2019-2020学年福建省福州市高三上学期期末考试数学试卷及答案
（1）求证：平面 AEF 平面 PBC ． （2）试确定点 F 的位置，使平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30°．
20．已知圆 O : x2
y2
4 ，椭圆 C :
3
x2 a2
y2 b2
1（a
b 0 ）的短轴长等于圆 O 半
径的 6 倍， C 的离心率为 2 ． 2
（1）求 C 的方程； （2）若直线 l 与 C 交于 A, B 两点，且与圆 O 相切，证明： AOB 为直角三角形．
1
，
所以 x2 1 ，解得 x 1 或 x 1 （舍去）．
所以 ACD 为等边三角形，所以 A 60 ，
所以 SABC
1 AB AC sin A 1 3 1 sin 60 3 3
2
2
4
．
18、(1)依题意得: b32 b2b4 ，
所以 (a1 6)2 (a1 2)(a1 14) ，
设 m x2, y2, z2 为平面 PCD 的法向量，
则
m m
PC PD
0, 0
所以
x2
y2
y2 z2
z2 0
0 ,
取 y2 1 ，则 m 0,1,1 .
因为平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30°，
所以 cos30 m n 2 3 ，
m n 2 22 4 2
所以 SABC
1 AB AC sin A 1 3 1 sin 60 3 3
2
2
4
．
解法二：（1）同解法一．
（2）设 AD x ，则 CD x, BD 2x,
因为 ADC BDC ，
所以 cos ADC cos BDC ，
由余弦定理得，得
4x2
x2 4x2
7
2x2 2x2
D． A B R
3．执行如图所示的程序框图，若输入的 a, b 分别为 4, 2 ,则输出的 n （ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．已知向量 a (2, ),b (, 2) ,则“ 2 ”是“ a / /(a 2b) ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
4 1 22 2 23 3 24 2020 22021
设 T2020 1 22 2 23 3 24 2019 22020 2020 22021 ③，
则 2T2020 1 23 2 24 3 25 2019 22021 2020 22022 ④，
所以 a12 12a1 36 a12 16a1 28,
解得 a1 2. an 2n.
设等比数列bn的公比为 q，所以 q
b3 b2
a4 a2
8 4
2,
又 b2 a2 4,bn 4 2n2 2n.
(2)由（1）知， an 2n,bn 2n.
因为
c1 a1
c2 a2
cn1 an1
解得 1 ， 故当点 F 为 BC 中点时，平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30 .
20、（1）因为圆 O 的半径为 2 3 ， 3
所以 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的短轴长为
62 3 2 3
2，
所以 2b 2 2 ，解得 b 2 ．
因为 C 的离心率为 2 ，所以 c 2 ①，
15．已知
Sn
为数列{an} 前
n
项和，若
a1
5 2
，且
an1
2
an
2 ，则
S21
____．
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称
“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主
义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它
小关系为（ ）
A． m p n
B． p n m
C． n p m
D． p m n
7．若 2cos 2x 1 sin 2x ，则 tan x （ ）
A． 1
1
B．
3
C．
1
或
1 3
D．
1或
1 3
或
3
8．若
x,
y
满足约束条件
3 9
x y 3x
1, y 3,
则
z
x
y
的最小值为（
）
A．1
A． 23 2
B． 33 2 2
C． 3 2
D． 33 2 4
二、填空题
13．函数
f
(x)
x, e x
1,
x x
0,
则
0,
f
(2)
f
1
____．
14．设抛物线
y2
2px 上的三个点
A
2, 3
y1
,
B
1,
y2
,
C
3, 2
y3
到该抛物线的焦点距离分
别为 d1, d2 , d3 ．若 d1, d2 , d3 中的最大值为 3，则 p 的值为____．
3 3
,
23 3
),
所以
OA
OB
4
4
0.
33
当 x 2 3 时， A( 2 3 , 2 3 ), B( 2 3 , 2 3 ),
3
33
33
所以
OA
OB
4
4
0
，
33
综上， OA OB.
所以 AOB 为直角三角形．
②当直线 l 斜率存在时，设其方程为 y kx m, A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
3
数学试卷参考答案
1-10BDCAD BCCAB 11-12BA
13、 e2 2 14、3
15、
8 3
.
16、
2 6
8 6 729
17、（1）在 ABC 中，由正弦定理及题设得
AC BC ，故 1 7 ，
sin B sin A
sin B sin150
解得 sin B 1 ，
27
又 0 B 30 ，所以 cos B 3
21．已知函数 f x cos x ax2 1.
（1）当 a 1 时，证明： f x 0 ；
2
（2）若 f x 在 R 上有且只有一个零点，求 a 的取值范围．
22．在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
5
3 t, 2 （ t 为参数）．以坐标原
y
3 1t 2
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos ．
由③ ④得： T2020 22 2 Nhomakorabea 24 22021 2020 22022
22 (1 22020 ) 1 2
2020 22022
4
2019
2 2022
，
所以 T2020 2019 22022 4 ，
所以 S2020 T2020 4 2019 22022 8 .
2
a2
又因为 a2 c2 b2 ，所以 a2 c2 2 ②，
联立①② ，解得 a2 4 ，
所以所求 C 的方程为 x2 y2 1. 42
（2）证明：证法一：①当直线 l 斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x 2 3 ． 3
当
x
2
3 3
时，
A( 2 3 3
,
2 3 ), 3
B( 2
2
3 7
3 21 14
.
（2）设 AD CD x ，则 BD 2x ． 在 ABC 中，由余弦定理得，
BC 2` AB2 AC 2 2AB AC cos A ， 即 7 9x2 1 6x cos A ，①
在等腰 ACD 中，有 cos A
1 AC 2
1
，②
AD 2x
联立①②，解得 x 1 或 x 1 （舍去）． 所以 ACD 为等边三角形，所以 A 60 ，
18．等差数列an 的公差为 2, a2 , a4 , a8 分别等于等比数列bn 的第 2 项，第 3 项，第
4 项.
（1）求数列an 和bn 的通项公式；
（2）若数列
cn
满足
c1 a1
c2 a2
cn an
bn1 ,求数列cn 的前 2020 项的和．
19．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA 底面 ABCD ， PA AB ， E 为线段 PB 的中点， F 为线段 BC 上的动点．
2019-2020 学年福建福州市高三上学期期末考试数学试卷及答案
一、单选题
1．设复数 z
1 2
i
1
i
,则
z
（
A． 5
）
B． 10 2
5
C．
2
D． 5 2 4
2．已知集合 A x | x ≤ 0 或 x ≥ 2 ， B x | 1≤ x ≤ 2 ，则（ ）
A． A Ü B
B． B Ü A
C． A B
2
sin
1 2
x
5 1
D． g x
2
sin
1 2
x
3 8
10．已知四边形 ABCD 为正方形，GD 平面 ABCD ，四边形 DGEA 与四边形 DGFC
也都为正方形，连接 EF , FB, BE ，点 H 为 BF 的中点，有下述四个结论：
① DE BF ；
福建省福州市2019 2020高一上学期期末联考试题数学Word版含答案
学年度第一学期八县（市）一中期末联考2017--2018高中一年级数学科试卷审核教师：叶瑞松、吴银仙命题教师：鲍日辉命题学校：永泰一中分分钟满分：15001月30日完卷时间：120考试日期: 2018年41；锥体体积公式：；球的体积公式：参考公式：3?RV?V?Sh33圆锥侧面积公式：；球的表面积公式：2??R?4SrlS? *****利顺 ***** 祝考试第Ⅰ卷在每小题给出的四个选项中，有且只.分，共60分一、选择题（本大题共12小题，每小题5 有一个项选是符合题意要求的）??2?M N?M N1,2}{}N?M?{3,a，（（1）设 ,），????3,11,2}1,2,3,a{1,2,3}{）（C）（A （B）（D）m0??2y?1P(?2,m)l：x),Q(m4的值是和两点的直线与直线平行，则实数（2）经过点）（-8 D）C）0 （（A）2（B）10 （与笔所在的直3）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线（．．．）线（．）垂直）异面（D）平行（B）相交（C（A x l0?l1：x?2y??llly轴上的截距，则直线的交点在（4）直线在与直线轴上，且22111）是（-1 （D）1 B）-2 （C）（A）2 （?nm,为平面，则下列结论正确的是（）设为两条不同的直线，）（5????//,m?nn,m//??n?m?nm?）（A）（B???????n?n//m//n,//m//n,mm D（（C））22CAB?：4C?1)??(x1)?(y0my??l：x?与圆）为（6若A交于，B两点，已知直线?m（）直角三角形，则2?2222?2）（）（A）（BD（ C）1)(fxa??f(log)b?f(log6)R，（若，数减数函奇已）7知是在上函，225．8.0c,a,b)(2c?f）的大小关系为（，则b??ac?ab?cb?a?cc?ba?）C （B）））（A （D （22ll6y?C：x?0?m?13(m?2)x?y?2与圆的方程为：，则直线，圆（8）已知直线）C的位置关系一定是（ D）不确定（B）相切（C）相交（（A）相离，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的）如图，网格纸上小正方形的边长为2（9 ）体积是（?146?7?12? D（A））（B）（）（CABCABCCABC?ABAA且是等边三角形（10）如图,在三棱柱,,底面,⊥底面中1111AABB??2,AA1BCAB，）所成角的正弦值为（与平面则直线11115251510 D））（（B） A（）（C5555??????x1?a?0,a12?bfx??log）已知函数的图象（11a ba,）如图所示，则满足的关系是（?1?1?1?1b?a?0?b?a0?1 B）（（A）?11?1?0a1a???0b?b?）（C）D（229)?(?)?(x3y2?)B)02?(A,,0(2P上一个动点，设点：C已知圆）（12点，，，是圆C2D，令，记作定义：一个动点到两个定点的距离的平方和叫做“离差平方和”2222D PB?DPA?，则）的最小值为（16D）（C）12 （（A）6 （B）8第Ⅱ卷 20分．请将答案填在答题卡的相应位置）4小题，每小题5分，共二、填空题（本大题共?1?lnx,x?0?????ff?xf的值是，则． 13. 已知函数?????x e0x?3,?????DBCD?AABCB．在如图所示的长方体(1,0,3)中，已知，1411111C,D _________________，则点．(0,2的坐标为0)1xABABABy4的中点的轨和轴上滑动分别在15.长度为,的线段轴和的两个端点则线段________________________迹方程为的最大的实心木球加工（进行切割）成一个圆柱，那么加工后的圆柱侧面积16.一个半径为2．．．____________（本值为. 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤小题，共706三、解答题：本大题共分）．题满分1017CC为正方形。
2019-2020学年福建省福州市九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图标中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．可能性很大的事情是必然发生的B．可能性很小的事情是不可能发生的C．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”3．（4分）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥04．（4分）在平面直角坐标系中，点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣b，﹣a）C．（﹣a，b）D．（b，a）5．（4分）从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（4分）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝57．（4分）如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A＝35°，则∠D等于（）A．50°B．65°C．55°D．70°8．（4分）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（）A．11℃B．27℃C．35℃D．36℃9．（4分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B+∠E的度数是（）A．210°B．215°C．235°D．250°10．（4分）对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝2，ED＝3，则的值是．12．（4分）圆心角为120°，半径为2的扇形的弧长是．13．（4分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H．向正方形ABCD 区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是．14．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，直线BC与直线DE 所夹的锐角是．15．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则的值是．16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，以BD为边，在BD上方作等腰直角三角形BDE，使得∠BDE＝90°，连接AE．