2019年安徽省江南十校高三综合检测 理科数学参考答案
【解析】 记 A(1,0) ， 则 | PF2 |=
或作 AD ⊥ PF1 于 D , 由角平分线 的对称性质知 | DF1 |=| PF1 | − | PD |= |PF |1 −|PF2 | = 2a = 4 ，
|AD| = |AF2 | = c − 1 ，在 Rt ADF1 中， |AF1| = c + 1,|AF1|2 =| AF2 |2 + | AD |2 ,解得 c = 4
B(1,0,0), B1 (1,3,0), C1 (−1,3,0), A1 (0, 2, 2),
B
x
BC1 = (−2,3,0), BB1 = (0,3,0), BA1 = (−1, 2, 2) ……………………………………………8 分
设平面 ABB1 A1 的一个法向量为 m = ( x, y,1) ，则
故 SPF1F2 = 10 .答案 C
1 c2 − 4 | F1 F2 | | PF2 |= c = 24. 故选 B. 2 2
【解析】 由已知，f ( x) min g ( x) min ， 由已知可得 f ( x)min = ( k + 1)2 , g ( x) min = 3 ，
|i| 1 2 ,故选 A. = = |1 − i | 2 2
1 y ，故选 C. 2
3. 答案 C 【解析】标准方程为 x 2 = 4. 答案 B 【解析】由正弦定理知，
7 sin B sin 2C 2 7 , ， cos C = = = 2cos C = 3 sin C sin C 3
5 cos 2C = 2cos 2 C − 1 = , 故选 B. 9
设平面 ABB1 A1 的一个法向量为 m = ( x, y, z ) ，则
m AB = x − 3z = 0 y =1 , 取x = 6 m = ( 6,1, 2) z = 2 m BA1 = − x + 6 y = 0
设所求角为 ，则 sin =
第3页 共 8 页
解法二：以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，以 OA1 所在的直线为 y 轴，以 OA 所在的直线 为 z 轴建立空间直角坐标系 . 则 B(1,0,0), A(0,0, 3), A1 (0, 6,0), C (1,0,0) ，设 C1 ( x, y, z ) ，由
C1 A1 =CA 可得 C1 (−1, 6, − 3) ， BC1 = (−2, 6, − 3), AB = (1,0, − 3), BA1 = (−1, 6,0) ……………………8 分
sin cos 1 tan 1 = ， = ， tan = 2 ， 2 2 2 sin + 4cos 4 4 + tan 4
1 −2 tan = tan ( + ) − = 3 = −1 . 1 1+ 2 3
15. 答案 240
2+ y + z )6 = ( x + y) + z ，含 z 2 的项为 T2 = C6
O B B1
∴平面 A1 BC ⊥ 平面 ABC . ………………………………………6 分 （2）解法一：以 O 为原点， OB 所在的直线为 x 轴，取 B1C1 中点 K ， 以 OK 所在的直线为 y 轴， 过 O 作 OG ⊥ AA1 ， 以 OG
O A G
z
C
A1
C1 K B1
y
所 在 的 直 线 为 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 则
5. 答案Ｄ 【解析】 AB AD =
1 2 ， AE = AB + AD ， BD = − AB + AD 2 3
2 1 2 2 1 1 AE BD = ( AB + AD) (− AB + AD) = − 1 + − = − ,故选 D. 3 2 3 3 2 6 1 6. 答案 C 【解析】 V三棱柱ABC − A1B1C1 = L2 ,故选 C 2
2
∴ an = 2 2
n −1
= 2n
第2页 共 8 页
∴ 2bn = 2 + 2 + 2 +
1 2 3
2(1 − 2n ) +2 = = 2n +1 − 2 ，∴ bn = 2n − 1 .…………6 分 1− 2
n
（2）证明：由已知： cn = ∴ c1 + c2 + c3 +
an 2n 1 1 = n = n − n +1 . ………………9 分 n +1 bn bn +1 (2 − 1)(2 − 1) 2 − 1 2 − 1
7 .答案 C 8 .答案 A 【解析】由已知得，
2
1 1 2 = 4 ， = , f ( x) = cos( x + ). 故选 C. 2 2 3
【解析】由已知得 f (− x) = − f ( x), 且y = f ( x)在R上单调递增 ，
1 2 由f (3log 2 x) f (log 2 x − 1)可得 3log 2 x log 2 x − 1 log 2 x − ，解得：0 x . 故选 A. 2 2
| BC1 m | | BC1 || m |
=
2 6 13 3
=
2 78 . …………………………………………………12 分 39
1 解法三：由（1） VC − ABA1 = BCS 3
AOA1
1 1 = BC AO A1O = 2 3 2
设 C 到平面 ABB1 A1 的距离为 h ，则由 CC1 / / 面ABB1 A1 知 C1 到平面 ABB1 A1 的距离也为 h ，则
第4页 共 8 页
（2）解法一： ( xi − x) 2 = 72 xi2 = ( xi − x) 2 +8 x = 360
2 i =1 i =1 i =1
8
8
8
(x
i =1
8
i
− x)( yi − y ) = 34.5 xi yi = ( xi − x)( yi − y ) + 8 x y = 226.5
9 .答案 B
b2 c2 − 4 b2 c2 + 4 | F1 A |= c + 1 ， ，| PF1 |= + 2a = ， = a 2 a 2 | PF1 | | F1 A | | F2 A |= c − 1 ，由角平分线性质得 = c 2 − 4c = 0 c = 4 ， | PF2 | | F2 A |
i =1 i =1
8
8
故去掉 2015 年的数据之后
x=
68 − 6 4 8 − 3 29 = 6, y = = 7 7 7
i
(x
i 5
i 5
− x) 2 = xi2 − 7 x = 360 − 62 − 7 62 = 72
2 i 5
(x
i
− x)( yi − y ) = xi yi − 7 x y = 226.5 − 6 3 − 7 6
A1 B 2 = AA12 + AB 2 − 2 AA1 AB cos A1 AB ，即 AA12 − 2 AA1 − 3 = 0 AA1 = 3 或 −1 ，
故 AA1 = 3 .………2 分 取 BC 中点 O ，连接 OA, OA1 ，∵ ABC 是边长为 2 的正三角形，
A
A1
C
2019 安徽省“江南十校”综合素质测试 数学（理科）解析及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 C 8 A 9 B 10 C 11 B 12 C
1. 答案 D 【解析】 A = {−2, 2} ,故选 D. 2. 答案 A 【解析】 | z |=| z |=
m BB1 = 3 y = 0 x = 2 m = ( 2,0,1) y = 0 m BA = − x + 2 y + 2 = 0 1
设所求角为 ，则 sin =
| BC1 m | | BC1 || m |
=
2 2 13 3
=
2 78 . …………………………………………………12 分 39
【解析】前 44 组共含有数字： 44 (44 + 1) = 1980 个，
S = 1980 − 44 + (2019 − 1980) = 2019 − 44 = 1975, 故选 C.
