD−CF=CD−BD=BC=AC，即AC=CD−CF．8.〔1〕证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45∘，在△ABP和△CBP中，{AB=BC∠ABP=∠CBP PB=PB，∴△ABP≅△CBP(SAS)，∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；〔2〕由(1)知，△ABP≅△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD〔对顶角相等〕，∴180∘−∠PFC−∠PCF=180∘−∠DFE−∠E，即∠CPF=∠EDF=90∘；〔3〕在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60∘，在△ABP和△CBP中，{AB=BC∠ABP=∠CBP PB=PB，∴△ABP≅△CBP(SAS)，∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD〔对顶角相等〕，∴180∘−∠PFC−∠PCF=180∘−∠DFE−∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180∘−∠ADC=180∘−120∘=60∘，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．9.(1)证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≅△AGD，∴EB=GD；(2)解：衔接BD交AC于点P，那么BP⊥AC，∵∠DAB=60∘，∴∠PAB=30∘，∴BP=12AB=1，AP=√AB2−BP2=√3，AE=AG=√3，∴EP=2√3，∴EB=√EP2+BP2=√12+1=√13，∴GD=√13．10.(1)证明：如图1，衔接BD，交AC于O，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，AD=AB，∴△ABD为等边三角形，∵DE⊥AB，∴AE=EB，∵AB // DC，∴AM MC =AEDC=12，同理，CNAN =12，∴MN=13AC；(2)解：∵AB // DC，∠BAD=60∘，∴∠ADC=120∘，又∠ADE=∠CDF=30∘，∴∠EDF=60∘，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60∘，DE=DF=√3，∠DEG=∠DFP=90∘，在△DEG和△DFP中，{∠GDE=∠PDF ∠DEG=∠DFP DE=DF，∴△DEG≅△DFP，∴DG=DP，∴△DGP为等边三角形，∴△DGP的面积=√34DG2=3√3，解得，DG=2√3，那么cos∠EDG=DEDG =12，∴∠EDG=60∘，∴当顺时针旋转60∘时，△DGP的面积等于3√3，同理可得，当逆时针旋转60∘时，△DGP的面积也等于3√3，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60∘时，△DGP的面积等于3√3．11.(1)证明：在△DFC中，∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．(2)解：能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE // DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC⋅tan30∘=5√3×√33=5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC−DC=10−2t．假定使AEFD为菱形，那么需AE=AD，即t=10−2t，t=103．即事先t=103，四边形AEFD为菱形．(3)解：①∠EDF=90∘时，四边形EBFD为矩形．在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30∘，∴AD=2AE．即10−2t=2t，t=52．②∠DEF=90∘时，由(2)四边形AEFD为平行四边形知EF // AD，∴∠ADE=∠DEF=90∘．∵∠A=90∘−∠C=60∘，∴AD=AE⋅cos60∘．即10−2t=12t，t=4．③∠EFD=90∘时，此种状况不存在．综上所述，当t=52秒或4秒时，△DEF为直角三角形．12.BD．。
2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第一章综合素质评价
第一章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线的长为()A．4 B．2 3 C．2 D．1 3．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形ABCD分成阴影部分和空白部分，当菱形ABCD的边长为10，一条对角线的长为12时，阴影部分的面积为()A．48 B．36 C．24 D．604．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD ＝8，则DC的长为()A．4 3 B．4 C．3 D．5 5．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上一点，ED平分∠AEC，则BE的长为()A．10 B．8 C．6 D．4 6．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD ＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD上的点B′处，则BE的长度为()A．1 B． 2 C． 3 D．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为() A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.48．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°9．如图，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合后得到四边形ABCD(不完全重合)，则四边形ABCD面积的最大值是()A．15 B．16 C．19 D．2010．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE ＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为()A．13 B．15 C．4.5 D．4.3 11．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值是()A．3 3 B．3＋3 3 C．6＋ 3 D．6 312．