若BC＝4，AC＝5，则AE的最小值是．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．18．（8分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个小球，除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸球三次，每次摸出一个球，记下颜色后不放回．请用列举法列出三次摸球的结果，并求出第三次摸出的球是红球的概率．19．（8分）福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔（别名白塔），位于于山风景区，利用标杆可以估算白塔的高度．如图，标杆BE高1.5m，测得AB＝0.9m，BC＝39.1m，求白塔的高CD．20．（8分）如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E 落在边AB上（点E不与点B重合），连接AD．（1）依题意补全图形；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．22．（10分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元．（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗．23．（10分）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE 于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：CG＝CD；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2﹣4（m﹣1）x+3m2﹣6m+2．（1）当a＝1，m＝0时，求抛物线C与x轴的交点个数；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点能否落在第四象限，并说明理由；（3）当m≠0时，过点（m，m2﹣2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t+2，且点A在第三象限．以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围．2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：A、可能性很大的事情也可能不会发生，故错误，不符合题意；B、可能性很小的事情是也可能发生的，故错误，不符合题意；C、掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故错误，不符合题意；D、“任意画一个三角形，其内角和是180°”，正确，符合题意，故选：D．3．【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．4．【解答】解：点（a，b）关于原点对称的点的坐标是：（﹣a，﹣b）．故选：A．5．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，∴积为偶数的概率是＝，故选：C．6．【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．7．【解答】解：连DA，如图，∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴DA＝DB，DB＝DC，即DA＝DB＝DC，∴点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，∴∠BDC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：D．8．【解答】解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，∴当t＝5时有最大值36℃，∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D．9．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故选：B．10．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x＝8时，y最小值＝﹣，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△EAB∽△EDC，∴，又∵AE＝2，ED＝3，∴，故答案为．12．【解答】解：l＝＝＝π．故答案为：π．13．【解答】解：设AD＝AB＝BC＝DC＝2，则AH＝GD＝AE＝BE＝CF＝BF＝GC＝DG＝1，可得四边形HEFG是正方形，边长为：，故阴影部分面积为：2，∵正方形ABCD的面积为：4，∴该点落在阴影部分的概率是：．故答案为：．14．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，∴直线BC与直线DE所夹的锐角＝旋转角＝55°，故答案为：55°．15．【解答】解：＝＝，∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴＝＝1，故答案为1．16．【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H，∵∠BDE＝90°＝∠C，∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠H＝∠C＝90°，∴△BDC≌△DEH（AAS）∴EH＝CD，DH＝BC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝CD﹣1，∵AE2＝AH2+EH2＝CD2+（CD﹣1）2＝2（CD﹣）2+≥∴当CD＝时，AE的最小值为，故答案为．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，则x1＝3+，x2＝3﹣．18．【解答】解：依题意得，共有6种结果，分别是（红，黄，蓝）（红，蓝，黄）（黄，红，蓝）（黄，蓝，红）（蓝，红，黄）（蓝，黄，红），所有结果发生的可能性都相等，其中第三次摸出的球是红球的结果又2种，则第三次摸出的球是红球的概率是＝．19．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5，AB＝0.9，BC＝39.1，∴AC＝16，∴＝，∴CD＝．∴白塔的高CD为米．20．【解答】证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：∴＝，∠OFB＝90°，∴E是的中点，∵A是的中点，∴点E与点A重合，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OFB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与⊙O相切．21．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，DC＝AC，EC＝BC，∵AB＝AC，∴DC＝AB，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB，∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CEB＝∠DCE，∴DC∥AB，又∵DC＝AC，AB＝AC，∴四边形ABCD是平行四边形．22．【解答】解：（1）∵50＜60，∴120×50＝6000元，答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元．（2）∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元，∴该中学购买的树苗超过60棵，∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元，∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过100000元，而100000＞8800，∴该中学购买的树苗不过100棵，设购买了x（60＜x≤100）棵，根据题意可知：x[20﹣0.5（x﹣60）]＝8800，解得：x＝220（舍去）或x＝80，答：这所学校购买了80棵树苗23．【解答】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，∴AB＝n，OB＝m，又∵△AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mn＝6；（2）如图，延长DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，∵AB⊥x轴，∴∠ABE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠DEB＝90°，∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，∴C（m+n，n﹣m），∵点A，C都在双曲线上，∴mn＝（m+n）（n﹣m），即m2+mn﹣n2＝0，方程两边同时除以n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵n＞m＞0，∴＝．24．【解答】解：（1）如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠1+∠2＝90°∵AD⊥BE于点G，∴∠1+∠5＝90°∴∠2＝∠5∵∠CBE＝∠ACG．即∠4＝∠3∠DGC＝∠2+∠3＝∠5+∠4＝∠ABC∵∠ABC＝∠D∴∠DGC＝∠D∴CG＝CD；（2）如图．连接AE、CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝2，根据勾股定理，得AC＝＝6，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠4，∠3＝∠4，∴∠CAE＝∠3，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝FC＝3，在Rt△ABF中，BF＝＝5，∵S△ABF＝BF•AG＝AB•AF∴AG＝．过点C作CI⊥AD于点I，得矩形GICE，∴EC＝GI，∵CG＝CD，∴GI＝DI∵四边形AGCE是平行四边形，∴EC＝AG＝，∵∠D＝∠ABC，∠CID＝∠BAC＝90°，∴△CID∽△CAB，∴＝，即＝，∴CD＝．答：CD的长为．25．【解答】解：（1）当a＝1，m＝0时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+2，△＝8＞0，故C与x轴的交点个数为2；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点为：（﹣，﹣+2），假设点C在第四象限，则﹣＞0，且﹣+2＜0，解得：0＞且＞0，故a无解，故顶点不能落在第四象限；（3）将点（m，m2﹣2m+2）代入抛物线表达式并整理得：（a﹣2）m2＝0，∵m≠0，故a＝2；则抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4（m﹣1）x+（3m2﹣6m+2），则顶点坐标为：（m﹣1，m2﹣2m），当m﹣1＝t时，m＝t+1，则点A（t，t2﹣1）；当m﹣1＝t+1时，m＝t+3，点B（t+2，t2+4t+3）；点A在第三象限，即t＜0且t2﹣1＜0，解得：﹣1＜t＜0；y B﹣y A＝4t+4＞0，故点B在点A的右上方，AB2＝22+（4t+4）2＝16（t+1）2+4，﹣1＜t＜0时，4＜AB2＜20；S＝π（）2＝，故π＜S＜5π．。
福建省莆田第一中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试2019-1-27命题人：钱剑华 审核人：曾献峰一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若21zi i=-+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B = ( )A. (0,2)B. (1,0)-C. (2,0)-D. (2,2)-3.下列叙述中正确的是( )A.命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为“a +b 不是偶数，则a 、b 都是奇数”B.“方程221Ax By +=表示椭圆”的充要条件是“A B ≠”C.命题“2,0x R x ∀∈>”的否定是“200,0x R x ∃∈≥”D. “m =2”是“1l ：()2140x m y +++=与2l ： 320mx y +-=平行”的充分条件4．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )A ．80B ．85C ．90D ．955.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题:今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?其意思是,今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为( ) A.320π B.310π C.4π D 5π6．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．8－4π3 B ．8－π C ．8－2π3D ．8－π37．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 8．函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )9．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．2D ．1310．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为()f x '，若对于任意实数x ，有f (x )＞()f x '，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，e 4)D ．(e 4，＋∞)11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a c MF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫0，22 D ．(2－1,1)12.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为 ( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是 .14. ()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为 .15．