二模数学试卷分析

2012年数学第二次模考分析
一、试题分析
1、试卷的结构：本次模考试题共有22道题，其中选择题5小题，填空题5小题，解答题（包括证明题和作图题）12小题，满分120分，其中数与代数、图形与空间、统计与概率试题的分数分别为52分、52分、16分，分别占总分的43.3℅、43.3%、13.3℅，考试时间为100分钟，。

2、试卷的特点：
（1）全面考查“双基”，突出对基础知识、基础技能及基本数学思想方法的考查。

（2）把握知识的内在联系，考查学生综合运用数学的能力。

（3）注重考查学生的获取信息、分析问题、解决问题的能力。

（4）试卷设计时，加大了填空题第10小题和解答题的最后两题的难度，考查学生在新问题情境中分析和解决问题的能力，较好地区分学生的数学素养和思维能力。

（5）重视与实际生活的联系，加强了对学生运用知识分析和解决实际问题的考查。

（6）这次的数学试卷与一模比起来，计算量有所下降，第22题的难度也有所下降，前两个问题都是比较简单的。

二、得分情况分析
晚修班共50名学生参考，平均分82.22分，合格人数37人，合格率74%，优秀人数12人，优秀率24%，最高分107分，最低分44分，分数段：96分以上有12人，84—96有15人，72—84有10人，60—72有8人，60分以下有5人。

下面具体分析一下数学二模各题得失分情况：
由以上统计数据可以发现，晚修班学生存在以下的一些问题：
（一）选择题和填空题考生答题情况分析
从阅卷时看到的考生答卷情况来看，对于大部分小题考生的得分率普遍较高。

某些试题涉及知识虽然基础，但运用知识比较灵活，需要考生具备一定的学习能力。

考试结果表明，对于这样的试题，有相当一部分学生存在能力和解题策略上的欠缺。

如选择题第3题，题目问的是二次函数的最小值是什么，有部分同学就把顶点坐标的横坐标当成是最小值；填空题第10题，关系到运动中的圆与三角形的边相切时的时间，只有11个同学算对，失分较多。

（二）解答题考生答题情况分析
从试卷反映的情况来看，主要存在以下几个问题：1.动手操作能力偏差，14题作图题有一部分同学存在问题，考虑问题不全面。

2.基础知识掌握不全面。

各学生都是种种原因丢分过多，如第11题，还有几个同学特殊三角函数值记错，或抄错符号，从而丢掉6分，特别是有许多平时成绩还好的同学也犯了这些错误，让人惋惜。

3.数学思想方法掌握得太少，且不会灵活运用，导致碰到自己不会做的题目，束手无策，不会变通。

这主要体现在第21小题的第二个问题，这个问题整个晚修班没有一个学生做出。

4.做题目的思路不清晰。

如第17题，有一部分学生把这题看成是“小路问题”，导致失分比较严重。

5.计算不细心，或者也有点不太过关。

如第18题有些学生过程对了，但到最后解X时却解错了，还有22题的第二个问题，知道三点求二次函数的表达式，也有几个同学在解方程组时出错。

6.难题失分太多，最后一大题第三个问题只有两个学生做出。

当然，与一模相比，二模还是有进步的。

晚修班中有43个学生的数学成绩比一模都有进步，有1个学生的成绩没变化，只有4个学生的数学成绩比一模退步了。

进步的学生中有少数学生的数学成绩比一模提高了三十多分。

三、几点复习反思
1．“过三关”
一是过学生关，即改变观念，九年级学生进入中考总复习阶段是思想最为复杂和不稳定
的时期，教师要以两种镜头看待学生：显微镜——细致入微地关爱学生，了解学生的思想动向；望远镜——关注学生在数学上未来的发展。

二是过双基关，即抓落实构建数学知识结构网络，使学生知识条理化，系统化，促进学生全面掌握“双基”。

三是过训练关，即结合知识点和内容要求，有针对性地抓好基本训练，做到训练量适度，课堂“讲练各半”，课外布置学生有针对性地做适量练习题，但应有选择性和层次性，不能大手一挥说做“某张试卷、从第几面到第几面”等，不考虑不同的学生能完成多少，要重在引导学生多总结方法，使学生做一题明一路。

2．“求三变”
一是变教法。

在复习中最忌教法单一，本来数学就抽象，加上复习又常走老路，如果教法单一，会使学生感到枯燥，影响积极性。

教师要依教学内容特点、学生特点、课型特点而变换、选择和探索不同的有效的教学方法和复习方式，切不可总是“三板斧”式，而要从实际出发，面向全体学生，因材施教，分层次开展复习教学工作。

二是变题目。

要善于将教材中的试题、中考试题进行变式，最好在一堂课中从简单到综合进行变式教学，给课堂注入新意，让学生感到数学复习内容“旧貌变新颜”。

三是变评价。

在总复习中要将过去只从分数上评价学生的能力，变为从情感、态度、行为等多角度评价学生的进步与否。

评价还包含对学生复习过程中，依不同内容的掌握情况的进行动态评价。

3．“重三通”
一是重视教师之间的沟通。

由于种种原因，教师之间的封闭，竞争是影响教学改革发展一个重要制约因素。

在复习中我们特别要调整心态，积极加强老师之间的合作交流，提高整体水平和复习效率。

那是一种心与心的沟通。

二是促进学生之间的沟通。

特别在课堂要引导学生多进行小组合作，互相帮助，达到共同提高的目的。

三是师生之间的沟通。

师生沟通便于动态了解学生的心里变化和知识掌握的情况，有利于及时调整计划和复习方法，同时有利于提高学生复习的兴趣和自信心。

离中考只有不到一个月的时间了，在这20多天的复习中，一定要注重基础知识与基本技能的训练，在习题训练中指导答题技巧与方法，有目的的进行训练，提高学生的应试能力，全面提高教育教学成绩，争取让所有学生的成绩在三模时再上一个台阶。

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2024年上海市徐汇区中考二模数学试题(解析版)

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学　试卷（时间100分钟满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. 下列实数中，有理数是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项．，是无理数；故选B ．2. 下列单项式中，与单项式是同类项的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：与单项式是同类项的是；故选C ．3. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线经过( )2=232a b 4ab -322a b 323b a 222a b c-232a b 323b a y kx b +＝y bx k +＝A. 第一、三、四象限B. 第一、二、四象限C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限【答案】A 【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】解：已知直线经过第一、二、四象限，则得到，那么直线经过第一、三、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查一次函数图象与系数关系．解题关键在于注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185180185180方差3.63.67.48.1根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A 【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵=>=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=<<，∴选择甲参赛，故选A ．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.的y kx b =+0,0k b <>y kx b =+x 甲x 丙x 乙x 丁2S 甲2S 乙2S 丙2S 丁5. 如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则A 不符合题意；∵，∴，∴平行四边形菱形．则B 不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则C 不符合题意；∵，∴．∵，∴，是 ABCD AC BD O ABCD 90DAO ADO ∠+∠=︒DAC ACD ∠=∠DAC BAC ∠=∠DAB ABC∠=∠90DAO ADO ∠+∠=︒90AOD ∠=︒AC BD ⊥ABCD DAC ACD ∠=∠AD CD =ABCD AB CD ACD BAC ∠=∠DAC BAC ∠=∠ACD DAC ∠=∠AD CD =ABCD AD BC ∥180BAD ABC ∠+∠=︒DAB ABC ∠=∠=90B A D ∠︒∴平行四边形是矩形．则D 正确．故选：D ．6. 如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】B 【解析】【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物上升的高度为．故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.的解是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】，∴，∴，∴，∵，ABCD 9cm 120︒5π6π7π8π120︒()12096cm 180ππ⨯⨯==x 1x ==x 221x x -=()210x -=121x x ==210x -≥∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．8. 不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．详解】解：，解①得：，解②得：，∴不等式组的解集是．9. 方程组的解是__________．【答案】或【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可．【详解】解：由②得：③；把③代入①，得：，解得：，∴，∴方程组的解为：或；【12x ≥1x =1x =()2133231x x x ->⎧⎨-->⎩2x >()2133231x x x ->⎧⎪⎨-->⎪⎩①②2x >5x >-2x >22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②2x y =()2225y y +=1y =±22x y ==±21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩故答案为：或10. 关于的一元二次方程根的情况是：原方程______实数根．【答案】有两个不相等的【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．11. 如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：，又抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；二次函数的图像的一部分是上升的，，故答案为：．12. 如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可．【详解】解：由题意，得：，21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩x 210x mx --=()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-()()2241140m m ∆=--⨯⨯-=+>2241y x x =-+x 1x ≥x ()22241211y x x x =-+=--∴1x <y x 1x ≥y x 2241yx x =-+∴1x ≥1x ≥4y x=-(,2)A t t -t (,2)A t t -()24t t ⋅-=-解得：；故答案为：．13. 如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】【解析】【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：故答案为：【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．14. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米，，解得：，故答案为：．15. 某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长____人．t =1221=42121:2.4i =13050x x 2.4x ∴()2222.4130x x +=50x =501001*********【答案】【解析】【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解．【详解】解：稍加询问的百分比：，严格管理的百分比：，持“严格管理”态度家长人数：（人），故答案为：．16. 如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解．【详解】解：设，的400551000.5555%÷==155%25%20%--=200020%400⨯=400ABCD BC AD ∥AB CD =AC BAD ∠2=AD AB AB a = AD b = AC a b12a b +AB BC =2AD BC =12BC AD =12AC AB BC a AD =+=+BAC α∠=平分，，，，，，，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，．已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是_______．【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，得结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键．【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，∴，AC BAD ∠∴BAC CAD α∠=∠= BC AD ∥∴BCA DAC α∠=∠=∴BCA BAC ∠=∠∴AB BC = 2=AD AB ∴2AD BC =∴12BC AD =∴1122AC AB BC a AD a b =+=+=+ 12a b +ABC 6AB AC ==4BC =D AC ABC BD C E AE AE E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 1AD MNCD CN==1CN MN ==DN =BD =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△2CE OC ==DE DC =AD CD =AE CE ⊥AE CE ⊥E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 122BM CM BC ===∵点是边的中点，即，∴，则为的中点，即，∴，，∵为点关于的对称点，∴，且，，则，∴，则∵，，∴，，又∵，∴，即，∴．18. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______．【答案】##【解析】D AC 132AD CD AC ===1ADMNCD CN==N CM 1CN MN==DN ==BD ==E C BD CE BD ⊥OC OE =DE DC =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△DN BC OC BD ⋅===2CE OC ==DE DC =AD CD =DAE DEA ∠=∠DEC DCE ∠=∠180DAE DEA DEC DCE ∠+∠+∠+∠=︒90DEA DEC ∠+∠=︒AE CE ⊥AE ==A 8(0)y x x =-<OA 1(0)y x x=-<B C x AC AO =BC ABC 8-8-【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积．【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示：点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，轴，轴，，，，，，，即，，，，轴，，，A B x D E 4OAD S = 0.5OBE S = OAD OBE ∽2()OAD OBE S OA SOB= OA =1)ABC OBC S S = 28AOC OAD S S == 8ABC OBC S S += OBC S = ABC A B x D E A 8(0)y x x =-<B 1(0)y x x=-<1842OAD S =⨯= 110.52OBE S =⨯= AD x ⊥ BE x ⊥AD BE ∴∥OAD OBE ∴ ∽∴2OAD OBE S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2480.5OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭OA ∴=1)AB OA OB OB OB ∴=-=-=-1AB OB = 1ABC OBC S AB S OB==- ()1ABC OBC S S ∴= AC AO = AD x ⊥OD CD ∴=28AOC OAD S S ∴==，即，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二次根式、绝对值，再算加减即可．【详解】解：原式．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．详解】解：，，，【8ABC OBC S S ∴+= 1)8OBC OBC S S -+= OBC S ∴= 8ABC AOC OBC S S S ∴=-=- 8-10212π---21)1=--+11=+2=22161242x x x x +-=--+5x =-22161242x x x x +-=--+()22162x x +-=-244162x x x ++-=-，，，，检验，当时，，∴是原方程的解，当时，，∴不是原方程的解．21. 如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．【答案】（1）（2）以为直径的经过点，见解析【解析】【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到23100x x +-=()()520x x +-=50,20x x +=-=115,2x x =-=5x =-240x -≠5x =-2x =240x -=2x =1O 2O A B AB 12O O 2AO 48AB =1250O O =230AO =1O 12O O P B 4012O O P B 1AO 12O O AB G 1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 2GO 1GO 1Rt AGO 1AO 22122AO GO O O AO =122O AO AGO ∽，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．【小问1详解】解：连接，设与的交点为．和⊙相交于点、，，，，在中，，；，在中，，；即的半径长为；【小问2详解】以为直径的经过点．，，，又，，，取的中点，连接、，，12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP 1AP PO =12O O AB 1AO 12O O AB G 1O 2O A B 48AB =∴1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 290AGO ∠=︒∴218GO ===∴1122501832GO O O GO =-=-=1Rt AGO 190AGO ∠=︒∴140AO ===1O 4012O O P B 212303505AO O O ==22183305GO AO ==∴22122AO GO O O AO =212AO O O A G ∠=∠∴122O AO AGO ∽∴12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP ∴1AP PO =又垂直平分，，以为直径的经过点．22. A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．【答案】（1）不能，见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解；（2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可．【小问1详解】解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）；∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）；∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．【小问2详解】解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下：先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟），12O O AB 1BP AP PO ==∴12O O P B 84154260544t 56015 1.25t t +=-15600.25÷=15=415345⨯=42>444840.4415600.25÷=15=此时另外名学生步行路程是：(千米)；设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时．则；解得（小时）（分钟）；从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）；所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为：（分钟）；又；所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23. 如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，．（1）求证：；（2）分别连接、，求证：四边形是等腰梯形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定（1）连结，可得，，进而即可得到结论；（2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可．【小问1详解】证明：连结．450.25 1.25⨯=4t 56015 1.25t t +=-1152t =16513=16513816515240.413+⨯≈40.442<8ABCD E G H F AB BC CD DA AE AF =CG CH =CG AE ≠EF GH ∥EG FH EGHF BD AE AF AB AD =CG CH CB CD=EGHF EF GH ≠EF GH ∥EG FH =BD∵四边形是菱形，∴；又，，∴，；∴，；∴．【小问2详解】证明：连接∵，∴；∵，∴；又，∴；又，∴四边形是梯形；∵,即；又∵，即；∵四边形是菱形，ABCD AB AD BC CD ===AE AF =CG CH =AE AF AB AD=CG CH CB CD =EF BD ∥GH BD ∥EF GH ∥,EG FHEF BD ∥EF AE BD AB=GH BD ∥GH CG BD BC =CG AE ≠EF GH ≠EF GH ∥EGHF AB AE AD AF -=-BE DF =BC CG CD CH -=-BG DH =ABCD∴；∴；∴；∴梯形是等腰梯形．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．【答案】（1）；点（2）①；②的值为或【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入表达式求出a 的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B 的坐标；（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m 的取值分三种情况分别进行解答即可．【小问1详解】解：把代入，得，B D ∠=∠()SAS BGE DHF ≅ EG FH =EGHF xOy 244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B yC B (0,)M m BC M MG BC ⊥GD x GD MD GD MD GDMN 32m =GDMN N y D 0m ≥D GDMN m 2416433y x x =-+(3,0)B 6(,0)5D m 037Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM ∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=GDOH 65OD GH ==(1,0)A 244(0)y ax ax a =-+>440a a -+=解得；∴抛物线的表达式为；∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，∴点．【小问2详解】①由题意，得，，∴；∵四边形是平行四边形，∴；又点在轴上，∴，∴，在中，，∴，∴，；在中，，∴；∴；过点作，垂足为．43a =2416433y x x =-+1632423x -=-=⨯244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B (3,0)B (0,4)C 3(0,)2M 52CM =GDMN GD NM ∥N y NM OD ⊥GD OD ⊥Rt BOC 90BOC ∠=︒5BC ==4cos 5OC OCB BC ∠==3sin 5OB OCB BC ∠==Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H在中，，；∵，∴四边形是矩形，∴；∴．②当时，根据不同取值分三种情况讨论：当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图情况符合题意，取的中点P ，以为直径作圆P ，则在圆上，此时圆P 和x 轴有唯一切点D ，符合题设条件，则，∵，由①知，，则，则，∵，,∴，解得；当时，可得，所以符合题意的不存在；综合、、，符合题意的的值为或．【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．25. 如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=90GDO DOH GHO ∠=∠=∠=︒GDOH 65OD GH ==6(,0)5D 0m ≥m i 0m =M O ii 04m <<MG MG ,N D OH PD PM ==()3sin 425MG MC OCB m PM =⋅∠=-=CMG OCB ∠=∠sin sin CMG OCB ∠=∠()9sin 450MH PM OCB m =∠=-OH MH OM MH m =+=+PM OH =93(4)(4)5010m m m -+=-37m =iii 4m ≥OH PM >m i ii iii m 037OAB OA OB ==90AOB ∠=︒C D AB C D C A D B 45COD ∠=︒（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）①的值不变，；②或．【解析】【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案；（2）①证明，即可得到答案；②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N 作于点F ，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可．【小问1详解】解：①，，，；②．证明如下：AC CD BD AC CD BD AC BD +CD AB OC OD M N C AB AN BM ⋅AN BM ⋅5MN =DOB ∠ AC C BD D +=AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅=1tan 3DOB =∠1tan 2DOB ∠=CD E OE COE AOC ∠=∠AC CE =DOE BOD ∠=∠BD DE =BMO AON ∽△△O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM '()SAS OBM OAM ' ≌90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒()SAS ONM OMN ' ≌22225MN AM BN ==+7AM BN +=BN NF OB ⊥NF BF =NF OF 90AOB ∠=︒Q 45COD ∠=︒904545AOC BOD AOB COD ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒ D B AC C D +∴=AC BD CD +>在弧上取点连接，使得，；、可得；，，；；．【小问2详解】解：①的值不变，．，，；，，；；；．②如图，CD E OE COE AOC ∠=∠∴AC CE =CE DE CE DE CD +> 45COE DOE ∠+∠=︒∴904545AOC BOD ∠+∠=︒-︒=︒∴DOE BOD ∠=∠∴BD DE =∴AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅= OA OB =90AOB ∠=︒∴45OAB OBA ∠=∠=︒ 45OMB OAB AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠45AON COD AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠∴OMB AON ∠=∠∴BMO AON ∽△△∴BM BO AO AN=∴72AN BM AO BO ⋅=⋅==过点在下方作，截取，连接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；过点N 作于点F ，则，，，，设，则，当时，在中，，即，解得：O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM ' AO BO =∴()SAS OBM OAM ' ≌∴BM AM '=45OBM OAB ∠=∠='︒∴90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒45M ON COD ∠=︒=∠'ON ON =∴()SAS ONM OMN ' ≌∴M N MN '=∴222222MN M N BM BN AM BN =='+=+' 551257AM BN AB MN +=-=-==-=2225AM BN +=3BN =4BN =NF OB ⊥90NFB ∠=︒45ABO ∠=︒ 45BNF ∴∠=︒NF BF ∴=BF x =OF x =3BN =Rt NFB △222BF NF BN +=229x x +=x =OF ∴==；当时，在中，，即，解得：，．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．1tan 3NF O O F D B ∴==∠=4BN =Rt NFB △222BF NF BN +=2216x x +=x=OF ∴==1tan 2NF O O D F B ===∠∴。