二、填空题 题号 答案 13. 答案２ 14. 答案 −1 13
2
14
−1
15
16
240
57
【解析】 x = 0, y = 2 时， zmin = 3 0 + 2 = 2 【解析】
C1
∴ AO ⊥ BC ，且 AO = 3 ， BO = 1 ， 由 A1 AB A1 AC 得到 A1 B = A1C = 7 ，故 A1O ⊥ BC ， 且 A1O = 6 ， ∵ AO 2 + A1O 2 = AA12 ，∴ AO ⊥ A1O ，…………………4 分 又 BC
AO = O ,故 A1O ⊥ 平面 ABC ，∵ A1O 平面 A1 BC ，
6
2 x a y b z 2 的项的系数之和为 C6 24 =240 .
16.答案 57
【解析】由已知动点 P 落在以 AB 为轴、底面半径为 21 的圆柱的侧面上，该
侧面与三棱锥侧面 ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与 AC 的交点为 P ，此时 PB 最大，由
2 且 cos BAC = , 在 BAP 中， 由余弦定理可得 P 到 AB 的距离为 21 可得 P 为 AC 的中点， 5
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检数学(理)试卷
2019年03月26日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.设集合{}{}22,1,0,1,2,|1,,U A x x x U =--=>∈则( )A.{}2,2-B. {}1,1-C. {}2,0,2-D. {}1,0,1- 2.复数i 1iz =- (i 为虚数单位),则z = ( )A.B.C. 12D. 2 3.抛物线22y x =的焦点坐标是( ) A. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭4.在△ABC 中,角A 、B 、 C 的对边分别为a 、 b 、c ,若b =3,2c B C ==,则cos 2C 的值为( )A.B. 59C. 49D. 4 5.已知边长为1的菱形ABCD 中, 60?BAD ∠=,点E 满足2BE EC =,则AE BD ⋅的值是( )A. 13-B. 12- C. 14- D. 16- 6.我国南北朝时期的科学家祖暅,提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是:如果两个等高的几何体,在等高处的截面积恒等,则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积:曲线()20y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ,将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上,用平行于平面α,且与Z 的顶点 O 距离为l 的平面截几何体Z ,得截面圆的面积为2l π=π.由此构造右边的几何体1Z :其中AC ⊥平面α,AC L =,1AA α⊂,1πAA =,它与Z 在等高处的截面面积都相等,图中EFPQ 为矩形,且π,PQ FP l ==,则几何体Z 的体积为( )A. 2πLB. 21πL 2C. 21πL 2D. 31πL 2 7.已知函数2()cos()3f x x ωπ=+(0)ω> (ω的最小正周期为4π,则下面结论正确的是 A. 函数f ()x 在区间()0,π上单调递增B.函数f ()x 在区间()0,π上单调递减C.函数f ()x 的图象关于直线23x π=对称 D.函数() f x 的图象关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称。
2019届安徽省江南十校高三3月综合素质检测数学(理)试题(解析版)
17．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
【答案】（1） ； （2）见证明
【解析】（1）通过作差的方式得到 ，从而求解出公比 ，进而得到 ； 可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到 ，通过放缩得到所证结果.
动点 落在以 为轴、底面半径为 的圆柱的侧面上
可知侧面与三棱锥侧面 的交线为椭圆的一部分
设其与 的交点为 ，此时 最大
由题意可得，点 到 的距离为：
则 到 的距离为 可知： 为 的中点
又
在 中，由余弦定理可得
本题正确结果：
【点睛】
本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定 点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.
附：线性回归方程 中， ， .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据数据，确定考核优秀的年份数量，利用超几何分布来求解分布列和数学期望；（2）确定去掉 年数据后，公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线.
【详解】
（1）由数据可知， ， ， ， ， 五个年份考核优秀
的所有可能取值为 ， ， ，
【点睛】
本题考查利用抛物线方程求焦点，易错点是忽略了原方程是否为标准方程，而直接去求解.
4．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可推导出 的取值，再利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理可得：
即
本题正确选项：
【点睛】
16．如图，三棱锥 中， ， ， ，点 在侧面 上，且到直线 的距离为 ，则 的最大值是_______．
解析高考资料高考复习资料中考资料
5 三、解答题
17【解析】（1）由 a1 + a2 + a3 + + an = 2bn ① n 2 时， a1 + a2 + a3 + + an−1 = 2bn−1 ②
① − ②可得： an = 2(bn − bn−1) (n 2) ，∴ a3 = 2(b3 − b2 ) = 8 ∵ a1 = 2, an 0 ，设{an}公比为 q ，∴ a1q2 = 8 ，∴ q = 2 …………………………3 分 ∴ an = 2 2n−1 = 2n
而去掉 2015 年的数据之后 x = 6 8 − 6 = 6, y = 4 8 − 3 = 29 ，
7
7
7
^
a
=
y
−
^
b
x
=
29
−
34.5
6
1.27
7 72
^
从而回归方程为： y = 0.48x+1.27. …………………………………………………………………………12 分
=
1 BC 1
3
2
AO
A1O
=
2
设 C 到平面 ABB1 A1 的距离为 h ，则由 CC1 / /面ABB1 A1 知 C1 到平面 ABB1 A1 的距离也为 h ，则
1
11
VC − ABA1
==
hS 3
ABA1
=
h 3
2
AB
A1Asin 60 =
2 h = 2 6 ………………………………9 分 3
江南十校2019届高三第一次联考(理科)
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合}{2,1,0,1,2--=U ,{}U x x x A ∈>=,12,则=A C U{}2,2.-A {}1,1.-B {}2,0,2.-C {}1,0,1.-D2、复数iiz -=1（i 为虚数单位），则=-z22.A 2.B 21.C 2.D 3、抛物线22x y =的焦点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛81,0.C ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,81.D 4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C B c b 2,3,72===，则C 2cos 的值为37.A 95.B 94.C 47.D 5、已知边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60BAD ，点E 满足→→=EC BE 2，则→→•BD AE 的值是31.-A 21.-B 41.-C 61.-D5、我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.” 意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线)0(2L y x y ≤≤=绕y 轴旋转一周得几何体Z ,将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，的截面圆的面积为l l ππ=2)(.