人教版九年级上册数学 第二十四章圆的整章知识点例题讲解(67张PPT)
是___0_＜__r_＜__3__.
4．⊙O的半径为6，点O到直线l的距离为6.5，则直线l
与⊙O的位置关系是（ A ）
2．当直线l和圆有唯一公共点时，直线l与圆的位置关
系是__相__切______，圆心到直线l的距离d与圆的半径r之 间的关系为___d_=__r _____.
学习过程
●合作探究，共同提高
3．已知∠AOC=30°，点B在OA上，且OB=6，若以点B 为圆心，r为半径的圆与直线OC相离，则r的取值范围
8．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相 交于点D，E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm，求直尺 的宽度．
弧、弦、圆心角
●自主学习，独立思考
1.学前准备：完成以下各题.
（ 1 ） 定 义 ： _ _ _ _顶_ _点_ _在_ _圆_ _心_ _的_ _角_ _ _ _ 叫 做 圆 心 角 . （2）定理：在_同__圆___或__等__圆中，相等的圆心角所对 _ _ _ _弧_ _ _ _ _ _ 的 相 等 ， 所 对 的 _ _ _ _ _ _弦_ _ _ _ 也 相 等 . （3）推论1：在__同__圆__或__等__圆中，如果两条弧相等，那 么 它 们 所 对 _ _ _圆_ _心_ _角_ _ _ 的 相 等 ， 所 对 的 _ _ _ _ _弦_ _ _ _ _ 相
D分别是劣弧
与优弧
上的任一点（点C，
D均不与A，B重合）.
（1）求弦AB的长；
（2）求△ABD的最大面积.
EF
2 点和圆、直线和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系 2.直线和圆的位置关系 3.切线的判定和性质 4.切线的判定和性质的运用
1、点和圆位置关系
●自主学习，独立思考
1.学前准备：
（1）点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心 的距离OP=d，则有：
（3）三角形的外接圆及三角形的外心：
经过三角形三个顶点的圆 _ _ _ _三_ _角_ _形_ _外_ _接_ _圆_ _的_ _圆_ _心_ _ _ _ 叫 做 三 角 形 的 外 接 圆 .
________________________叫做三角形的外心.三角
形的外心到三角形的三个顶点的距离__相__等____，这个
1.学前准备：完成以下各题.
（1）圆周角的定义：___顶__点__在__圆__上__，__并__且___两__边__都 与__圆__相__交__的__角___，叫做圆周角. （2）定理：一条弧所对的_____圆__周__角___等于它所对 的圆心角的______一__半____. （3）推论：①__同__弧___或__等__弧_所对的圆周角相等；② _______半__圆___（或直径）所对的圆周角是直角， _____9_0_°_____的圆周角所对的弦是直径. （4）圆内接多边形：圆内接四边形的对角__互__补__.
垂直于弦的直径
2．自主探究： (1）创设情境，探索垂径定理.如图，如果⊙O的直径 CD垂直于弦AB，垂足为M，那么这个图形还是轴对称图 形吗？若把圆沿着直径CD折叠你会发现什么？ 垂径定理的几何语言叙述： ∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB， ∴________________________________. (2)垂径定理的推论.
第二十四章 圆
1、圆有关的性质 2、点和圆、直线和圆的位置关系 3、正多边形和圆 4、弧长和扇形面积
大道教育：陶老师
圆有关的性质
1.什么是圆？ 2.垂直圆的直径 3.弧、弦、圆心角 4、圆周角
什么是圆？
●自主学习，独立思考 1 . 学 前 准 备 ： 圆 的 基 本 要 素 是 _圆_ _心_ _ _ 和 _半_ _径_ _ _ ， 其 中 __圆__心____确定了圆的位置， ___半_径____确定了圆的大 小.点A绕点B旋转一周，点A的运动轨迹其实就是一个 圆 ， 其 中 点 _ _ _ _B_ _ _ _ 是 圆 心 . 2.自主探究： 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端 点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫 做___圆_____.