2024年云南省曲靖市九年级中考二模数学试题(含解析)

曲靖市 2023-2024学年春季学期教学质量监测九年级数学试题卷（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分 100分，考试时间120分钟）注意事项：1．本卷满分100分，考试时间为120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一．选择题（本大题共 15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）1．曲靖某一天的天气预报如图所示，则这一天的温差是（）A ．B ．C ．D ．2．2024年中央对地方转移支付预算为10.2万亿元，中央对云南省转移支付为3900亿元，数字3900亿用科学记数法表示为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，于点B ，过点B 的直线d 交直线a 于点 A ，若，则的度数是（）6C -︒6C ︒2C ︒2C -︒8390010⨯103910⨯113.910⨯120.3910⨯a c b c ⊥⊥，140∠=︒2∠A ．B ．C ．D ．4．函数x 的取值范围是（）A ． B ． C ． D ．5．下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．八边形的每个外角都相等，它的一个内角的度数是（）A ．45°B ．75°C ．105°D ．135°7．如图，A ，B 为反比例函数图象上任意两点，分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接，设和的面积分别为，，则（）A ．B ．C ．D ．无法确定8．下列几何体中的主（正）视图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9．观察下列式子：则第n 个式子为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，点D 是边上一点，且，若，．则（）50︒40︒30︒20︒y =2x ≠2x ≤2x >2x ≥23652a a a a a ⋅+÷=()22346a b a b-=-()222a b a b +=+()()22a b b a a b+-=-(0)k y k x=<OA OB ，AOC BOD S ₁S ₂S S >₁₂S S =₁₂S S <₁₂23412x x x x ---- ，，，()n n x --()11n n x +-n x ()111n n n x -+--ABC AB ACB ADC ∠∠=3AD =7AB =²AC =A ．9B ．12C ．16D ．2111．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，可列出方程（）A ．B ．C ．D ．12．若关于x 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则k 的值为（）A ．B ．2C ．3D ．413．若则代数式的值为（）A ．7B ．C ．D ．614．某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图：这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是（）A ．9， 7B ．9， 9C ．1， 1D ．1， 1.515．如图，已知的直径经过弦的中点E ，连接，且，估计的值应在（）()24001600x +=()26001400x +=()24001600x -=()26001400x -=3x k -≥-1-1m =，²22m m -+7+6+O AB CD AD CO BC ，，OC BC =2cos tan BAD ADC ∠+∠A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间二．填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）16．分解因式8a 2－2= ．17．如图，已知在四边形中，对角线，交于点O ，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是．18．试卷讲评对于初三复习阶段是非常重要的环节，某数学教师对试卷讲评课中学生参加的情况进行调查，评价项目为：A ．独立思考B ．主动改错C ．专注听讲D ．讲解题目四项中任选一项，随机抽取若干名初三学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．若全市有 80000名初三学生，则在试卷讲评课中， “专注听讲”的初三学生约为人．19．圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为的扇形，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为．ABCD AC BD OA OC OB OD ==，ABCD 90︒AOB三．解答题（本大题共8个小题，共62分）20．计算：21．如图，已知，．求证：．22．今年云南再遇大旱，全省人民齐心协力积极抗旱．我市某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款5000元，第二天捐款6200元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多60人，且两天人均捐款数相等，那么两天参加捐款的人数各是多少人？23．某商场“五一”期间举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋中装有4个质地均匀，大小完全相同的小球，小球上分别标有，，0，1 四个数字，敏敏先从中随机摸出一球，球上的数字记为x ，不放回，再从剩下的3个球中随机摸出一球，球上的数字记为y ，若两次摸出的球上数字之积为正（即：），则获得奖品，否则没有奖品．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果；(2)求敏敏获得奖品的概率．24．如图，已知在中，过点C 作于点D ，点E 为上一点，连接，交于点G ，是沿折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在上，连接．(1)求证：四边形为菱形；(2)若，求的长．25．每年4月 23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y 与购进甲种图书的数量x 之间的函数关系如图所示：()20211 3.1432π-⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭C E AC AE CAD EAB ∠=∠=∠=∠，，AB AD =2-1-0xy >(),x y ABC 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥AC BE CD BFE △BCE BE AB FG CEFG 86AC BC ==，DG(1)请求出当和时，y 与x 的函数关系式；(2)若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？26．已知抛物线（，，为常数，）(1)若，，求此抛物线的顶点坐标；(2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点关于对称轴对称，求代数式的值．27．如图①，已知是的直径，过点A 作射线，点P 为l 上一个动点，点C 为上异于点A 的一点，且，过点B 作的垂线交的延长线于点D ，连接．(1)求证：为的切线；(2)若，求的值；0120x ≤≤120x >²y ax bx c =++a b c 0a ≠20a b -=4-+=a b c ()0,2²y ax bx c =++0x <h h x 1(,)S m n y -2(,)Q m y S Q S Q 22281244m mn n n h -+-+AB O l AB ⊥O PA PC =AB PC AD PC O 4AP BD =sin BAD ∠(3)如图②，过点C 作于点E ，交于点F ，当点P在运动过程中，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．参考答案与解析1．B 【分析】本题考查有理数的减法的应用．求出两个数的差的绝对值即可．【详解】解：故选：B ．2．C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数字3900亿用科学记数法表示为．故选：C ．3．A【分析】根据，，结合对顶角相等，直角三角形的两个锐角互余，计算即可．本题考查了垂直的定义，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】如图，，，CE AB ⊥AD CF CE()46C--=︒210n a ⨯110a ≤<113.910⨯a c b c ⊥⊥，140∠=︒ a c b c ⊥⊥，140∠=︒，，故，故选A ．4．D【分析】本题考查了函数自变量的范围．根据被开方数不小于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，，解得．故选：D ．5．A【分析】本题考查了整式的运算，利用积的乘方法则、同底数幂乘法、除法的法则、完全平方公式和平方差公式进行计算是解题的关键．【详解】解：A 、，计算正确；B 、，原计算错误；C 、，原计算错误；D 、，原计算错误；故选A ．6．D【分析】本题考查的是多边形的内外角之间的关系．根据多边形的内角和公式求出八边形的内角和，计算出每个内角的度数即可．【详解】解：八边形的内角和为：，每个内角的度数为：，故选：D ．7．B【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．【详解】解：依题意有：和的面积是个定值．所以．∴13,24∠=∠∠=∠3490∠+∠=°2150∠︒∠=︒=90-20x -≥2x ≥2365552a a a a a a a ⋅+÷=+=()22346a b a b -=()2222a b a ab b +=++()()22a b b a b a +-=-()821801080-⨯︒=︒10808135︒÷=︒k y x=k S 1||2S k =Rt AOC Rt BOD 1||2k 12S S =故选：B ．8．C【分析】根据各个几何体的特点得出各自的主视图，然后根据轴对称和中心对称图形的性质分别判断即可．【详解】A.球的主视图是圆，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A 错误，不符合题意；B.长方体的主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B 错误，不符合题意；C.圆锥的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项C 正确，符合题意；D.圆柱的主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D 错误，不符合题意;故选：A ．【点睛】本题主要考查了轴对称和中心对称图形的判断与简单几何体的三视图的识别，熟练掌握相关概念是解题关键．9．B【分析】本题考查数字规律问题，观察式子找到规律是解题的关键．【详解】解：观察式子，，……，第个式子为故选: B ．10．D【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．()211x x -=-()3221x x -=-()4331x x =-()54421x x --=-n ()11n n x +-由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长．【详解】解：∵，，∴，∴，即，故选：D ．11．A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x ，列出方程为，故选A ．12．D【分析】题考查了根据一元一次不等式的解集求参数，熟练解一元一次不等式是解题的关键．解不等式得到，根据数轴可得不等式的解集为，故可得方程，即可解答．【详解】解：解不等式可得：，由数轴可知，∴，解得：，故选D ．13．D【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式，整体代入是解题的关键．把化为后代入求值即可．【详解】解：，故选D ．ACB ADC ∠∠=A ∠ADC ACB ∽2AC AB AD =⋅ACB ADC ∠∠=A A ∠∠=ADC ACB ∽AD AC AC AB=27321AC AB AD =⋅=⨯==(1⨯+2)()24001600x +=3x k ≥-1x ≥-31k -=-3x k -≥-3x k ≥-1x ≥-31k -=-4k =²22m m -+2(1)1m -+22²22(1)116m m m -+=-+=+=14．C【分析】本题主要考查众数和中位数，熟记一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据从小到大或从大到小依次排列，最中间的一个数据或最中间两个数据和的一半叫做中位数是解题的关键．【详解】解：由折线图可知锻炼小时的人数最多，即众数为；由图可知共调查学生数为人，从小到大排列后第个与个数据的平均数是中位数，且第个与个数据为小时，∴中位数为，故答案为：C ．15．C【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，无理数的估算．首先证明是等边三角形，由三线合一的性质求得，再根据圆周角定理求得，，代入特殊角的三角函数值，运用无理数的估算，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∵点E 是弦的中点，∴，∴，，∴，∴∵，∴，∴，故选：C ．16．2（2a ＋1）（2a －1）【详解】本题要先提取公因式2,再运用平方差公式将写成，即原式可11795324+++=1213121311112+=OBC △1302BCD OCB ∠=∠=︒60ADC ∠=︒30BAD ∠=︒OC BC =OC OB =OC OB BC ==OBC △60B OCB ∠=∠=︒CD 1302BCD OCB ∠=∠=︒60B ADC ∠=∠=︒30BAD BCD ∠=∠=︒tan tan 60ADC ∠=︒=cos cos30BAD ∠=︒=2cos tan 2BAD ADC ∠+∠===91216<<34<32cos tan 4BAD ADC <∠+∠<2(41)a -(21)(21)a a +-分解为：8a 2－217．不唯一【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．【详解】∵，，∴四边形是矩形，故答案为：．18．32000【分析】根据独立思考的人数和所占的百分比，可以求得一共抽查的人数；再计算出专注听讲的人数，利用样本估计总体求解即可．【详解】解：一共抽查的人数为（人），专注听讲的人数为（人），“专注听讲”的初三学生约为（人），故答案为：32000．19．##【分析】本题考查了圆锥的计算．设这个圆锥的底面圆半径为r ，利用弧长公式得到并解关于r 的方程即可．【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为r根据题意得解得故答案为：．20．【分析】本题考查了实数的运算．根据负整数指数幂、零次幂、二次根式等化简，再计算加减即可求解．【详解】解：22(41)2(21)(21)a a a =-=+-AC BD =OA OC OB OD ==，AC BD =ABCD AC BD =9030%300÷=300904545120---=1208000032000300⨯=120.52902180r ππ⨯=12r =124-()20211 3.1432π-⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭114=-+-+．21．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可证明．【详解】证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．22．250人，310人【分析】设第一天捐款有x 人，则第一天捐款有人，根据题意，得，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．【详解】设第一天捐款有x 人，则第一天捐款有人，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，故，答：第一天捐款有250人，则第一天捐款有310人．23．(1)共有12种等可能结果；(2)【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．（1）列表得出所有等可能结果；（2）从表中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：根据题意列表如下，4=-ASA CAB EAD ≌V V AB AD =CAD EAB ∠=∠CAD BAD EAB BAD ∠-∠=∠-∠CAB EAD ∠=∠C E AC AE ∠=∠=，()ASA CAB EAD ≌△△AB AD =()60x +6200500060x x=+()60x +6200500060x x =+250x =250x =()60310x +=160101由上表可知，共有12种等可能结果；（2）解：在这12种等可能结果中，其中的结果有和共2种，所以敏敏获得奖品的概率为．24．(1)见解析(2)．【分析】（1）推出，，进而推出四边形是平行四边形，并根据证得四边形是菱形；（2）首先利用勾股定理求出，设，然后用x 表示出和，再在中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】（1）证明：∵，是沿折叠所得，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；2-1-2-()1,2--()0,2-()1,2-1-()2,1--()0,1-()1,1-()2,0-()1,0-()1,0()2,1-()1,1-()0,10xy >()2,1--()1,2--21126=1.8GD =CG EF =CG EF ∥CEFG EC EF =CEFG AB CG x =AE EF Rt AEF CD AB ⊥BFE △BCE BE 90BFE BCE ∠=∠=︒CEG FEG ∠=∠EC EF =CD EF ∥CGE FEG ∠=∠CGE CEG ∠=∠CE CG =CG EF =CG EF ∥CEFG EC EF =CEFG（2）解：∵，，∴，设，∵四边形是菱形，∴，∴，∵是沿折叠所得，∴，∴，∵在中，，∴，解得：，即．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．25．(1)(2)购买甲种图书本，乙种图书本，利润最大，最大为是元【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键.（1）分别利用待定系数法求出关系式即可；（2）设总费用为元，求出关于的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可.【详解】（1）解：当时，86AC BC ==，90ACB ∠=︒10AB =CG x =CEFG EF FG CE CG x ====8AE x =-BFE △BCE BE 6BF BC ==1064AF AB BF =-=-=Rt AEF 222EF AF AE +=()22248x x +=-3x =3CG =CD AB ⊥1122ABC S AC BC AB CD =⨯=⨯ 4.8CD =4.83 1.8GD =-=()25012022360(120)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩1801201680w w x 0120x ≤≤设，把代入得，∴；当时，设，把和代入得，，解得所以与的关系式为；（2）设总费用为元，由题意得，，当时，，∵，随的增大而增大，∴当时，；∴当时，利润最大是元.此时乙种图书是本，答：应购买甲种图书本，乙种图书本，利润最大，最大为是元.26．(1)；(2)17．【分析】（1）先根据题意求出对称轴为，将其代入抛物线方程即可得到顶点坐标；（2）先根据顶点坐标设抛物线的解析式，求得抛物线的解析式，由于为正整数，分成，，，，时，分别讨论部分平移后的图象与轴的交点个数，从而得到的值，再根据（1）可知抛物线平移后的对称轴为，且点S 与点 Q 关于对称轴对称，可得，即，将其代入代数式即可．【详解】（1）对称轴为，，即，y kx =()120,300025k =25y x =120x >y kx b =+()120,3000()150,366012030001503660k b k b +=⎧⎨+=⎩22,360k b =⎧⎨=⎩y x ()25012022360(120)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩w 120180x ≤≤120180x ≤≤()()()3025203002236031140x x x x ω=+---+=+03k =>w x 180x =w 最大318011401680=⨯+=180x =16801201801201680(1,4)-1x =-h 1h =2h =3h =4h =4h >0x <x h 1x =-2m n m -+=-22n m =+2b x a=-20a b -=2b a =，将代入得，，即顶点坐标为；（2）由（1）可知的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，得，解得：，，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，因为为正整数，那么当时，抛物线表达式为，当时，，解得此时抛物线与轴的交点有2个，其中，但是题目中要求，所以时，抛物线与轴的交点为1个；当时，抛物线的表达式为，当时，，解得，，此时抛物线与轴的交点有2个，但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个；当时，抛物线的表达式为，当时，，解得，，满足的要求，此时抛物线与轴的交点有2个；当时，抛物线表达式为，此时，抛物线与轴交点为1个；12b x a∴=-=-1x =-²y ax bx c =++y a b c=-+4a b c -+= 4y =∴(1,4)-²y ax bx c =++(1,4)-2(1)4y a x =++(0,2)2(1)4y a x =++2(01)42a ++=2a =-222(1)4242y x x x ∴=-++=--+ 2242y x x =--+y (0,2)()1,4-h 1h =222421241y x x x x =--+-=--+0y =22410x x --+=1x =2x =x 1>0x 20x <0x <1x =1h =x 2h =22242224y x x x x =--+-=--0y =2240x x --=12x =-20x =x 0x <20x =2h =x 3h =222423241y x x x x =--+-=---0y =22410x x ---=1x =2x 10x <20x <0x <x 4h =222424242y x x x x =--+-=---224(4)4(2)(2)0b ac -=--⨯-⨯-=x当时，抛物线与轴交点为0个；综上所述，；由（1）可知平移之后抛物线的对称轴为：，点与点关于对称，，将代入代数式则故代数式的值为 17．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性，二次函数的平移，解一元二次方程，一元二次方程的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．27．(1)见解析(2)(3)．【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线；（2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可；（3）连接并延长交的延长线于点，利用切线长定理求得，，由，得到，，利用相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）证明：连接，4h >x 3h =1x =- S Q 1x =-∴2m n m -+=-∴22n m =+22n m =+22281244m mn n n h -+-+22281244m mn n n h -+-+222812(22)4(22)4(22)m m m m m h =-+++-++22228242416321688m m m m m m h =--+++--+28h =+283=+17=22281244m mn n n h -+-+sin BAD ∠=12CF CE =OP OC 、()SSS OPA OPC ≌90OAP OCP ∠=∠=︒PC O D DG AP ⊥BD a =5PD a =3PG a =4AB DG a ==AD AC BD H HD BD =2BH HD =CE BH ∥ACF AHD ∽△ACE AHB ∽△12CF CE =OP OC 、∵是的直径，过点A 作射线，∴，∵，，，∴，∴，即，∵是的半径，∴为的切线；（2）解：过点作，垂足为点，设，∴，∵，∴为的切线，∵、、为的切线，∴，，∴，∵射线，，，∴，AB O l AB ⊥90OAP ∠=︒PA PC =OA OC =OP OP =()SSS OPA OPC ≌90OAP OCP ∠=∠=︒OC PD ⊥OC O PC O D DG AP ⊥G BD a =44AP BD a ==BD AB ⊥BD O PC PA BD O PA PC =DC DB =5PD PC CD a =+=l AB ⊥DG AP ⊥BD AB ⊥90GAB AGD ABD ∠=∠=∠=︒∴四边形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，在中，，∴（3）解：，理由如下，连接并延长交的延长线于点，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，ABDG AG BD a ==AB DG =3PG PA AG a =-=Rt DPG V 4DG a ==4AB DG a ==Rt △ABD AD ==sin BD BAD AB ∠===12CF CE =AC BD H PA PC =PAC PCA ∠=∠PA AB ⊥BD AB ⊥PA BH ∥PAC H ∠=∠HCD PCA ∠=∠HCD H ∠=∠CD DH =CD BD =HD BD =2BH HD =CE AB ⊥BD AB ⊥CE BH ∥ACF AHD ∽△ACE AHB ∽△∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．AC CF AH DH =AC CE AH BH =CE CF BH DH =12CF DH CE BH ==。