2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会．现从A 、B 、C 、D 、E 5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有 .16．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx ，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是 .三．解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. （本小题满分12分）在等比数列}{n a 中，首项81=a ，数列}{n b 满足n n a b 2log =，且15321=++b b b .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记数列}{n b 的前n 项和为n S ，又设数列}1{n S 的前n 项和为n T ，求证：43<n T . 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面SAD ⊥平面ABCD ，P 为AD 的中点，SA ＝SD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3.(1)求证：SP ⊥AB ； (2)求直线BS 与平面SCD 所成角的正弦值； (3)设M 为SC 的中点，求二面角S —PB —M 的余弦值． 19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到表格中的数据，试问：能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？ (3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取9人，进一步调查他们良好的养眼习惯，并且在这9人中任抽取3人，记名次在1—50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20. (本小题满分12分)已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =.（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ,O 是坐标原点，且2334OF OH ≤⋅≤时，求k 的取值范围. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1x ，其中a ＞0. (1)若f (x )在(2，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围； (2)设∀x 1∈(0,1)，∀x 2∈(1，＋∞)，若f (x 2)－f (x 1)存在最大值，记为M (a )，则 当a ≤e ＋1e 时，M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
2019-2020学年人教A版福建省福州市高三第一学期(上)期末数学试卷(文科) 含解析
2019-2020学年高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题）1．设复数z＝i（2﹣i），则|z|＝（）A．B．C．3 D．52．已知集合A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则（）A．A⫋B B．B⫋A C．A∩B＝∅D．A∪B＝R3．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n＝（）A．6 B．5 C．4 D．34．某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50mm的零件，各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则以下结论不正确的是（）A．甲流水线生产的零件直径的极差为0.4mmB．乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0mmC．乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定D．甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值5．设抛物线y2＝2px上的三个点到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3．若d1，d2，d3的最大值为3，则p的值为（）A．B．2 C．3 D．6．函数y＝x2e x的大致图象为（）A．B．C．D．7．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1 B．3 C．4 D．58．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）．米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率π≈3，估算出堆放的米约有（）A．20斛B．21斛C．22斛D．23斛9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．B．C．D．10．若2cos2x＝1+sin2x，则tan x＝（）A．﹣1 B．C．﹣1或D．﹣1或或3 11．已知函数，直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若E上点A满足|AF1|＝2|AF2|，且∠F1AF2的取值范围为，则E的离心率的取值范围是（）A．B．C．[3，5] D．[7，9]二、填空题（共4小题）13．已知向量，满足||＝，||＝1，与的夹角为30°，则＝．14．已知函数f（x）＝，若f（a）+f（1）＝0，则a＝．15．在钝角△ABC中，已知，若△ABC的面积为，则BC的长为．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α．平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为．其中所有正确结论的编号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责．某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”．据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人次参与．为鼓励市民积极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次游戏得分作为样本进行分析，由此得到如频数分布表：单次游戏得分[30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80）[80，90] 频数10 40 60 40 30 20 （1）根据数据，估计参与活动的网友单次游戏得分的平均值及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（其中标准差的计算结果要求精确到0.01）（2）若要从单次游戏得分在[30，40）、[60，70）、[80，90]的三组参与者中，用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率．附：，．18．已知数列{a n}的前n项和，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．（2）若AB＝3，F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCD的体积．20．已知圆，椭圆（a＞b＞0）的短轴长等于圆O半径的倍，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：OA⊥OB．21．已知函数f（x）＝ax cos x﹣1在上的最大值为．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在区间上有且仅有2个零点．选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，l与曲线C的交点为A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：．参考答案一、选择题（本题共12小题）1．设复数z＝i（2﹣i），则|z|＝（）A．B．C．3 D．5【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵z＝i（2﹣i）＝2i+1，则|z|＝＝．故选：B．2．已知集合A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则（）A．A⫋B B．B⫋A C．A∩B＝∅D．A∪B＝R【分析】利用并集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∪B＝R．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n＝（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝4，b＝2，n＝1a＝6，b＝4，n＝2不满足条件a≤b，执行循环体，a＝9，b＝8，n＝3不满足条件a≤b，执行循环体，a＝13.5，b＝16，n＝4满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．故选：C．4．某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50mm的零件，各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则以下结论不正确的是（）A．甲流水线生产的零件直径的极差为0.4mmB．乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0mmC．乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定D．甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值【分析】直接利用图示中的数据的应用求出结果．解：对于选项A：甲流水线生产的零件直径的极差为50.2﹣49.8＝0.4mm，故选项A正确．对于选项B：流水线生产的零件直径的中位数为mm，故选项B正确．对于选项C：乙流水线生产的零件直径几乎接近50.0mm，所以比甲流水线生产的零件直径稳定，故选项C正确．对于选项D：＝50，＝50．故选项D错误．故选：D．5．设抛物线y2＝2px上的三个点到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3．若d1，d2，d3的最大值为3，则p的值为（）A．B．2 C．3 D．【分析】抛物线的性质到焦点的距离转化为到准线的距离，只用横坐标即可求出p的值．解：由抛物线的性质得，到焦点的距离转化为到准线的距离，而准线方程为：x＝﹣，所以由题意得：﹣（﹣）＝3，∴p＝3，故选：C．6．函数y＝x2e x的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】任意x∈R，y＝x2e x＞0，排除C．对函数求导，分析单调性，即可得出答案．解：任意x∈R，y＝x2e x＞0，排除C．y′＝2xe x+x2e x＝（x2+2x）e x，在区间（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上，y′＞0，y单调递增，在区间（﹣2，0）上，y′＜0，y单调递减，故选：A．7．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1 B．3 C．4 D．5【分析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后平移直线y＝﹣2x，观察直线在y轴上的截距，即可求出最大值解：x，y满足约束条件的平面区域如下图所示：平移直线y＝﹣2x，由，解得易得，当x＝2，y＝1时，即过点B时；目标函数z＝2x+y的最大值为5．故选：D．8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）．米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率π≈3，估算出堆放的米约有（）A．20斛B．21斛C．22斛D．23斛【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为个圆锥，所以，由于π≈3，解得R＝，所以V＝＝．1斛米的体积约为1.6立方尺，所以：V＝斛≈22斛．故选：C．9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象可得﹣（﹣）＝＝•，∴ω＝．再根据五点法作图，可得•+φ＝π，∴ω＝，∴函数f（x）＝sin（x+）．令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：A．10．若2cos2x＝1+sin2x，则tan x＝（）A．﹣1 B．C．﹣1或D．﹣1或或3 【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得2（cos x﹣sin x）（cos x+sin x）＝（sin x+cos x）2，分类讨论即可求解tan x的值．解：∵2cos2x＝1+sin2x，∴2（cos2x﹣sin2x）＝（sin x+cos x）2，即：2（cos x﹣sin x）（cos x+sin x）＝（sin x+cos x）2，∴cos x+sin x＝0，或2（cos x﹣sin x）＝sin x+cos x，∴解得：tan x＝﹣1，或tan x＝．故选：C．11．已知函数，直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，再由函数在切点处的导数值为﹣1，且切点在线y＝﹣x+3上，联立即可求得a值．解：由f（x）＝lnx+，得f′（x）＝，设直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切于（），则，解得．故选：B．12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若E上点A满足|AF1|＝2|AF2|，且∠F1AF2的取值范围为，则E的离心率的取值范围是（）A．B．C．[3，5] D．[7，9]【分析】由题意画出图形，由已知及双曲线的定义求得|AF1|，|AF2|，再由余弦定理及∠F1AF2的取值范围求解．