由此构造右边的几何体1Z :其中⊥AC 平面α,πα=⊂=11,,AA AA L AC ,它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且l FP PQ ==,π，则几何体Z 的体积为2.L A π3.L B π 221.L C π 321.L D π7、已知函数)0)(32cos()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π4，则下面结论正确的是.A 函数)(x f 在区间()π，0上单调递增 .B 函数)(x f 在区间()π，0上单调递减 .C 函数)(x f 的图像关于直线32π=x 对称 .D 函数)(x f 的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛032，π对称 8、设函数1313)(2+-•=x x x x f ，则不等式0)log 1()log 3(22<-+x f x f 的解集是⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0.A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22.B ()2,0.C ()+∞,2.D9、已知双曲线14222=-by x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为右支上一点且直线2PF 与x 轴垂直，若21PF F ∠的角平分线恰好过点()0,1，则21F PF ∆的面积为12.A 24.B 36.C 48.D10. 已知函数()()xeInx x x g x k x x f -=+-=4,11（e 是自然对数的底数），若对()[]3,1,1,021∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥成立，则正数k 的最小值为21.A 1.B 324.-C 324.+D11. 如图，网格线上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的某几何体的三视图， 其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为20.A 420.π+B 4320.π+C 4520.π+D12. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电脑的通和断两种状态相对应。
安徽省江南十校2019届高三3月联考理科数学试题
2019安徽省“江南十校”综合素质测试数学（理科）解析及评分标准一、选择题1. 答案 D 【解析】{2,2}A =−,故选D.2. 答案A 【解析】|i ||||||1i |2z z ====−,故选A.3. 答案C 【解析】标准方程为212x y =，故选C. 4. 答案B 【解析】由正弦定理知，sin sin 22cos sin sin 3B C C C C ===，cos 3C ∴= 25cos 22cos 1,9C C ∴=−=故选B. 5. 答案Ｄ 【解析】12AB AD ⋅=，2+3AE AB AD =，BD AB AD =−+ 212211(+)()1323326AE BD AB AD AB AD ⋅=⋅−+=−+−⨯=−,故选D. 6. 答案C 【解析】11121=2ABC A B C V L π−⋅三棱柱,故选C 7 .答案C 【解析】由已知得，24ππω=，112,()cos().223f x x πω∴==+故选C. 8 .答案A 【解析】由已知得()(),()f x f x y f x R −=−=且在上单调递增，22(3log )(log 1)f x f x ∴<−由可得223log log 1x x <−21log 2x ∴<−，解得：0x <<故选A. 9 .答案B 【解析】记(1,0)A ，则2224||2b c PF a −==，2214||22b c PF a a +=+=，1||1F A c =+， 2||1F A c =−，由角平分线性质得21122||||404||||PF F A c c c PF F A =⇒−=⇒=， 或作1AD PF ⊥于D ,由角平分线的对称性质知1112||||||||||24DF PF PD PF PF a =−=−==，2||||1AD AF c ==−，在1Rt ADF ∆中，222112||1,||||||AF c AF AF AD =+=+,解得4c =故12212214||||24.22PF F c S F F PF c ∆−=⨯=⋅=故选B. 10 .答案C 【解析】由已知，min min ()()f x g x ≥，由已知可得2min ()1),f x =+min ()3g x =，21)3,4k ∴+≥∴≥−故选C.11 .答案B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，216245420,484S ππππ∴=⨯−−⨯+⨯+=+表故选B. 12 .答案C 【解析】前44组共含有数字：44(441)1980⨯+=个，198044(20191980)2019441975,S ∴=−+−=−=故选C.二、填空题13. 答案２ 【解析】0,2x y ==时，min 3022z =⨯+=14. 答案1− 【解析】22sin cos 1sin 4cos 4αααα⋅=+，2tan 14tan 4αα=+，tan 2α=， []123tan =tan ()11123βαβα−+−==−+⨯. 15. 答案240 【解析】[]66()=()x y z x y z ++++，含2z 的项为24226T C()x y z =+⋅，所以形如2a b x y z 的项的系数之和为246C 2=240⋅.16.【解析】由已知动点P 落在以AB 为轴、该侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大，由P 到AB P 为AC 的中点，且2cos ,5BAC ∠=在BAP ∆中，由余弦定理可得 PB ==. 三、解答题17【解析】（1）由1232n n a a a a b ++++=①2n ≥时，123112n n a a a a b −−++++=②①−②可得：12()n n n a b b −=−(2)n ≥，∴3322()8a b b =−=∵12,0n a a =>，设{}n a 公比为q ，∴218a q =，∴2q =…………………………3分 ∴1222n n n a −=⨯=∴12312(12)222222212n nn n b +−=++++==−−，∴21n n b =−.…………6分 （2）证明：由已知：111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a c b b +++===−⋅−−−−. ………………9分 ∴12312231111111212121212121n n n c c c c +++++=−+−++−−−−−−− 111121n +=−<−………………………………………………………………………………12分18 【解析】（1）∵2AB =，1A B ，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形， ∴AO BC ⊥，且AO =1BO =，由11A AB A AC ∆≅∆得到11A B AC ==1A O BC ⊥， 且1AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分又BC AO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ， ∴平面1A BC ⊥平面ABC . ………………………………………6分（2）解法一：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，取11B C 中点K ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作1OG AA ⊥，以OG所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),B B C A −111(2,3,0),(0,3,0),(BC BB BA ∴=−==−……………………………………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,1)m x y =，则1130(2,0,1)020m BB y x m y m BA x y ⎧⋅==⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−+=⎪⎩⎩设所求角为θ，则11||2sin39||||13BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分1解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，以1OA 所在的直线为y 轴，以OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则1(1,0,0),(1,0,0)B A A C ，设1(,,)C x y z ，由11=C A CA可得1(C −，11(2,6,3),(1,0,3),(1,BC AB BA ∴=−−=−=−……………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,)m x yz =，则110,(6,1,0y m AB x x m z m BA x ⎧=⎧⋅=−=⎪⎪==⎨⎨=⎪⋅=−=⎪⎩⎩取 设所求角为θ，则11||2sin 39||||13BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分 解法三：由（1）111111332C ABA AOA V BCS BC AO A O −==⨯⨯⨯⨯=设C 到平面11ABB A 的距离为h ，则由111//CC ABB A 面知1C 到平面11ABB A 的距离也为h ，则 111111sin 60332CABA ABA V hS h AB A A h −===⨯⨯⨯⨯︒==………………………………9分 设所求角为θ，则1sin h BC θ===………………………………………………………12分 19【解析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0123，，，. 