2024年江苏省无锡市天一实验学校中考二模数学试题(解析版)

2023-2024学年第二学期适应性练习初三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1. 5的相反数是（）A. B. 5 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了相反数．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可得结果．【详解】解：5的相反数是，故选：C ．2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷.用科学记数法表示3990000是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：，故选：C ．3. 分式中x 的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故选：A ．4. 下列运算正确的是（）155-15-5-73.9910⨯60.39910⨯63.9910⨯70.39910⨯10n a ⨯110a ≤＜n a n 63990000 3.9910=⨯11x-1x ≠1x ≠-1x ≤-1x ≤10x -≠1x ≠A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可．【详解】解：A 、，原选项计算错误；B 、，原选项计算错误；C 、，原选项计算正确；D 、，原选项计算错误；故选C ．5. 正五边形的每一个外角是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查正多边形的外角，根据多边形的外角和等于360度，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：正五边形的每一个外角是；故选D ．6. 整数a 满足则a 的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值．，∴，故选：B ．7. 圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（）．A. 10B. 20C.D. 2221a a -=()224ab ab =235a a a ⋅=842a a a ÷=2222a a a -=()2224ab a b =235a a a ⋅=844a a a ÷=360︒108︒40︒72︒360725=︒a <<<<4a =2200πcm 2:1cm【答案】B【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得：，∴（负值舍去），∴母线长为；故选：B ．8. 如图，是等边三角形，点P 是边上的一个动点，点P 关于的对称点分别为，，连接，，，点P 从点A 运动到点B 的过程中，的面积变化情况为（）A. 保持不变B. 一直变小C. 先变大再变小D. 先变小再变大【答案】D【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，对称易证是顶角为120度的等腰三角形，腰长为的长，根据腰长先变小后变大，即可得出结果．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵点P 关于的对称点分别为，，∴，，∴，∴，r rcm 2rcm 12π2200π2r r ⨯⋅=10r =21020cm ⨯=AOB AB ,OA OB 1P 2P 1OP 2OP 12PP 12OPPOP 12OPP OP AOB 60AOB ∠=︒,OA OB 1P 2P 12OP OP OP ==21,AOP AOP BOP BOP ∠=∠∠=∠()212122120P OP AOP AOP BOP BOP AOP BOP AOB ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒122130OPP OP P ∠=∠=︒过点作，则：，，∴，∴的面积随着的变化而变化，∵为上的一个动点，∴当时，的面积最小，此时点为的中点，∴点P 从点A 运动到点B 的过程中，的面积先变小后变大，故选D ．9. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y 轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，由此得出答案．【详解】解：，，∴点C 与点B 关于y 轴对称；由于A 、C 的图象关于原点对称，因此选项A 、C 错误；，O 12OD PP ⊥21122OD OP OP ==1222PP DP ===12212111222OP P S PP OD OP =⋅=⨯= 12OPP OP P AB OP AB ⊥12OPP P AB 12OPP ()4,2A m --()2,B m -()2,C m ()2,B m -()2,C m ()4,2A m --()2,B m -()2,B m - ()2,C m 2m m >-Q由，可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，选项不正确，故选：B ．10. 如图，在平面直角坐标系中，，B 为x 轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可．【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点，则：，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，()4,2A m --()2,B m -0a >D ∴()0,4A AB ABC 90BAC ∠=︒12ABC S =△OC OC C CE AC ⊥A x E ACE AOB ∽24AE AO ⋅=AE AE F ,OF CF CF OF OC OF CF ≤+C CE AC ⊥A x E 90ACE AOB ∠=︒=∠ABO EAB ∠=∠90OAE ∠=︒90OBA OAB ∠+∠=︒90BAC ∠=︒90BAE CAE ∠+∠=︒CAE BAO ∠=∠ACE AOB ∽AC AE OA AB=∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，取的中点，连接，则：，∵，∴，在中，由勾股定理，得：；∵，∴长的最大值为8；故选C ．【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11. 因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式m ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．AC AB OA AE ⋅=⋅1122ABC S AB AC =⋅=△24AB AC ⋅=24OA AE ⋅=()0,4A 4OA =6AE =AE F ,OF CF 132AF EF AE ===90ACE ∠=︒132CF AE ==Rt OAF△5OF ==8OC OF CF ≤+=OC 3m m -=(1)(1)m m m +-32(1)(1)(1)m m m m m m m -=-=+-(1)(1)m m m +-12. 若x ，y 满足方程组，则______．【答案】1【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程进行相加，即可得出结果．【详解】解：，，得：；∴；故答案为：1．13. 抛物线与y 轴交点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果．【详解】解：∵，∴当时，，∴抛物线与y 轴交点的坐标为；故答案为：．14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______．【答案】-3【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为-2，从而得出另一个根．【详解】解：设方程的另一个根为m ，则1+m=-2，解得m=-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，x 1•x 2=．232323x y x y +=⎧⎨+=⎩x y +=232323x y x y +=⎧⎨+=⎩①②+①②555x y +=1x y +=()212y x =-+()0,30x =y ()212y x =-+0x =()20123y =-+=()212y x =-+()0,3()0,3x 220x x k +-=12b x x a+=-c a15. 如图，平行于y 轴的直尺（部分）与反比例函数的图象交于A ，C 两点，与x 轴交于B ，D 两点，连结，点A ，B 对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C 的坐标是_________．【答案】【解析】【分析】根据点A 、B 对应直尺上的刻度分别为5、2，OB ＝2．即可求得A 的坐标,进而求出反比例函数解析式，直尺的宽度，可得C 点横坐标，代入解析式可求坐标．【详解】解：∵直尺平行于y 轴，A 、B 对应直尺的刻度为5、2，∴AB=3，∵ OB ＝2，∴A 点坐标为：（2，3），把（2，3）代入得，，解得，m=6，反比例函数解析式为，∵直尺的宽度BD ＝2，OB ＝2．∴C 的横坐标为4，代入得，,∴点C 的坐标是(0)m y x x=>AC 2BD =2OB =34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2BD =m y x=32m =6y x=6y x =6342y ==34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查了坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．16. 一次函数图象经过点，当时，，则k 的值可以是___________．（写出一个即可）【答案】7（答案不唯一，满足即可）【解析】【分析】本题考查一次函数的性质，将代入得，可知当时，，由此可得，求解即可，根据一次函数的性质得是解决问题关键．【详解】解：将代入得：，即，亦即：，当时，，∵，即，∴，故答案为：7（答案不唯一，满足即可）．17. 如图，在四边形中，，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，，求的长为______．【答案】【解析】【分析】先证明得，再证明四边形菱形，由菱形性质得，则，再由勾股定理求出的长，然后由勾股定理求出的长即可．【详解】证明：，，的342⎛⎫ ⎪⎝⎭，y kx b =+()1,12x =59y <<48k <<()1,1y kx b =+1y kx k =-+2x =1y k =+519k <+<519k <+<()1,1y kx b =+1k b +=1b k =-1y kx k =-+2x =211y k k k =-+=+59y <<519k <+<48k <<48k <<ABCD AD BC ∥90A ∠=︒BD BC =E CD BE AD F CF 1AD =2CF =BF ()BCE FDE ASA ≌BC FD =BCFD 2BD DF CF ===3AF AD DF =+=AB BF AD BC ∥ FDE BCE ∴∠=∠点为的中点，，在与中，，，，，四边形为平行四边形，又，平行四边形是菱形；，，，，，即的长为故答案为：【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．18. 如图，在中，，将沿翻折得到，若经过的内心I ，则的长为______．【答案】2 E CD DE EC ∴=BCE FDE BCE FDE CE DEBEC FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BCE FDE ASA ∴ ≌BC FD ∴=AD BC ∥ ∴BCFD BD BC = ∴BCFD 2BD DF CF ∴===3AF AD DF ∴=+=90A ∠=︒ AB ∴===BF ∴===BF ABCD Y 3,5AB AD ==ABD △BD A BD ' A D 'CBD △DI【解析】【分析】翻折，结合内心是三角形三条角平分线的交点，以及平行线的性质，推出，，证明，求出的长，再根据等积法结合角平分线的性质，得到，进行求解即可．【详解】解：∵翻折，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵点I 是的内心，∴平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴，∴，∵平分，∴到的距离相等，∴又∵（同高三角形的面积比等于底边比），CDE DBC ∠=∠BE DE =CDE CBD ∽,CE BE CD DI CE IE=ADB BDE ∠=∠ABCD Y AD BC ∥3,5CD AB BC AD ====ADB DBE ∠=∠BDE DBE ∠=∠BE DE =CBD △CI DCE ∠DI BDC ∠BDE CDE ∠=∠CDE DBC ∠=∠DCE DCB ∠=∠CDE CBD ∽CD CE BC CD=2CD BC CE =⋅95CE =95CE =165ED BE BC CE ==-=CI DCE ∠I ,CE CD ::CDI CEI S S CD CE= ::CDI CEI S S DI IE =∴，即：，∴，∴；故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的内心，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．三、解答题．（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）计算：；（2）化简：．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，整式的运算：（1）先进行特殊角的三角函数值，零指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算；（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算，再合并同类项即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．20. （1）解方程：；（2）解不等式组：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解分式方程，求不等式组的解集：（1）将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．CD DI CE IE =35935DI IE ==58DI DE =55162885DI DE ==⨯=()02cos 45π33︒---()()()2222x y x y x x y +---4-22y xy-+()02cos 45π332134=︒---=--=-22224422x y x xy y xy =--+=-+2111x x x =+++()312213a a a ⎧+->⎨-≤⎩12x =524a <≤【详解】解：（1），∴，解得：；经检验，是原方程的解；∴方程的解为：．（2）由①，得：；由②，得：，∴不等式组的解集为：．21. 如图，已知为平行四边形的对角线上的两点，且．（1）求证：；（2）若，求证：四边形为矩形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．（1）由证明即可；（2）由全等三角形性质得，．再证，则四边形为平行四边形．然后由矩形的判定即可得出结论．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，，的2111x x x =+++21x x =++12x =12x =12x =()312213a a a ⎧+->⎨-≤⎩①②54a >2a ≤524a <≤E F 、ABCD BE DF =ABE CDF △≌△90AEC ∠=︒AECF SAS ABE CDF △≌△AE CF =AEB CFD ∠=∠AE CF AECF ABCD AB CD ∴=AB CD ABE CDF ∴∠=∠在和中，，；【小问2详解】如图，由（1）可知，，，．，，四边形为平行四边形．又，平行四边形矩形．22. 为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为分）进行统计学处理：【收集数据】甲组名同学的成绩统计数据：（单位：分）乙组名同学中成绩在分之间数据：（满分为分，得分用x 表示，单位：分）【整理数据】（得分用表示）（1）完成下表分数/班级甲班（人数）乙班（人数）【分析数据】请回答下列问题：（2）填空：平均分中位数众数为ABE CDF AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABE CDF ∴≌△△ABE CDF △≌△AE CF ∴=AEB CFD ∠=∠180AEB AEO CFD CFE ∠+∠=∠+∠=︒AED CFE ∴∠=∠AE CF ∴∥∴AECF 90AEC =︒∠ ∴AECF 100208790607792835676857195959068788068958581207080x ≤<100707275767678787879x 060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤13466114甲班　乙班　（3）若成绩不低于分为优秀，请以甲组、乙组共人为样本估计全年级人中优秀人数为多少？【答案】（1），（2），（3）人【解析】【分析】（1）根据数据统计的方法以及各组数据之和等于样本容量可得答案；（2）根据中位数、众数的定义可求出、的值；（3）求出样本中甲乙两个班“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再乘总人数即可．【小问1详解】解：由题意可知，乙班在的数据有个，在的有，个，故答案为：，；【小问2详解】甲班人中得分出现次数最多的是分，共出现次，因此甲班学生成绩的众数，将乙班名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数，故答案为：，；【小问3详解】（人），答：甲班、乙班共人为样本估计全年级人中优秀人数约为人．【点睛】本题考查中位数、众数，频数分布表，掌握中位数、众数以及“频率”是正确解答的前提．23. 如图，在电路AB 中，有三个开关：S 1、S 2、S 3．80.682=a 80.35b =7880401600959578.5840a b 7080x ≤<98090x ≤<2011945----=952095395a =20787978.52+=78.5b =9578.5665416008402020+++⨯=+401600840=频数总数（1）当开关S 1已经是闭合状态时，开关S 2、S 3的断开与闭合是随机的，电路AB 能正常工作的概率是；（2）若三个开关S 1、S 2、S 3的断开与闭合都是随机的，求电路AB 能正常工作的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】先画树状图展示出所有等可能结果，从中找到使电路AB 正常工作的情况数，在根据概率公式计算即可；【详解】（1）画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中电路AB 能正常工作的有3种结果，∴电路AB 能正常工作的概率是；故答案是．（2）画树状图如下：34383434由树状图知，共有8种等可能结果，其中电路AB 能正常工作的有3种结果，∴电路AB能正常工作的概率是；【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，准确分析计算是解题的关键．24. 尺规作图在中，，，若点D 是斜边上一个动点，点K 在上，点B 、点D 、点K 组成的三角形为等腰三角形，（1）连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K ，点D 的具体位置．（2）在（1）的条件下，求此时的面积．【答案】（1）图见解析（2）【解析】【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作图，是解题的关键．（1）以为圆心，的长为半径化弧，交于点，作的中垂线交于点，即为所求；（2）过点作，设，勾股定理求出的值，利用，求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可．【小问1详解】如图，即为所求；38Rt ABC △90ACB ∠=︒6,9AC BC ==AB BC ,CD KD CD DK ⊥BDK 7526C AC ABD BD BC K ,D K D DE BC ⊥BK DK x ==x 5sin 13DE DK DCK CD CK ∠===DE ,D K由作图可知：，，∴为等边三角形，，∵，∴，∴，即：，故点即为所求；【小问2详解】过点作，设，则：，由（1）知，由勾股定理，得：，即：，解得：，∴，∵，∴，∴的面积为．25. 如图，在一块长为，宽为矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，平行四边形道路与矩形边所夹锐角，剩余部分（图中①②③④部分）种上草坪，使草坪面积为，求图中x 的值．的DK BK ∠=AC CD =△BKD ,B BDK A ADC ∠=∠∠=∠90B A ∠+∠=︒90BDK ADC ∠+∠=︒90CDK ∠=︒CD DK ⊥,D K D DE BC ⊥BK DK x ==9CK BC BK x =-=-6CD AC ==222CD DK CK +=()22269x x +=-52x =5513,9222DK BK CK ===-=5sin 13DE DK DCK CD CK ∠===5301313DE CD ==BDK 11530752221326BK DE ⋅=⨯⨯=22m 17m 160∠=︒2299m【答案】2【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的面积公式以及三角函数的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．先利用三角函数求出道路的宽度，然后根据矩形面积两条道路的面积 + 两条道路重合部分的面积 = 草坪面积列出方程即可．【详解】作平行矩形的长，则，又两条平行四边形互相垂直，．由题意可知：米，米，米，矩形面积两条道路的面积 + 两条道路重合部分的面积 = 草坪面积，根据题意得，可列方程为：，解得：，(不合题意，舍去)图中x 的值为2．26. 如图，四边形为正方形，点E 为中点，连接，将纸片折叠，使点C 落在上的点G 处，折痕为；展平后进行第二次折叠，使落在上，上的点H 与点G 重合，折痕为，展平后进行第三次折叠，使点A 落在上点Q 处，折痕为．-AC 60ACB ∠=︒ ∴90ABC ∠=︒AC x =1cos 602BC x x =︒=sin 60AB x x =︒= -∴222172217299x x x ⎫⨯--+=⎪⎪⎭12x =250x =∴ABCD CD BE BE EF BC BE BC BI BE BP（1）写出和的关系，并说明理由．（2）求证：H 为的黄金分割点．（3）以下结论：①P 是的黄金分割点；②P ，Q ，I 三点共线；③，正确的是______（请在横线上填写序号）【答案】（1），，理由见解析（2）证明见解析（3）①②③【解析】【分析】（1）正方形性质，得到，进而得到，折叠，得到，进而得到，即可得出结论；（2）设，得到，，进而得到，进而得到（3）连接，证明，得到，得到，判断②，设，则：，，勾股定理求出的值，进而求出的值，解直角三角形，求出的值，进而求出的长，判断①③即可．【小问1详解】解：，理由如下：∵四边形为正方形，∴，，，∴，∵折叠，∴，的EF PB BC AD DE EQ PQ +=EF PB ∥2PB EF =AB CD CEB ABE ∠=∠11,22BEF BEC PBE ABE ∠=∠∠=∠PBE BEF ∠=∠CE a =2BC a =,EG CE a BE ===)1BG BH a ==-BH BC =QI QBI CBI ≌90,IQB C IQ IC ∠=∠=︒=180BQP IQP ∠+∠=︒,CE DE CI IQ x α====2AB BC BQ AD a ====IE a x =-x ,DI IQ DP AP PQ ,EF PB ∥ABCD AB CD AB CD =90A C ∠=∠=︒CEB ABE ∠=∠11,22CEF BEF BEC ABP PBE ABE ∠=∠=∠∠=∠=∠∴，∴；∵，，∴，∴，∴；【小问2详解】证明：设，则：，∵折叠，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴∴H 为的黄金分割点；【小问3详解】连接，∵正方形，∴，∵翻折，∴，，CEF ABP PBE BEF ∠=∠=∠=∠EF PB ∥CEF ABP ∠=∠90A C ∠=∠=︒BAP ECF ∽2PB AB CD EF CE CE===2PB EF =CE α=2CD α=,EG CE a BG BH ===ABCD 90,2BCD BC CD a ∠=︒==BE ==)1BH BG BE EG a ==-=-BH BC ==BC QI ABCD ,90AB BC BAP C =∠=∠=︒,90AB BQ BC BQP A ==∠=∠=︒QBI CBI ∠=∠∵，∴，∴，∴，∴三点共线，故②正确；设，则：，，∴，∴，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵，∴P 是的黄金分割点；故①正确；BI BI =QBI CBI ≌90,IQB C IQ IC∠=∠=︒=180BQP IQP ∠+∠=︒,,P Q I ,CE DE CI IQ x α====2AB BC BQ AD a ====IE a x =-BE =)2EQ a =-222IE EQ IQ =+())2222a x a x ⎡⎤-=+⎣⎦)22x a =-()(145IE a a =-+=-(6DI DE IE a =+=-tan QE PD DIP IQ DI∠==12PD DI ==(132PD DI a ==()231PQ AP AD DP a a ==-=-+=))21DE EQ a a a +=+-=-DE EQ PQ +=PD AP ==AD综上：正确的有①②③；故答案为：①②③．【点睛】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，黄金分割，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，利用勾股定理和直角三角形的性质求值，是解题的关键．27. 如图，为的直径，点C 是上任意一点，过点C 作于G ，交于D ，，连接．分别交于F 、H ．（1）如图1，求证：．（2）如图1，若，，求的长．（3）当点C 在圆上运动的过程中，试判断之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）6（3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理，得到，即可得出结论；（2）根据，求出的长，进而求出的长，圆周角定理，得到，求出的长，进而求出的长，利用三角函数求出的长，再利用三角函数求出的长即可；（3）将沿着翻折，使点于上的点重合，得到，进而推出，三线合一，得到，根据，即可得出结论．【小问1详解】解：为的直径，，∴，∵，AB O O CD AB ⊥O AC EC=AE CD BC 、AF CF =4AG =3tan 4EAB ∠=EH AG BG BE 、、BG AG BE =+CAF ACF ∠=∠3tan 4FG EAB AG ∠==FG ,AF CG tan tan ACG ABC ∠=∠BG AB BE EH BEC BC E AB M ,BE BM CE CM ==AC CM =AG GM =BG BM MG =+AB O CD AB ⊥ AC AD = AC EC=∴，∴，∴；【小问2详解】∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵为的直径，∴∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴设，则：，∴，∴，∴；【小问3详解】，理由如下：∵， AC CE=CAF ACF ∠=∠AF CF =CD AB ⊥4AG =3tan 4FG EAB AG ∠==3FG=5AF ==5CF AF ==8CG CF FG =+=AB O 90AEB ∠=︒AC CE AD ==ACG CBG EBC ∠=∠=∠41tan tan tan 82CG EH AG ACG CBG EBC BG BE CG ∠=∠=∠=====216BG CG ==12HE BE =20AB AG BG =+=3tan 4BE EAB AE ∠==3,4BE x AE x ==520AB x ==4x =12BE =162HE BE ==BG AG BE =+ AC CE=∴，，∴平分，∵为直径，∴，将沿着翻折，使点于上的点重合，则：，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，从复杂图形中有效的获取信息，是解题的关键．28. 如图，一次函数与二次函数的图像交于A 、D 两点（点A 在点D 左侧），与二次函数的图象交于B 、C 两点（点B 在点C 左侧）．（1）如图1，若，，请求出的值．（2）如图1，若，点B 与A 横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由．AC CE =ABC EBC ∠=∠BC ABE ∠AB AB BE >BEC BC E AB M BEC BMC ≌,BE BM CE CM ==AC CE =AC CM =CG AM ⊥AG MG =BG BM MG BE AG =+=+()0,0y mx n m n =+≠>2y x =22y x =1m =1n =:AB CD 1m =:AB CD（3）如图2，若，求的值．【答案】（1（2）（3）【解析】【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，即可解答；（2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，易证，则，根据点B与A横坐标之差为1，德吹，，进而得出，再求出（3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得：，，推出，进而求出，即可解答．【小问1详解】解：若，，则一次函数为，联立和得：，解得，，联立和得：，:2AB CD=:BC AD231310,AB CDAP BF⊥CQ DH⊥ABP CDQ∽::AB CD AP CQ=1AP=1B Ax x-=5=D CCQ x x=-=:2B AD Cx xAB CDx x-==-:C BD Ax xBC ADx x-=-3m=-26nm=1m=1n=1y x=+1y x=+2y x=21y xy x=+⎧⎨=⎩xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A∴D1y x=+22y x=212y xy x=+⎧⎨=⎩解得或，，，【小问2详解】解：当时，一次函数为，联立和得：，解得，联立和得：，解得：，过点A 、B 、C 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、F 、G 、H ；过点A 作于点P ，过点C 作于点Q ，∵轴，轴，∴，∴，又，，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x y =⎧⎨=⎩11,22B ⎛⎫∴ ⎝-⎪⎭()1,2C AB ∴==CD ==:AB CD ∴==1m =y x n =+y x n =+2y x =2y x n y x=+⎧⎨=⎩A D x x ==y x n =+22y x =22y x n y x =+⎧⎨=⎩B C x x ==AP BF ⊥CQ DH ⊥BF x ⊥DH x ⊥BF DH ∥ABP CDQ ∠=∠AP BF ⊥CQ DH ⊥∴，∴，∵点B 与A 横坐标之差为1，∴，，整理得：，∵，∴．【小问3详解】解：联立和得：，解得联立和得：，解得：由（2）可得：，ABP CDQ ∽::AB CD AP CQ =1AP =1B A x x -=1=5=32D C CQ x x =-===32::1:23AB CD AP CQ ===y mx n =+2y x =2y m n y x =+⎧⎨=⎩A D x x ==y mx n =+22y x =22y mx n y x =+⎧⎨=⎩B C x x ==:2B A D Cx x AB CD x x -==-，整理得：，由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则，两边同时除以m 得：，令，则，解得：，∴，，同理可得：．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法和步骤．2=3m =-0m <3=2n t m =3=6t =26n m=15==13:110C BD A x x BC AD x x -====+=-。