解：如图，设|AF2|＝m，则|AF1|＝2|AF2|＝2m，由双曲线定义：|AF1|﹣|AF2|＝2a，得2m﹣m＝2a，则m＝2a，则△AF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2＝＝，∵∠F1AF2的取值范围为，∴﹣1≤cos∠F1AF2≤，即﹣1，解得≤e≤3．∴E的离心率的取值范围是[，3]．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量，满足||＝，||＝1，与的夹角为30°，则＝．【分析】根据条件进行数量积的计算即可．解：∵||＝，||＝1，与的夹角为30°，∴．故答案为：．14．已知函数f（x）＝，若f（a）+f（1）＝0，则a＝﹣5 ．【分析】由已知可求出f（1）＝3，然后结合（a）+f（1）＝0，可得f（a）＝﹣3，代入可求a．解：∵f（x）＝，∴f（1）＝3，∵（a）+f（1）＝0，∴f（a）＝﹣3，当a＞0时显然不满足条件，当a≤0时，则有a+2＝﹣3，所以，a＝﹣5．故答案为：﹣515．在钝角△ABC中，已知，若△ABC的面积为，则BC的长为．【分析】由三角形的面积公式，列式算出sin A＝，得到cos A＝±＝±时．当cos A＝＝时，利用余弦定理算出BC＝，从而证出C＝，与已知矛盾舍去，进而求得结论．解：因为，△ABC的面积为，∴S＝AB×AC sin A＝，即××1×sin A＝，解之得sin A＝，∵当cos A＝＝时，BC＝＝，∴此时AB最大，得cos C＝＝0⇒C＝，这与△ABC为钝角三角形矛盾，可得不符合题意．因此cos A＝﹣＝时，BC＝＝，故答案为：．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α．平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为．其中所有正确结论的编号是①③④．【分析】画出图形，得出结果．解：如图，显然①③成立，下面说明④成立，如图，当截面是正六边形，面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝，所以S＝2××（2+）×＝3，故④成立，故答案为：①③④三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责．某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”．据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人次参与．为鼓励市民积极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次游戏得分作为样本进行分析，由此得到如频数分布表：单次游戏得分[30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80）[80，90] 频数10 40 60 40 30 20 （1）根据数据，估计参与活动的网友单次游戏得分的平均值及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（其中标准差的计算结果要求精确到0.01）（2）若要从单次游戏得分在[30，40）、[60，70）、[80，90]的三组参与者中，用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率．附：，．【分析】（1）直接代入求出其平均值和方差即可；（2）按古典概型的计算方法求出总数以及符合条件的个数即可求解．【解答】解（1）参与该活动的网友单次游戏得分的平均值＝60．标准差＝．（2）用分层抽样抽取7人，其中得分在[30，40）的有1人，得分在[60，70）的有4人，得分在[80，90]的有2人，分别记为a，b1，b2，b3，b4，c1，c2，7人中任选2人，有21种结果，其中2人得分在同一组的有7种，分别是{b1，b2}、{b1，b3}、{b1，b4}、{b2，b3}、{b2，b4}、{b3，b4}、{c1，c2}，故2人得分不在同一组内的概率．18．已知数列{a n}的前n项和，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的前n项和推出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求解数列的和即可．解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1+p，当n≥2时，，经检验，n＝1时也满足上式，所以a n＝2n﹣1+p．因为a2，a4，a8成等比数列，所以，即（3+p）（15+p）＝（7+p）2，解得p＝1．所以a n＝2n．（2）由（1）及题设得，，所以T n＝b1+b2+…+b n＝＝＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．（2）若AB＝3，F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCD的体积．【分析】（1）法一：推导出PA⊥BC．AB⊥BC，从而BC⊥平面PAB，进而AE⊥BC．推导出AE⊥PB，从而AE⊥平面PBC，由此得到平面AEF⊥平面PBC．法二：由PA⊥底面ABCD，得平面PAB⊥底面ABCD，由BC⊥AB，得BC⊥平面PAB．从而AE⊥BC，推导出AE⊥PB，从而AE⊥平面PBC，由此得到平面AEF⊥平面PBC．（2）点E到底面ABCD的距离为＝，则，由F为线段BC的三等分点，根据和两种情况，分别求解多面体PAEFCD的体积．解：（1）解法一：平面AEF与平面PBC互相垂直，理由如下：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC又PA∩AB＝A，且PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，又PB∩BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．解法二：平面AEF与平面PBC互相垂直，理由如下：因为PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥底面ABCD，又平面PAB∩底面ABCD＝AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB．因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC，因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，又PB∩BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．（2）因为PA⊥底面ABCD，E为线段PB的中点，所以点E到底面ABCD的距离为＝，则，又F为线段BC的三等分点，当时，，所以多面体PAEFCD的体积为，当时，，所以多面体PAEFCD的体积为．综上，多面体PAEFCD的体积为或．20．已知圆，椭圆（a＞b＞0）的短轴长等于圆O半径的倍，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：OA⊥OB．【分析】（1）由题意可写出符合题意的方程，联立解之得C的方程，（2）分类讨论斜率存在不存在的情况，根据直线与圆相切，可得向量垂直，代入求解．【解答】解法一：（1）依题意，圆O半径等于，因为椭圆的短轴长等于圆O半径的倍，所以，解得．因为C的离心率为，所以，①又因为a2﹣c2＝b2，所以a2﹣c2＝2，②联立①②，解得a2＝4，所以C的方程为．（2）证明：①当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，或．当时，，则，故OA⊥OB．同理可证，当时，OA⊥OB．②当直线l斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线l与圆相切，所以，即3m2﹣4k2﹣4＝0，由得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，所以△＝16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣2）＝8（4k2﹣m2+2）＞0，且所以＝＝＝＝0，所以OA⊥OB．综上，OA⊥OB．解法二：（1）同解法一．（2）①当直线方程为时，，则，故OA⊥OB．同理可证，当直线方程为时，OA⊥OB．②当直线l不与x轴平行时，设其方程为x＝ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线l与圆相切，所以，即3m2﹣4t2﹣4＝0．由得，（t2+2）y2+2tmy+m2﹣4＝0．所以△＝4t2m2﹣4（t2+2）（m2﹣4）＝8（2t2﹣m2+4）＞0，且，＝＝＝＝0，所以，OA⊥OB．综上，OA⊥OB．21．已知函数f（x）＝ax cos x﹣1在上的最大值为．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在区间上有且仅有2个零点．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，进而可判断取得最大值的条件，代入即可求解a，（2）结合函数的单调性及零点判定定理即可求解．解：（1）f′（x）＝a（cos x﹣x sin x），因为，所以cos x＞sin x≥0，又1＞x≥0，所以1•cos x＞x sin x，即cos x﹣x sin x＞0．当a＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上递增，所以，解得a＝2．当a＜0时，f′（x）＜0，所以f（x）在区间上递减，所以f（x）max＝f（0）＝﹣1，不合题意．当a＝0，f（x）＝﹣1，不合题意．综上，a＝2．（2）设g（x）＝cos x﹣x sin x，则，所以g（x）在上单调递减，又，所以存在唯一的，使得g（x0）＝0，当0＜x＜x0时，g（x）＞0，即f′（x）＝2g（x）＞0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增；当时，g（x）＜0，即f′（x）＝2g（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递减，又，所以f（x）在与上各有一个零点，综上，函数f（x）在区间上有且仅有两个零点．选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，l与曲线C的交点为A，B，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．将代入得，x2+y2＝2x，所以C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．（2）设A，B所对应的参数分别为t1，t2，因为直线l的参数方程为为参数），所以M在l上，把l的参数方程代入（x﹣1）2+y2＝1，可得，所以，所以，故＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：．【分析】（1）去掉绝对值符号，利用分段函数求解函数的最值，通过m即可．（2）利用重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，利用综合法证明即可．【解答】（1）解：根据题意，函数，所以f（x）为在单调递减，在单调递增，所以．（2）证明：由（1）知，m＝1，所以a+b+c＝1，又因为a，b，c为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，所以2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，所以1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），即．。
2019届福建福州市高三上学期期末数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届福建福州市高三上学期期末数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知复数满足，则（）A . ______________B . _________________________________C . _________________________________D .2. 已知集合 ,则（）A .B . ______________C . ___________D .3. 等差数列的前项和为，若公差，则当取得最大值时，的值为（）A .B . ______________________________C . _________________________________D .4. 已知 ,则的值为（）A . ____________________B . ________________________C .____________________________ D .5. 在如图所示的程序框图中，若函数 , 则输出的结果是（）A . ____________________________B . ______________________________C . ______________D .6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . ____________________________B .____________________________ C . ____________________________ D .7. 已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于点，若，则直线的斜率等于（）A . ________________________B . ________________________C .____________________________ D .8. 四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（）A . ______________________________B . ____________________________C .______________________________ D .9. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是（）A . 函数的最小正周期为B . 函数的图象关于点对称C . 函数的图象关于直线对称D . 函数在上单调递增10. 平行四边形中， , 点在边上，则的取值范围是（）A . ______________B . ______________C .____________________ D .11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点.是双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点 .若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12. 