4．圆中最长的弦长为12 cm，则该圆的半径为
__6A_c_Bm_，__A_.C，BC 5 ． 如 图 ， 半 径 有 _ _O_ _A_，_ _ _O_B_，_ _ _O_ C_ _ ； 弦 有
________________；劣弧有____________； 优弧有________.
学习过程
●合作探究，共同提高 6．典例导学：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
（B）
A．点A在⊙B上
B.点A在⊙B外
C.点 A在⊙B内
D.无法确定
学习过程
5.以平面直角坐标系的原点O为圆心，5为半径作圆， 点A的坐标为(-3，-4)，则点A与⊙O的位置关系是
（A ）
A.点A在⊙O上
B.点A在⊙O外
C.点 A在⊙O内
D.无法确定
6．直角三角形的外心在三角形的（ D ）
A.内部
推论：平分弦（_不__是___直__径）的直径垂直于弦，并 且_______平___分__弦__所__对__的_.两条弧
学习过程
3．如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
那么下列结论中，错误的是（ ） D
A．CE=DE
B．
C．
D．OE=BE
4．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB
D
学习过程
2．经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作 圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？试画出圆.
学习过程
3．已知⊙O的半径为4，A为线段OP的中点，当OP=10
时，点A与⊙O的位置关系为（ B ）
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．不确定
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，以点B为 圆心，4为半径作⊙B，则点A与⊙B的位置关系是
学习过程
●合作探究，共同提高 7.典例导学：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m， 求赵州桥主桥拱的半径.（结果保留小数点后一位）
●启发点拨，能力提升
学习过程
只有一个
②如图B，直线和圆________公共点，那么就说直线和
圆 叫
做_相_圆_切_的_____切___点，__这__条.直线叫
做圆的
_切__线__
___
，这个点
③ 如 图 C ， 直 线 和 圆 _有_ _ _两_ _个_ _ 公 共 点 ， 那 么 就 说 直 线 和
圆_相__交_____ ，这条直线叫做圆的__割__线____.
等.
学习过程
（4）推论2：在__同__圆__或__等__圆中，如果两条弦相等，那 么 它 们 所 对 _ _ _ _ _圆_ _心_ _角_ 的 相 等 ， 所 对 的 _ _ _ _弧_ _ _ _ _ _ 相
等. （5）定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中，两个
_ _ _ _圆_ _心_ _角_ _ 、 两 条 _ _ _ _弦_ _ _ _ _ _ 、 两 条 _ _ _ _ _弧_ _ _ _ _ 中 如 果 有 一 组 量 相 等 ， 则 _ _ _ _ _ _ _其_ _他_ _两_ _组_ _量_ _ _ _ _ 也 相 等 .
5．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度
数为（ D ）
A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
学习过程
●合作探究，共同提高 6.如图，⊙O直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平 分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
学习过程
8.如图，已知⊙O的半径为2，∠ACB=120°，点C与点
学习过程
3．到定点O的距离等于定长r的所有的点组成的图形叫
做 _ _ _ _ _圆_ _ _ （ 这 也 是 判 断 点 是 否 在 圆 上 的 方 法 ） . 圆 的 表 示 方 法 ： 以 点 O 为 圆 心 的 圆 ， 记 作 _ _⊙_ _O_ _ _ _ ， 读 作 “圆_ _O_ _ _ _ _ _ ” .
分析：要证A，B，C，D四个点在⊙O上，只需证 OA=OB=OC=OD.
学习过程
●启发点拨，能力提升
7．如图，一副斜边相等的直角三角板（∠DAC=45°， ∠BAC=30°），按如图所示的方式在平面内拼成一个
四边形．A，B，C，D四点在同一个圆上吗？请说明理 由．
解：在同一个圆上．理由如下： 取AC的中点O，连接OB， OD． 在Rt△ABC中，∵点O是AC的中点， ∴OB=OA=OC，同理OD=OA=OC． ∴OA=OB=OC=OD． ∴A， B， C， D四点在同一个圆上．
（1）以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D 与⊙A的位置关系如何？ （2）以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一 点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取 值范围是什么？
2、直线与圆的位置关系
●自主学习，独立思考 1.学前准备
（1）直线和圆的三种位置关系：
① 如 图 A ， 直 线 和 圆 _ _无_ _ _ _ _ _ 公 共 点 ， 那 么 就 说 直 线 和 圆__相__离____.