2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为( )A. B. C. 1 D. 23. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为( )A. B. C. D.4. 已知非零向量满足，则( )A. B.C. D.5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积( )A. 寸B. 2寸C. 寸D. 3寸6. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 107. 设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点.若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知函数，，则的零点个数为( )A. 2023B. 2025C. 2027D. 20299. 根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据单位：绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是( )A. 5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B. 9号的最高气温与最低气温的差值最大C. 最高气温的众数为D. 5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大10. 已知函数与及其导函数与的定义域均为R，是偶函数，的图象关于点对称，则( )A. B.C. D.11. 已知平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且，，则( )A. SA与SB所成的角可能为B. SA与OB所成的角可能为C. SO与平面SAB所成的角可能为D. 平面SOB与平面SAB的夹角可能为12. 三支不同的曲线交抛物线于点，，F为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是( )A. 为定值B.C. 若，则D. 若，则13. 若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则______ .14. 写出一个半径为1，且与圆和圆均外切的圆的方程______ .15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“”.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成简称为8步“雹程”猜想的递推关系如下：已知数列满足为正整数，若，则m 所有可能取值的集合为______ .16. 正四面体ABCD 的棱长为3，P 在棱AB 上，且满足，记四面体ABCD 的内切球为球，四面体PBCD 的外接球为球，则______ .17. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且若，求；若的最大角为最小角的2倍，求a 的值.18. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲盒套餐，A 款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X ；B 款盲盒套餐包含2款不同单品，有的可能性出现隐藏款为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐.开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：A 款盲盒套餐B 款盲盒套餐合计年龄低于30岁183048年龄不低于30岁221032合计404080根据列联表，判断是否有的把握认为A ，B 款盲盒套餐的选择与年龄有关；甲、乙、丙三人每人购买1件B 款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X 的个数，求的分布列和数学期望；某消费者在开售首日与次日分别购买了A 款盲盒套餐与B 款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X ，求该隐藏款来自于B 款盲盒套餐的概率.附：，其中，19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面求证：平面ABCD；设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长.20. 已知等比数列的前n项和满足求首项的值及的通项公式；设，求满足的最大正整数n的值.21. 已知双曲线E：，点与双曲线上的点的距离的最小值为求双曲线E的方程；直线l：与圆C：相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程.22. 已知函数讨论函数的单调性：若，是方程的两不等实根，求证：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：由，得，即，，由，得，，故选：求解不等式化简A与B，再由交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，则，其虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，且，则，由正态曲线得，所以故选：根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得本题考查正态分布的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：，，，，，当时，，，A错误；，，B错误；，，C错误；，，，，D正确．故选：对两边平方，进行数量积的运算可得出，然后可得出：，时，，从而可判断出A的正误；，从而可判断出B的正误；，从而可判断出C的正误；根据得出，从而可判断出D的正误．本题考查了向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．积水深9寸，水面半径为寸，则盆中水的体积为立方寸平地降雨量等于寸故选：由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题．6.【答案】A【解析】解：函数的图象关于直线对称，，，即，在上没有最小值，，，综合可得，故选：由题意，利用正弦函数的图象的对称性和最小值，求出的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：取P，Q的中点为M，连接OM，PF，则由题意可得，，，所以∽，所以，因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以，设，，则有，两式相减可得，即，即，即，所以椭圆的离心率为故选：利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率．本题考查了椭圆的离心率问题，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，当时，，，等价于，得或，得或由，得或，由，得，进一步可得，由，可得或或依次类推，可得，，1，2，…，又，，可知当时，，当时，，的增区间为，，减区间为又，，可得的图象如图：由图可知，的图象与，，1，2，…，2023共有个交点．故选：由，得当时，，问题等价于与直线族，，1，2，…，2023的交点问题，再由导数研究函数的单调性，作出图象，数形结合得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，训练了利用导数研究函数的单调性，属难题．9.【答案】AC【解析】解：对于A，由折线图可知，5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确；对于B，由折线图可知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；对于C，由折线图可知，最高气温的众数为，故C正确；对于D，5号到15号的最低气温的极差大约为，最高气温的极差大约为，故D错误．故选：根据折线图逐个判断各个选项即可．本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：选项A，因为是偶函数，所以，所以，即A 正确；选项B，因为的图象关于点对称，所以，又是偶函数，所以，即B正确；选项C，因为的图象关于点对称，所以，两边求导得，，令，则，所以，即C正确；选项D，因为是偶函数，所以，两边求导得，，令，则，因为不一定是偶函数，所以不一定成立．故选：选项A，由偶函数的性质知，得解；选项B，易知，结合是偶函数，得解；选项C，由函数的对称性知，，两边求导，推出，得解；选项D，由，两边求导，推出，而不一定是偶函数，得解．本题考查函数奇偶性的应用，导数的运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：如图，，，，，且对于A，当B位于线段OB上时，SA与SB所成角最小，为，当B位于线段BO的延长线上时，SA与SB所成角最小，为，可得SA与SB所成的角的范围为，故A正确；对于B，SA与平面所成角为，即SA与平面所有直线所成角的最小值为，则SA与OB所成的角不可能为，故B错误；对于C，由已知可得，在中，有为锐角，过O作AB所在直线的垂线OD，连接SD，则SO在平面SAB上的射影落在SD上，即为SO与平面SAB所成的角，可知，则，即SO与平面SAB所成的角可能为，故C正确；对于D，若平面SOB与平面SAB的夹角为，过A作，垂足为E，则平面SOB，，又，可得，这与矛盾，故D错误．故选：由题意画出图形，结合已知可得，，且，然后结合线面角、二面角的定义，以及三角形中大边对大角逐一分析四个选项得答案．本题考查空间角的大小比较，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】AD【解析】解：如图，设直线与抛物线的交于点，，则与关于x轴对称，设，，则，联立，消x得，则，又，则，则，对于A，，，故A正确；对于B，，因为不是定值，所以不是定值，故B错误；对于C，设直线的倾斜角为，则，则，所以，又因，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，故D正确．故选：设直线与抛物线的交于点，，则与关于x轴对称，设，，则，联立，利用韦达定理求得，，进而可求得，，结合焦半径公式即可判断A；判断是否为定值即可判断B；求出，即可判断本题考查了抛物线的性质，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：函数在区间上单调递增，所以，解得或2，又，故答案为：利用指数函数的单调性求解．本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：设圆的方程为，由于该圆与圆和圆均外切，故，解得或故圆的方程为或故答案为：或直接利用两圆的位置关系建立方程组，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆的方程的求法，两点间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：若，则，则或，当时，则，则或，则或；当时，则或舍，若，则，则或；即m所有可能取值的集合为故答案为：根据递推公式逆向寻找结果即可．本题考查归纳推理和数列递推公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，设点H为的中心，则平面BCD，连接BH，并延长BH交CD 于点E，则点E为CD的中点，，则四面体ABCD的内切球的球心在AH上，且四面体PBCD的外接球的球心在AH上，设四面体ABCD的内切球的半径为r，，，，则，又，则，解得，即，由四面体PBCD的外接球的球心在AH上，得，记BP的中点为M，则，，，所以，则，所以故答案为：设点H为的中心，四面体ABCD的内切球的球心在AH上，且四面体PBCD的外接球的球心在AH上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径，根据比例关系求出，得出，即可得解．本题考查几何体的内切球，外接球问题，属于中档题．17.【答案】解：当时，，，在中，由余弦定理，得，所以；由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，由正弦定理得，即，又，所以，将，代入上式得，解得【解析】在中，由余弦定理求得，即可求解；由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，利用正弦定理和余弦定理即可求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．18.【答案】解：零假设为：：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；的所有可能取值为0，1，2，3，，所以的分布列为：0 1 2 3P或；设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，设事件：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，设事件：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，，故由条件概率公式可得【解析】根据独立性检验计算，再进行判断即可；根据二项分布的概率公式，进行计算得分布列及数学期望即可；根据全概率公式及条件概率公式分析计算即可．本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19.【答案】证明：在平面ABCD内任取一点不在直线AB与直线AD上，过G分别作AD、AB的垂线GE、GF，已知平面平面ABCD，平面平面ABCD，由平面与平面垂直的性质定理可得，平面PAD，平面PAB，则，，而，则平面ABCD；解：由知，平面ABCD，又，以A为坐标原点，分别以AB、DA、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．由已知得：，，，设，则，，，设平面PBC与平面PDC的一个法向量分别为，，由，取，得；由，取，得平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，，解得：即BC的长为【解析】在平面ABCD内任取一点不在直线AB与直线AD上，过G分别作AD、AB的垂线GE、GF，由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面PAD，平面PAB，得到，，则平面ABCD；由知，平面ABCD，又，以A为坐标原点，分别以AB、DA、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，则，然后分别求出平面PBC与平面PDC的一个法向量，再由平面PBC与平面PCD 的夹角的余弦值为列式求解m值，则答案可求．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：，，，，，数列为等比数列，公比，又，，，；由知，，，，，，设，，当时，单调递增，又，又，，满足题意的最大正整数n为【解析】先根据题意求出公比，从而可求出，从而可得的通项公式；先根据求出，再根据题意解不等式，即可求解．本题考查等比数列的通项公式的求解，利用数列的单调性求解不等式问题，化归转化思想，属中档题．21.【答案】解：设是双曲线上的任意一点，则，所以当时，的最小值为，所以，得，所以双曲线E的方程为；由直线l：与圆C：相切得，由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，，联立，消y整理得，则，所以，所以，即，解得，又，则，解得或，所以，所以，又点到AB的距离，故，设，，联立方程组，消y整理得，则，所以，所以，又点O到MN的距离，故，所以当时，有，整理得，即，又，则，即，解得舍去，所以，则，所以直线方程为【解析】设是双曲线上的任意一点，先求得，再结合题意即可求得的值，进而即可求出双曲线E的方程；先根据直线l与圆C相切得到，设，，再联立直线l的方程和双曲线E的方程，求得，，根据题意求得m的取值范围，设点到AB的距离为，从而求得，再联立直线l的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得，，设点O到MN的距离为，从而求得，再结合即可求得k的值，进而即可求得直线l的方程．本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．22.【答案】解：，当时，，在上单调递增，当时，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．证明：因为，是方程的两个不等实数根，即，是方程的两个不等实数根，令，则，，即，是方程的两个不等实数根，令，则，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，，当时，；当时，且，所以，即，令，要证明，只需证明，设，，则，，令，则，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，所以，所以，所以得证．要证，只需证，只需证，只需证，只需证，因为，令得，即①，令得，即②，①+②得，所以，得证．【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，进而可得的单调性．根据题意可得，是方程的两个不等实数根，令，则，，即，是方程的两个不等实数根，令，求导分析单调性，最值，只需与有两个交点可得，令，要证明，只需证明，设，，令，求导分析单调性，可得，即可得出答案．要证，只需证，只需证，只需证，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