已知实数满足 , ,则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题13. 若实数满足 ,则的最小值为 __________ .14. 已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是__________ .15. 三棱锥中，平面平面. 若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________ .16. 已知，删除数列中所有能被整除的数，剩下的数从小到大排成数列，则 _________ .三、解答题17. 已知正项数列的前项和为 ,且 .（1）求数列的通项公式；（2）设 , 求数列的前项和 .18. 在中,角、、所对的边分别为、、 . 已知, 且 .（1）求的值；（2）若，求周长的最大值 .19. 如图（1），在平行四边形中， , 分别为的中点 . 现把平行四边形沿折起，如图（2）所示，连结 .（1）求证: ；（2）若，求二面角的余弦值 .20. 以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的四条边与共有个交点，且这个交点恰好把圆周六等分 .（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相切，且椭圆相交于两点，求的最大值 .21. 已知函数 .（1）若函数的最小值为，求的值；（2）证明: .22. 选修4-1：几何证明选讲如图，是半径为的上的点，在点处的切线交的延长线于点 .（1）求证: ；（2）若为的直径，求的长 .23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线 ,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；（2）若射线与曲线，分别交于两点，求 .24. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，求的解集;（2）若不等式的解集包含，求的取值范围 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2020届福建省福州市高三上学期期末质量检测数学(理)试题(含详细解析)
2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =( )A.B.2C.52D.【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z ，再利用复数模的求法,即可得到z 的值. 【详解】()312i i 2211i z ⎛⎫=+- ⎪=+⎝⎭，||z ==故选：B.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，复数模的求法，主要考查的是学生的计算能力，是基础题.2.已知集合{|0A x x =≤或}2x ≥，{}|12B x x =-≤≤，则( ) A. A B Ü B. B A Ü C. A B =∅I D. A B R =U【答案】D 【解析】 【分析】根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】集合,A B 并无包含关系,故A,B 均错误.又{|10A B x x =-≤≤I ,或}2x =故C 错误.A B R =U 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3.执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,,a b n 的值，当272a =，16b =时，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4 . 【详解】第一次循环， 3462a =⨯=，4b =，2n =，此时a b >. 第二次循环3692a =⨯=，8b =，3n =，此时a b >. 第三次循环327922a =⨯=，2816b =⨯=，4n =，此时a b <，因此4n =. 故选：C .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的,,a b n 的值是解题的关键，属于基本知识的考查，是基础题.4.已知向量(2,),(,2)r r λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)r r r-a a b ”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先算出2a b -r r ，再利用向量平行的坐标运算得出λ的值，即可判断.【详解】2(22,4)a b λλ-=--rr，(2)a a b -rr r‖，28(22)0λλλ∴---=， 228λ∴=，2λ∴=±.因此“2λ=”是“//(2)-r r ra ab ”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断，涉及向量平行的坐标运算，属基础题. 5.若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =( ) A. 32- B. 2-C. 1D. 32【答案】D【解析】 【分析】取2x =，即可得到0a .【详解】5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-Q∴取2x =，032a ∴=.故选：D .【点睛】本题考查二项式定理及通项公式的运用，“赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，是基础题.6.若实数,a b 满足201,a b a <<<<且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为( )A. m p n >>B. p n m >>C. n p m >>D. p m n >>【答案】B 【解析】 【分析】已知201a b a <<<<，所以根据对数函数的性质可知()0,∞+上为单调递减函数，得出1log 2a b << 接下来利用作差法比较,,m n p 大小，由此可以判断答案. 【详解】201a b a <<<<Q ，22log log log 1a a a a b a =>>=Q ，()()2log log log log 10a a a a n m b b b b -=-=->， n m ∴>， 2log a p b =，()2log 2log a a n p b b -=-log (log 2)0a a b b =-<，p n ∴>，因此p n m >>. 故选：B.【点睛】本题主要考查的是对数的大小比较，掌握对数函数的性质是解题的关键，是基础题.7.若2cos21sin2x x =+，则tan x =( ) A. 1- B.13C. 1-或13D. 1-或13或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21sin2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =. 故选：C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型.8.若,x y 满足约束条件31,933,x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩则z x y =+的最小值为( )A. 1B. 3-C. 5-D. 6-【答案】C 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值，z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】画出不等式组所表示的可行域如上图(阴影部分)， 由z x y =+，得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图像可知当直线y x z =-+经过B 时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小，由139x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ，解得23x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,3B --，将()2,3B --代入目标函数z x y =+得5z =-， 因此z x y =+的最小值为5-. 故选：C .【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题. 9.把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则( )A. ()2g x x =B. ()32g x x π⎛⎫+ ⎪8⎝⎭C. ()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D. ()1328g x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由已知中函数()sin cos f x x x =+，根据辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法则，即可得到函数()g x .【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，函数()f x 图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到：24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()222g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：A .【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像的平移和伸缩变换，考查学生对函数的理解，同时考查辅助角公式、诱导公式的应用，是基础题.10.已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论：①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒； ③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是( ) A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论.【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ， (0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ， ①(2,0,2)DE =u u u r ，(2,0,2)BF =-u u u r，4040DE BF ∴⋅=-++=u u u r u u u r， DE BF ∴⊥u u u r u u u r，DE BF ∴⊥，①是正确的. ②(2,2,0)EF =-u u u r ，(1,0,1)CH =u u u r，设EF u u u r 与CH u u ur 所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ， [0,]θπ∈60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--u u u r Q ，(2,2,0)DB u u u r =，(0,2,2)DF =u u u r，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩u u u v u u u v ，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v u u u v 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-u u u r Q ，//EC n u u u r，EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-u u u r Q ，由图像易得：(1,1,0)m =r是平面 ACEFF 的一个法量，设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin cos ,BF m θ∴=u u u v r12||||BF m BF m ⋅==⋅u u u r r u u u r r， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确. 故选：B .【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．11.已知双曲线2222:1x y E a b-=(0,0a b >>)的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF u u u r u u u u r 夹角的取值范围为2π,π3轾犏犏臌，则E 的离心率取值范围是( )A.B. ⎤⎦C. []3,5D. []7,9【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及122AF AF =，可得出12,AF AF ，在12AF F △中由余弦定理以及向量12,AF AF u u u r u u u u r夹角的取值范围可得到关于离心率的不等式，即可得到E 的离心率取值范围. 【详解】由双曲线定义得：122AF AF a -=，2||2AF AF =Q ，22AF a ∴=， 14AF a ∴=，在12AF F △中由余弦定理得：22212121212cos 2AF AF F F F AF AF AF +-∠=⨯⨯2224164224a a c a a +-=⨯⨯ 22254a c a-=， 由题意得：122,3F AF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦， 121cos 1,2F AF ⎡⎤∴∠∈--⎢⎥⎣⎦，22251142a c a -∴-≤-…， 2511442e ∴---剟，279e≤≤，e∴∈.故选：B.【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像，将函数化简是关键，考查学生对图像变换的理解和应用，是基础题.12.已知函数21()2,()f x x axg xx=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f xB x g x，使得直线AB与两曲线()y f x=和()y g x=都相切，当实数a取最小值时，12x x+=()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分别求出函数()(),f xg x在,A B点的切线方程，再根据题意可得出4118xa x=-，构造函数4()8xh x x=-，求出()h x的最小值即可求出1x，从而得到12x x+.