的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
学习过程
5．如图，已知⊙O的直径为20 mm，弦AB=16 mm，则圆
心O到AB的距离是（ D ）
A．2 mm
4．⊙O的半径为6，点O到直线l的距离为6.5，则直线l
与⊙O的位置关系是（ A ）
2．当直线l和圆有唯一公共点时，直线l与圆的位置关
系是__相__切______，圆心到直线l的距离d与圆的半径r之 间的关系为___d_=__r _____.
学习过程
●合作探究，共同提高
3．已知∠AOC=30°，点B在OA上，且OB=6，若以点B 为圆心，r为半径的圆与直线OC相离，则r的取值范围
8．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相 交于点D，E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm，求直尺 的宽度．
弧、弦、圆心角
●自主学习，独立思考
1.学前准备：完成以下各题.
（ 1 ） 定 义 ： _ _ _ _顶_ _点_ _在_ _圆_ _心_ _的_ _角_ _ _ _ 叫 做 圆 心 角 . （2）定理：在_同__圆___或__等__圆中，相等的圆心角所对 _ _ _ _弧_ _ _ _ _ _ 的 相 等 ， 所 对 的 _ _ _ _ _ _弦_ _ _ _ 也 相 等 . （3）推论1：在__同__圆__或__等__圆中，如果两条弧相等，那 么 它 们 所 对 _ _ _圆_ _心_ _角_ _ _ 的 相 等 ， 所 对 的 _ _ _ _ _弦_ _ _ _ _ 相
D分别是劣弧
与优弧
上的任一点（点C，
D均不与A，B重合）.
（1）求弦AB的长；
（2）求△ABD的最大面积.
EF
2 点和圆、直线和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系 2.直线和圆的位置关系 3.切线的判定和性质 4.切线的判定和性质的运用
1、点和圆位置关系
●自主学习，独立思考
1.学前准备：
（1）点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心 的距离OP=d，则有：
（3）三角形的外接圆及三角形的外心：
经过三角形三个顶点的圆 _ _ _ _三_ _角_ _形_ _外_ _接_ _圆_ _的_ _圆_ _心_ _ _ _ 叫 做 三 角 形 的 外 接 圆 .
________________________叫做三角形的外心.三角
形的外心到三角形的三个顶点的距离__相__等____，这个
1.学前准备：完成以下各题.
（1）圆周角的定义：___顶__点__在__圆__上__，__并__且___两__边__都 与__圆__相__交__的__角___，叫做圆周角. （2）定理：一条弧所对的_____圆__周__角___等于它所对 的圆心角的______一__半____. （3）推论：①__同__弧___或__等__弧_所对的圆周角相等；② _______半__圆___（或直径）所对的圆周角是直角， _____9_0_°_____的圆周角所对的弦是直径. （4）圆内接多边形：圆内接四边形的对角__互__补__.
垂直于弦的直径
2．自主探究： (1）创设情境，探索垂径定理.如图，如果⊙O的直径 CD垂直于弦AB，垂足为M，那么这个图形还是轴对称图 形吗？若把圆沿着直径CD折叠你会发现什么？ 垂径定理的几何语言叙述： ∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB， ∴________________________________. (2)垂径定理的推论.