0353381(0)56C C P C ξ===，12533815(1),56C C P C ξ=== 2130535333883010(2),(3)5656C C C C P P C C ξξ======………………………………………………………………4分 故ξ的分布列为：所求0123.565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………6分（2）解法一：8882222111()72()8360i ii i i i x x x x x x ===−=⇒=−+⨯=∑∑∑ 888111()()34.5()()8226.5i i i i i i i i i xx y y x y x x y y x y ===−−=⇒=−−+⨯⨯=∑∑∑ 故去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−==== 2222255()736067672i i i i x x x x ≠≠−=−=−−⨯=∑∑ 5529()()7226.5637634.57i i i i i i x x y y x y x y ≠≠−−=−=−⨯−⨯⨯=∑∑…………………………9分 所以^34.50.4872b =≈，^^2934.56 1.27772a y b x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 解法二： 因为66x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响^b 的值， 所以^34.50.4872b =≈， …………………………………………………………………………9分 而去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−====， ^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分注： 若有学生在计算^a 时用^0.48b ≈计算得^^290.486 1.267a yb x =−⋅=−⨯≈也算对。
2019年安徽省“江南十校”高三联考数学(理)试题及答案
高考数学精品复习资料
2019.5
安徽省“江南十校”高三联考
数
学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若复数63ai
i （其中R a
，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a （）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
2. 已知命题
:p R x ，有2130x ，命题:q 02x 是2log 1x 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（
）A. p B. p q C. p
q D. p q 3. 下列结论正确的是（
）A. 若直线
//l 平面，直线//l 平面，则//B. 若直线l
平面，直线l 平面，则//C. 若两直线1l . 2l 与平面所成的角相等，则12
//l l D. 若直线l 上两个不同的点
. 到平面的距离相等，则//l 4. 已知四个函数sin sin f x x ，sin cos g x x ，cos sin h x
x ，cos cos x x 在,x 上的图象如下，则函数与序号匹配正确的是（
）A. f x —①，g x —②，h x —③，x —④。
安徽“江南十校”2019年高三3月联考(数学理)word版
安徽“江南十校”2019年高三3月联考（数学理）word版数学〔理科〕第I卷〔选择题共50分〕一.选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.(1) 己知为虚数单位，假设(1-2i)(a +i)为纯虚数，那么a的值等于〔〕(A) -6 (B) -2(C) 2 (D) 6(2) 集合，那么等于〔〕(A)(B)(C)(D)(3) 假设双曲线的一个焦点为(2,0)，那么它的离心率为〔〕(A) (B)(C) (D) 2(4) 现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.假设每个社区至少一名义工，那么甲、乙两人被分到不同社区的概率为〔〕(A) (B) (C) (D)(5) 设函数在及上有定义对雅定的正数M,定义函数那么称函数为的“孪生函数”.假设给定函数，那么的值为〔〕(A) 2 (B) 1 (C) (D)(A) 对于命题，使得，那么，均有(B) “x=1”是“”的充分不必要条件(C) 命题“假设，那么x=l”的逆否命题为：“假设，那么”(D) 假设为假命题，那么p，g均为假命题(7)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下图，那么该几何体的左视图为〔〕(8)定义在上的函数，其导函数双图象如下图，那么以下表达正确的选项是〔〕(A)(B)(C)(D)(9)巳知函数.有两个不同的零点且方程，有两个不同的实根.假设把这四个数按从小到大排列构成等差数列，那么实数m的值为〔〕(A)(B)(C)(D)(10)假设不等式组表示的平面区三角形，那么实数K的取值范围是(A)(B)(C)(D)第II卷(非选择题共100分〕二填空题：本大题共5小题,每题5分.共W分.把答案填在题中的横线上.(11)在极坐标系中，直线被圆所截得的弦长为___________,(12)根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20〜80mg/100mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据有关报道，在某个时期某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，那么属于醉酒驾车的人数约为_________.(13)某程序框图如下图，该程序运行后输出的n的值是_________(14)如衝放置的正方形ABCD,AB=1.A,D分别在X轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，那么的最大值是_________.(15)如图是一副直角三角板.现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD,那么以下表达正确的选项是._________①；②平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直;③异面直线BC与AD所成的角为60%④四面体有外接球；⑤直线DC与平面ABC所成的角为300三.解答题：本大题共6小題，共75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.(16) (本小题总分值12分〕设函数，，(w为常数，且m>0),函数f(x)的最大值为2.(I)求函数的单调递减区间；(II)a,b,c是的三边，且.假设，，求B的值.(17) (本小题总分值12分〕在等比数列中，，且，又的等比中项为16. (I)求数列的通项公式：(II)设，数列的前项和为，是否存在正整数k,使得对任意恒成立.假设存在，求出正整数k的最小值；不存在,请说明理由.(18) (本小题总分值12分〕“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器.某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%,也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%,也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和n(其中a+b=1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用表示投资收益〔投资收益=回收资金一投资资金)，求的概率分布及均值〔数学期望〕；(II)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a的取值范围.(19)(本小题总分值12分〕如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG、平面ADF、平面CDE都与平面ABCD垂直，且ΔABG,ΔADF,ΔCDE都是正三角形.(I)求证：AC//EF；(II)求多面体ABCDEFG 的体积. (20)(本小题总分值14分〕 设M 是由满足以下条件的函数构成的集合：①方程，有实数根②函数的导数满足.(I)假设函数为集合M 中的任意一个元素，证明：方程只有一个实数根；(II)判断函数是否是集合M 中的元素,并说明理由；(III)设函数为集合M 中的任意一个元素，对于定义域中任意，当,且时,证明：.