《电路理论基础》(第三版 陈希有)习题答案第六章

答案6.22

解：对图(a)电路做戴维南等效，如图(b)所示。

OC U in

Z (b)

i j 1/(j )Z L C ωω=+ (1) S

OC j I U C

ω=

(2) 由图(b)可知，当i 0Z =时，电阻两端电压U 与电阻R 无关，始终等于

OC (0)U R ≠。

由式(1)解得

100rad/s ω==

将式(3)代入式(2)得

OC 1

100A 1090V j100rad/s 0.01F

U U ==∠??

=∠

-??

90V u t ω=-（）

答案6.23

解：先对图(a)电路ab 端左侧电路作戴维南等效，如图(b)所示。

U i

Z (b)

令

32000rad/s 210H 4L X L ω-==??=Ω 得等效阻抗

i 4j48//8//j42(1j)4j4Z Ω?Ω

=ΩΩΩ=

=+ΩΩ+Ω

由

OC

i 1

j U i Z R C

ω=

++

知，欲使电流i 有效值为最大，电容的量值须使回路阻抗虚部为零，即：

012]j 1Im[=-=+

+C

C R Z i ωω 等效后电路如图(b)所示。

解得

1250μF 2C ω

==

答案6.24

解：应用分压公式，输出电压o U 可表示为

o n1n2U U U =-

i i 1

j 1

2j U C U R C

ωω=-?+ i i i j 121j 2(j 1)

U U CR U CR CR ωωω-=

-=++ 当 0=R ， o U 超前于i U 180；

当 1

R C

ω=，o U 超前于i U ?90；

当 ∞→R ， o U 与i U 同相位。

即当R 由零变到无穷时，o U 超前于i U 相位差从180到0变化。

答案6.25

解：图示电路负载等效导纳为

2222

1j j()j ()()

R L

Y C C R L R L R L ωωωωωω=+

=+-+++ (1) 2

2

222

222

222

)()(21)()(C L R LC L R L C L R R Y

ωωωωωωω++-=???

?????+-+????????+= (2) 由式(2)可见：当)2/(12LC =ω时，Y C ω=与R 无关，电流有效值CU U Y I ω==不随R 改变。

解得

21

5uF 2C L

ω=

= 将C L 、、ω值代入(1)式，得

32424

j510(10)10R R Y R -+?-=+

当0=R ，I 滞后S

U 为?-90； 当Ω<<1000R ，I 滞后S

U

为从?-90向0变化； 当Ω=100R ，I 与S

U 同相位； 当Ω>100R ，I 越前S

U

为从0向?90变化； 当∞→R ，I 越前S U 为?90。 图(b)为电流相量图：

(b)C

I R →I

L

I (100)L I R >Ω(100)L I R =Ω)

R U

I I

I 的终点轨迹为半圆，当R 从0变到∞时，I 的辐角从?-90变到?90。

答案6.26

解：由分压公式得

()

2

121j 1

1//

j j 111

(//)1j j j j j 3j 1/R C R R U C

C U R R R C C

C R C R C

R

R R C C ωωωωωωωωωω?

+

==

++?

++

+=

+- 令虚部

210R C C ωω-

=，得1RC ω= 122πf RC

ωπ==即时，且1U 与2U 同相位 311

2

=U U

答案6.27

解：对节点①列节点电压方程

2211o 11i (j j )(j )C G C G U G C U ωωω+++=+ (1) 式中K G 为相应电阻的倒数。 由式(1)解得

o 1111112

i 121212

12j (1j /)

()G j ()()[1j ]()U G C G C G C C U G C C G G G G ωωωω++==

+++++++ 由上式可知，当

111212/()/()C G C C G G =++ 即1122C R C R =时，

o 12

i 1212

U G R U G G R R ==

++ 此时o U 与i U 在任何频率下同相位。

答案6.28

解：方法一：

设o 1200V U =∠，各支路电流如图(a)所示

3

j X 3

列支路电流方程如下：

123111121221

22333j j j j j j (j )M M M I I I U R I X I X I X I X I X I X I R X I

?=+?

=++++??+=+? 解得

1 4.2749.04A I =∠-?，

2 1.9117122.475A I =∠-?。

AB 1111M 2

j j 83.63 6.58V

U R I X I X I =++=∠-

所以电压有效值为

AB 83.63V U =

方法二：

应用互感消去法，图(a)电路可等效成图(b)所示。

R 3

R 3

j X j X -

列网孔电流方法

112m12m22m1332[j()j()]j()j()[j j j()]0M M M M M M R X X X X I X X I U X X I X R X X X ?++++-+=?