第二十四章 圆
1、圆有关的性质 2、点和圆、直线和圆的位置关系 3、正多边形和圆 4、弧长和扇形面积
大道教育：陶老师
圆有关的性质
1.什么是圆？ 2.垂直圆的直径 3.弧、弦、圆心角 4、圆周角
什么是圆？
●自主学习，独立思考 1 . 学 前 准 备 ： 圆 的 基 本 要 素 是 _圆_ _心_ _ _ 和 _半_ _径_ _ _ ， 其 中 __圆__心____确定了圆的位置， ___半_径____确定了圆的大 小.点A绕点B旋转一周，点A的运动轨迹其实就是一个 圆 ， 其 中 点 _ _ _ _B_ _ _ _ 是 圆 心 . 2.自主探究： 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端 点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫 做___圆_____.
4．圆中最长的弦长为12 cm，则该圆的半径为
__6A_c_Bm_，__A_.C，BC 5 ． 如 图 ， 半 径 有 _ _O_ _A_，_ _ _O_B_，_ _ _O_ C_ _ ； 弦 有
________________；劣弧有____________； 优弧有________.
学习过程
●合作探究，共同提高 6．典例导学：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
（B）
A．点A在⊙B上
B.点A在⊙B外
C.点 A在⊙B内
D.无法确定
学习过程
5.以平面直角坐标系的原点O为圆心，5为半径作圆， 点A的坐标为(-3，-4)，则点A与⊙O的位置关系是
（A ）
A.点A在⊙O上
B.点A在⊙O外
C.点 A在⊙O内
D.无法确定
6．直角三角形的外心在三角形的（ D ）
A.内部
推论：平分弦（_不__是___直__径）的直径垂直于弦，并 且_______平___分__弦__所__对__的_.两条弧
学习过程
3．如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
那么下列结论中，错误的是（ ） D
A．CE=DE
B．
C．
D．OE=BE
4．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB
D
学习过程
2．经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作 圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？试画出圆.
学习过程
3．已知⊙O的半径为4，A为线段OP的中点，当OP=10
时，点A与⊙O的位置关系为（ B ）
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．不确定
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，以点B为 圆心，4为半径作⊙B，则点A与⊙B的位置关系是
学习过程
●合作探究，共同提高 7.典例导学：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m， 求赵州桥主桥拱的半径.（结果保留小数点后一位）
●启发点拨，能力提升
学习过程
只有一个
②如图B，直线和圆________公共点，那么就说直线和
圆 叫
做_相_圆_切_的_____切___点，__这__条.直线叫
做圆的
_切__线__
___
，这个点
③ 如 图 C ， 直 线 和 圆 _有_ _ _两_ _个_ _ 公 共 点 ， 那 么 就 说 直 线 和
圆_相__交_____ ，这条直线叫做圆的__割__线____.
等.
学习过程
（4）推论2：在__同__圆__或__等__圆中，如果两条弦相等，那 么 它 们 所 对 _ _ _ _ _圆_ _心_ _角_ 的 相 等 ， 所 对 的 _ _ _ _弧_ _ _ _ _ _ 相
等. （5）定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中，两个
_ _ _ _圆_ _心_ _角_ _ 、 两 条 _ _ _ _弦_ _ _ _ _ _ 、 两 条 _ _ _ _ _弧_ _ _ _ _ 中 如 果 有 一 组 量 相 等 ， 则 _ _ _ _ _ _ _其_ _他_ _两_ _组_ _量_ _ _ _ _ 也 相 等 .
5．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度
数为（ D ）
A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
学习过程
●合作探究，共同提高 6.如图，⊙O直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平 分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
学习过程
8.如图，已知⊙O的半径为2，∠ACB=120°，点C与点
学习过程
3．到定点O的距离等于定长r的所有的点组成的图形叫
做 _ _ _ _ _圆_ _ _ （ 这 也 是 判 断 点 是 否 在 圆 上 的 方 法 ） . 圆 的 表 示 方 法 ： 以 点 O 为 圆 心 的 圆 ， 记 作 _ _⊙_ _O_ _ _ _ ， 读 作 “圆_ _O_ _ _ _ _ _ ” .
分析：要证A，B，C，D四个点在⊙O上，只需证 OA=OB=OC=OD.