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，连接EF．则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠ABE 的度数是________．14．如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE 的左侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为________．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F分别从点A，C出发，沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1 cm/s，点F 的速度为2 cm/s，点E，F同时出发，当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止移动，设移动时间为t s，当△DEF为等边三角形时，t的值为________．16．如图，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为________________．17．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在BC，CD上运动，点E不与点B，C重合，点F不与点C，D重合，则△CEF面积的最大值是________．18．将正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx ＋b和x轴上，已知B1(1，1)，B2(3，2)，则B4的坐标为________，B n的坐标为________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．(1)用尺规作图，作出△ABC的角平分线CD(不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的基础上，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，判断四边形CEDF的形状，并说明理由．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB相交于点F．(1)试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；(2)若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．如图，四边形ABCD是菱形，以点A为圆心，以AB为半径画弧分别交BC，CD于点E，F，连接AE，AF，EF．(1)求证：CE＝CF；(2)若△AEF为等边三角形，求∠BAD的度数．22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．(1)求证：PB＝PE；(2)在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不发生变化，请说明理由，并求出PF的长度；若发生变化，请说明理由．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．如图，已知正方形ABCD，过点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，DE交直线AP于点F．(1)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(2)若45°＜∠P AB＜90°，请写出线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．24．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(－6，8)．沿BD折叠矩形ABCO，使点A落在OB上的点E处，延长BD 交x轴于点F．(1)求点D的坐标；(2)若点N是平面内任意一点，在x轴上是否存在点M，使以点M，N，E，O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1．C 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D7．D 点拨：连接AP ．∵∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝62＋82＝10．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°．∴四边形AFPE 是矩形，∴EF 与AP 互相平分．∵M 是EF 的中点，∴M 在AP 上，且M 为AP 的中点，∴PM ＝12AP ．易知当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，则PM 有最小值，此时S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AP ，∴AP ＝AB ·AC BC ＝4.8，∴PM ＝12AP ＝2.4．故选D ．8．D 9．A 10．A11．D 点拨：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，AD ＝AB ＝6，∴△ADB 是等边三角形，∴∠MAE ＝30°，∴AM ＝2ME ，易知MD ＝MB ，∴MA ＋MB ＋MD ＝2ME ＋2MD ．当D ，M ，E 三点共线时，2ME ＋2MD 最小，即MA ＋MB ＋MD 最小，此时2ME ＋2MD ＝2DE ．在Rt △ADE 中，易知AE ＝12AD ＝3．∴DE ＝AD 2－AE 2＝62－32＝3 3，∴2DE ＝6 3．∴MA ＋MB ＋MD 的最小值是6 3．故选D ．12．C二、13．15°14．3015．4316．(3，4)或(2，4)或(8，4)17．318．(15，8)；(2n－1，2n－1)三、19．解：(1)如图，CD即为所求．(2)如图，四边形CEDF是正方形，理由：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°．∴四边形CEDF是矩形．∵CD平分∠ACB，∴DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．20．解：(1)四边形AEBO是矩形．理由：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AEBO是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝12AC＝8，BD＝2OB．由(1)知四边形AEBO是矩形，∴∠OAE＝90°，OB＝AE．∴AE＝OE2－OA2＝102－82＝6，∴OB ＝6，∴BD ＝12．