-++-++++=?(1)(2)

将已知条件代入，得

1212(12j34)161200V

-j16(8j 16)0I j I I I ?+Ω-Ω=∠?

Ω++=? 解得

m1m2AB 11m1m2 4.2749.04A 3.8222.47A

[j()](j )M M I I U R X X I X I =∠-=∠-=+++-

83.63 6.58V =∠-

所以有效值

AB 83.63V U =。

注释：对含互感的电路宜用支路电流法或回路电流法列写方程。

答案6.29

解：应用支路电流法，如图所示

2

L S

u

列KVL 方程

1211j j j j S S

MI L I RI U MI L I U ωωωω?++=?

+=?(1)(2)

方程(1)乘1L ，方程(2)乘M ，二者相减消去1I 得电流I 与输入电压S U 的关系

表达式

1S

2

112()j

()

L M U I RL L L M ω-=

+- 由上式可见：当M =即互感为全耦合时，1S 1

L M I U RL -=，I 与S U 同相且与频率无关。i 的有效值为

S 11()/()I U L M RL =-

答案6.30

解：网络N 的等效阻抗

(10j 10)//(j20)(10j 10)(j20)(10j 10)(j20)

20010j 10j2010j 10Z '=+Ω-Ω

+?-+?-=Ω=Ω=∠Ω

+-- 输入电流

2A 30U

I Z =

='

+

网络N 的平均功率为

2'2Re[](2A)2080W P I Z =?=?Ω= 无功功率

2'2Im[](2A)00Q I Z =?=?= 功率因数

cos cos01λ?===

视在功率

/cos 80VA S P ?=

=

答案6.31

解：等效阻抗

36V 3.610A

U Z I ====Ω (1)

由平均功率R I P 2=得

2

2

288W 2.88(10A)P

R I =

==Ω 将式(2)代入式((1)解得

2.16L X =

==Ω

所以等效阻抗为

j (2.88j2.16)L Z R X =+=+Ω

当314rad/s ω=时，负载的等效电阻和等效电感分别为

2.88R =Ω， 2.16 6.88mH 314rad /s

L X L ωΩ

===

注释：功率表的读数等于电压线圈电压有效值、电流线圈电流有效值及电压与电流相位差夹角余弦三者之积。

答案6.32

解：方法一：

平均功率11cos P U I ?=，可推出电压与电流的相位差?

11500W arccos

arccos 60100V 10A

P U I ??===? 设1100A I ?=∠，则110060V U ?=∠ 负载端电压相量

()2115j536.690V U U I ?=-Ω+Ω=∠ 有效值为

236.6V U = 负载阻抗

L 21/j3.66Z U I ==Ω 方法二：

图(a)电路可表示成图(b)形式。

1

U (b)

电源输出的平均功率等于所有电阻吸收的平均功率，由此得

22(5)10(5)P I R R =Ω+=Ω+500W = 解得 0R =

又因

1110010

U Z I =

==

解得

3.66X =Ω

所以负载阻抗

j j3.66Z R X =+=Ω

负载端电压

21 3.66V U I Z ==

答案6.33

解：功率表的读数等于电压线圈电压有效值、电流线圈电流有效值以及上述电压、电流相位差夹角余弦三者之积。对图示电路，功率表读数表达式为

2W ab 2AB cos Re[]P U I U I ?*

== (1)

下面分别计算2ab I U 和。设1000V U ?=∠，端口等效阻抗

()()i 30(j20)//(10j 10)j2010j103050j2010j10Z =Ω+-Ω+Ω-Ω?+Ω=Ω+

=Ω

-Ω++Ω

1i /20A I U Z ?==∠ 由分流公式得

()()1

2j202j2A j2010j10I I -Ω=

=--Ω++Ω

(2)

则

()ab 12301080j20V U I I =Ω?+Ω?=- (3) 将式(2)、(3)代入式(1)得功率表的读数为

()()2W AB Re[]Re[80j202j2]200W P U I *

==-+=

说明：本题功率表的读数也等于两个电阻吸收的平均功率之和，但这是由于题中已知条件导致的一种巧合。

答案6.34

解：由已知条件得负载1和2的功率因数角分别为

11arccos 36.86?λ==，22arccos 53.13?λ==-(因为负载2为容性)