(21)(本小题总分值13分〕如图,椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A ，B,右焦点为F,且.(I)求椭圆的标准方程； (II)过椭圆的右焦点F 作直线，直线l 1与椭圆分别交于点M,N ，直线l 2与椭圆分别交于点P,Q,且，求四边形MPNQ 的面积S 的最小值.2018年安徽省“江南十校”高三联考数学(理科)参考答案及评分标准一.选择题(1)B 【解析】i a a i a i )21()2())(21(-++=+-,由复数的定义有:⎩⎨⎧≠-=+02102a a ,∴2-=a .(2)A 【解析】由集合M 得,2122<-<-x 所以有2321<<-x ,由集合N 得1>x 故N M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<231x x .(3)C 【解析】由412=+a ,那么3=a ,∴33232===a c e .(4)B 【解析】23232343516C A C A ⋅-=⋅.(5)Ｂ【解析】由题设,,12)(2≤-=x x f 那么当1-≤x 或1≥x 时,22)(xx f M-=;当11<<-x 时,1)(=x f M .∴1)0(=Mf .(6)D 【解析】假设q p ∧为假命题,那么q p ,中至少有一个为假命题,故D 选项错误. (7)B 【解析】由三视图可知.(8)C 【解析】考查函数)(x f 的特征图象可得:)()()(a f b f c f >>正确.(9)D 【解析】设两个根依次为)(,βαβα<.而函数)(x f y =的零点为23,2ππ,那么由图象可得:2322,232πππβαπβαπ+==+<<<.∴可求2365cos ,65-==∴=ππαm .(10)C 【解析】符合题意的直线在如图中的阴影区域内， 可求得320≤<k 或2-<k 、 二、填空题(11)34【解析】将直线与圆化成普通方程为:16,02222=+=-+y x y x ,进而可求得.(12)75【解析】由频率分布直方图得:75500)10005.01001.0(=⨯⨯+⨯.(13)4【解析】当1=n 时,S T S T ≤==,9,1;当2=n 时,S T S T ≤==,10,3;当3=n 时,S T S T ≤==,13,9;当4=n 时,,22,27==S T 不满足S T ≤,∴输出4=n . (14)2【解析】法一:取AD 的中点M ,连接OM .那么.212121121)(110)()(=⨯⨯+=+≤∙+=+∙+=∙+∙++=∙+∙+∙+∙=+∙+=∙法二:设θ=∠BAx ,那么)20(),cos sin ,(cos ),sin ,cos (sin πθθθθθθθ≤≤++C B,22sin 1cos sin sin cos cos sin )sin ,cos (sin )cos sin ,(cos 22≤+=+++=+∙+=∙∴θθθθθθθθθθθθθOB OC (15)①④⑤ 三、解答题(16)解：(Ⅰ)由题意)sin(2)(2ϕ++=x m x f又函数)(x f 的最大值为2,且0>m ,那么2,222=∴=+m m ……………………………………………………….2分∴)4sin(2cos 2sin 2)(π+=+=x x x x f由Zk k x k ∈+≤+≤+,232422πππππ………………………………………….4分 ∴Zk k x k ∈+≤≤+,45242ππππ 故函数)(x f 的单调递减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,452,42ππππ…………………6分(Ⅱ)212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a B ，当且仅当c a =时取等号、30,21cos 1π≤<∴≥>∴B B ……………………………….……………9分12,3)4sin(2)(ππ=∴=+=B B B f ……………………..………...……12分(17)解：(Ⅰ)由题163=a ,又823=-a a ,那么2,82=∴=q a∴12+=n n a …………………………………………………………….….....4分(Ⅱ)1411(3)log 2, (624)n n n n n n n b S b b +++==∴=+⋅⋅⋅+=分 )311(34)3(41+-=+=n n n n S n922)31211131211(34311...613151214111(341...111321<+-+-+-++=+-++-+-+-=++++∴n n n n n S S S S n …………………………………………………………………………………….10分 所以正整数k 可取最小值3…………………………………………..…….………...12分 (18)解：(Ⅰ)依题意，ξ的可能取值为20，0，—10，…………………………1分ξ的分布列为……………………………………………………………………………..………4分 1051)10(5105320=⨯-+⨯+⨯=ξE 〔万元〕…………………………….…6分 (Ⅱ)设η表示100万元投资投资“低碳型”经济项目的收益，那么η的分布列为20502030-=-=a b a E η……………………………………………….……10分依题意要求102050≥-a ，∴153≤≤a ……………………………………….…12分注：只写出53≥a ，扣1分. (19)解:(Ⅰ)证明：方法一，如图，分别取AD 、CD 的中点P 、Q ，连接FP ，EQ.∵△ADF 和△CDE 是为2的正三角形， ∴FP ⊥AD,EQ ⊥CD,且FP=EQ=3.又∵平面ADF 、平面CDE 都与平面ABCD 垂直， ∴FP ⊥平面ABCD ,EQ ⊥平面ABCD ,∴FP ∥QE 且FP=EQ ，∴四边形EQPF 是平行四边形，∴EF ∥PQ.……………………….……..４分 ∵PQ 是ACD ∆的中位线，∴PQ ∥AC,∴EF ∥AC ………………………………………………………………..……..6分方法二，以A 点作为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，过点A垂直于xOy 平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图、 根据题意可得，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,3)，F(0,1,3)，G(1,0,3).…………………………………………..………………..４分 ∴AC =〔2，2，0〕，=(1，1，0)，那么AC =2，∴AC ∥，即有AC ∥FE ……………………………………………..……..6分 (Ⅱ)33833232=+=+=--ADEGF CDE ABG ABCDEFG V V V 四棱锥三棱柱多面体 (12)分(20)解：(Ⅰ)令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数,所以，方程0)(=x h ，即0)(=-x x f 至多有一解， 又由题设①知方程0)(=-x x f 有实数根，所以，方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根…………………………………..4分 (Ⅱ)易知，)1,0()21,0(2121)('⊆∈-=x x g ，满足条件②； 令)1(32ln 2)()(>+--=-=x xx x x g x F ， 那么12)(,0252)(22<+-=>+-=e e F e e F ，…………………………………..7分 又)(x F 在区间[]2,e e 上连续，所以)(x F 在[]2,e e 上存在零点0x ，即方程0)(=-x x g 有实数根[]20,e e x ∈，故)(x g 满足条件①，综上可知，M x g ∈)(……….……………………………...……….….…………9分 (Ⅲ)不妨设βα<，∵0)('>x f ,∴)(x f 单调递增， ∴)()(βαf f <,即0)()(>-αβf f ，令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数， ∴ααββ-<-)()(f f ,即αβαβ-<-)()(f f ， ∴αβαβ-<-<)()(0f f ， 那么有220122012)()(<-+-≤-<-βαβαβαf f (14)分(21)解:〔Ⅰ〕设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,那么由题意知1=c , 又∵,1=∙即.2,1))((222=∴-==-+a c a c a c a ∴1222=-=c a b ,故椭圆的方程为:1222=+y x ……………………………………….…………….2分(Ⅱ)设),(),,(),,(),,(Q Q P P N N M M y x Q y x P y x N y x M .那么由题意+=+,即22222222)()()()()()()()(Q M Q M P N P N Q N Q N P M P M y y x x y y x x y y x x y y x x -+-+-+-=-+-+-+-整理得,0=--++--+Q N P M Q M P N Q N P M Q M P N y y y y y y y y x x x x x x x x即0))(())((=--+--Q P M N Q P M N y y y y x x x x所以21l l ⊥…………………………………………………………………..….