【详解】2()2,f x x ax=+Q∴()22f x x a'=+，∴()1122f x x a'=+，又()21112f x x ax=+，过A点切线方程为：()21122y x a x x=+-，①又1()g xx=-Q，∴21()g xx'=，即()2221g xx'=，又()221g xx=-，因此过B点的切线方程为：22212y xx x=-，②由题意知①②都为直线AB,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， 令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x 单调递增，x ∴=()min h x ，1x ∴=，则2212x x==12x x ∴+=故选：A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.函数,0,()1,0,xx x f x e x <⎧=⎨-≥⎩则()(2)1f f +-=____． 【答案】22e - 【解析】 【分析】将2,1-分别代入分段函数，即可求得.【详解】20>Q ,()221f e ∴=-,由10-<Q ，()11f -=-， ()2(2)12f f e ∴+-=-.故答案为：22e -.【点睛】本题考查的是分段函数求值的应用，采用直接代入法求函数值，是基础题.14.设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为____．【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，可判断3d 最大，即可求出p 的值. 【详解】根据抛物线的几何性质可得12323,1,23222p p p d d d =+=+=+，由题意可得0p >， 因此可判断3d 最大，故33322p d =+=，解得3p =. 故答案为：3.【点睛】本题考查抛物线的知识，掌握抛物线的定义和性质是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力.15.已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S =____． 【答案】83【解析】 【分析】由数列的递推公式及152a =，依次计算出数列的前5项，可得数列{}n a 是周期为4的数列，则()21123415S a a a a a =++++,即可求得.【详解】由()122n n a a +-=，得122n na a +=-，又152a =， 得21242a a ==--，322123a a ==-，432625a a ==-，5142522a a a ===-，数列{}n a 是周期为4的数列，()21123415165855423523S a a a a a ⎛⎫=++++=-+++= ⎪⎝⎭.故答案为：83.【点睛】本题主要考查的是利用递推关系求数列的和，考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力，是中档题.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】 (1). 26(2). 86π【解析】 【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S ⎛=⨯⨯= ⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 23613⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为13623= 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是26； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，163R R ⎛⎫=⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭所以球的体积3344339729V R ππ⎛=== ⎝⎭.故答案为：6【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17.在ABC ∆中，1,AC BC == (1)若150A =︒，求cos B ；(2)D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC ∆的面积．【答案】(1 (2【解析】 【分析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sin B ，再利用同角三角函数基本关系式可求出cos B ； (2)根据题意知ACD ∆为等腰三角形，再利用余弦定理得出ACD ∆为等边三角形可得60A =︒，从而求出ABC ∆的面积．【详解】(1)在ABC ∆中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =， 解得sinB =又030B ︒<<︒，所以cos 14B ==. (2)设AD CD x ==，则2BD x =． 在ABC ∆中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，①在等腰ACD ∆中，有112cos 2ACA AD x ==，② 联立①②，解得1x =或1x =-(舍去)． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．解法二：(1)同解法一．(2)设AD x =，则,2,CD x BD x == 因为ADC BDC ∠=π-∠， 所以cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-，所以21x =，解得1x =或1x =-(舍去)． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题.18.等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列{}n c 满足12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 【答案】(1)2n a n =，2nn b =； (2)2022201928⨯+.【解析】 【分析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由(1)知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅， 又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩. 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③， 则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ，所以20222020201924T =⨯+， 所以2020S =202220204201928T +=⨯+.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)求证：平面AEF ⊥平面PBC ．(2)试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°． 【答案】(1)见解析； (2)点F 为BC 中点. 【解析】 【分析】(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面PCD 的法向量，利用数量积求出法向量间夹角，进而得到二面角的余弦值。
2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测(附答案)
2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is Mary's attitude toward her own decision?A. Firm.B. Ambiguous.C. Surprised.2. Which train will the woman take?A. The 6:15 one.B. The 6:45 one.C. The 8:15 one.3. What will the boy clean?A. The window.B. The bottle.C. The car.4. Where is the post office?A. Behind the park.B. On the left of the hotel.C. Across from the tourist information center.5. What are the speakers mainly talking about?A. The girl’s classmate.B. Ann’s character.C. Nick’s trousers.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. How does the woman feel at first?A. Fairly relaxed.B. Quite confident.C. A bit worried.7. What will the speakers do tonight?A. Give out invitations.B. Make more food.C. Throw a party.听第7段材料，回答第8、9题。
【数学】福建省福州市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测理科数学试卷有答案
准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅰ卷3至4页．满分150分. 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅰ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =A ．5B ．10C ．52D ．522. 已知集合{}|02A x x x =≤或≥，{}2|20B x x x =--≤，则A ．AB Ü B ．B A ÜC ．A B =∅ID ．A B =R U3. 执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的nA ．6B ．5C ．4D ．34. 已知向量(2,),(,2)λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)-a a b ”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5. 若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =A ．32-B ．2-C ．1D ．326. 若实数,a b 满足201,a b a ＜＜＜＜且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为 A ．m p n ＞＞B ．p n m ＞＞C ．n p m ＞＞D ．p m n ＞＞7. 若2cos21sin2x x =+，则tan x =A ．1-B ．13C ．1-或13D ．1-或13或38. 若,x y 满足约束条件31,933,x y x y --⎧⎨-+⎩≤≤≤≤则z x y =+的最小值为A ．1B ．3-C ．5-D ．6-9. 把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则A ．()2g x x =B ．()32g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C ．()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D ．()1328g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10. 已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接BE FB EF ,,，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒； ③EC ⊥平面DBF ；④BF 与平面ACFE 所成角为45︒．其中所有正确结论的编号是 A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④11. 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF u u u r u u u u r 夹角的取值范围为,32π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率取值范围是A ．B ．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,912. 已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +A ．B ．2CD ．4-绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题第Ⅰ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 函数,0,()e 1,0,xx x f x x ⎧=⎨-⎩＜≥则()(2)1f f +-= ． 14. 设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为 ．15. 已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S = ． 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）在ABC △中，1,7AC BC ==． （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC △的面积．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足12211+=+++n nn b a c a c a c Λ,求数列{}n c 的前2020项的和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒．20.（本小题满分12分）已知圆22:43x y O +=，椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的短轴长等于圆O 半径的6倍，C 的离心率为22． （1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,A B 两点，且与圆O 相切，证明：AOB △为直角三角形．21.（本小题满分12分）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当12a =时，证明：()0f x …； （2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(， l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数1()212f x x x =-++的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，证明：22213a b c ++≥．2019－2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