则负载1、2的视在功率和无功功率分别为

111111222222/80W/0.8100VA sin 60var /30W/0.650VA sin 40var

S P Q S S P Q S λ?λ?==========-，，

平均功率和无功功率分别具有守恒性，两并联负载的总平均功率和无功功率

为负载1、2之和，即

1212110W, 20var P P P Q Q Q =+==+= 视在功率为

111.8VA S ==

功率因数为 /0.98P S λ==

答案6.35

解：电路总平均功率为

40W 10040W 1008000W P P P =+=?+?=日光灯白炽灯 日光灯的功率因数角

()arccos 0.560?==?

白炽灯的功率因数为1，不存在无功功率，因此两种灯的总无功功率为：

tg 6928.2var Q P ?=?=日光灯 视在功率

10583VA S ==

总电流

/48.1A I S U ==

总功率因数

/0.756P S λ==

并联电容后，电路的功率因数角为

arccos0.925.84?'==?

电容的并联接入不改变平均功率，而无功功率变为

tg 3874.58var Q P ?''==

并联电容后总功率的变化量等于电容上的无功功率，即

3053.6var C Q Q Q '=-=- 因为2C Q CU ω=-，所以

()()

22

3053.6var

201F 2π50rad/s 220V C Q C U μω-=

==?? 并联电容后的总电流为： 8000W 40.40A 220V 0.9

P I U λ'==='?

答案6.36

解：设

112000V arccos0.836.86U ??=∠==，

()()1

111111C 115A 536.86A /(j100)j2A 4j A 4.1214.0410240j10V 240.2 2.39

4.12A 240.2V

C P I I I U I U I I I U I U I U ?λ

=

==∠-=∠-=-Ω==+=-=∠-=+=-=∠-=

=，，， 答案6.37

解：对原电路做戴维南等效，如图（b ）所示。

S

u

OC

U (b)

(a)

（1）求输入阻抗，由图（c ）得：

-

OC

(c)

(d)

x

12i i j (1j)113j

()()()2j222

(1j)j (0.8j0.4)1(3j)2

x x x i x

U I rI I I I I I I j I I U I

Z R X I I =-Ω?+=-Ω?=++=+-Ω??+=-Ω-Ω-Ω=+=

==-Ω- （2）求开路电压，如图（d ）所示：

OC S S S 2//(j2)

2//(j2)(j )2//(j2)(j )1j (0.426.57V 1j3U U rI

U U r U =-Ω-Ω=

-Ω-Ω+-ΩΩ-Ω+-Ω+==--+

（3）求最大功率：

根据最大功率传输定理，当i (0.8j0.4)L Z Z *

==+Ω时，L Z 可获得最大功率：

22OC max

i W 0.125W 440.8

U P R ===?

答案6.38

解：L 、C 及2R 的等效阻抗

2L 2/(j )

j 1/(j )

R C Z L R C ωωω=+

+

当L 、C 改变时，L Z 的实部及虚部均发生变化，根据最大功率传输定理知，当L S Z R *

=，2R 可获得最大功率， 即

2S 222

2221()01()R R R C R C L R C ωωωω?

=?+???-=?+?

联立解得

2

2S 0.0194F 0.485mH

C L R R C μ?=

=???==?

此时

2S max

S 1V 2mW 44125U P R ===?Ω

答案6.39

解：由理想变压器的阻抗变换关系得

2L L

Z n Z '= 当变比n 改变时Z '的模改变而阻抗角不变，此时获得最大功率条件是模匹

配，即

2L S L

R Z n Z '== 由此求得：

2S L 14

R n Z =

== 5.0=n

设01000V S U =∠，则理想变压器原端电流：

1L 100018.4A 54j3S S U I R Z ∠?=

==?'+++ 副端电流为 215

10-18.4A 3

I nI =-=-∠

负载吸收的最大平均功率为

2

2

max 216(

)16444.44W 3

P

I =?Ω=?=

答案6.40

解：方法一：

S

U (b)

+

_

OC

U S

U

(a)

由k =

得 0.2H M === （1）求开路电压，电路如图(b)所示。

S 1111111j (j

)U R I

L I R L I ωω=+=+ 可得

S 11120V 45A j (10j 10)U I R L ω?