2024年河北省唐山市古冶区九年级中考二模数学试题(解析版)

2023—2024学年度九年级学业水平评估数学试卷注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题（本大题共16个小题：1~6小题，每题3分；7~16小题，每题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 计算：（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法进行计算即可求解．【详解】解：故选：A ．2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可．【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为：故选C ．【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．35-=2-28-8352-=-3. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式；根据以上运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．4. 下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．【详解】解：A 、，，y 随x 的增大而增大，不符合题意；B 、，，y 随x 的增大而减小，符合题意；C 、，，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意；D 、，，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．5. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（）A. B. C. D. 632a a a ÷=235a a a ⋅=()23622a a =()222a b a b +=+633a a a ÷=235a a a ⋅=()26324a a =()2222a b a ab b +=++6y x=6y x =-6y x =6y x=-6y x =60k =>6y x =-60k =-<6y x=60k =>6y x =-60k =-<30︒120∠=︒2∠=30︒40︒50︒60︒【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质，得出，进而．【详解】由图知，∴故选：B【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键．6. 一次函数y=6x+1的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【详解】试题分析：先判断出一次函数y=6x+1中k 的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．解：∵一次函数y=6x+1中k=6＞0，b=1＞0，∴此函数经过一、二、三象限，故选D ．7. 下列有关分式的运算，结果正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题考查了分式的运算，根据分式的运算法则进行计算即可得到答案．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B ．，故选项错误，不符合题意；C ．，故选项正确，符合题意；3120∠=∠=︒260340Ð=°-Ð=°3120∠=∠=︒2603602040Ð=°-Ð=°-°=°212a a=112a b a b +=+24334a a a a a a -+⋅=+-22111a a a a a+++÷=222a a a =11ab a b ab++=()244333434a a a a a a a a a a a --++⋅=⋅=+-+-D ．，故选项错误，不符合题意．故选：C ．8. 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）A. 每2次必有1次正面向上B. 不可能有10次正面向上C. 必有5次正面向上D. 可能有5次正面向上【答案】D【解析】【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币10次，每2次不一定有1次正面向上，原说法错误，不符合题意；B 、掷一枚质地均匀的硬币10次，有可能有10次正面向上，原说法错误，不符合题意；C 、掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，原说法错误，不符合题意；D 、掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，原说法正确，符合题意；故选：D ．9. 估计：的值应在（）A. 2和3之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的估算，先将3放入根号内，估算，即可求解．【详解】解：∵，∴，故选：D ．10. 如图，在中，，，D ，E 分别在，上，将沿折叠，使点A 落在点处，若为的中点，则折痕的长为（）()22121111a a a a a a a a a a ++++÷=⋅=++67<<=364549<<67<<ABC 90C ∠=︒6BC =AB AC ABC DE A 'A 'CE DEA. B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A ”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可．【详解】解：沿折叠，使点A 落在点处，，，又∵，∴，∴，，又为的中点，，∴，，即，．故选：C ．11. 如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP +PN 的最小值是（）12AE AE '=90DEA DEA ∠'=∠=︒90C ∠=︒DE BC ∥ACB AED ∽△△A 'CE 13AE A E A C AC ''===13DE BC =ABC DE A '90DEA DEA '∴∠=∠=︒AE A E '=90C ∠=︒DE BC ∥,ADE B AED C ∠=∠∠=∠ACB AED ∴ ∽A 'CE AE AE '=13AE A E A C AC ''===∴13ED AE BC AC ==163ED =2ED ∴=A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先作点M 关于AC 的对称点M ′，连接M ′N 交AC 于P ，此时MP +NP 有最小值．然后证明四边形ABNM ′为平行四边形，即可求出MP +NP =M ′N =AB =1．【详解】解：如图作点M 关于AC 的对称点M ′，连接M ′N 交AC 于P ，此时MP +NP 有最小值，最小值为M ′N 的长．∵菱形ABCD 关于AC 对称，M 是AB 边上的中点，∴M ′是AD 的中点，又∵N 是BC 边上的中点，∴AM ′∥BN ，AM ′=BN ，∴四边形ABNM ′是平行四边形，∴M ′N =AB =1，∴MP +NP =M ′N =1，即MP +NP 的最小值为1，故选B ．12. 圆锥的底面半径是5cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（）cm B. 10cm C. 6cm D. 5cm 【答案】A【解析】【分析】设圆锥的母线长为R ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【详解】设圆锥的母线长为R ，根据题意得2π•5，解得R ＝10．12180180R π180180R π=即圆锥的母线长为10cm ，．故选A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13. 如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D ，则k 的值是（）A. 9B. 12C. 15D. 18【答案】C【解析】【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D 坐标即可解决问题．【详解】解：作轴于．∵，∴，，∴，∵，∴，=A B C '''∆k y x=A B ''A H y ⊥.H AOB ()'BHA AAS OA BH ='OB A H ='A A H y '⊥H 90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒90ABO A BH ∠+∠'=︒90ABO BAO ∠+∠=︒BAO A BH ∠=∠'BA BA ='()AOB BHA AAS ' ≌∴，，∵点的坐标是，点的坐标是，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∵反比例函数的图象经过点，∴．故选C ．【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14. 如图，矩形中，，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E ，F ，再分别以点E ，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P ，作射线，过点C 作的垂线分别交于点M ，N ，则的长为（）A.B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】由作图可知平分，设与交于点O ，与交于点R ，作于点Q ，根据角平分线性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出的OA BH =OB A H ='A ()2,0-B ()0,62OA =6OB =2BH OA ==6A H OB '==4OH =()6,4A 'BD A D ='()3,5D k y x =D 15k =-ABCD 34AB BC ==，BC BD 12EF BP BP ,BD AD CN BP CBD ∠BP CN CD RQ BD ⊥RQ RC =Rt BCR Rt BQR ≌4BC BQ ==RQ RC x ==3DR CD CR x =-=-Rt DQR 43QR CR ==，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．【详解】解：如图，设与交于点O ，与交于点R ，作于点Q ，矩形中，，，．由作图过程可知，平分，四边形是矩形，，又，，在和中，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，．OC OCR DCN ∽CN BP CN CD RQ BD ⊥ ABCD 34AB BC ==，∴3CD AB ==∴5BD ==BP CBD ∠ ABCD ∴CD BC ⊥ RQ BD ⊥∴RQ RC =Rt BCR Rt BQR RQ RC BR BR =⎧⎨=⎩∴Rt BCR Rt BQR ≌()HL ∴4BC BQ ==∴541QD BD BQ =-=-=RQ RC x ==3DR CD CR x =-=-Rt DQR 222DR DQ RQ =+()22231-=+x x 43x =∴43CR =，，，，，解得．故选A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．15. 如图，点I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为（）A. 4.5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【详解】【分析】连接AI 、BI ，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI 是∠CAB 的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI ，同理BE=EI ，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．详解】连接AI 、BI ，∵点I 为△ABC 的内心，∴AI 平分∠CAB ，∴∠CAI=∠BAI ，由平移得：AC ∥DI ，【∴BR ==1122BCR S CR BC BR OC =⋅=⋅ ∴CR BC OC BR ⋅=== 90COR CDN ∠=∠=︒OCR DCN ∠=∠∴OCR DCN ∽∴OC CR DC CN =43CN=CN =BP CBD ∠CR∴∠CAI=∠AID ，∴∠BAI=∠AID ，∴AD=DI ，同理可得：BE=EI ，∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．16. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（）A. 不存在实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有一个根是D. 有两个相等的实数根【答案】A【解析】【分析】直接把已知数据代入进而得出的值，再解方程求出答案．【详解】解：∵小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是，∴，解得：，故原方程中，∴原方程为，则，则原方程的根的情况是不存在实数根，故选：A．x ()200ax bx c a ++=≠1a =4b ==1x -c c 2=1x -c x ()200ax bx c a ++≠＝1a =4b ==1x -()()21410c -+⨯-+=3c =5c =2450x x ++＝241641540b ac --⨯⨯=-<＝【点睛】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键．二、填空题（本大题有3个小题，每空2分，共10分）17. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解．【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，其中，，在第一象限，共2个点，∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键．18. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则_______；若，则平行四边形的面积为_______．【答案】①. ②. 【解析】【分析】本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出．由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值，由得到，即可求出平行四边形的面积．【详解】解：如图，作于，c ()1,2A ()3,4B -()2,3C --()4,3D ()2,3E -25()1,2A ()3,4B -()2,3C --()4,3D ()2,3E -()1,2A ()4,3D 2525sin α=30α=︒455245AH AB =45AH AB =sin α30α=︒12AH AB =AH BC ⊥H∵，，∴，∴，∴，当时，，平行四边形的面积．故答案为：，．19. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．（1）的面积为________；（2）若F 为的中点，连接并延长，与相交于点G ，则的长为________．【答案】①. 3 ②. 【解析】【分析】（1）过点E 作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积；（2）延长交于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长．【详解】解：（1）过点E 作，5BC AB ⋅=4BC AH ⋅=45BC AH BC AB ⋅=⋅45AH AB =sin 54AH AB α=== 30α=︒12AH AB =∴1522BC AH BC AB =⋅=⋅=4552ABCD ADE 52EA ED ==ADE V BE AF CD AG EH AD ⊥AH EH ADE V EH AG ()ASA ABF KEF ≌EK KH AHK ADG △∽△KH AH GD AD =GD AG EH AD ⊥正方形的边长为3，，是等腰三角形，，，，在中，，,故答案为：3；（2）延长交于点K ，正方形的边长为3，，，，，，，，F 为的中点，，在和中，，，，由（1）可知，，，，ABCD 3AD ∴=ADE 52EA ED ==EH AD ⊥1322AH DH AD ∴===Rt AHE 2EH ===1132322ADE S AD EH ∴=⋅=⨯⨯= EH AG ABCD 90BAD ADC ∴∠=∠=︒3AB =AB AD ∴⊥CD AD ⊥EK AD ⊥ AB EK CD ∴∥∥ABF KEF ∴∠=∠ BE BF EF ∴=ABF △ KEF ABF KEF BF EFAFB KFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABF KEF ∴ ≌3EK AB ∴==12AH AD =2EH =1KH ∴=，，，，在中，，【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．三、解答题（本大题共7个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20. 有个填写数字的游戏：在“”中的每个内，填入数字（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：；（2，请推算□内的数字；（3）若三个内从左往右依次填入入三个数，请你直接写出计算结果（计算结果要求用科学记数法表示）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，二次根式的混合运算，幂的运算；（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解．（2）根据题意可得□内的数字为，进而根据二次根式的乘法进行计算即可求解；（3）根据题意列出算式，进而根据幂的运算进行计算，最后表示成科学记数法的形式，即可求解．【小问1详解】KH CD ∥ AHK ADG ∴△∽△KH AH GD AD∴=2GD \=Rt ADG V AG ===⨯- W 1462⨯-8-= W 326410,510,1.410⨯⨯⨯4-15610⨯8-解：原式【小问2详解】□内的数字为∴□内的数字为1；【小问3详解】解：21.如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”．（1）判断四位数5324是不是“递减数”；（2）若一个“递减数”为，求这个“递减数”；（3）若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，直接写出满足条件的递减数的最大值．【答案】（1）不是“递减数”；（2）4312；（3）8165．【解析】【分析】本题主要考查了新定义：（1）根据“递减数”的定义求解即可；（2）根据“递减数”的定义可得，解方程即可得到答案；（3）先由“递减数”的定义得到，再求出，进而推出能被9整除，据此求出能满足能被9整除的正整数a 、b 即可得到答案．26=-4=-88=98=-1=326410510 1.410⨯⨯⨯-⨯66210 1.410=⨯-⨯5610=⨯abcd ab bc cd -=411229-=312a abc bcd 1033112a +-=101010a b b c c d +--=+110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=112a b +112a b +【小问1详解】解：∵，∴5324不是“递减数”；【小问2详解】解：∵一个“递减数”为，∴，∴，∴这个“递减数”为4312；【小问3详解】解：∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，∴，∵，∴，∵能被整除，∴能被9整除，∵各数位上数字互不相等且均不为0，∴或或或或或或或，∴当时，有最大的“递减数”，∴，即：，∴最大取，此时，∴这个最大的“递减数”为8165．故答案为：8165．22. 某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x 分为如下四组（：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．的53322124-=≠312a 1033112a +-=4a =abc bcd 101010a b b c c d +--=+1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=()11010199112a b a b a b +=+++9112a b +18a b =⎧⎨=⎩27a b =⎧⎨=⎩36a b =⎧⎨=⎩45a b =⎧⎨=⎩54a b =⎧⎨=⎩63a b =⎧⎨=⎩72a b =⎧⎨=⎩81a b =⎧⎨=⎩8,1a b ==1089110c c d ⨯-⨯-=+1171c d +=c 65d =707080809090A x B x C x Dx <≤<≤<≥．，．，．，，单位根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m 的值为______，请你补全条形统计图；（2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 80分钟（含80分钟）以上的学生有______人；（3）若D 组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．【答案】（1）50；30；统计图见解析（2）300人（3）【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率：（1）用D 组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而求出m 的值和C 组的人数，最后补全统计图即可；（2）用600乘以样本中C 、D 两组的人数占比之和即可得到答案；（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：人，∴本次抽取的学生人数为50人，∴，∴，C 组人数为人，补全统计图如下：的35510%50÷=15%100%30%50m =⨯=30m =501015520---=【小问2详解】解：人，∴估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 80分钟（含80分钟）以上的学生有300人；【小问3详解】解：设用A 、B 、C 表示3名女生，用D 、E 表示2名男生，列表如下：由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果数有12种，∴抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．20560030050+⨯=A B C D E A (),B A (),C A (),D A (),E A B (),A B (),C B (),D B (),E B C (),A C (),B C (),D C (),E C D (),A D (),B D (),C D (),E D E (),A E (),B E (),C E (),D E 123205=()m y（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．（2）求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．【答案】（1）30（2）（3）10天【解析】【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x 的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a ，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【小问1详解】解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，（天）∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；【小问2详解】解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为，将和两个点代入，可得，解得，()312060y x x =+30<≤y kx b =+603030-=y kx b =+()30,210()60,3002103030060k b k b =+⎧⎨=+⎩3120k b =⎧⎨=⎩∴【小问3详解】解：甲组每天挖（米）甲乙合作每天挖（米）∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米）设乙组己停工的天数为a ，则，解得，答：乙组已停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．24. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分，，垂足为E （1）试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径为2，，求线段EF 的长．【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切；（2）.【解析】【分析】（1）欲证明DE 是⊙O 的切线，只要证明即可；（2）过O 作于G ，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF 是菱形，得到，，于是得到结论．【详解】（1）直线DE 与⊙O 相切，连结OD ．∵AD 平分，()312060y x x =+30<≤30021036030-=-210730=734-=304120⨯=()330120a +=10a =BAC ∠DE AC ⊥60BAC ︒∠=1EF =90ODE ︒∠=OG AF ⊥2AF AG =112AG OA ==2AF =DF OA ∥2DF OA ==BAC ∠∴，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，即，∴DE 是⊙O 的切线；（2）过O 作于G ，∵，∴，，∴，∴，∴，∴四边形AODF 是菱形，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．25. 如图1，抛物线与x 轴交于点，，与y 轴交于点C ，顶点为D，直OAD CAD ∠=∠OA OD =OAD ODA ∠=∠ODA CAD ∠=∠OD AC DE AC ⊥90AED ︒=∠90ODE ︒∠=DE OD ^OG AF ⊥2AF AG =60BAC ︒∠=2OA =112AG OA ==2AF =AF OD =DF OA ∥2DF OA ==60EFD BAC ︒∠=∠=112EF DF ==26y ax bx =++()2,0A -()6,0B线AD 交y 轴于点E ．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将沿直线AD 平移得到．①当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标．②在移动过程中，存在点M 使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）；（2）①或；②或或或【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：，即：，即可求解；（2）①将点M 的坐标代入抛物线表达式，即可求解）；②分为直角、为直角、为直角三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：，令，解得：或，故点，函数的对称轴为：，故点；（2）将点A 、D 的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，故直线AD 的表达式为：，设点，AOE △NMP NMP MBD 21262y x x =-++((--()2,4--1428,33⎛⎫ ⎪⎝⎭()()222641()2412y a x x a x x ax ax a =+-=--=--126a -=BMD ∠MBD ∠MDB ∠()()222641()2412y a x x a x x ax ax a =+-=--=--126a -=12a =-21262y x x =-++0y =4x =2-()2,0A -2x =()2,8D y mx n =+8202m n m n =+⎧⎨=-+⎩24m n =⎧⎨=⎩24y x =+(),24N n n +，则点，①将点M 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故点M 的坐标为或；②点，点B 、D 的坐标分别为、，则，，，当为直角时，由勾股定理得：，解得：，当为直角时，同理可得：，当为直角时，同理可得：，故点M 的坐标为：或或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．26. 综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D 为上一点，，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A 时停止，以为边作正方形设点P 的运动时间为，正方形的而积为S ，探究S 与t 的关系2MN OA == ()2,24M n n ++()()212422162n n n +=-++++2n =-±((--()2,24M n n ++()6,0()2,8()222628BD =-+()()222424MB n n =-++()22224MD n n =+-BMD ∠()()()()22222262842424n n n n -+=-++++-n =MBD ∠n =-4MDB ∠83n =()2,4--1428,33⎛⎫ ⎪⎝⎭Rt ABC △90C ∠=︒AC CD =C B A →→DP DPEF s t DPEF（1）初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当时，_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段的长．（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．①_______；②当时，求正方形面积．【答案】（1）①3；②（2），（3）①4；②【解析】【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；（2）先由函数图象可得当点P 运动到B 点时，，由此求出当时，，可设S 关于t 的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t 的值即可得答案；（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数的1t =S =AB 123,,t t t 123t t t <<DPEF 12t t +=314t t =DPEF 22S t =+()281828S t t t =-+≤≤6AB =3491CP =DP =CP t =222DP t =+222S DP t ==+26S DP ==2t =6S =()242S a t =-+2818S t t =-+281818S t t =-+=()242S t =-+22S t =+()()()1221P m n Q m n m m >，，，22S t =+()14m n +，()24m n +，上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．【小问1详解】解：∵动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿匀速运动，∴当时，点P 在上，且，∵，，∴∴，故答案为：3；②∵动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在匀速运动，∴，∵，，∴，∴；【小问2详解】解：由图2可知当点P 运动到B 点时，，∴，解得，∴当时，，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，∴可设S 关于t 的函数解析式为，把代入中得：，解得，∴S 关于t 的函数解析式为，()242S t =-+121212044m m m m m m +=<<+<+，2144m m ++=21321244m m t t m t ==+=+，，124t t +=134t t =+314t t =143t =C B A →→1t =BC 1CP =90C ∠=︒CD =DP ==23S DP ==BC CP t =90C ∠=︒CD =22222DP CP CD t =+=+222S DP t ==+26S DP ==226t +=2t =2t =6S =()42，()242S a t =-+()26，()242S a t =-+()26242a =-+1a =()()224281828S t t t t =-+=-+≤≤在中，当时，解得或，∴；【小问3详解】解：①∵点P 在上运动时，，点P 在上运动时，∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，∴，∴，∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．∴可以看作，∴，故答案为：4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．2818S t t =-+281818S t t =-+=8t =0=t 826AB =-=BC 22S t =+AB ()242S t =-+()242S t =-+22S t =+()()()1221P m n Q m n m m >，，，22S t =+()14m n +，()24m n +，()242S t =-+121212044m m m m m m +=<<+<+，2144m m ++=123,,t t t 123t t t <<DPEF 21321244m m t t m t ==+=+，，124t t +=134t t =+314t t =1144t t =+143t =224342239S t ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．。

