高等数学第二型曲面积分
高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
曲面积分(第十讲)
- x2
= ò dq ò (
0 0
- r 2 cos 2 q a -r
2 a 2
+ 2a 2 - 2a a 2 - r 2 - r 2 )rdr
= -4 ò 2 cos 2 q dq ò
0
p
0
1 + p a3 6 a -r
2 2
r 3 dr
p p 1 1 = -4a 3 ò 2 cos 2 q dq ò 2 sin 3 tdt + p a 3 = - p a3 0 0 6 2
r ur uuuuu I = òò Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = òò {P, Q, R} ×{dydz, dxdz, dxdy} = òò F × n 0 dS
S
S
U
注意：曲面前侧取“正” ，后侧取“负” ；右侧取“正” ，左侧取“负” ；上侧取“正” ，下侧 取“负” ． 三、向量点积法（转换投影法）
2 2 2
曲面 S 在 xoy 平面的投影域为 Dxy = {( y, z ) | x + y £ 1} ，
2 2
而
òò xdydz = òò
S
S前(向后)
xdydz + òò xdydz
S后
D yz
is
Dyz
= - òò a 2 - y 2 - z 2 dydz - òò a 2 - y 2 - z 2 dydz
曲面 S：z = - a - x - y ,
2 2 2
U
r n = {- f x¢ , - f y¢ ,1} = {
nR
=
1 1 ( z + a ) 2 dxdy = òò (a - a 2 - x 2 - y 2 ) 2 dxdy òò a S a Dxy
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
高数考研中有关曲面积分问题的求解方法
分等。 笔者以近年研究生入学考试试题为例详细论述曲面积
分有关问题的求解方法。
1.利 用 公 式 转 化 为 二 重 积 分
曲面积分的基本的方法都是化为投影域上的二重积分来
计算。
第一型曲面积分的投影法的公式 ：设 曲 面S的 方 程 为z=z
（x，y），则 ：
姨%
22
蘩蘩f（x，y，z）dS=蘩蘩f（x，y，z（z，y）） 1+zx+zy dxdy。
V 坠x 坠y 坠z
S
（2）
其 中 （cosα，cosβ，cosγ）是 S外 法 线 的 单 位 向 量 。
应 用 高 斯 公 式 时 ，应 注 意 条 件 ：①S必 须 是 封 闭 曲 面 ，若 所
讨论的曲面不是封闭曲面，应当适当补上某块曲面，使它成为
封闭曲面 ；②P、Q、R在V上 连 续 且 偏 导 数 也 连 续 ，若 它 们 及 其
3
3
2
22
蘩蘩 2x dydz+2y dzdx+3（z -1）dxdy=蘩蘩蘩6（x +y +z）dxdydz
∑+∑1
Ω
2π
1
2
1-r
2
=6蘩0 dθ蘩0dr0 （z+r ）rdz
1
=12π蘩0［
1 2
22 3
2
r（1-r ） +r （1-r ）］dr=2π，
3
3
2
而蘩蘩2x dydz+2y dzdx+3（z -1）dxdy=- 蘩蘩 -3dxdy=3π，
蘩蘩 x + y
dxdy =
∑
D
%
姨
2
《高等数学教学课件》2011 第二节 第二型曲线积分
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数
高等数学对坐标的曲面积分
cos
1 1 x2 y2
(z2 x)( x)dxdy
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
dxdy
cos
对坐标的曲面积分
(z2 x)dydz (z2 x)( x)dxdy
(z2 x)由dy对dz称性zdxdy
z 1(x2 y2)
[(z2 x14)x((xx2 )yz2 )]d2dxxddyy 0
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)cos dS
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )dS
其中cos、cos 、cos 是有向曲面Σ在点 ( x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 不论哪一侧都成立.
对坐标的曲面积分
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
对坐标的曲面积分
Dxy : x2 y2 1( x 0, y 0)
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环
行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以
爬到任何一点去.
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为 有向曲面.
i 1
2. 存在条件
当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在有向光滑
高等数学-第十一章-曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分及其计算
y
B
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
L Mn1
(i,i)
M2
Mi
Mi1
匀质之质量 M s. A M 1
o
x
分割 M 1 , M 2 , , M n 1 s i ,
取 (i,i) s i, M i (i,i) s i.
B
M
实L 例:A : 变B 力,沿曲 线所作的功 ALMM1i1
M
yi 2xi
iMn1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A . B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M n , 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n B , .