=

===

-++Ω

(1)

OC 1j U MI ω=， 将(1)式代入，得

OC j 100.245V 45V U ??=??= 2

i 211

()j (0.2j9.8)j M Z L R L ωωω=+=+Ω+

方法二：

(d)

oc

U

(c)

图(a)电路从ab 端口看进去，可等效成电感与阻抗串联电路，如图(d)所示。 令

2

L 112L

()j j M Z R L L Z ωωω'==-+

得L (0.2j9.8)Z =-Ω时，负载消耗功率最大。

22S max

1(20V)10W 4410U P R ===?Ω

答案6.1

解：将2i 和3i 改写为余弦函数的标准形式，即

234cos(190)A 4cos(190180)A 4cos(10)A 5sin(10)A 5cos(1090)A 5cos(80)A i t t t i t t t ωωωωωω=-+?=+?-?=+?=+?=+?-?=

-?

电压、电流的有效值为

12370.7V, 1.414A 2.828A, 3.54A

U I I I =

=======

初相位

1

2

3

10,100,10,80u i i i ψψψψ====-

相位差

1

11010090u i ?ψψ=-=-=- 11u i u i 与正交，滞后于；

2

210100u i

?ψψ=-=?-?= u 与2i 同相；

3

310(80)90u i ?ψψ=-=?--?= u 与3i 正交，u 超前于3i

答案6.2

()(

)

()(

).

2a 10cos(10)V -8

b arctg

10233.1V,233.1)V -6

-20.8

c 0.2arctg 20.889.4A,20.8cos(89.4)A 0.2

d 30180A,180)A

m u t U u t I i t I i t ωωωω=-?==∠?=+?==∠-?=-?=∠?=+?

答案6.3

解：(a)利用正弦量的相量表示法的线性性质得：

11221,U I n U I n

==- (b)磁通相量通常用最大值表示，利用正弦量的相量表示法的微分性质得：

m j m U N ω=Φ

(c) 利用正弦量的相量表示法的线性性质与微分性质得：

j U RI LI ω=+

答案6.4

解：由KCL 得电流i 的振幅相量

m 1m 2m 3m I I I I =++

(2

100410580)A

=∠?+∠?+∠-?

(0.347j 1.97 3.939j0.6950.868j4.924)A =-++++-

A 86.265?-∠=

电流i 的瞬时值为

5cos(26.86)A i t ω=-?

答案6.5

解：电压表和电流表读数为有效值，其比值为阻抗模，即

/U I =

将已知条件代入，得

100V 15A 100V 10?=??=Ω 联立方程，解得

13.7mH, 5.08L R ==Ω

答案6.6

解：

(a) RC 串联电路中电阻电压与电容电压相位正交，各电压有效值关系为

30V U ===

电流i 的有效值为

30V

3A 10C C U I I X ====Ω

(b)

302A 60V C C U X I ==Ω?=

60V 1.2A 50R U I R =

==Ω

RC 并联电路中电阻电流与电容电流相位正交，总电流有效值为

2.33I A ===

(c)

30130C C C U X I A V ==Ω?= 由

30215C L C L L L U V

U U X I I A X ==?=

==Ω

并联电容、电感上电流相位相反，总电流为

1L C I I I A =-=

电阻电压与电容电压相位正交，总电压为：

50U V ===

答案6.7

解：感抗

()3210rad/s 0.1H 200L X L ω==??=Ω

容抗

()()36

11100210rad/s 510F

C X C ω--=-

==-Ω??? 图(a)电路的相量模型如图(b)所示。

j200Ω

Ω

200R (b)

+

_

L

U R

I

(c)

由已知得10A R

I =∠?，按从右至左递推的方法求得各元件电压、电流相量如下：

112000V 2000V 290A j j 100(10290)A=(1+2j)A 63.43A jX j200563.43V 153.43

V (200153.432000

)V 135

V

C R C C

C C R L L L C U I R U I X I I I U I U U U ==∠∠?=

==∠-Ω

=+=∠?+∠?===??==+=?+∠?=

由以上各式画出电压、电流相量图如图(c)所示。由各相量值求得各元件电压、

电流瞬时值分别为

190)A, 63.43)A )V,153.43)V 400cos(135)V

C R C L i t i t u u t u t u t ωωωωω=+?=+?===+?=+? 答案6.8

解：从右至左递推求得各元件电压、电流相量分别为：

()11122212:10A,10V

:10A,17.390V

10j17.3V 2060A,/20160A : 1.73230A,j1017.3260V

L L C C C R I U L I I U U I U C I I I U I =∠===

∠=∠=+=∠=Ω=∠?=+=∠=-=∠-

(b)