2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥初级中学校中考二模数学试题(解析版)

2024虹桥九年级下数学校二模试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 的倒数是（）A. 7B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了倒数的定义．根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可．【详解】解：的倒数是，故选：D ．2. 下列图形既是轴对称又是中心对称的图形是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A ．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．此图案不是轴对称图形，是中心对称图形；C ．此图案是轴对称图形，也是中心对称图形；D ．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形；故选：C3. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式分别判断即可．.7-7-1717-7-17-632a a a ÷=336235a a a +=326()a a -=222()a b a b +=+【详解】解：A、，故选项错误；B、，故选项错误；C、，故选项正确；D、，故选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，正确掌握相关乘法公式是解题关键．4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数图像所过象限性质列不等式即可得到答案．【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，∴，解得：，故选A．【点睛】本题考查反比例函数图像性质：过一三象限，过二四象限．5. 如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【详解】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选：B．633a a a÷=333235a a a+=326()a a-=222()2a b a b ab+=++2nyx-=n2n>2n≥2n<2n≤2nyx-=20n->2n>k>0k<【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．6.方程的解为（）A. x=﹣1B. x=0C. x=D. x=1【答案】D【解析】【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x+3=4x ，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选D ．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．7. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：依题意，，∴，∵，∴，故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．8. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在1223x x =+35MN CD PD CD ⊥D AO MN OB B PD 35AOC ∠=︒OBD ∠35︒45︒55︒65︒AOC BOD ∠=∠AOC BOD ∠=∠35AOC ∠=︒35BOD ∠=︒PD CD ⊥9055OBD BOD ∠=︒-∠=︒α坡面上的距离AB 为（）A. 5米B. 米C. 米D.米【答案】B【解析】【分析】作BE ⊥AC ，解直角三角形即可．【详解】解：作BE ⊥AC ，垂足为E ，∵BE 平行于地面，∴∠ABE ＝∠α，∵BE ＝5米，∴AB ＝＝．故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．9. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，则的长为（）cos α5cos α5sin α5sin αcos BC a 5cos aRt ABC △A AB F AC E ,E F 12EF BAC ∠G AG BC D 3,4AC BC ==CDA. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，在中，，，∴，根据作图可得是的角平分线，∴，设，则，∵，∴解得：，经检验，满足所列方程，783223D DH AB ⊥H AB AD BAC ∠CD DH x ==4BD x =-sin HD AC B BD AB==D DH AB ⊥H Rt ABC △3AC =4BC =AB 5===AD BAC ∠DC DH =CD DH x ==4BD x =-sin HD AC B BD AB==345x x =-32x =32x =∴故选：C ．10. 如图二次函数的图象，与轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③当时，随的增大而增大．正确的说法有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】由抛物线开口方向及与轴的交点位置可判断①；根据二次函数与轴的交点坐标可判断②；由图象的对称轴，结合图象的开口方向，则可判断③；则可求得答案．本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与一元二次方程的关系是解题的关键，注意数形结合思想的应用．【详解】解：抛物线开口向上、与轴的交点在轴的下方，，，，故①正确；∵二次函数的图象，与轴交于、点，∴方程的根是，∴②是正确的；抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，故③正确；综上可知说法正确的有①②③，故选：D ．二、填空题（每小题3分，共计30分）11. 哈尔滨大冬会的火炬接力全程为2009000米，将这一路程用科学记数法表示为______米．32CD =2y ax bx c =++x ()20-，()40，0ac <20ax bx c ++=12=2,=4x x -1x >y x y x y x 0a ∴>0c <0ac ∴<2y ax bx c =++x ()20-，()40，20ax bx c ++=12=2,=4x x - 1x =∴1x >y x【答案】【解析】【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值是易错点，由于2009000有7位，所以可以确定．【详解】解：．故答案为：．12. 函数y=中，自变量x 的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．【详解】解：由题意得x−2≠0，即x≠2，故答案为x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．13. 把多项式分解因式的结果是___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式．故答案为：．14. 不等式组的解集是__．【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．62.00910⨯a n 10n a ⨯1||10,a n ≤<n 716n =-=62009000 2.00910=⨯62.00910⨯212x x +-2x ≠244ab ab a -+()22a b -()244a b b =-+2(2)a b =-2(2)a b -21210x x -<⎧⎨+>⎩132x -<<详解】解：解不等式得：；解不等式得：．∴不等式组的解集：为，故答案为：．15. 抛物线的顶点坐标是__________．【答案】（1，0）【解析】【详解】试题解析：抛物线的顶点坐标是故答案为: 点睛：根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．16. 先后两次各掷一枚硬币，其结果一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查概率的计算．先根据题意列出所有可能出现的结果，找出“一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上”的情况，再根据概率的计算公式进行计算即可．概率=所求情况数总情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．【详解】∵先后两次各掷一枚硬币，共有四种情况：“正正，正反，反正，反反”，结果是“一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上”有“正反，反正”，∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是．故答案为：17. 如图，相交于点O ，，M 是的中点，，交于点N ．若，，则的长为 _____．【答案】4【21x -<3x <210x +>12x >-132x -<<132x -<<2(1)y x =-2(1)y x =-()1,0.()1,0.()2y a x h k =-+(),h k 12÷1212AC BD ，AB CD AB MN AC ∥BD 12DO OB =::12AC =MN【解析】【分析】本题考查全等三角形性质及判定，掌握全等三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，即可求解．【详解】解：，，，是的中点，∴是的中位线，，，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，故答案：4．18. 观察图中图形的构成规律，根据此规律，第个图形中有______ 个圆圈．【答案】37【解析】【分析】将第个图形中圆圈划分成两部分，左边部分为的正方形，又边部分只有个，据此规律可得．【详解】解：第个图形中，圆圈的个数为：个；第个图形中，圆圈的个数为：个；的为AB DC D B ∠=∠12MN OA =MN AC ∥COD MNB ≅ 13MN OA =MN CO =AB DC ∥D B ∴∠=∠M N A C ∥M AB MN AOB ∆12MN OA \=ON BN =:1:2DO OB =OD BN =COD AOB ∠=∠AOB MNB ∠=∠COD BNM ∠=∠()AAS COD MNB ≅ MN CO ∴=212AC OA OC MN MN =+=+=1112433MN AC ∴==⨯=6n n n ⨯1 11112⨯+=22215⨯+=第个图形中，圆圈的个数为：个；第个图形中，圆圈的个数为：个；第个图形中，圆圈的个数为：个；故答案为：．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．19. 在锐角中，，垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则________．【答案】##度【解析】【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，首先根据题意作图，然后由的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，即可得，，即可求得的度数，又由，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得．【详解】解：∵的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，∴，，∴．∵，∴，故答案为：．20. 已知四边形，若，则______．333110⨯+=444117⨯+=⋯∴666137⨯+=37（）ABC AB AC =AB AC 50︒B ∠=70︒70AB AC 50︒50ADE ∠=︒90AED ∠=︒A ∠AB AC =B ∠AB AC 50︒50ADE ∠=︒90AED ∠=︒90905040A ADE ∠=︒-∠=︒-︒=︒AB AC =18040702B C ︒-︒∠=∠==︒70︒A ,90,90,BCD ABC ACB BCD AC CD ︒=︒∠∠+∠==1,5AB BD ==AD =【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．作，，则，根据证明得，延长交的延长线与点F ，设，在中利用勾股定理求解即可．【详解】作，，则．∵， ∴．∵，，∴，∴．延长交的延长线与点F ，则四边形是正方形，∴．设，则，在中，，解得（负值舍去），∴，CE BC ⊥DE CE ⊥90E BCE ∠=∠=︒ASA ≌ABC DCE ,1BC CE DE AB ===ED BA 2BF EF a ==R t B D F V CE BC ⊥DE CE ⊥90E BCE ∠=∠=︒90BCA BCD ∠+∠=︒90,DCE BCD BCE ∠+∠=∠=︒DCE BCA ∠=∠90ABC E ∠=∠=︒AC CD =()ASA ABC DCE ≌,1BC CE DE AB ===ED BA BCEF BF EF =BF EF a ==1DF a =-Rt BDF △()22215a a +-=4a =413AF DF ==-=∴．故答案为：三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【详解】当a=4cos30°+3tan45°时，所以（1﹣）÷= =.【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．22. 图1、图2分别是网格，网格中每个小正方形的边长均为1，请分别在每个图形中各画一条线段，满足以下要求：（1）线段的一个端点为图形顶点，另一个端点在图形一边的格点上（每个小正方形的的顶点均为格点）（2）将图形按要求分成两个图形（图1、图2中的分法各不相同）（分成一个中心对称图形和一个轴对称图形）（分成两个轴对称图形）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了利用中心对称与轴对称．熟练掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解答此题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形AD ==12a -26924a a a -+-12a -26924a a a -+-232(2)•2(3)a a a a ----23a -87⨯180︒重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据中心对称图形定义和轴对称图形的定义可知，平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称性图形，可得答案．【详解】如图1中分成的平行四边形是中心对称图形，三角形是轴对称图形；如图2中分成的两个三角形都是轴对称图形．23. 为提高同学们体育运动水平，增强体质，九年毕业年级规定：每周三下午人人参与1小时体育运动．项目有篮球、排球、羽毛球和乒乓球．下面是九年（2）班某次参加活动的两个不完整统计图（图1和图2）．根据图中提供的信息，请解答以下问题：（1）九年（2）班共有多少名学生？（2）计算参加乒乓球运动的人数并补全乒乓球的条形图；（3）求出扇形统计图中“羽毛球”扇形圆心角的度数．【答案】（1）50 人（2）参加乒乓球运动有10人；条形图见详解，（3）【解析】【分析】（1）由图可知：九年（2）班共有学生人数=参加篮球的人数÷参加篮球所占的百分比，即可求得总人数；（2）参加乒乓球运动的人数=总人数×参加乒乓球运动所占的百分比，即可算得；57.6（3）扇形统计图中“羽毛球”扇形圆心角的度数=360°×参加羽毛球的所占的百分比．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．【小问1详解】（人）答：九年（2）班共有50名学生；【小问2详解】参加乒乓球运动有人，如图，【小问3详解】参加羽毛球运动的人数为：（人），所占百分比为：，∴“羽毛球”扇形圆心角的度数为．24. 如图，已知点，在上，，，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（除外）．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识;（1）证（），得，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得，，，再证，即可得出结论．2040%50÷=5020%10⨯=502012108---=8100%16%50⨯=36016%57.6︒⨯=︒A C EF AD BC ∥DE BF ∥AE CF =ABCD AE CF =AD CB DE BF BA DC AF CE ====，，，ADE CBF ≌ASA DA BC =AD CB =DE BF =BE DF =AF CE =【小问1详解】证明：，，，，在和中，（），，又，四边形是平行四边形；【小问2详解】解：由（1）可知，，四边形是平行四边形，，，，，，即，图中所有相等的线段（除外）为：，，，．25. 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A 型、B 型两种型号的放大镜．若购买8个A 型放大镜和5个B 型放大镜需用220元；若购买4个A 型放大镜和6个B 型放大镜需用152元．（1）求每个A 型放大镜和每个B 型放大镜各多少元；（2）春平中学决定购买A 型放大镜和B 型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A 型放大镜？【答案】（1）每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为20元，12元；（2）最多可以购买35个A 型放大镜．【解析】【详解】分析：（1）设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元，列出方程组即可解决问题；（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．AD ∥BCDAC ACB ∴∠=∠EAD FCB ∴∠=∠DE ∥BF E F ∴∠=∠ADE CBF ,E F AE CFEAD FCB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADE CBF ∴ ≌ASA DA BC ∴= AD BC ∥∴ABCD ADE CBF ≌ABCD AD CB ∴=DE BF =BE DF =AE CF = AE AC CF AC ∴+=+AF CE =∴AE CF =AD CB =DE BF =BA DC =AF CE =详解：（1）设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元，可得：，解得：，答：每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为20元，12元；（2）设购买A 型放大镜m 个，根据题意可得：20a+12×（75-a ）≤1180，解得：x≤35，答：最多可以购买35个A 型放大镜．点睛：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．26. 已知：为的直径，为的切线，连接交于点C ．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点E 为中点，点F 为上一点，连接，若，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 、G 为上两点，连接，且，连，若，若，，求线段的长度．852*******x y x y +⎧⎨+⎩＝＝2012x y ⎧⎨⎩＝＝AB O AD O AD O DAC ABC ∠=∠BD ABEF AD =EFA ÐO AM AG 、MAG EFA ∠=∠EG 245GEF GAB ∠+∠=︒6EG =4AM =AF【答案】（1）见解析（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由圆周角定理和切线的性质得到，，再利用同角的余角相等即可证明；（2）连接，证明是的中位线，推出，，得到，，再根据正弦函数的定义即可求解；（3）连接，由圆周角定理求得，推出，利用证明，得到，，设，则，证明，作于点，在上截取，推出，，设，则，在和中，利用勾股定理求得，据此求解即可．【小问1详解】证明：∵为的直径，∴，∵为的切线，∴，∴；【小问2详解】解：连接，45EFA ∠=︒5AF =90ACB ∠=︒90DAB ∠=︒DAC ABC ∠=∠EO OE ABD △2AD OE =OE AD ∥90EOF ∠=︒OE EF =OE OM OG 、、90MOG ∠=︒MOF GOE ∠=∠SAS MOF GOE ≌△△6MF EG ==MFO GEO ∠=∠GEF α∠=45MFO GEO α∠=∠=︒-2MAF MFA ∠=∠MH AF ⊥H HF HI HA =MFA IMF ∠=∠4IF MI ==AH x =4FH IH FI x =+=+Rt AMH △Rt FMH △12x =AB O 90ACB ∠=︒AD O 90DAB ∠=︒90DAC CAB ABC ∠=︒-∠=∠EO∵为的直径，∴点O 为中点，∵点E 为中点，∴是的中位线，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即；【小问3详解】解：连接，由（2）知，，AB O AB BD OE ABD △2AD OE =OE AD∥AD=12OE AD EF ==90DAB ∠=︒90EOF ∠=︒sin EFO ∠==45EFO ∠=︒45EFA ∠=︒OE OM OG 、、90EOF ∠=︒45EFO ∠=︒∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，作于点，在上截取，连接，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，EFO △OE OF =MAG EFA ∠=∠45MAG ∠=︒90MOG ∠=︒90MOF GOF GOE ∠=︒+∠=∠MOF △GOE OM OG MOF GOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS MOF GOE ≌6MF EG ==MFO GEO ∠=∠GEF α∠=45MFO GEO α∠=∠=︒-245GEF GAB ∠+∠=︒452GAB α∠=︒-45MAG ∠=︒()45452245MAF MAG GAB αα∠=∠+∠=︒+︒-=︒-2MAF MFA ∠=∠MH AF ⊥H HF HI HA =MI MH A I 4MI MA ==MIA MAF ∠=∠2MAF MFA ∠=∠2MIA MFA ∠=∠∵，∴，∴，设，则，和中，，即，解得，即，，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．27. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线与轴交于点B ，与x 轴交于点A ，的面积为98．（1）求直线的解析式；（2）如图1，点H 为直线上一点，其横坐标为t ，过点H 作的垂线交x 轴于点P ，设线段的长度为d ，求与t 的函数关系式；（3）如图2，在（2）的条件下，过点O 作于点E ，点F 为上一点，连接、，M 为上一点，连接交于点K ，若平分，过点A 、P 分别作、的平行线交于点N ，连接并延长交于点Q ，若，求点Q 的坐标．在MIA MFA IMF ∠=∠+∠MFA IMF ∠=∠4IF MI ==AH x =4FH IH FI x =+=+Rt AMH △Rt FMH △22222MH AM AH FM FH =-=-()2222464x x -=-+12x =12AH =19422FH =+=19522AF AH FH =+=+=14y kx =+y AOB 14y kx =+AB AB PH OE PH ⊥EH AF OF AF PM OF 2,AFO FPM EK ∠=∠PKF ∠PM AM NO AB 13ON =【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意可得，，根据列出方程求得，即可求解；（2）由题意可知为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，由此可得，根据，，结合勾股定理即可求解；（3）据题意可知为等腰直角三角形，作，，过点作交延长线于，先证，四边形是平行四边形，设，再证，得，可知四边形是菱形，再证，，可证，得，连接交于，则，且，，可证四边形是平行四边形，得，设，则，，则，在中，，列出方程求得，可得，易知直线的解析式为，联立直线，即可求得点的坐标为．【小问1详解】解：当时，，即，当时，，即，∴，，∵，∴（负值舍去），∴直线的解析式为；14y x =+14d =70168,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,14B 14,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭12AOB S OA OB =⋅△k Rt AOB △Rt AHP PH AH =()14,0A -(),14H t t +Rt EOP EC OF ⊥ED PM ⊥P PR AP ⊥AF R ()Rt Rt HL COE DPE ≌ANPM EOF FPM α∠=∠=45OAF MPA α∠=∠=︒-AM PM =ANPM 90RFP OFP α∠=∠=︒-45R POF α∠=∠=︒+()AAS POF PRF ≌PO PR =MN AP W AP MN ⊥12AW PW AP ==12MW NW MN ==PNMR PR MN =OW a =14AW PW a ==+142PO PR OW PW a ==+=+11722MW NW MN PR a ====+Rt NOW △222OW NW ON +=5a =()5,12N -ON 125y x =-AB Q 70168,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭0x =14y =()0,14B 0y =14x k =-14,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭14OA k=14OB =1114149822AOB S OA OB k =⋅=⨯⋅= 1k =14y kx =+14y x =+【小问2详解】由（1）可知，，，则为等腰直角三角形，∴，∵，则，∴，则为等腰直角三角形，∴，∵点H 为直线上一点，其横坐标为t ，∴，∴；【小问3详解】∵，∴为等腰直角三角形，∴，，作，，过点作交延长线于，∵平分，∴，∴，∴，∵，，()14,0A -14OA OB ==Rt AOB △45OAB ∠=︒PH AB ⊥90AHP ∠=︒45HPA ∠=︒Rt AHP PH AH =AB (),14H t t +14d PH AH ====OE PH ⊥Rt EOP 45EPO EOP ∠=∠=︒OE PE =EC OF ⊥ED PM ⊥P PR AP ⊥AF R EK PKF ∠EC ED =()Rt Rt HL COE DPE ≌EOF FPM ∠=∠AN PM ∥PN AM ∥∴四边形是平行四边形，设，则，，，∵，则，∴，∴，∴四边形是菱形，∵，，∴，则，∴，则，∵，，则，∴，又∵，∴，∴，连接交于，则，且，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，设，则，∴，则，在中，，即：，解得，∴，∴，可得直线的解析式为：，ANPM EOF FPM α∠=∠=2AFO α∠=45POF POE EOF α∠=∠+∠=︒+45MPA EPO FPM α∠=∠-∠=︒-45POF OAF AFO α∠=∠+∠=︒+45OAF α∠=︒-45OAF MPA α∠=∠=︒-AM PM =ANPM 45POF α∠=︒+45MPA α∠=︒-90PKF POF MPA ∠=∠+∠=︒90OFP α∠=︒-18090RFP AFO OFP α∠=︒-∠-∠=︒-90RFP OFP α∠=∠=︒-45OAM α∠=︒-PR AP ⊥90APR ∠=︒9045R OAM POF α∠=︒-∠=︒+=∠PF PF =()AAS POF PRF ≌PO PR =MN AP W AP MN ⊥12AW PW AP ==12MW NW MN ==MN PR ∥PNMR PR MN =OW a =14AW PW a ==+142PO PR OW PW a ==+=+11722MW NW MN PR a ====+Rt NOW △222OW NW ON +=()222713a a ++=5a =12NW =()5,12N -ON 125y x =-联立直线可得：，解得：，∴点的坐标为．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定及性质，图形与坐标，求一次函数解析式，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．AB 14125y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩701716817x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Q 70168,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2024届上海市长宁区高三下学期二模数学试卷(解析版)

