2014高三上期中数学文(含解析)

一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项）
1．已知集合122A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭
<，{}
2
1B x x =≤则A B =U （ ）．
A ．{}2x x <
B ．112x x ⎧⎫
-≤⎨⎬⎩⎭
< C ．{}12x x -≤< D ．{}12x x ≤<
2．在等比数列{}n a 中，0n a >，若19616,8a a a ==，则7a 的值为（ ）．
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
3．已知命题:,p x ∃∈R
使sin x =
；命题:,q x ∀∈R 都有210x x ++>给出下列结论： ①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ）．
A ．②④
B ．②③
C ． ③④
D ．①②③
4．如图，一个空间几何体的三视图为全等的的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）．
A ．83
B ． 4
3 C ．
4 D ．2
5．右图是函数sin()()y A ωx φx =+∈R 在区间π5π,66⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将sin y x
=()x ∈R 的图象上所有的点（ ）．
A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变 B ．向左平移π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变 D ．向左平移
π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 俯视图侧视图
正视图
6．已知定义在R 上的函数()f x 为偶函数，当(,0]-∞上是减函数，并且有()20f =，则使得()0f x >的x 的
取值范围是（ ）．
A ．(),2-∞
B ．()2,2-
C ．()2,+∞
D ．()(),22,-∞-+∞U
7．设()32:21p f x x x mx =+++在R 上单调递增，4
:3
q m ≥
，则p q 是的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8． 已知()()
()1010lg 0
x
x f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩
≤，()sin g x x =，则函数()()()F x f x g x =-在区间[]4π,4π-上的零点个数为
（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在相应的横线上）． 9．曲线322y x x =-+在1x =处的切线方程为_________________．
10．已知α为锐角，且π
tan()2,4
α+=则tan α=____________，22sin cos cos ααα+=____________．
11．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若51025
0,4
S S ==-
，则公差的值是___________． 12．在ABC △中，若π
5,,tan 2,4
b B A =∠==则sin A =___________，a =___________．
13．已知()()()222123x x x x f x x ⎧->⎪
=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭
⎩，则不等式()3f x ≤的解集是___________．
14．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使得()f x M x ≤对于一切实数x 均成立，
则称()f x 为有界泛函数，给出下列函数
x
①()5f x x =-， ②()2
sin f x x =， ③()12x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， ④()cos f x x x =
其中属于有界泛函的有___________．（填上所有正确的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共80分，写出必要的解答过程） 15．（本小题满分13分）
已知函数()21
2cos 1,2
f x x x x =
++∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若[0,]2
π
x ∈，求()f x 的最大值和最小值；
（Ⅲ）求()f x 的单调增区间．
如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，,,E F P 分别为AB AC BC ，，上的点，且满足1AE FC CP ===，
将AEF ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ∆，连接1A B ，1A P （如图2）． （Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：//PQ 平面1A EF ； （Ⅱ）求证：1A E EP ⊥
图2
图1
B
C
A
A 1
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,a =点()1,n n S S +在直线*1
1()n y x n n n
+=
++∈N 上．数列{}n b 满足2n a n n b a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ． （Ⅰ）证明：数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（Ⅱ）求n T ．
已知函数()ln f x ax x =-，其中a ∈R ．
（Ⅰ）若)(x f 在1x =处有极值，求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间(]0,e 上的最小值是3，求a 的值．
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F ．
（I ）求椭圆C 的方程； （II ）设直线5
:2
l y kx =-
与椭圆C 交于,A B 两点，若点,A B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．
已知集合{}*1,2,3,,()M n n =∈N L ，若集合{}*
12,,,,()m A a a a M m =⊆∈N L ，且对任意的b M ∈，存在
(),1i j a a A i j m ∈≤≤≤，使得12i j b λa λa =+（其中{}12,1,0,1λλ∈-），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．
（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由： ①{}{}1,5,1,2,3,4,5A M ==； ②{}{}2,3,1,2,3,4,5,6A M ==．
（Ⅱ）若集合A 为集合M 的一个m 元基底，证明(1)m m n +≥；
（Ⅲ）若集合A 为集合{}1,2,3,,19M =L 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．。