U

答案6.9

解：设100V R U =∠，则

S 10A ,1090V (1001090)V 45V 10245V 135A

j -j 10(10135)A jA 190A R

R L L R R L C C R C U I U jX I R

U U U U I X I I I =

=∠

==∠=+=∠?+∠?=?∠?===?Ω

=+=∠??==∠

所求电流有效值为

S 1A I =。

答案6.10

解：图

(a)电路各变量相量关系如图(b)所示。

(b)

由图(b)可推出

45?=

(1) L R X = (2)

1C I = (3) 由式(3)可得

C U X ==

即

C L X X =-

C L X X =-

答案6.11

解：利用阻抗的并联及串联等效，图题6.11电路阻抗可表示为

1

200

j 200j ()j j 1j 200200j C L C X C

Z X L X C

ωωωω??=+=+++

2200(200200)j j 1j2001j200LC L L C C

ωωωωω-+=+=++ 将50010002000rad /s ω=、

、分别代入上式，得 (500)(160j30)Z =-Ω

虚部为负值，故此时等效电路为RC 串联：

Re[(500)]1601

Im[(5000)]301

66.6μF

C C

R Z X Z C C X ωω==Ω

=-=-Ω=-=

(1000)100Z =Ω，虚部为零，故此时等效电路为电阻R ，100R =Ω。 (2000)(40j 120)Z =+Ω，虚部为正值，故此时等效电路为RL 串联：

Re[(2000)]40R Z ==Ω

1Im[(2000)]120L X Z L ω===Ω

10.06H L

L X ω==

注释：因为感抗和容抗是频率的函数，因此正弦电流电路的等效参数一般与频率有关。

答案6.12

解：

对节点①列节点电压方程

()S 2111

11(j )C C U U U C U R R R R μμω-++== 解得

2S

2112

(1)j C R U U R R CR R μμω=

+++

答案 6.13

解：电压源和电流源的相量分别为

00S S 100V,100A U I =∠=∠ 对节点①和②列相量形式节点电压方程

()1n1n21S 2n12n2S 21(j 1S)1S j j 1S j 1S C U U C U gU L U C U I gU

ωωωω?

++-?=-?

?

?-?++=+?

由图可知受控源控制量

21n U U =

解得

n1n2j 10V 10j10V U U ==-

01212n n (10j20)V 22.36116.57V U U U =-=-+=∠ 受控电流源的电压为

()012116.57V u t ω=+

答案6.14

解：相量模型如图(b)所示。

o

j C ω(b)

j C

ω

对节点①、②列节点电压方程：

1n n2i (j j +)j j C C G U CU CU ωωωω+-= (1) 1n n2-j +(j )0CU C G U ωω+= (2) 联立解得

0n2i 1

903U U =∠ 又因为

n2o U U = 所以

0o i 1

903

U U =∠ 即o u 越前于i u 的相位差为o 90。 答案6.15

解：对含运算放大器的电路宜列写节点电压方程：

33n1n2111(j101μF)(j101uF)01k 1k Ω1kΩ

U U ++?-+?=Ω (1) 2o n U U = (2) 由端口特性得

o 1S 0V 2

n U U ==

∠ (3) 将式(2)(3)代入(1)得

V 43.182

58.1V 25.0j 5.1o

-∠=-=U 输出电压瞬时值为

()o 1.58cos 18.43V u t ω=-

答案6.16

解：列节点电压方程

12311

(j )j 0n n n C U U CU R R ωω+--= (1) 12i 1111

(j2)n n U C U U R R R R

ω-+++= (2) 13i 2

j (j j )j n n CU C C U CU R

ωωωω-+++= (3)

由式(2)和式(3)得

i 1i 123j ()

,2(1j )2(1j )

n n n n U U CR U U U U CR CR ωωω++=

=

++ (4) 将式(4)代入式(1)得

222i

1o 222

(1)1j4n C R U U U C R CR ωωω-==-+ (5) 由式(5)求得，当 1

RC

ω=

时，o 0U =。

答案6.17

解：图示电路容抗

11

11000.01

C X C ω=-=-Ω=-Ω?，

感抗

(1000.01)1L X L ω==?Ω=Ω 列节点电压方程