高考数学总复习函数的概念与性质

高考数学总复习：函数的概念与性质

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目标认知

考试大纲要求：

1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．

4. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

5. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．

重点：

会求一些简单函数的定义域和值域，理解分段函数及其简单应用，会运用函数图象理解和研究函数的性质。

难点：

分段函数及其简单应用；运用函数图象理解和研究函数的性质．

知识要点梳理

知识点一：函数的概念

1.映射

设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B。

理解：

（1）映射是从集合A到集合B的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应.

（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合.

（3）集合A到集合B的映射f：A→B是一个整体,具有方向性；f：A→B 与f：B→A 一般情况下是不同

的映射.

（4）给定一个集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将

元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a→b,则b叫做a的象,a叫

做b的原象.

（5）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象.

2.函数的定义

（1）传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).

（2）现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合C=｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.

理解：

①集合A、B是两个非空数集；

②f表示对应法则；

③f：A→B为从集合A到集合B的一个映射；

④值域C B。

3.函数的表示

函数关系可用列表法，图象法，解析法来表示.

①解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.

当对应法则可以用解析式表达时，一般用符号y=f(x)表示，此时解析式本身就是从定义域到值域的

对应法则.

②列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实

用的函数.

③图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是

数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.

4.函数的三要素

函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则.

只有两个函数的定义域，值域，对应法则完全相同，它们才是同一函数.

知识点二：函数的性质

1．单调性

（1）定义：

设函数f(x)的定义域为I,区间D I.如果对任意,D,当＜时,都有

(或),则称f(x)是区间D上的增(减)函数.区间D称为f(x)的单调区间.

如果函数f(x)在区间(a,b)上是增函数或是减函数，那么就称f(x)在区间(a,b)上具有单调性，称为单调函数。

理解：

①单调性立足于函数定义域的某一子区间.相对于整个定义域而言,单调性往往是函数的局部性质,而对

于这一区间而言,单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质.因此定义中的,

具有任意性,不

能以特殊值代替.

②函数f(x)在区间D上递增(或递减),与f(x)图像在区间D上部分(从左向右)的上升(或下降)是一样的.

③注意到定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关

系相互贯通:

f(x)在D上为增函数且f()＜f()＜,且,D;

f(x)在D上为减函数且f()＜f()＞,, D.

(2)定义的应用

单调性的定义,是判断,证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为：

①设值定大小:设,为给定区间上任意两个自变量值,且＜;

②作差并变形:作差f()-f(),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形;

③定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.

在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式.

(3)延伸

单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数;

单调性相反的两个函数的复合函数必为减函数.

2、奇偶性

(1)定义:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内

的偶函数.

理解：

(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.

(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:

①考察函数定义域;

②考察f(-x)与f(x)的关系;

③根据定义作出判断.

(Ⅲ)定义中条件的等价转化

①f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)≠0)

②f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) =1 (f(x)≠0)

(2)延伸

(Ⅰ) 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有

f(x)=+ =g(x)+p(x)

其中,g(x)= 为偶函数,p(x)= 为奇函数.

即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

(Ⅱ)若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0.

(3)奇(偶)函数图像的特征

(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称;

(Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称.

(4)奇偶性与单调性的联系

当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:

设G,G＇为函数ｆ（ｘ）的定义域的子区间，并且区间Ｇ与Ｇ＇关于原点对称，则有(Ⅰ)当ｆ（ｘ）为奇函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相同；

(Ⅱ)当ｆ（ｘ）为偶函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相反．

这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反．

3.周期性

定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，称y=f(x)为周期函数，T为周期函数f(x)的周期。

由定义可以得到：

①作为周期函数的定义域应是“无界”的，如(-∞,+∞)，或至少有一端是“无界”的，

如：[0, +∞)，或(-∞,0]。这是因为定义中的等式f(x+T)=f(x)，其中x是对于定义域

D中的每一个

x都有x+T D，则区间D一定是“无界”的才能得保证在T≠0时x+T D。例如y=sinx, 当x R或x

[0,+∞)或x(-∞,0]时都是周期函数，而当x[0,10p]或x[0,100p]等都不能构成周期函数。

②若函数y=f(x)是周期函数且有一个周期为T(T≠0)，则T的非零整数倍即nT(n Z, n ≠0)都是f(x)的周

期。

规律方法指导

1、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

（1）是整式时，定义域是全体实数。

（2）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。

（3）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。

（4）对数函数的真数大于零；当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。

（5）中，；中，。

（6）零指数幂的底数不能为零。

（7）若是有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是

各基本初等函数的

定义域的交集。

（8）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数

的定义域应由不等式解出。

（9）对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。

（10）由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。

2．求函数值域主要有以下一些方法：

（1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可通过观察法求得值

域。

（2）二次函数可用配方法求值域。

（3）分子、分母是一次函数的有理函数，可用反函数法求得值域，或用分离常数法。

（4）单调函数可根据函数的单调性求得值域。

（5）函数图象是函数的重要性质，利用数形结合的方法，根据图象求得函数值域。

（6）有的函数可拆配成重要不等式的形式，利用重要不等式求值域。

（7）解析法：将某些式子根据其几何意义，运用解析几何知识求值域（或最值）。

（8）运用导数求值域。

（9）无理函数可用换元法，尤其是三角代换求得值域。

（10）分子、分母中含有二次项的有现函数，可用判别式法。

在此必须注意，在利用配方法、重要不等式、判别式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时需注明等号成立的条件。