3
3
ds
2a3 . 3
(2a d,s球面大) 圆周长
注 关于对弧长的曲线积分的对称性
对 Lf(x,y)ds
①若 L 关于 y 轴对称
( 1 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 L f ( x , y ) d 0 s
( 2 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y ) d 2 f s ( x , y ) d
n
f(x ,y ,z)d s l i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L ( 或 ) 是分 , (L 段 L 1 L 2 ) 光
f ( x , y ) d s f ( x , y ) d s f ( x , y ) d . s
L 1 L 2
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n
lim
n
0 i 1
第二型曲面积分的定义 设S是一个分片光滑的双侧曲面, 在S上选定了一侧, 记选定一侧的单位法向量为 n P
假设在S上给定了一个向量函数 F x, y, z ,
在 Si 上任取一点 Mi i ,i , i , 作和式
v
A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 (假定密度为1)
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
给出. S是速度场中的一片有向曲面, 函数
的速度场由
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )z
i 1
i 1 n
n
+ R( i , i , i ) cos i ]Si
[ P ( i , i , i )( Si ) yz + Q ( i , i , i )( Si ) xz
i 1 n
+ R( i , i , i )( Si ) xy
3.取极限
vi ni Si
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
i=1,2,,n
m vi ni Si
i 1 n
2. 求和
通过S流向指定侧的流量
m vi ni Si
[ P ( i , i , i ) cos i + Q ( i , i , i ) cos i
S
S
其中
k1 , k2
为任意常数．
3 F dS F dS + F dS .
S S1 S2
其中
S 由互不重叠的两个曲面 S1 , S2 组成．
3. 第二Leabharlann 曲面积分的计算 第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式 和坐标的形式
n z
都在S上连续 , 求在单位
时间内流向S指定侧的流 体的质量 .
x
S
o
y
1. 分割 把曲面S分成
n 小块 Si
( Si 同时也代表 第 i 小块曲面的面积 ),
Si上任取一点 i ,i , i ,
在 则该点流速为
z
S i
ni
vi
( i , i , i )
vi
的面积为
则规定
( ) x y , 当cos 0时 ( ) x y , 当cos 0时 当cos 0时 0,
类似可规定
(S ) yz , (S ) zx
2. 第二型曲面积分的概念 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量v ,有向平面区域 A, 求单位 (假定密度为 1). 时间流过 A 的流体的质量
S
o x
y
法向量为 ni .
vi v(i ,i , i )
P(i ,i , i )i + Q( i ,i , i ) j + R(i ,i , i )k ,
该点处曲面S的单位法向量
ni cosi i + cos i j + cos i k
8-5 第二型曲面积分 1. 双侧曲面 1.双侧曲面; 曲面的分类:
典 型 双 侧 曲 面
2.单侧曲面.
n
动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边 界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变.
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分上侧和下侧
曲面分左侧和右侧
曲面分内侧和外侧
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
F x, y, z 在Ｓ所指
则称此极限为向量函数 定一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲 面积分
F x, y, z n x, y, z dS
F x, y, z dS
S
或
S
dS n x, y, z dS
第二型曲面积分的性质
若单位法向量
n 的方向余弦为
o x
ds
z f ( x, y)
S
y
dS xy
cos x, y, z ,cos x, y, z ,cos x, y, z , cos dS 为dS 在 xOy 平面上的有向投影面积.
dS xy dxdy
dxdy cos dS
.
0 得到流量 m 的精确值 n m lim vi ni Si
0
i 1
设 ni (cos i , cos i , cos i )
,则
P(i ,i , i ) cos i m lim 0 i 1
+ Q(i ,i , i ) cos i
(上正下负)
0, 当0 / 2; 0, 当 / 2 ;
莫比乌斯带
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦
侧的规定
cos
cos
cos
封闭曲面
外侧 内侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xOy 面上的投影记为
(S ) x y , (S ) x y
i 1
将S分割成n个不相重叠的小曲面片 Si i 1,2,, n ,
F i ,i , i n i ,i , i Si ,
n
令 是 Si 中直径的最大者
若和式对Ｓ的任意一种分割及中间点
i ,i , i
的任意的选取，当
0 时总有极限，
1 F ndS F ndS ,
S+ S
其中 S 与 (2)若积分
+
S 为同一个曲面的两个相反的定向. F dS F dS 与 存在, 则 2 1
S
S
S
k1F1 + k2 F2 dS k1 F1 dS + k2 F2 dS ,