福建省福州市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
福建省福州市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=5i2−i+5i，则|z|=()A. √5B. 3√2C. 5√2D. 2√52.已知集合A={x|x≤−1或x≥1}，B={x|a<x<a+1}，且A∩B=B，则实数a的取值范围是()A. a≤−2B. a≥1C. −2≤a≤1D. a≤−2或a≥13.执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=()A. 0B. 7C. 14D. 284.已知λ∈R，向量a⃗=(3,λ)，b⃗ =(λ−1,2)，则“λ=3”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若(1+2x)5+(a+2x)5=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a+a1+a3+a5=()A. 0B. −1C. 243D. 26.已知a=log23，b=log34，c=log411，则a，b，c的大小关系为()A. b<c<aB. b<a<cC. a<b<cD. a<c<b7.若2cos2x=1+sin2x，则tanx=()A. −1B. 13C. −1或13D. −1或13或38.已知x,y满足约束条件{y≤1x+y+4≥0x−y≤0，则z=x+2y的最小值是()A. −8B. −6C. −3D. 39. 将函数y =sinx 的图象上所有的点向左平移π6个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象的函数解析式是( ) A. y =sin(2x +π3) B. y =sin(12x +π12) C. y =sin(12x +π6) D. y =sin(2x +π6)10. 如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点.若则EF 与平面ABCD 所成角的大小是( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 11. 设点P 在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若|PF 1|=4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A. (1,53]B. (1,2]C. [53,+∞)D. [2,+∞)12. 已知直线y =a(x +1)与曲线f(x)=e x +b 相切，则ab 的最小值为( )A. −14eB. −12eC. −1eD. −2e 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={x 2+3x,x ≥0f (x +2),x <0，则f(−3)=_______． 14. 抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(2,m)到焦点的距离为3，则p =______．15. 已知数列{a n }满足a 1=3，a n+1−3a n =3n+1(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前n 项和S n =______．16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，A=135°，AB=1，AC=√2．(1)求sin B；(2)点D在边BC上，AD=1，求△ABD的面积．18.单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+4n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=a n，求数列{b n}的前n项和T n．2n19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的点，且EB=ED=EC=BC，延长CE交AD于点F．(1)若G 为PD 的中点，求证平面PAD ⊥平面CGF ；(2)若BC =2，PA =3，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值．20. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率是12，过坐标原点O 的任一直线交椭圆C 于M ，N 两点，且|NF 2|+|MF 2|=4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y =kx +m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且与圆x 2+y 2=1相切．(ⅰ)求证：m 2=k 2+1；(ⅰ)求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．21. 已知函数f(x)=x 3+a(x 2−x +1)(1)若a =1，求函数f(x)在区间[−2,1]的值域；(2)证明：函数f(x)只有一个零点．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =12t y =√32t −1(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin(π4+θ)．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(0,−1).若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求|PA|+|PB|的值．23. 已知f(x)=2|x −1|+|x −2|(Ⅰ)求函数f(x)的最小值m；(Ⅱ)已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求b2a +c2b+a2c的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求|z|．解：∵z=5i2−i +5i=5i(2+i)5+5i=−1+7i，故|z|=√(−1)2+72=5√2，故选C．2.答案：D解析：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．根据A与B的交集为B，得到B为A的子集，即可确定出a的范围．解：∵A∩B=B，∴B⊆A，∵A={x|x≤−1或x≥1}，B={x|a<x<a+1}，∴a+1≤−1或a≥1，解得a≤−2或a≥1，故选：D．3.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得a=56，b=140，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=140−56=84，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=84−56=28，满足条件a≠b，满足条件a>b，a=56−28=28，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值为28．故选：D．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=28，b=28时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．4.答案：A解析：解：由“a⃗//b⃗ ”，得：λ(λ−1)=6，解得：λ=3或−2，故“λ=3”是“a⃗//b⃗ ”的充分不必要条件，故选：A．根据向量的平行关系求出λ的值，根据集合的包含关系判断即可．本题考查了向量的平行关系以及充分必要条件的定义，是一道基础题．5.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，二项式系数的性质，属于基础题.由已知结合二项式系数的性质逐一求得a，a1，a3，a5的值，则答案可求．解：由已知根据二项展开式的通项可得：1+a5=0，得a=−1．且a1=2C51+2C51=20，a3=23C53+23C53=160，a5=25C55+25C55=64．∴a+a1+a3+a5=−1+20+160+64=243．故选：C．6.答案：B解析：解：∵a=log23，b=log34，c=log411，=log22√2<log23<c=log411=log2√11，∴b=log34<log33√3=32∴b<a<c．故选：B．利用对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的单调性的合理运用．7.答案：C解析：本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式及其应用，属于基础题．利用二倍角公式，得出2(cos2x−sin2x)=(cosx+sinx)2，化简即可求出结果．解：2cos2x=1+sin2x，∴2(cos2x−sin2x)=(cosx+sinx)2，即2(cosx−sinx)(cosx+sinx)=(cosx+sinx)2，∴(cosx+sinx)(cosx−3sinx)=0，∴cosx+sinx=0或cosx−3sinx=0，即sinx=−cosx或cosx=3sinx，∴tanx=−1或tanx=13．故选C．8.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．9.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．由题意根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：将函数y=sinx的图象上所有的点向左平移π6个单位，可得函数y=sin(x+π6)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象的函数解析式y=sin(2x+π6)，故选D．10.答案：C解析：本题考查线面角，熟练掌握判定定理内容、正确找出线面角是关键．取PD的中点为G，过G作GH⊥AD，垂足为H，则可得∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，求解即可．解：取PD中点G，连接AG、FG，∵EF分别为AB、PC的中点，∴AE=12AB，GF//DC且GF=12DC，又在矩形ABCD中AB//CD且AB=CD，∴AE//GF且AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG//EF，∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH//PA∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，∵∠PDA=45°，G为PD的中点，∴∠GAH=45°，即EF与平面ABCD所成的角为45°．11.答案：A解析：解：∵|PF1|=4|PF2|，∴由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=3|PF2|=2a，∴|PF2|=23a，∵点P在双曲线的右支上，∴|PF2|≥c−a，∴23a≥c−a，即53a≥c，∴e=ca ≤53，∵e>1，∴1<e≤53，∴双曲线的离心率e的取值范围为(1,53].故选：A．由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|≥c−a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：B本小题考查导数的几何意义、函数与导数综合应用等知识，属于中档题．由题意解出ab =a 2lna(a >0)，令g(a)=a 2lna ，利用导数求出g(a)取得极小值也即最小值g(e −12)=−12e 即可．解：设切点(x 0,e x 0+b)，由f′(x 0)=e x 0=a 得x 0=lna(a >0)，由e x 0+b =ax 0+a ，得a +b =alna +a ，则b =alna ，于是ab =a 2lna(a >0)， 令g(a)=a 2lna ，则g ′(a)=a(1+2lna)， 故当0<a <e −12时g ′(a)<0； 当a >e −12时g′(a)>0，故当a =e −12时g(a)取得极小值也即最小值g(e −12)=−12e ．故选B ．13.答案：4解析：本题考查求分段函数的函数值，属于基础题． 由分段函数式直接可得，代入时注意自变量的范围． 解：∵函数f(x)={x 2+3x,x ⩾0f(x +2),x <0, ∴f(−3)=f(−1)=f(1)=12+3=4． 故答案为4．14.答案：2解析：本题考查抛物线的定义，属于基础题． 根据题意，即可得解．解：抛物线y 2=2px(p >0)的准线方程为：x =−p2， 由抛物线的定义知，2−(−p2)=3，解得p =2，故答案为：2．15.答案：(3n2−34)⋅3n+34解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用乘公比，错位相减法求出数列的和．解：数列{a n}满足a1=3，a n+1−3a n=3n+1(n∈N∗)，则a n+13n+1−a n3n=1(常数)，所以数列{a n3}是以a13=1为首项，1为公差的等差数列．故：a n3n=1+(n−1)=n，解得：a n=n⋅3n．所以：S n=1⋅31+2⋅32+⋯+n⋅3n①，3S n=1⋅32+2⋅33+⋯+n⋅3n+1②，①−②得：−2S n=(31+32+⋯+3n)−n⋅3n+1，解得：S n=(3n2−34)⋅3n+34．故答案为：(3n2−34)⋅3n+34．16.答案：√26；8√6π729解析：本题考查几何体的表面积的求法及球的组合体的有关知识，属于中档题．由题意得出该几何体的形状和尺寸，再由球的体积公式可得答案．解：由题意知几何体是由两个正四面体组成的几何体，正四面体的高为ℎ=√1−13=√63，所以该六面体的体积为V=13×12×1×1×√32×2√63=√26．若该六面体内有一小球，则小球的最大体积时应和六个面相切，下图为几何体的上半部分，由题意知四面体A−BCD为边长为1的正四面体，O为底面的中心，即球的球心，取BC的中点E，连AE，OE，作OF⊥AE于F，则OF为这时的球的半径．