等差数列(巧妙求和)
等差数列求和巧妙计算公式
等差数列求和巧妙计算公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，例如1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，公差为2。
在数学中，等差数列是非常常见的一种数列，我们经常需要对等差数列进行求和操作。
在本文中，我们将介绍一种巧妙的等差数列求和计算公式，帮助大家更加高效地进行等差数列求和运算。
首先，我们来回顾一下等差数列的定义和求和公式。
对于一个等差数列，其通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
而等差数列的求和公式为Sn = n/2 (a1 + an)，其中Sn表示前n项的和。
在实际应用中，我们经常需要对大量的等差数列进行求和操作，传统的求和方法需要逐项相加，效率较低。
因此，我们需要一种更加巧妙的计算公式来简化等差数列的求和过程。
下面，我们将介绍一种巧妙的等差数列求和计算公式，该公式可以帮助我们更加高效地进行等差数列求和运算。
巧妙的等差数列求和计算公式如下：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (2a1 + (n-1)d)。
这个公式的推导过程如下：首先，我们知道等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
将an代入等差数列的求和公式Sn = n/2(a1 + an)中，得到：Sn = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 (2a1 + (n-1)d)。
这个公式可以帮助我们更加高效地进行等差数列的求和运算。
通过这个公式，我们可以直接计算出等差数列前n项的和，而不需要逐项相加，大大提高了求和的效率。
接下来，我们通过一个例子来演示如何使用这个巧妙的等差数列求和计算公式。
例，求等差数列1, 3, 5, 7, 9前10项的和。
首先，我们可以通过传统的方法逐项相加来求解这个问题，但这样的方法效率较低。
现在，我们将使用巧妙的等差数列求和计算公式来解决这个问题。
等差数列求和公式和方法
构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。 an=n(-1)^(n+1) 二、等差数列判定及性质 1、等差数列的判定 (1)a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。 (2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。 (3)a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。 (4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。 2、特殊性质 在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和;特别的，若项数为奇数，还等于中间项 的2倍, 即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中 例：数列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离 相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。 数列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若项数为奇数，和 等于中间项的2倍，另见，等差中项。
证明： 当n=1时，有： 1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5 假设命题在n=k时成立，于是： 1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 则当n=k+1时有： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证 7、并项求和法 (常采用先试探后求和的方法) 例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n 方法一：(并项) 求出奇数项和偶数项的和，再相减。
等差数列求和方法总结
等差数列求和方法总结等差数列求和方法总结求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
下面是小编整理的相关内容，欢迎阅读参考！一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an ①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
四.用错位相减法求数列的.前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
五.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
等差数列求和公式及答题技巧
等差数列求和公式及答题技巧1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3.如果等差数列中有奇数项，其和等于中项乘以项数；如果有偶数项，其和等于中间两项之和乘以项数的一半，即为项之和。
4、公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
等差数列求和解题技巧一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
四年级奥数第8讲：巧妙求和-教案
（四年级）备课教员：* * *第八讲巧妙求和一、教学目标：知识目标1.认识等差数列及各个相关名称。
2.利用规律来简便求出等差数列的项数。
能力目标根据实际情况会判断所求的总和是否是求等差数列的总和。
情感目标善于发现善思考，提高计算能力。
培养良好的审题习惯和思维习惯。
二、教学重点：利用规律来简便求出等差数列的项数。
三、教学难点：理解等差数列的意义，知道等差数列中各部分的名称，掌握求尾项和项数的公式。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：故事引入，提高学生学习兴趣。
】师：今年上课前，老师要给大家讲一个数学家高斯的故事。
高斯7岁那年开始上学。
10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。
数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。
一天，老师布置了一道题，1+2+3……这样从1一直加到100等于多少。
高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。
”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=101……1加到100有50组这样的数，所以50×101=5050。
布特纳对他刮目相看。
他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。
”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。
他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。
师：听了故事后，你有什么感想？生：学生回答。
师：高斯是利用什么方法去求1至100这100个数的和？生：分组的方法。
师：是的，就是把头尾两两分组。
为什么要这样分组呢？生：因为这样分组后，每组的和都是一样的。
师：这位同学讲的太棒了！是的，这样分组，刚好每组的两个数的和是一样的。