…..6分(注:证明21l l ⊥,用几何法同样得分)①假设直线21,l l 中有一条斜率不存在,不妨设2l 的斜率不存在,那么可得x l ⊥2轴, ∴2,22==PQ MN ,故四边形MPNQ 的面积22222121=⨯⨯==MN PQ S …….…….…….7分 ②假设直线21,l l 的斜率存在,设直线1l 的方程:)0)(1(≠-=k x k y ,那么由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(1222x k y y x 得,0224)12(2222=-+-+k x k x k设),(),,(2211y x N y x M ,那么1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x12)1(2212)22(4)124(14)(1122222222212212212++=+--++=-++=-+=k k k k k k kx x x x k x x k MN…………………………………………………………………………………….9分 同理可求得，222)1(22k k PQ ++=………………………….………….……….10分 故四边形MPNQ 的面积:1916211242)1(2212)1(222121222222±=⇔≥+++=++⨯++⨯==k kk k k k k MN PQ S 取“=”,综上，四边形MPNQ 的面积S 的最小值为916…………….………………….……13分。
安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)试题 PDF版含答案
sin cos 1 tan 1 = ， = ， tan = 2 ， 2 2 2 sin + 4cos 4 4 + tan 4
1 −2 tan = tan ( + ) − = 3 = −1 . 1 1+ 2 3
15. 答案 240
2 ( x + y ) 4 z 2 ，所以形如 【解析】 ( x + y + z )6 = ( x + y) + z ，含 z 2 的项为 T2 = C6
( k + 1)2 3, k 4 − 2 3, 故选 C.
第1页 共 8 页
11 .答案 B
【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个四分之一圆柱
及一个八分之一球体得到的组合体， S表 = 6 22 − 4 − 5 12 .答案 C
1 + 4 + = 20 + , 故选 B. 4 8 4
【解析】前 44 组共含有数字： 44 (44 + 1) = 1980 个，
S = 1980 − 44 + (2019 − 1980) = 2019 − 44 = 1975, 故选 C.
二、填空题 题号 答案 13. 答案２ 14. 答案 −1 13
2
14Βιβλιοθήκη −11516240
57
【解析】 x = 0, y = 2 时， zmin = 3 0 + 2 = 2 【解析】
PB = 82 + 52 − 2 8 5 2 = 57 . 5
三、解答题 17【解析】 （1）由 a1 + a2 + a3 +
【校级联考】安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)试题-490329328b3745d3b943781280a7a6b7
绝密★启用前【校级联考】安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．复数（ 为虚数单位），则 （ ）A ．B ．C ．D ．2 3．抛物线 的焦点坐标是（ ） A ．B ．C ．D ．4．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知边长为1的菱形 中， ，点 满足 ，则 的值是（ ） A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线 绕 轴旋转一周得几何体 ，将 放在与 轴垂直的水平面 上，用平行于平面 ，且与 的顶点 距离为 的平面截几何体 ，得截面圆的面积为 .由此构造右边的几何体 ：其中 平面 ，…………外…………线……………………内…………线………… ， ， ，它与 在等高处的截面面积都相等，图中 为矩形，且 ， ，则几何体 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的最小正周期为 ，则下面结论正确的是（ ）A ．函数 在区间 上单调递增B ．函数 在区间 上单调递减C ．函数 的图象关于直线对称 D ．函数 的图象关于点对称 8．设函数，则不等式 的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ， 为右支上一点且直线 与 轴垂直，若 的角平分线恰好过点 ，则 的面积为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 10．已知函数，（ 是自然对数的底数），若对 ，，使得 成立，则正数 的最小值为（ ） A ．B ．1C ．D ．11．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．C ．D ．12．计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即个，则该数的所有数字之．．．和．为（）A．1973B．1974C．1975D．1976………外………○…………订…※※订※※线※※内※※答………内………○…………订…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．设 ， 满足约束条件，则 的最小值为_______．14．已知，且，则 的值为______．15．在 的展开式中，所有形如 的项的系数之和是_____（用数字作答）.16．如图，三棱锥 中， ， ， ，点 在侧面 上，且到直线 的距离为 ，则 的最大值是_______．三、解答题17．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .（Ⅰ）求数列 与 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足， 为数列 的前 项和，证明： .18．斜三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ， .（Ⅰ）证明：平面 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：Array注：年返修率年返修台数年生产台数（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.附：线性回归方程中，，. 20．设是坐标原点，圆：，椭圆的焦点在轴上，左、右顶点分别为，，离心率为，短轴长为4.平行轴的直线与椭圆和圆在轴右侧的交点分别为，，直线与轴交于点，直线与轴交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.21．已知定义在区间上的函数，.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅱ）点为曲线上一点，若曲线上存在两点，，使得，求的取值范围.23．[选修4-5：不等式选讲]设函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若函数的定义域为，求的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】求解出集合的范围，根据补集定义求解.【详解】或又，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合基本运算中的补集，属于基础题. 2．A【解析】【分析】将整理成的形式，与模长相同，求即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.3．C【解析】【分析】将方程化为标准形式，然后可得焦点坐标.【详解】抛物线标准方程为，焦点在轴上焦点坐标为本题正确选项：【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点，易错点是忽略了原方程是否为标准方程，而直接去求解. 4．B【解析】【分析】由正弦定理可推导出的取值，再利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理可得：即本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.5．D【解析】【分析】将通过线性运算进行拆解，转变成与向量和相关的数量积和模长求解即可.【详解】由题意可得大致图像如下：；又，本题正确选项：【点睛】本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题.6．C【解析】【分析】通过截面面积相等可求得的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为处，截面面积为，且截面面积相等本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.7．C【解析】【分析】最小正周期为，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入，与进行对比，得到正确结果.