易知S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ，∴S 菱形ABCD ＝12×16×12＝96．四、21．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠D ．∴AE ＝AF ＝AB ＝AD ．∴∠B ＝∠AEB ，∠D ＝∠AFD ，∴∠AEB ＝∠AFD ．∴△ABE ≌△ADF ，∴BE ＝DF ．∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ．(2)解：由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF ．设 ∠BAE ＝∠DAF ＝x °，∠B ＝∠AEB ＝y °，则x ＋2y ＝180．①∵△AEF 为等边三角形，∴∠EAF ＝60°．∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAF ＋∠DAF ＝60°＋2x °．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠B ＝180°－y °，∴60＋2x ＝180－y ．②联立①②得⎩⎨⎧x ＋2y ＝180，60＋2x ＝180－y .解得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝80.∴∠BAD ＝180°－80°＝100°．22．(1)证明：过点P 作PG ⊥BC 于点G ，过点P 作PH ⊥DC 于点H ，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，又∵PG ⊥BC ，PH ⊥DC ，∴PG ＝PH ，∠PGC ＝∠PGB ＝∠PHE ＝90°．∴∠GPH ＝90°．∵PE ⊥PB ，∴∠BPE ＝90°，易得∠BPG ＝∠EPH ．在△PGB 和△PHE 中，⎩⎨⎧∠PGB ＝∠PHE ，PG ＝PH ，∠BPG ＝∠EPH ，∴△PGB ≌△PHE ，∴PB ＝PE ．(2)解：PF 的长度不发生变化．理由如下： 连接BD 交AC 于点O ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP ＝90°，OB ＝OA ．∴∠PBO ＝90°－∠BPO ，2OB 2＝AB 2＝4．∴OB ＝2．∵∠BPE ＝90°，∴∠EPF ＝90°－∠BPO ＝∠PBO ，∵EF ⊥PC ，∴∠PFE ＝90°＝∠BOP ．在△BOP 和△PFE 中，⎩⎨⎧∠PBO ＝∠EPF ，∠BOP ＝∠PFE ，PB ＝PE ，∴△BOP ≌△PFE ，∴PF ＝OB ＝2．∴在点P 运动的过程中，PF 的长度不发生变化，为2． 五、23．解：(1)如图1，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴∠PAE ＝∠PAB ＝20°，AE ＝AB ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°．∴∠AED ＝∠ADF ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠PAB ＋∠PAE ＝130°．∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°． (2)EF 2＋FD 2＝2AB 2．证明：如图2，连接AE ，BF ，BD ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴AE ＝AB ，EF ＝BF ．∴∠AEB ＝∠ABE ，∠FEB ＝∠FBE ．∴∠AEF ＝∠ABF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ，∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°． ∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠FBD ＝90°．∴∠BFD ＝90°．在Rt △BFD 中，BF 2＋FD 2＝BD 2，在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2，∴BF 2＋FD 2＝2AB 2．∴EF 2＋FD 2＝2AB 2．24．解：(1)∵四边形ABCO 是矩形，点B 的坐标是(－6，8)，∴∠BAD ＝90°，AB ＝6，OA ＝8，∴BO ＝AB 2＋OA 2＝10．由折叠的性质得BE ＝AB ＝6，∠BED ＝∠BAD ＝90°，DE ＝AD ， ∴OE ＝BO －BE ＝10－6＝4，∠OED ＝90°．设点D 的坐标为(0，a )，则OD ＝a ，∴DE ＝AD ＝OA －OD ＝8－a ．在Rt △EOD 中，由勾股定理得DE 2＋OE 2＝OD 2，即(8－a )2＋42＝a 2，解得a ＝5，∴点D 的坐标为(0，5)．(2)存在，点M 的坐标为(4，0)或(－4，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－245，0．。
北师大版九年级上册数学------第一章复习第一章复习教案
北师大版九年级上册数学------第一章复习第一章复习教案1(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章特殊平行四边形中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2.相关知识的综合应用教学过程知识点归纳对称既是轴对称图形，又是中心对称图形性矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：一．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1? 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ． 求证：∠AFD=∠CBE ．例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。
精选-北师大版九年级数学上册第1章全章热门考点整合应用
北师大版九年级数学上册第1章全章热门考点整合应用
名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理、三个图形、三个判定与性质、四个技巧、两种思想．
一个定理——直角三角形斜边上的中线定理
1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
(2)∠DHF＝∠DEF.
(第1题)
三个图形
图形1菱形
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？并说明理由．
(第2题)
图形2矩形
3．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF.