2024届长宁区二模2024.04.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，∴集合A 里面的元素均可在集合B 里面找到，∴a =2．故答案为：22.不等式|21|3x -<的解集为________.【答案】{|12}x x -<<【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】∵|21|3x -<3213x ⇔-<-<12x ⇔-<<，∴不等式|21|3x -<的解集为{|12}x x -<<.故答案为：{|12}x x -<<.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_______．【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令422r -=，解得1r =，所以12224C 4T x x ==，所以二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4.故答案为：4.4.在ABC ∆中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若222a b bc c =++，则A =_____________.【答案】120︒【解析】【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A.【详解】由题意可知，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.5.已知236a b ==，则11a b +=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log 6a =，3log 6b =，再利用换底公式即可得到答案.【详解】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以66611log 2log 3log 61a b+=+==.故答案为：16.直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为_______．【答案】π4##45︒【解析】【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.7.收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）【答案】无关【解析】【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果.【详解】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故答案为：无关8.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围为_______．【答案】{1|02a a -<<或}2a >【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义可求出0x <及0x =时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.【详解】因为函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()2log f x x =，当0x <时，0x ->，所以()()()2log f x x f x -=-=-，所以()()2log f x x =--，若()1f a >，当0a >时，可得2log 1a >，解得2a >，当a<0时，可得()2log 1a -->，解得102a -<<，当0a =时，可得01>，显然不成立，故a 的取值范围为{1|02a a -<<或}2a >.故答案为：{1|02a a -<<或}2a >.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_______平方米铁皮【答案】3π【解析】【分析】由柱体的体积公式可得21r h ⋅=，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为r ，高为h ，所以圆柱形容器的体积为2ππV r h =⋅=，所以21r h ⋅=，所以圆柱形容器的表面积为：()22π2ππ3π3πS r rh r rh rh =+=++≥⋅,当且仅当2r rh =，又21r h ⋅=，即1r h ==时等号成立，故至少需要3π平方米铁皮.故答案为：3π.10.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在Γ上，,30MN l NFM ⊥∠=︒，则点M 的横坐标为_______．【答案】13【解析】【分析】过点F 作FH NM ⊥于点H ，由抛物线定义以及三角函数可用含M 的横坐标M x 的式子表示,NM HM ，注意到()112MN MH NH +==--=，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：过点F 作FH NM ⊥于点H ，显然抛物线2Γ:4y x =的焦点为()1,0F ，准线为:l =1x -，由抛物线定义有MF MN =，结合30NFM ∠=︒得180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒，而()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+，所以()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=.故答案为：13.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t （单）783182258338油费s （元）107150110264110376平均每单里程k （公里）151515平均每公里油费a （元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型(),,,u f s t k a =，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%21.68%%x 、、，则x =_______（精确到0.01）【答案】20.68【解析】【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为s a，出租车有载客时行驶的里程为tk ，所以出租车空驶率1s tk tka a u s s a -==-，对于甲，7831150.710.232623.26%107150⨯⨯-≈=，满足题意；对于乙，8225150.710.216821.68%110264⨯⨯-≈=，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为8338150.7%10.206820.68%110376x ⨯⨯=-≈=，即20.68x =.故答案为：20.68.12.已知平面向量,,a b c 满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-= 证明228a b --≤ ，再解不等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c =时2a b -= ，即得到a b - 的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+-- ，且()()()()()()222222222222101040a b a b a b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+= ，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅ 42a b a b =-++⋅ ()()()221424a b a b a b =-+++-- ()()21424024a b a b =-++-- ()2144024a b =-+--21142a b =--- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b - 的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b - 的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13.设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C .14.已知直线,a b 和平面α，则下列判断中正确的是（）A.若//,//a b αα，则//a bB.若//,//a b b α，则//a αC.若//,a b αα⊥，则a b⊥ D.若,//a b b α⊥，则a α⊥【答案】C【解析】【分析】利用空间线线线面的位置关系判断A 错误；举反例判断B 错误；利用线面平行的性质定理和线面垂直性质得到C 正确；由线面平行和线线垂直的性质判断D 错误.【详解】A ：若//,//a b αα，则两直线平行或异面或相交，故A 错误；B ：若//,//a b b α，当直线a 在平面α内时，则直线a 不平行于平面α，故B 错误；C ：若//a α，设过a 的平面与α相交于c ，则//a c ，又因为b α⊥，c α⊂，所以b c ⊥，所以b a ⊥，所以a b ⊥ ，故C 正确；D ：若,//a b b α⊥，则a α⊥或//a α或a α⊂，故D 错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A.65B.70C.75D.80【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型分析m 的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，一共有8个数，所以比m 大的数有两个，则9.89.9m ≤<，对于A ，因为80.65 5.2⨯=，所以第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于B ，因为80.7 5.6⨯=，所以第70百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于C ，因为80.756⨯=，所以第75百分位为第6,7个数的平均数，即9.89.99.852+=，满足题意；对于D ，因为80.8 6.4⨯=，所以第80百分位为第7个数，即9.9，不满足题意.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】B【解析】【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有2211n n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n为奇数时，2111n a ==+=+；n为偶数时，0111n a ==-+=+.这表明1n a =+恒成立，再令1c =就有n a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.三、解答（共78分）17.某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx ∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0（1）请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；（2）设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x fx x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】（1）补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【小问1详解】由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+0101-0【小问2详解】若1,0ωϕ==，则()22πsin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭1cos 212π1πsin 2sin 20,222422x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=+=-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为10,2⎡⎤+⎢⎢⎥⎣⎦.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===；（1）求二面角1D AC D --的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ；【答案】（1）6arccos 3（2）见解析【解析】【分析】（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ACD 和平面ACD 的一个法向量()1,1,2n =- 和()0,0,1m =，结合向量的夹角公式，即可求解.（2）设()11101A P A C λλ=≤≤ ，求出()2,2,1P λλ，则()22,2,1BP λλ=- ，再由0BP n ⋅=可证明直线//BP 平面1D AC .【小问1详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0A D B C ，()()()()11110,0,1,0,2,1,2,0,1,2,2,1A D B C ，因为()()12,2,0,0,2,1AC AD ==，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AC x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，可得1,2x z ==，所以()1,1,2n =-，设平面ACD 的法向量为()0,0,1m =所以6cos ,361m nn m n m ⋅===⨯，所以二面角1D AC D --的大小为6arccos3.【小问2详解】设(),,P x y z ，则设()11101A P A C λλ=≤≤ ，()()111,,1,2,2,0A P x y z A C =-=，所以2,2,1x y z λλ===，所以()2,2,1P λλ，()22,2,1BP λλ=-平面1ACD 的法向量为()1,1,2n =-，22220BP n λλ⋅=--+=，因为BP ⊄平面1D AC ，所以直线//BP 平面1D AC .19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；【答案】（1）23（2）分布见解析，期望()()47,318E X D X ==【解析】【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得X 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【小问1详解】第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342⨯=，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326⨯=，所有第二次取出的球是红球的概率为112263+=；【小问2详解】X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21123636222999C C C C 1150,12C 12C 2C 12P X P X P X =========，所以X 的分布为01211512212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的期望为()1154012122123E X =⨯+⨯+⨯=，它的方差为()22214145470121232312318D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆22Γ:1,63x y O +=为坐标原点；（1）求Γ的离心率e ；（2）设点()1,0N ，点M 在Γ上，求MN 的最大值和最小值；（3）点()2,1T ，点P 在直线3x y +=上，过点P 且与OT 平行的直线l 与Γ交于,A B 两点；试探究：是否存在常数λ，使得2PA PB PT λ⋅= 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【答案】（1）22（2）MN 的最大值为1+（3）54λ=【解析】【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得2,,PT PA PB，再联立直线l 与椭圆方程得到1212,x x x x +关于a 的表达式，进而化简PA PB ⋅ 得到PA PB ⋅ 与2PT 的关系，由此得解.【小问1详解】设Γ的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则a b ==，则c =22c e a ===.【小问2详解】依题意，设(,)M x y，则x ≤≤22163x y +=，故2232x y =-，则MN ==所以由二次函数的性质可知，当2x =时，MN取得最小值为，当x =时，MN1=+【小问3详解】设()()1122(,3),,,,P a a A x y B x y -，又()2,1T，易得12OT k =，则直线l 为()()132y a x a --=-，即13322y x a =+-，而()()22222312(2)PT a a a =-+--=- ，()111111131,3,33,2222a PA x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222222131,3,33,2222a PB x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2213322163y x a x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得222(2)3(2)40x a x a +-+--=则()222Δ4(2)43(2)48420a a a a ⎡⎤=--⨯--=--+>⎣⎦，得22a -<<+所以212122(2),3(2)4x x a x x a +=--=--，故()()()()121214PA PB x a x a x a x a ⋅=--+--()()()21212125544x a x a x x a x x a =--=-++()2253(2)4224a a a a =--+-+252(2)4a =-，所以25||||4PA PB PT ⋅= ，故存在54λ=，使得2||||PA PB PT λ⋅= 恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ∈，都有()f x k ≤，则称函数()y f x =有上界，实数k 的最小值为函数()y f x =的上确界；记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}；（1）求函数2(26)1y x x =<<-的上确界；（2）若()3212ln f x x hx x x M =-+∈，求h 的最大值；（3）设函数()y f x =一定义域为()0,∞+；若()2f x M ∈，且()y f x =有上界，求证：()0f x <，且存在函数()y f x =，它的上确界为0；【答案】（1）2（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；（2）求出()f x y x=的表达式，求导，再利用()nf x y x=在()0,∞+上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；（3）假设存在，由单调性可得()()102210f x f x xx>>，再取21x x >，且2x >可得()()212221f x f x x x >，推出①②互相矛盾，然后令()1,0f x x x=->，根据题意求出值域最后确定上确界即可.【小问1详解】因为函数21y x =-在区间()2,6上严格递减，所以函数2(26)1y x x =<<-的值域为2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数2(26)1y x x =<<-的上确界为2.【小问2详解】()22ln f x y x hx x x==-+，22,0y x h x x'=-+>，因为记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}，所以0y '≥恒成立，因为224x h h h x -+≥=-，当且仅当1x =时取等号，所以4h ≤，所以h 的最大值为4.【小问3详解】证明：因为函数()y f x =有上界，设()f x k ≤，假设存在()00,x ∈+∞，使得()00f x ≥，设10x x >，因为()2y f x M =∈，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，进而()()102210f x f x xx>>，得()10,0f x k >>，取21x x >，且2x >，由于21x x >，得到()()212221f x f x xx>，①由2x >，得()()12222122f x f x k x x x >≥，②显然①②两式矛盾，所以假设不成立，即对任意()0,x ∈+∞，均有()0f x <，令()1,0f x x x =->，则()231f x y x x==-，因为当0x >时，430y x'=>，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，()2y f x M =∈，因为()1,0f x x x=->的值域为(),0∞-，所以函数()1f x x=-的上确界为零.【点睛】关键点点睛：（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取2x >，再得到()()12222122f x f x k x x x >≥与当21x x >，得到()()212221f x f x x x >矛盾.。

2025届安徽江南十校高考数学二模试卷含解析

2025届安徽江南十校高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（） A ．32B ．12C ．78 D ．982．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（） A ．2-B ．2C ．12-D ．125．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（） AB ．3CD ．26．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥7．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x-=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=8．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<9．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（）A ．3m ≤-B ．4m ≤-C ．33m ≤-D ．4m ≤10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）. A ．432B ．576C ．696D ．96011．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数12．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（） A ．33-B ．3C ．332- D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年中考数学二模试卷(南通卷)(全解全析)