学习过程
●启发点拨，能力提升
7．如图，一副斜边相等的直角三角板（∠DAC=45°， ∠BAC=30°），按如图所示的方式在平面内拼成一个
四边形．A，B，C，D四点在同一个圆上吗？请说明理 由．
解：在同一个圆上．理由如下： 取AC的中点O，连接OB， OD． 在Rt△ABC中，∵点O是AC的中点， ∴OB=OA=OC，同理OD=OA=OC． ∴OA=OB=OC=OD． ∴A， B， C， D四点在同一个圆上．
（1）以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D 与⊙A的位置关系如何？ （2）以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一 点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取 值范围是什么？
2、直线与圆的位置关系
●自主学习，独立思考 1.学前准备
（1）直线和圆的三种位置关系：
① 如 图 A ， 直 线 和 圆 _ _无_ _ _ _ _ _ 公 共 点 ， 那 么 就 说 直 线 和 圆__相__离____.
的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
学习过程
5．如图，已知⊙O的直径为20 mm，弦AB=16 mm，则圆
心O到AB的距离是（ D ）
A．2 mm
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人教版九年级数学上册第24章第1节《圆》课件
A
A
C
B
B C
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为 端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
B ·O
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
A ·O1 C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移并调整
小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
D
B
A
C
实际上这两条弧弯曲程度不同
A
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知 素养考点 1 圆的定义的应用
24.1 圆的有关性质/
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的 墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳 定性”的原理
人教初中数学课标九年级上册第二十四章复习之与圆有关的概念及性质PPTppt文档
考点四 垂径定理的应用 例 4 在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油 以后，截面如图所示，若油面 AB＝ 160 cm，则油的最大深度为( ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
【点拨】如图，作OC⊥AB于点C，并延长与⊙O 交与点D，连接OA，
∵AB＝160 cm，∴AC＝12AB＝80(cm)．在 Rt△OAC 中，OA＝100 cm，∴OC＝ OA2－AC2＝ 1002－802＝ 60(cm)．∴CD＝OD－OC＝100－60＝40(cm)．故选 A.
A．51°
B．56° C．68°
D．78°
【点拨】∵ BC ＝ CD ＝ DE ，∠COD＝34°，
∴∠BOC ＝ ∠COD ＝ ∠DOE ＝ 34°， ∴∠AOE ＝ 180°－ 34°×3＝78°.∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠A ＝12(180°－∠AOE)＝12×(180°－78°)＝51°.故选 A. 【答案】 A
D．70°
【点拨】∵∠ABC和∠AOC分别是 AC 所对的圆
周角和圆心角，∴∠ABC＝
1 2
∠AOC.又∵∠ABC＋
∠AOC＝90°，∴
1 2
∠AOC＋∠AOC＝90°，∴∠AOC
＝60°.故选C.
【答案】 C
方法总结： 求圆心角的度数，可以转化为求同弧所对的圆周 角的度数；同理，求圆周角的度数，也可以转化为求 同弧所对的圆心角的度数.
2．圆上任意两点间的部分叫做弧；小于半圆的 弧叫劣弧；大于半圆的弧叫优弧．
3．连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心 的弦叫做直径；直径是圆内最长的弦；直径等于半径 的2倍．
4．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴． (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重 合，这就是圆的旋转不变性．
人教版数学九年级上册第24章《圆》ppt章末复习课件
A’
O
A
B
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B, 过弧AB上任一点E作圆O的切线,交 PA,PB于点C,D,则:
．．A C．E P
O
．D
B (1) △PCD的周长=2PA
(2) ∠COD= 900- 1∠APB
2
第24章 《圆》知识体系复习
本章知识结构图
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
圆
正多边形和圆
圆的对称性 弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆
直线和圆的位置关系 切线 三角形内切圆 圆和圆的位置关系
等分圆
有关圆的计算
弧长 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积
本 第1部分 圆的基本性质
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: (1)当直线与圆相离时＿d＞＿r
(2)当直线与圆相切时＿d ＿=r ;
(3)当直线与圆相交时d＿＜＿r..