(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．
(第3题)
图形3正方形
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG 相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
(第4题)
三个判定与性质
判定与性质1菱形。
2022秋北师陕西九年级数学上册 点训 第1章 习题课件
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9.[易错题]在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作 顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为______________． 45°或105°
【点拨】本题考查菱形的性质，解题的关键是正确 画出图形，考虑问题要全面.
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10. 西安市某中学校门是伸缩电动门(如图①)，伸缩电动门中的每一行菱形有20 个，每个菱形的边长为30 cm.当每个菱形的内角(锐角)度数为60°(如图②)时， 校门打开了5 m，当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少米？
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定
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核心必知 1
2 垂直；四边形
3 相等
答案显示
1D
2 见习题 3 D
4是
5 见习题
6A
7 见习题
8D
9 见习题 10 见习题
11 见习题
核心必知
1．由菱形定义可知：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
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2．对角线互相__垂__直____的平行四边形是菱形，对角线互相 垂直且平分的__四__边_形___是菱形．
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6．[2021·陕西模拟]如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为
半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D
为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则
所得四边形ABCD为菱形的依据为( A)
A．四条边相等的四边形是菱形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
在又R∵t△AABB⊥CA中C，，A∴C∠＝AOB＝45°，∴B＝C∠2，2A－∴OFOA＝AB＝4251°，＝AB，
北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训一
专训一：利用矩形的性质巧解折叠问题
名师点金：叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．
利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉
之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一
个特定的角：
(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；
(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．
(第1题)
利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然2．(2015·
后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．
(第2题)。
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专训一：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．
利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：
(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；
(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．
(第1题)
利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
2．(2015·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．
(第2题)
利用矩形的性质巧证线段的关系
3．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于F ，连接AE.
求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD.
(第3题)
利用矩形的性质巧求线段的比
4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.
(1)求证：CM ＝CN ；
(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN
的值．
(第4题)
专训一
(第1题)
1．解：设折叠后，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，如图，由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，BE＝B′E，AE＝EA′，∵∠BAB′＝∠ABE＝∠AB′E ＝90°，∴∠BEB′＝90°.
∴∠BEA＝∠AEB′＝45°.
又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，
∴∠FEA′＝67.5°.
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.
(第2题)
2．(1)证明：由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC.
∴EG＝CH.
(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，
∴DG＝2，DF＝2.∴AD＝2＋ 2.
如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠AFE ＝90°，
∴∠3＝∠AFE.
又∵∠A ＝∠B ＝90°，
由(1)知，AE ＝BC ，
∴△EFA ≌△CEB.
∴AF ＝BE.∴AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝2＋2 2.
3．证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD ＝∠CBD ，因为AD ∥BC ，所以∠FDB ＝∠CBD ，所以∠FBD ＝∠FDB ，所以BF ＝DF.
(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ＝DC ，AD ＝BC ，由折叠的性质可知，DC ＝ED ＝AB ，BC ＝BE ＝AD ，又因为AE ＝AE ，所以△AEB ≌△EAD ，所以∠AEB ＝∠EAD ，所
以∠AEB ＝12(180°－∠AFE)．由(1)知∠DBE ＝∠BDF ，所以∠DBE ＝12
(180°－∠BFD)，而∠AFE ＝∠BFD ，所以∠AEB ＝∠DBE ，所以AE ∥BD.
4．(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM ＝∠DNM ，∵∠ENM ＝∠ENA ＋∠ANM ，∠DNM ＝∠DNC ＋∠CNM ，∠ENA ＝∠DNC ，∴∠ANM ＝∠CNM.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠ANM ＝∠CMN.
∴∠CMN ＝∠CNM.∴CM ＝CN.
(2)解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝
DC.∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，∴S △CMN S △CDN ＝12·MC·NH 12
·DN·NH ＝MC DN ＝3.∴MC ＝3DN ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ，∴CM ＝3x ＝CN.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x ，
∴NH ＝22x.在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋NH 2＝23x ，∴MN DN ＝23x x
＝2 3.。