【详解】由题意知：选项和选项：当时，，当时，单调递减；时，单调递增.因此，和都错误；选项：时，；是的对称轴，则是的对称轴.因此，正确；选项：由可知，是对称轴的位置，则必不是对称中心.错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将范围代入函数，得到整体所处的范围，进而与图像相对应，确定最终结果.8．A【解析】【分析】判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.【详解】为上的奇函数又可知与在上都单调递增，即与在上都单调递增当时，，；假设则即：在上单调递增又为奇函数，则在上单调递增，即在上单调递增由可得：即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.9．B【解析】【分析】根据双曲线几何性质及定义，可用表示出与，再利用角平分线定理，求得，即可用表示出所求面积.【详解】记，则，由题意可知，为双曲线通径长的一半，即由双曲线定义可知：由角平分线性质定理可得：本题正确选项：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，关键在于能够熟练应用双曲线的定义表示长度，同时涉及角平分线问题时，角平分线定理是常用的比例关系.10．C【解析】【分析】，，使得成立，说明，分别求出与的最小值，建立不等关系求解.【详解】“，，使得成立”等价于当时，令，解得：，在上单调递减，上单调递增当时，令，解得：在上单调递减，上单调递增当时，此时在上单调递增，上单调递增减，，无最小值，不合题意综上所述：，令，解得：在上单调递减，在上单调递增本题正确选项：【点睛】本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解时，需要对的范围进行讨论，才能最终确定取值. 11．B【解析】【分析】通过三视图还原几何体后，用正方体表面积减掉去除的面积，再加上因割正方体而增加的面的面积即可得到结果.【详解】由三视图可得几何体如图所示：由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体本题正确选项：【点睛】本题考查组合体的表面积问题，关键在于能够通过三视图准确还原组合体.12．C【解析】【分析】通过分组将问题变为等差数列求和的问题，先利用数位求解出分组的组数，再根据每组数字之和为首项为，公差为的等差数列，求解出最终结果.【详解】将数字从左只有以为分界进行分组第一组为，数字和为；第二组为，数字之和为；第三组为，数字之和为；以此类推数字共位，则，前组共有位则前位数字之和为：剩余数位为：则所有数字之和为：本题正确选项：【点睛】本题考查数列求和的问题，关键在于能够将数据进行合理分组，构建出等差数列的模型，从而解决问题.13．2【解析】【分析】通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线在轴截距最小的问题，通过图像解决.由题意可得可行域如下图所示：令，则即为在轴截距的最小值由图可知：当过时，在轴截距最小本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在轴截距的问题.14．-1【解析】【分析】通过，的齐次式，求得的值；再利用两角和差的正切公式求解.【详解】又解得：本题正确结果：本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题.15．240【解析】【分析】将变为，将所求问题转变为的所有系数之和，通过赋值法可求得结果.【详解】则展开式通项为：含的项的为：则形如项的系数之和即为展开式的系数之和令，，则：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的相关知识，求解系数之和问题的关键方法是赋值法，通过赋值，消除变量的影响，得到系数之和.16．【解析】【分析】通过点到直线距离为定值，确定点在圆柱侧面上，同时确定点轨迹；根据椭圆性质可知，当落在上时，最大；根据距离可确定为中点，然后利用余弦定理解出结果.【详解】动点到直线的距离为定值动点落在以为轴、底面半径为的圆柱的侧面上可知侧面与三棱锥侧面的交线为椭圆的一部分设其与的交点为，此时最大由题意可得，点到的距离为：则到的距离为可知：为的中点又在中，由余弦定理可得本题正确结果：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.17．（1）；（2）见证明【解析】【分析】（1）通过作差的方式得到，从而求解出公比，进而得到；可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到，通过放缩得到所证结果.【详解】（1）由……①时，……②①-②可得：，，设公比为（2）证明：由已知：当时，即：【点睛】本题考查等比数列以及裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式确定可以进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.18．（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明和，得到平面，进而得到面面垂直；（2）利用空间向量法，得到所求正弦值等于的值；也可以利用体积桥的方式，求出到平面的距离，从而求得正弦值.【详解】（1），，由余弦定理：即或故取中点，连接，，如图所示：是边长为的正三角形，可得：，由得到又为中点，且又，平面平面平面平面（2）解法一：以为原点，所在的直线为轴，取中点，以所在的直线为轴，过作，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，,,，，设平面的一个法向量为则设所求角为，则解法二：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，，，设，由可得，，设平面的一个法向量为则，取，则设所求角为，则解法三：由（1）设到平面的距离为，则由面知到平面的距离也为，则设所求角为，则【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明和直线与平面所成角问题.立体几何求解角度问题常常采用空间向量法来求解，线面角的正弦值即为直线与平面法向量所成角的余弦值；也可以求解出直线上的点到平面的距离，再利用直角三角形求解.19．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据数据，确定考核优秀的年份数量，利用超几何分布来求解分布列和数学期望；（2）确定去掉年数据后，公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线.【详解】（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀的所有可能取值为，，，，，，故的分布列为：则数学期望（2）解法一：故去掉年的数据之后：，所以，从而回归方程为：解法二：因为，所以去掉年的数据后不影响的值所以而去掉年的数据之后，从而回归方程为：【点睛】本题考查概率统计部分的超几何分布和线性回归问题，关键在于根据题意确定好概率模型，选择合适的模型来进行计算.20．（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，得到关于的方程，求得结果；（2）解法一：假设方程和坐标，利用得到和的坐标，从而将转化为关于的式子，求得范围；解法二：假设方程和坐标，与椭圆方程联立解出点坐标，进一步推导出坐标，将转化为关于的式子，求得范围.【详解】（1）设椭圆的标准方程为由题意得，解得椭圆的标准方程为（2）解法一：设且，，，，设，共线，得，同理得解法二：设，，联立得：，，令得又由，令得又轴【点睛】本题考查直线与椭圆中的求解参数范围类问题，求解范围类问题的关键是能够根据已知关系，构造出关于参数的不等式；常见的已知关系有向量关系、位置关系、长度关系等. 21．(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）利用导数求得函数单调性，可证得；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程在上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到范围.【详解】（1）证明：时，在上递减，在上递增（2）当时，，，明显不满足要求；当时，设切点为（显然），则有，整理得由题意，要求方程在区间上有两个不同的实数解令①当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再递增而，，，在区间上有唯一零点，在区间上无零点，所以此时不满足题要求.②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，在区间上有唯一零点，所以此时不满足题要求.③当时，在上单调递减，在上单调递增，，，当即时，在区间上有唯一零点，此时不满足题要求.当即时，在区间和上各有一个零点设零点为，又这时显然在区间上单调递减，此时满足题目要求.综上所述，的取值范围是（2）解法二：设切点为由解法一的关于的方程在区间内有两解显然不是方程的解故原问题等价于在区间内有两解设，且则，且令，，则又，；，，故，；，从而，递增，，递减令，由于时，时故，；，，而时，，时，故在区间内有两解解得：【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数.22．(1) ：，：.(2)【解析】【分析】（1）根据和直接化简求得结果；（2）过作圆切线，此时两切线夹角为临界状态，需大于等于才能出现的情况，利用角的正弦的范围求出的范围.【详解】（1）由题意得：（2）由（1），过作曲线的两条切线，切点分别记为曲线上存在两点，使得即，即【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键在于通过临界值将问题转移到直角三角形内的角的范围问题，构造不等式求解出最终结果.23．(1) (2)【解析】【分析】（1）利用零点分段法讨论各个区间的解析式，得到取值范围；（2）利用恒成立思想，根据绝对值不等式的性质求得最值，得到的范围.【详解】（1）当时，定义域基本要求为：当时，当时，，无解当时，综上：的定义域为（2）由题意得：恒成立【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，关键在于本题定义域为等价于恒成立，利用恒成立中的分离变量法求解.。