因为AE=√32,OE=√36，所以AO=√AE2−OE2=√34−112=√63，所以OF=OE×AOAE =√36×√63√32=√69，所以小球的最大体积为43×π×681×√69=8√6π729．故答案为√26；8√6π729．17.答案：解：(1)∵A=135°，AB=1，AC=√2．∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=1+2−2×1×√2×(−√22)=5，∴BC=√5，∴由正弦定理可得：sinB=AC⋅sinABC =√2×√22√5=√55(2)∵A=135°，B为锐角，∴可得cosB=√1−sin2B=2√55，∵在△ABD中，设BD=x，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2−2AB⋅AD⋅cosB，1=1+x2−2×1×2√55×x，解得：x=4√55，即BD=4√55，∴S△ABD=12AB⋅BD⋅sinB=12×1×4√55×√55=25．解析：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知及余弦定理可求BC，由正弦定理可得sin B的值；(2)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，在△ABD中，设BD=x，由余弦定理可得BD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．18.答案：解：(1)∵4S n=a n2+4n．∴当n=1时，4a1=a12+4，解得a1=2；当n≥2时，4S n−1=a n−12+4n−4，∴4a n=4S n−4S n−1=a n2+4n−(a n−12+4n−4)，化为(a n−2)2−a n−12=0，变为(a n−2+a n−1)(a n−2−a n−1)=0，∴a n+a n−1=2或a n−a n−1=2．∵数列{a n}是单调递增数列，∴当n≥1时，a n≥a1=2，a n+a n−1=2应该舍去，∴a n−a n−1=2．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为2，∴a n=2+2(n−1)=2n，n∈N∗；(2)b n=a n2n =n2n−1，∴数列{b n}的前n项和T n=1+22+322+⋯+n2n−1，1 2T n=12+222+323+⋯+n2n，上面两式相减可得，1 2T n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n，化简可得T n =4−n+22n−1．解析：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由4S n =a n 2+4n ，利用递推关系：当n ≥2时，a n =S n −S n−1，可得：(a n −2)2−a n−12=0，变为(a n −2+a n−1)(a n −2−a n−1)=0，利用数列{a n }是单调递增数列，可得a n −a n−1=2.利用等差数列的通项公式即可得出；(2)求得b n =a n2=n2，再利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出．19.答案：(1)证明：在△BCD 中，EB =ED =EC ，故∠BCD =π2,∠CBE =∠CEB =π3，因为△DAB≌△DCB ，∴△EAB≌△ECB ，从而有∠FED =∠BEC =∠AEB =π3．∴∠FED =∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF =FD. 又PG =GD ，∴FG//PA.又PA ⊥平面ABCD ， 故GF ⊥平面ABCD ，∴GF ⊥AD ，CF ∩EF =F 故AD ⊥平面CFG ． 又AD ⊂平面CFG ，∴平面PAD ⊥平面CGF ． (2)解：以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0, 0, 0),B(2, 0, 0),C(3,√3, 0),D(0, 2√3, 0),P(0, 0, 3)． 故BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1, √3, 0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3, −√3, 3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3, √3, 0)． 设平面BCP 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,y 1,z 1)， 则{1+√3y 1=0−3−√3y 1+3z 1=0解得{y 1=−√33z 1=23.即n 1=(1,−√33,23)． 设平面DCP 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,y 2,z 2)，则{−3+√3y 2=0−3−√3y 2+3z 2=0解得{y 2=√3z 2=2即n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2).从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为 cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=43√9×√8=√24．解析：(1)通过三角形全等证明∠FED =∠FEA ，推出EF ⊥AD ，证明FG//PA.可得GF ⊥AD ，即可证明AD ⊥平面CFG.然后证明平面PAD ⊥平面CGF ．(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，求出平面BCP 的法向量，平面DCP 的法向量利用向量的数量积求解平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．本题考查平面与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：(1)解：设M(x,y)是椭圆上任一点，则N(−x,−y)，∵|NF 2|+|MF 2|=4，∴√(x −c )2+y 2+√(−x −c )2+(−y )2=4， 即√(x −c )2+y 2+√(x +c )2+y 2=4， ∴M(x,y)到点(c,0)，(−c,0)的距离和为4， ∴2a =4，a =2，又∵椭圆C 的离心率是12，∴c =1，b =√3， ∴椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1．(2)(ⅰ)证明：∵直线l ：y =kx +m 与圆x 2+y 2=1相切， ∴圆心(0,0)到直线l 的距离等于半径1，即√1+k 2=1⇒m 2=k 2+1．(ⅰ)解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +m3x 2+4y 2−12=0得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3m 2−12k 23+4k 2，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4m 2−123+4k 2+3m 2−12k 23+4k 2=7m 2−12(k 2+1)3+4k 2，∵m 2=k 2+1，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−5(k 2+1)3+4k2=−54(4k 2+3)+544k 2+3=−(54+544k 2+3)，∴当k 2=0时，OA →·OB →有最小值−53．解析：(1)由|NF 2|+|MF 2|=4，得2a =4，由离心率是12，可得b 、c ，即可得椭圆的标准方程； (2)(ⅰ)由圆心(0,0)到直线l 的距离等于半径1，即√1+k 2=1⇒m 2=k 2+1；(ⅰ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +m3x 2+4y 2−12=0得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3m 2−12k 23+4k 2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4m 2−123+4k 2+3m 2−12k 23+4k 2=7m2−12(k 2+1)3+4k 2，又m 2=k 2+1，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−5(k 2+1)3+4k 2=−54(4k 2+3)+544k 2+3=−(54+544k 2+3)，进而得结果．21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=x 3+x 2−x +1，所以f′(x)=3x 2+2x −1时，令f′(x)=0，解得x =−1，和x =13， 当x ∈(−∞,−1)，x ∈(13,+∞)时，f′(x)>0，函数单调递增， 当x ∈(−1,13)时，f′(x)<0，函数单调递减，所以f(x)在[−2,−1]为增函数，在(−1,13)为增函数，在(13,1]为增函数， f(−2)=−1，f(−1)=2，f(13)=2227，f(1)=2， 所以函数f(x)在区间[−2,1]的值域为[−1,2]．(2)证明：因为x 2−x +1=(x −12)2+34>0， 所以f(x)=0等价于x 3x 2−x+1+a =0．令g(x)=x 3x 2−x+1)+a ， 则g′(x)=x 2[(x−1)2+2](x 2−x+1)2>0．仅当x =0时，g′(x)=0，所以g(x)在R 上是增函数， g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点， ①当a =0时，f(x)=x 3，函数为增函数，f(0)=0;②当a >0时，f(0)=a >0，若x <−1且x <−3a 时，2x 2+x −1=(2x −1)(x +1)>0， 得到x 2−x +1<3x 2，此时f(x)<x 3+3ax 2=x 2(x +3a)<0，故此时函数f(x)只有一个零点； ③当a <0时，f(0)=a <0，得到x 2−x +1<3x 2，此时f(x)>x 3+3ax 2=x 2(x +3a)>0，故此时函数f(x)只有一个零点； 综上，函数f(x)只有一个零点．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，研究函数的零点.属于中档题．(1)首先求导，求出f′(x)=0的x 的值，通过解f′(x)>0，f′(x)<0求得函数的单调区间，判断函数在[−2,1]的单调性，求出极值以及端点值，得到值域； (2)f(x)=0等价于x 3x 2−x+1+a =0，令g(x)=x 3x 2−x+1)+a ， 求导得到g′(x)=x 2[(x−1)2+2](x 2−x+1)2>0，仅当x =0时，g′(x)=0，所以g(x)在R 上是增函数，g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点，然后讨论a =0，a >0，a <0的前提下，利用函数的零点存在定理判断f(x)零点．22.答案：解：(1)已知直线l 的参数方程为{x =12ty =√32t −1(t 为参数)． 转换为直角坐标方程为：√3x −y −1=0． 曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin(π4+θ)， 即，转换为直角坐标方程为：x 2+y 2=2x +2y ， 整理得：(x −1)2+(y −1)2=2，(2)将直线l 的参数方程为{x =12ty =√32t −1(t 为参数)， 代入(x −1)2+(y −1)2=2． 得到：(12t −1)2+(√32t −2)2=2，化简得：t 2−(1+2√3)t +3=0，所以：t 1+t 2=1+2√3，t 1t 2=3>0，(t 1和t 2为A 、B 对应的参数)． 故：|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=1+2√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． (1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程的应用求出结果． 23.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)={3x −4,x ⩾2x,1⩽x <23x +4,x <1，∴f(x)min =f(1)=1， ∴m =1； (Ⅱ)∵b 2a+a ⩾2b ，c 2b +b ⩾2c ，a 2c +c ⩾2a ，∴三式相加得：b 2a+c 2b+a 2c⩾a +b +c =1，等式成立的条件为a =b =c =13；∴b 2a+c 2b+a 2c的最小值为1．解析：本题考查了函数的最值，利用基本不等式求最值，属于中档题．(Ⅰ)由原式，可化为f(x)={3x−4,x⩾2x,1⩽x<23x+4,x<1，得到函数的最值；(Ⅱ)利用基本不等式b2a +a⩾2b，c2b+b⩾2c，a2c+c⩾2a，三式相加，得到结果．。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)4
人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题 【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题 【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题 【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷 【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（ ） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题 【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（ ）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题 【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列 【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长： （2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题 【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页 【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。