C
三角形的外心就是三角形 三边垂直平分线 的 交点.外心到三角形 三个顶点 的距离相等。
思考：三角形的外心一定在三角形内吗？
CC
C
C
AA
OO
B
B
B
OBAO源自A⊿ABC是直角三角形
▲ABC是锐角三角形
▲ABC是钝角三角形
三角形的外心位置：
锐角三角形的外心在三角形__内__， 直角三角形的外心在三角形在_ 斜边的中点_，处 钝角三角形的外心在三角形__外__。
O
A
B
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B, 过弧AB上任一点E作圆O的切线,交 PA,PB于点C,D,则:
．．A C．E P
O
．D
B (1) △PCD的周长=2PA
(2) ∠COD= 900- 1∠APB
2
第24章 《圆》知识体系复习
本章知识结构图
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
圆
正多边形和圆
圆的对称性 弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆
直线和圆的位置关系 切线 三角形内切圆 圆和圆的位置关系
等分圆
有关圆的计算
弧长 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积
本 第1部分 圆的基本性质
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: (1)当直线与圆相离时＿d＞＿r
(2)当直线与圆相切时＿d ＿=r ;
(3)当直线与圆相交时d＿＜＿r..
C
三角形的外心就是三角形 三边垂直平分线 的 交点.外心到三角形 三个顶点 的距离相等。
思考：三角形的外心一定在三角形内吗？
CC
C
C
AA
OO
B
B
B
OBAO源自A⊿ABC是直角三角形
▲ABC是锐角三角形
▲ABC是钝角三角形
三角形的外心位置：
锐角三角形的外心在三角形__内__， 直角三角形的外心在三角形在_ 斜边的中点_，处 钝角三角形的外心在三角形__外__。
初中数学教材解读人教九年级上册第二十四章圆-第二十四章小结与复习PPT
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于 这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
A
B
C
D
针对训练
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为 劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的 度数是 135° .
A
D
O
B
C
图Pa
2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长 线于点E,则∠E等于 50 .
°
C
AO
B D
AB=8mm.
（ （
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆 上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 ° ，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是
.
3
C
D
A
PO P B
D’
图b
方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作 垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法 是：见切点，连半径，得垂直； （2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
A
B
C
D
针对训练
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为 劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的 度数是 135° .
A
D
O
B
C
图Pa
2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长 线于点E,则∠E等于 50 .
°
C
AO
B D
AB=8mm.
（ （
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆 上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 ° ，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是
.
3
C
D
A
PO P B
D’
图b
方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作 垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法 是：见切点，连半径，得垂直； （2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
九年级数学上册第24章圆全章课件
B
O
A
C
3．与圆有关的概念
劣弧与优弧 小于半圆的弧（如图中的 AC）叫做劣弧． 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC） 叫做优弧．
B
O
A
C
3．与圆有关的概念
等弧 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．
4．应用拓展，培养能力
1．判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
×
（2）半圆是弧；
√
（3）过圆心的线段是直径；
思想方法．
• 学习重点： 圆周角定理．
1．思考和练习
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 如：∠ACB．
C
O
A
B
1．思考和练习
教科书 88 页 练习 1．
2．探究
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？ C
ACB 1 AOB 2 O
A
B
2．探究
C
∴ BAC BAD CAD 1 BOC．
2
3．证明猜想
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
4．探究
思考： 一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧 所对的圆周角之间有什么关系？ 同弧或等弧所对的圆周角相等．
A
D
O
B
C
4．探究
思考： 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到 定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
3．与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
第二十四章 圆——九年级上册人教版(2012)数学课后习题精讲课件(共120张PPT).ppt
答案：（1）相离 （2）相切 （3）相交
3.一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径 是 25 cm . （1）如果UV 28 cm ，VT 是多少？ （2）如果 UVW 60 ，VT 是多少？
解析：（1）VT UV 2 UT 2 282 252 1409(cm) ； （2）VT 2UT 50 cm .
3
9.如图，两个圆都以点 O 为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.求证：AC BD .