2024年中考第二次模拟考试（南通卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．2023-的相反数是（）A ．2023B ．2023-C ．12023D ．12023-【答案】A【解析】解：2023-的相反数是2023．故选A ．2．下列运算，正确的是（）A ．422a a -=B ．632a a a ÷=C ．222()ab a b -=-D ．3262()a b a b -=【答案】D【解析】解：A.422a a a -=，故该选项不正确，不符合题意；B.633a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；C.222()2a b a ab b -=-+，故该选项不正确，不符合题意；D.3262()a b a b -=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．3．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：A ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；C ．是轴对称图形不是中心对称图形，，故该选项不符合题意；D ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选：B ．4．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，故选：A ．5．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知 AB MN PQ ，若2100∠=︒，3130∠=︒，则1∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【解析】解：延长AB 到点C ，如图：AB MN ，2180CBD ∴∠+∠=︒，180280CBD ∠\Ð=°-=°，∵3130∠=︒，∴350CBE CBD ∠∠Ð=-=°AB PQ ，150CBE \Ð=Ð=°，故选：B ．6．若x ，y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．2636x y ++B ．22x y C ．32x yx y +-D ．21x yx +-【答案】C【解析】解：A.2636x y ++中x ，y 的值均扩大为原来的2倍得到46236633x x y y ++=++，故原选项不合题意；B.22x y 中x ，y 的值均扩大为原来的2倍得到22824x y yx =，故原选项不合题意；C.32x y x y+-中x ，y 的值均扩大为原来的2倍得到226432x y x y y x x y +=-+-，故原选项符合题意；D.21x y x +-中x ，y 的值均扩大为原来的2倍得到1242x y x +-，故原选项不合题意．故选：C ．7．若干名学生一起去种树，如果每人种4棵，则还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，则缺少5棵树苗，设学生有x 人，树苗有y 棵，根据题意可列出方程组（）A ．4355x y x y =-⎧⎨=+⎩B ．4355x y x y =-⎧⎨=-⎩C ．5345x y x y =-⎧⎨=+⎩D ．5345x y x y =+⎧⎨=-⎩【答案】A 【解析】解：设学生有x 人，树苗有y 棵，根据题意可列出方程组：4355x y x y =-⎧⎨=+⎩，故A 正确．故选：A ．8．若关于x 的不等式组0721x m x -≤⎧⎨-≥⎩的解集为x m ≤，则m 的取值范围是（）A ．3m <B ．3m >C ．3m ≤D ．3m ≥【答案】C 【解析】解：∵关于x 的不等式组0721x m x -≤⎧⎨-≥⎩∴0x m -≤，得x m≤721x -≥，得3x≥∵解集为x m≤根据小小取小∴3m ≤故选：C9．如图1在矩形ABCD 中，点P 从点A 出发，匀速沿AB BD →向点D 运动，连接DP ，设点P 的运动距离为x DP ，的长为y y ，关于x 的函数图像如图2所示，则当点P 为AB 中点时，DP 的长为（）A ．5B ．8C ．52D ．213【答案】D 【解析】解∶因为P 点是从A 点出发的，A 为初始点，观察图象0x =时6y =，则6AD =，P 从A 向B 移动的过程中，DP 是不断增加的而P 从B 向D 移动的过程中，DP 是不断减少的，因此转折点为B 点，P 运动到B 点时，即x a =时，AB a =，此时2y a =+，即2DP DB a ==+，6AD =，AB a=90A ∠=︒由勾股定理得：()22226a a +=+解得：8a =8AB ∴=当点P 为AB 中点时，4AP =，22226452213DP AD AP ∴+=+==故选：D ．10．已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则()()()22322m n m n m n -++-的最大值为（）A ．24B ．443C ．1663D ．4-【答案】B 【解析】解：()()()22322m n m n m n -++-222241294m mn n m n =-++-225125m mn n =-+()5212mn mn=+-107mn =-；∵()22220m n m n mn +++=≥，222+=+m n mn ，∴220mn mn ++≥，∴32mn ≥-，∴23mn ≥-，∴441073mn -≤，∴()()()22322m n m n m n -++-的最大值为443，故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，11-12每小题3分，13-18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．分解因式32312a ab -=．【答案】()()322a a b a b +-【解析】解：()()()322231234322a ab a a b a a b a b -=-=+-，故答案为：()()322a a b a b +-．12．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数字218000000用科学记数法表示为．【答案】82.1810⨯【解析】解：8218000000 2.1810=⨯，故答案为：82.1810⨯．13．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知,AB BD CD BD ⊥⊥，且测得1.2m, 1.8m,12m AB BP PD ===，那么该古城墙的高度是m ．【答案】8【解析】解：由题意知：入射光线AP 与反射光线PC ，APB CPD ∠=∠，又ABP CDP ∠=∠ ，ABP CDP ∴ ∽，所以::AB BP CD PD=即1.2:1.8:12CD =，解得8CD =米．故答案为：814．如果一个多边形的内角和与外角和的比是7:2，那么这个多边形的边数是．【答案】9【解析】解：设这个多边形的边数为n ，依题意得：()721803602n -⋅︒=⨯︒，解得9n =，∴这个多边形的边数为9．故答案为：9．15．圭表（如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC 垂直圭BC ．已知该市冬至正午太阳高度角（即)ABC ∠为α，夏至正午太阳高度角（即)ADC ∠为β，若表AC 的长为m ，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为【答案】tan tan m m αβ-【解析】解：在Rt ACD △中，AC m =，ADC β∠=，tan tan AC m CD ββ∴==，在Rt ACB △中，ABC α∠=，tan tan AC m BC αα∴==，tan tan m m BD BC CD αβ∴=-=-，故答案为：tan tan m m αβ-．16．已知扇形的面积为60π，弧长为12π，将它围成一个圆锥，则该圆锥的高是．【答案】8【解析】解：设母线长为R ，由题意得：160122R ππ=⨯⨯，解得10R =．设圆锥的底面半径为r ，则122r ππ=，解得：6r =，221068-=，故答案为：8．17．如图所示，在正方形ABCD 中，10AB =，点P 为射线CD 上一动点，连接BP ，取其中点M ，连接DM ，将线段DM 沿CD 翻折得到线段DN ，连接AM ，MN ，BN ，则AM MN BN ++的最小值为．【答案】10510+【解析】解：设MN 交CD 于E 点，由折叠的性质得MN CD ⊥，ME EN =，DM DN =，在正方形ABCD 中，90C ADC ∠=∠=︒，∴MN BC AD ∥∥，∴PME PBC ∽△△，∵M 为BP 中点，∴12ME PM BC PB ==，∴152EN ME BC ===，∴10MN AD ==，∴四边形AMND 为平行四边形，∴点N 的轨迹为直线DC 右侧5个单位的平行线l ，作D 关于直线l 的对称点H ，如图所示，此时NH DN =，10DH =，则BN DN +最小值为BH ，即AM MN BN ++最小值221010510BH MN AH AB =+++=+，故答案为：10510．18．如图，OABC 的顶点B ，C 分别落在反比例函数(0,0)a y a x x=>>和(0,0)b y b x x =<<的图象上，连结OB ，将OBC △沿着OB 翻折，点C 的对应点D 恰好落在(0,0)a y a x x=>>的图象上，OD 与BA 交于点E ．已知OBE △的面积为6，3OE DE =，则a b -的值为，ab 的值为．【答案】1635-/0.6-【解析】解：3OE DE = ，:4:3OD OE ∴=，483OBC OBD OBE S S S ∴===△△△，1||82a b ∴-=，16a b ∴-=．过点B ，点E ，点D 作BG x ⊥轴，EH x ⊥轴，DF x ⊥轴，垂足分别为,,G H F ，如图所示则182BGA OAB OBG S S S a =-=-△△△．∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA BC =，OAB OCB∠=∠∵折叠，∴BC BD =，OCB ODB ∠=∠∴BD OA =，OAB ODB ∠=∠又∵BED OEA ∠=∠∴BDE OAE △≌△，BE OE ∴=，862BDE OEA S S ==-=△△，:3:4BE AB ∴=，11816216EHA BGA a S S ⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭ ，916OEH OEA EHA ODF S S S S ∴=-=△△△△，1928216162a a⎛⎫∴--⨯=⨯ ⎪⎝⎭，解得6a =．10b ∴=-，35ab ∴=-．故答案为：3165-，．三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．解方程或不等式组：(1)12362132x x =---(2)解不等式组22123x x x x≥-⎧⎪-⎨<⎪⎩，并把解集表示在数轴上．【解析】（1）解：12362132x x =---()14331x =---593x =-+29x =-经检验：29x =-是原方程的解；（2）解：22123x x x x≥-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②由①可得：2x ≥-，由②可得：3x <，∴原不等式组的解集为23x -≤<；在数轴上表示如图所示：20．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A ，B ，C ，D 表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．(1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．(2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．【解析】（1）通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为14；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种，∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为21126=．21．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．(1)条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______︒；(2)求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；(3)随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求m的最大值．【解析】（1）解：840%20÷=（人），202684---=（人），620360108÷⨯︒=︒，故答案为：4；108︒（2）解：由统计图可得平均数为7286981048.720⨯+⨯+⨯+⨯=本，∴被调查同学阅读量的平均数为8.7本，该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本，∴阅读量的中位数为9992+=（本）（3）解：原来阅读量的众数为9本∴48m+<，解得4m<，m为正整数，∴m的最大值为3．22．拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．【解析】解：连接AB ，作AB 的垂直平分线，以点C 为圆心，以AB 长的一半为半径画弧交AB 的垂直平分线于点M ，如图所示，点M即为所求．23．如图，直线l 与O 相切于点M ，点P 为直线l 上一点，直线PO 交O 于点A 、B ，点C 在线段PM 上，连接BC ，且CM BC =．(1)判断直线BC 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若2AB BP =，O 的半径为6cm ，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）解：直线BC 是O 的切线，理由：连接MO ，CO ，∵直线l 与O 相切于点M ，∴90PMO ∠=︒，在OBC △和OMC 中BC MC CO CO BO MO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS OBC OMC ≌，∴90CBO CMO ∠=∠=︒，AB 为直径，∴直线BC 是O 的切线；（2）过点O 作ON AM ⊥于点N ，∵2AB BP =，∴PB BO MO ==，即12MO PO =，又∵90PMO ∠=︒，则1sin 2MO OPM PO ∠==，∴MPO 30∠=︒，∴60POM ∠=︒，则120MOA ∠=︒，∴()22120612cm 360AOM S ππ⨯==扇形，∵120MOA ∠=︒，ON AM ⊥，∴60MON AON ∠=∠=︒，∴()163cm 2NO =⨯=，)3sin 60633cm 2MN CO =⋅︒==，∴63cm AM =，则)211339322AOM S NO AM cm =⨯⨯=⨯⨯= ，∴图中阴影部分的面积为：(2123cm AOM AOM S S π-=- 扇形．24．某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量y （件）与第x 个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本z （元）与当月销售量y （件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．(1)求出y 与x 和z 与y 之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）(2)推广销售的第三个月利润为多少？(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）解：设y 与x 的函数关系式y kx b =+，代入(1,40),(2,50)得40250k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1030k b =⎧⎨=⎩1030∴=+y x 将(60,1300)代入21()5002z y h =-+得20h =或100h =（舍去）2211(20)5002070022z y y y ∴=-+=-+；（2）设第x 个月的利润为w 元，则22211100120700(1030)120(1030)70050900245022w y z y y x x x x =-=-+-=-+++-=-++当3x =时，4700w =，故第3个月的利润为4700元；（3）由（2）知，2250900245050(90)6500w x x x =-++=--+当9x =时，w 有最大值为6500元，答：第9个月利润最大，最大利润为6500元．25．如图1，P 是正方形ABCD 边BC 上一点，线段AE 与AD 关于直线AP 对称，连接EB 并延长交直线AP 于点F ，连接CF ．(1)补全图形，求AFE ∠的大小；(2)用等式表示线段CF BE ，之间的数量关系，并证明；(3)连接CE ，G 是CE 的中点，2AB =，若点P 从点B 运动到点C ，直接写出DG 的最大值．【解析】（1）解：补全图形如图1，∵线段AE 与AD 关于直线AP 对称，∴12DAF EAF ∠=∠=∠+∠，AB AE =，∴180119022AEB ABE ︒-∠∠∠=∠==︒-，∵222190DAF ∠+∠=∠+∠=︒，∴()1180********AFE EAF AEB ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒，∴AFE ∠为45︒；（2）解：2BE CF =，证明如下：如图2，连接DF ，DB ，连接DE 交AF 于H ，由对称的性质可得，DF FE =，45AFD AFE ∠=∠=︒，DE AF ⊥，∴90DFE ∠=︒，90FHD ∠=︒，∴DEF 是等腰直角三角形，∴45FDE ∠=︒，∵45CDB ∠=︒，∴∠∠∠∠-=-CDB FDB FDE FDB ，即CDF BDE ∠=∠，又∵cos 45CDDFBD BE =︒=，∴CDF BDE ∽，∴22CF CD BE BD ==，解得2BE CF =，∴2BE CF =；（3）解：如图3，连接AC ，BD ，交点为O ，由正方形的性质可得2AD AB ==，45ADB ∠=︒，O 为AC 的中点，∴cos 2DO AD ADB =⋅∠2AE AD ==，又∵G 是CE 的中点，∴OG 是ACE △的中位线，∴112OG AE ==，由题意知，E 在以A 为圆心，以2为半径的14的圆上运动，∴G 在以O 为圆心，以1为半径的14的圆上运动，如图3，∴当D O G 、、三点共线时，DG 最大，∴21DG DO OG =+=，∴DG 21．26．对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a ≤x ≤b ，函数值y 满足m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ），则称此函数为“k 属和合函数”，例如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得：k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3属和合函数”．（1）若一次函数y ＝kx ﹣1（1≤x ≤3）为“4属和合函数”，求k 的值；（2）反比例函数k y x=（k ＞0，a ≤x ≤b ，且0＜a ＜b ）是“k 属和合函数”，且a +b ＝3，请求出a ﹣b 的值；（3）已知二次函数y ＝﹣x 2+2ax +3，当﹣1≤x ≤1时，y 是“k 属和合函数”，求k 的取值范围．【解析】解：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，∵1≤x ≤3，∴k ﹣1≤y ≤3k ﹣1，∵函数y ＝kx ﹣1（1≤x ≤3）为“k 属和合函数”，∴（3k ﹣1）﹣（k ﹣1）＝4（3﹣1），∴k ＝4；当k＜0时，y随x的增大而减小，∴3k﹣1≤y≤k﹣1，∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝﹣4，综上所述，k的值为4或﹣4；（2）∵反比例函数y＝kx，k＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合函数”，∴ka﹣kb＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，∴a﹣b5（3）∵二次函数y＝﹣x2+2ax+3的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x＝﹣1时，y＝2﹣2a，当x＝1时，y＝2+2a，当x＝a时，y＝a2+3，①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有y最大值＝2﹣2a，当x＝1时，有y最小值＝2+2a∴（2﹣2a）﹣（2+2a）＝k•[1﹣（﹣1）]＝2k，∴k＝﹣2a，而a≤﹣1，∴k≥2；②如图2，当﹣1＜a≤0时，当x＝a时，有y最大值＝a2+3，当x＝1时，有y最小值＝2+2a，∴a2+3﹣（2+2a）＝2k，∴k＝2 (1)2a-，∴12≤k＜2；③如图3，当0＜a≤1时，当x＝a时，有y最大值＝a2+3，当x＝﹣1时，有y最小值＝2﹣2a，∴a2+3﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝2 (1)2a+，∴12＜k≤2；④如图4，当a＞1时，当x＝1时，有y最大值＝2+2a，当x＝﹣1时，有y最小值＝2﹣2a，∴（2+2a）﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝2a，∴k＞2．综上所述，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，k的取值范围为k≥12．。

高三二模数学科试卷质量分析

高三二模数学科试卷质量分析第一篇：高三二模数学科试卷质量分析高三二模数学科试卷质量分析选择题与填空题具有题小量大、适度、全面考查的特点。

呈现基础、全面、核心、人文、和谐的特征。

试题简约、凝练、直击核心，留有恰当的思维、探究、应用、操作空间，有一定的综合度、开放度和创新度。

呈现方式多样化，价值取向明确。

选择题是针对学生薄弱点设置干扰点，又适当设置提示项为学生灵活解题提供条件。

选择题中的大多数题具有多种解法。

为基础扎实、思维活跃的学生提供了充分发挥聪明才智、快速灵活解题的平台。

选择题这一题型在培养和发展学生的思维能力上有其独特和不可替代的教育功能和评价功能。

填空题作为基本题型,与选择题共同肩负起基础、全面、核心、简约、和谐评价功能的同时，从解题过程看，已兼具解答题的特征。

从某种意义上说，具有更大的思维空间和开放度。

关注填空题的命题特点及设计走向、分析解题思路、总结归纳常用的解法和技能很有必要。

其功能是比较全面地、高效地对学生基本核心的学段学习目标进行考查，同时，由试题的立意、定位、取材、背景、问题设置、呈现方式共同蕴含的题感，渲染着一种氛围，学生的心理情绪和思维状态都会渐入佳境，为顺利完成解答题做好了准备。

第11题，常规题，难度小，学生得分率高。

第12小题，难度较小，只是部分学生粗心大意，把把-写成了，导致失分。

第13小题也是一道常规题，学生得分率较高。

第14题是一个归纳推理题，部分学生的归纳总结能力较差，把1+ + +…+﹤弄成了1+ + +…+﹤，反映出他们没有明确对应关系。

第15小题，常规题，以考查学生的基础知识和基本技能为主。

学生失分率较小。

文科的填空题都是一些基础题，以考查学生的基础知识为主。

第16题，第一问得分较高，考查等差数列通项公式的简单运用，个别学生计算错误，大部分为全分6分。

第二小问考查分组组合法求数列和，部分学生与错位相减法和相混淆，且运算能力不太过关。

结论错误本题平均可达9分左右。

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