安徽省江南十校2019届高三第二次大联考(理科)数学含答案
江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，为虚数单位，若复数，，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或2.已知集合，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3.下列四个命题中，错误的命题是（）A. 等比数列的公比为，若，则数列为递增数列B. “若，则”的逆命题为真C. 命题“，均有”的否定是：“，使得”D. 中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件4.已知等差数列的前项和，且，，则等于（）A. B. C. D.5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，6.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.7.已知，则的值为（）A. B. C. D. 28.已知实数满足，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，分别为的中点，给出以下结论：①平面；②平面；③平面与平面交线为，则；④平面。
则以上结论正确的序号为（）A. ①③B. ②③C. ①②③D. ①②③④10.已知实数满足，则函数的最大值为（）A. -4B. 8C. 4D. 011.如图，已知点为等边三角形的外接圆上一点，点是该三角形内切圆上一点，若，，则的最大值为（）A. B. 2 C. D.12.已知定义在上函数：满足，为函数的导函数，且无零点，则的值为（）A. 0B. 2C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.各项均不为0的等差数列满足：，等比数列的前项和为，满足，且，则的值为__________．14.已知平面向量满足：，，，则向量在方向上的投影为__________．15.已知在直角坐标系中，，，若点满足，的中点为，则的最大值为__________．16.若，满足恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知平面向量，，.（1）若，求的值；（2）若，求函数的最大值和最小值及相应的值.18.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.19.已知是数列的前项和，，，对，，都有成立. （1）求；（2）若，求数列的前项和.20.如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.21.已知椭圆，为其短轴的一个端点，分别为其左右两个焦点，已知三角形的面积为，且.（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆交于，为线段的中点，且，求的最大值.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数，在其定义域上有且只有两个零点，求的取值范围.江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，为虚数单位，若复数，，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】根据，从而得到复数的模的平方等于2，从而得到，利用复数的乘方运算，得到结果.【详解】由已知得：或-1，故，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的运算问题，涉及到的知识点有复数z与其共轭复数的乘积等于复数的模的平方，复数的乘法运算法则，熟练掌握基础知识是解题的关键.2.已知集合，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】利用对数式的真数大于零，得到函数的定义域，从而求得集合A和集合B，之后应用真包含关系，确定出是的充分不必要条件.【详解】依题意：，，，故选A.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有对数型函数的定义域的求解，充分必要条件的判断等，属于简单题目.3.下列四个命题中，错误的命题是（）A. 等比数列的公比为，若，则数列为递增数列B. “若，则”的逆命题为真C. 命题“，均有”的否定是：“，使得”D. 中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件【答案】A【解析】【分析】对选项逐个分析，可以判断得出四个选项正确与否，从而得出正确的结果.【详解】对于A项，当首项小于零时，若，可得数列为递减数列，所以A项错误；对于B项，所给命题的逆命题为：若，则，所以B项正确；对于C项，根据全称命题的否定形式，可知其为正确的，所以C项正确；对于D项，根据三角形中大边对大角，以及余弦函数在区间上是减函数，所以D项正确；故选A.【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有等比数列的单调性，不等式的性质，余弦函数的单调性，含有一个量词的命题的否定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据题中所给的条件，写出关于和的方程组，求解即可求得和的值，之后应用等差数列的通项公式写出.【详解】由已知条件得：，解得，，故，故选A.【点睛】该题考查的是有关等差数列的通项公式的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的通项公式，属于简单题目.5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的几何体的三视图,可以得到该三棱锥的顶点都在以2,1,2为长、宽、高的长方体的顶点处，所以求出对应长方体的外接球的半径即可.【详解】该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知，长方体的三条棱长为2,1,2，故可得表面积为，体积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的体积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，长方体的外接球的半径，球的体积公式，属于中档题目.6.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据第一象限内的点在圆内,从而求得，根据直线的对称性，可知四边形是直线与坐标轴围成的三角形的面积的四倍，结合三角形的面积公式以及重要不等式求得结果. 【详解】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.【点睛】该题考查的是有关四边形的面积的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，四边形的分解，三角形的面积公式，重要不等式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.7.已知，则的值为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】首先利用正弦的差角公式对已知的式子进行化简，从而求得，之后直接利用两角和的正切函数化简求解即可.【详解】由，故，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有正弦函数的差角公式，同角三角函数关系式，正切的和角公式，属于简单题目.8.已知实数满足，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出可行域，求出三角形区域的顶点坐标，代入比较得出最大值，即可得结果.【详解】画出可行域如图，其中，，，故当时，，故选D.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要准确地画出约束条件对应的可行域，找出最优解，将最优解代入目标函数，求得结果.9.如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，分别为的中点，给出以下结论：①平面；②平面；③平面与平面交线为，则；④平面。