证明：过点 O 作OE AB ，垂足为 E，则 AE BE ，CE DE ， AE CE BE DE ，即 AC BD .
10. O 的半径为13 cm ， AB ，CD 是 O 的两条弦， AB//CD ， AB 24 cm ， CD 10 cm .求 AB 和 CD 之间的距离.
（1）8 cm ； （2）10 cm ； （3）12 cm .
答案：（1）点在圆内 （2）点在圆上 （3）点在圆外
2. Rt△ABC 中， C 90 ， AC 3 cm ， BC 4 cm ，判断以点 C 为圆心，下列
r 为半径的 C 与 AB 的位置关系：
（1） r 2 cm （2） r 2.4 cm （3） r 3 cm .
第二十四章 圆
课后习题精讲
九年级上册人教版（2012）
第二十四章
24.1 圆的有关性质
1.求证：直径是圆中最长的弦. 解析：已知：如图所示， O 中 AB 是直径，CD 是弦.
求证： AB CD . 证明：（1）当弦 CD 也是直径时，显然 AB CD . （2）当弦 CD 不是直径时，连接 OC，OD，则OC OD AB . 在△OCD 中， OC OD CD （三角形两边之和大于第三边），即 AB CD . 综上可知 AB CD .
初中数学人教九年级上册第二十四章圆圆复习课(新)PPT
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
C 弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
B
1．(孝感市 2008 年)在 Rt△ABC 中， C 90 ， AC 8， BC 6 ，
两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之 和为（ ）
C
A
25 A． 4
25 B． 8
25 C． 16
25 D． 32
（第 1 题图）
2．(浙江省湖州市 2008 年)已知两圆的半径分别为 3cm 和 2cm，圆心距为 5cm，则两圆
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A． 点在圆内
d＜r
．
点在圆上
d＝r
C
． 点在圆外
人教版九年级数学上册第二十四章圆全章-ppt下载6
探究点一 认识正多边形和圆的关系
解决问题： 如图，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点
得六边形ABCDEF. 求证六边形ABCDEF是正六边形.
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六
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正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
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达标检测 反思目标
A
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45°
B
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F
E
A
O
D
rR
BPC
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解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等
于3 6 0 6 0 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
O
解决问题： 如图，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点
得六边形ABCDEF. 求证六边形ABCDEF是正六边形.
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六
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正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
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B
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解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等
于3 6 0 6 0 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
O
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
数学九年级上册24圆PPT教学课件(人教版)
鱼 眼 中 的 世
2、固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）。
圆的内部与外部可以看成怎样的图形？
圆有哪些性质？为什么车轮做成圆形？怎样设计一个运动场的跑道？怎样计算蒙古包的用料？在这一章，我们将进一步认识圆，用图
形变换等方法研究它，并用圆的知识解决一些实际问题。 同一个圆内，半径有无数条，长度都相等。
o
观察线段AC和AB的特点？
3、旋转一圈（使铅笔心在纸上画出封闭曲线）。
4、用字母表示圆心、半径、直径。
在一个平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转
一周,另一个端点P所形成的图形叫做-------圆
观察以上两种画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗
圆上任意一点到圆心的距离相等吗？反过 O
A
来，平面内到点O的距离等于线段OA的
3.如图点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、 AMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c的大小关系。
第2题
第3题
例：如图，若AD，BE都是△ABC的高。讨 论A、B、D、E四点在同一个圆上吗？
A
AC
D
E
B
A
Oபைடு நூலகம்
这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话。
大于半圆的弧（用三个点表示，如： 或 ），
3、旋转一圈（使铅笔心在纸上画出封闭曲线）。
小于半圆的弧叫做劣弧.
以（A2）、圆B为是端指点“的圆弧周1记”、作，是A定B曲，线好，而半不是径“圆长面”（。 即圆规两脚间的距离）。
如图,弧有:______________
大(4)于线半段圆EF的、弧G（H用三2个、点表固示，定如：圆心或 （）即， 把有针尖的脚固定在一点）。