这也是我们在计算中一种重要的方法，也就是分组法。
接下来我们就要用这种方法去解答我们数学问题。
等差数列求和公式和方法
等差数列求和公式和方法等差数列求和公式和方法等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
一、等差数列求和公式1、公式法2、错位相减法3、求和公式4、分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.5、裂项相消法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。
注意：余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
6、数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n取第一个值时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n的第一个值，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明：当n=1时，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证7、并项求和法(常采用先试探后求和的方法)例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n方法一：(并项)求出奇数项和偶数项的和，再相减。
等差数列求和方法总结
等差数列求和方法总结等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。
在数学中，求等差数列的和是一个很常见的问题，有多种方法可以解决。
本文将总结等差数列求和的几种常用方法。
1.列求和法：等差数列求和最直观的方法是列出每一项，然后将所有项相加得到结果。
假设等差数列的首项为a，公差为d，一共有n项。
那么数列中的每一项可以表示为：a，a+d，a+2d，...，a+(n-1)d。
将所有项相加得到的和为：S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]将等式两边的等差数列相加，可以得到：2S=(2a+(n-1)d)+(2a+(n-1)d)+...+(2a+(n-1)d)因此，等差数列的和可以表示为：S=(n/2)*(2a+(n-1)d)这就是等差数列求和的列求和法。
2.数学归纳法：另一种常用的求和方法是数学归纳法。
假设等差数列的首项为a，公差为d，一共有n项。
使用数学归纳法，可以得到等差数列的和。
首先，计算等差数列的首项和尾项之和：S=a+(a+(n-1)d)=2a+(n-1)d然后，将等差数列的和与首尾项之和的乘积相加，可以得到等差数列的和：S=(a+(a+(n-1)d))*(n/2)=(2a+(n-1)d)*(n/2)这就是等差数列求和的数学归纳法。
3.倒序求和法：另一种求解等差数列和的方法是倒序求和法。
倒序求和法的思路是将等差数列的求和问题转化为逆序等差数列求和的问题。
假设等差数列的首项为a，公差为d，一共有n项。
将等差数列倒序，可以得到逆序等差数列。
逆序等差数列的首项为a+(n-1)d，公差为-d，一共有n项。
使用列求和法，可以得到逆序等差数列的和为：Sn=a+(a-d)+(a-2d)+...+[a-(n-1)d]将等式两边的等差数列相加2Sn=(2a-(n-1)d)+(2a-(n-1)d)+...+(2a-(n-1)d)因此，逆序等差数列的和可以表示为：Sn=(n/2)*(2a-(n-1)d)倒序求和法的思路很巧妙，可以减少计算的复杂度。
第11讲-巧妙求和(教)(教案教学设计导学案)
中间一层本数：6005=120（本）
最上面一层：12-102=100（本）
最下面一层：120+12=140（本
8、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？
【解析】题中要求办不到。
9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？
【考点】等差数列的基本认识
【解析】把数列列出来：
答案：
例4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．
【考点】等差数列公式的简单运用
【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数
的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．
③1，2，4，8，16，32，64；
④9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
【考点】等差数列的基本认识
【解析】①是，公差d=4.
②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.
③不是，因为4-2≠2-1.
④是，公差d=l.
【考点】找规律计算
【解析】找规律3，3+6，3+6+9…,N=5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45
答案：
例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。
4年级奥数题
4年级奥数巧妙求和（一）1.通相公式；第n 项=首相+（项数---1）X 公差2.项数公式；项数=（末项--首项）÷公差+ 13.求和公式；总和=（首项+末项）X 项数÷2例题1 等差数列 4 ，10,16,22，。
52共有多少项？举一反三1.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.已知一个等差数列2,5,8,11.。
101，共有多少项？3.已知一个等差数列的首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？例题2 已知等差数列3,7,11,15.。
，则该等差数列的第100项是多少？举一反三1.一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2.已知等差数列1,4,7,10.。
则该等差数列的第30项是多少？3.已知等差数列2,6,10,14.。
，则该等差数列的第100项是多少？王牌例题3 有这样一个数列1,2,3,4，。
99,100，请你求出这列数的各项相加的和。
举一反三3计算下面习题1.1+2+3+4+。
+49+50 2 6+7+8+9+。
+753 100+99+98+。
+61+604 10+11+12+13+...+56王牌例题4 求等差数列2,4,6.。
48,50举一反三4 计算下面习题1. 2+6+10+14+18+222. 5+10+15+20+。
+195+2003. 9+18+27+36+。
+261+270王牌例题5 如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？举一反三51，如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2.如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么他的第12项是多少？3.如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？。
四奥数举一反三-巧妙求和(一)
3、100+99+98+……+61+60
【例题4】
求等差数列2、4、6、……、48、50的和。
举一反三4
1、2+6+10+14+18+22
2、5+10+15+20+……+195+200
3、9+18+27+36+……+261+270
【例题5】
如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33， 那么它的第8项是多少？
2、等差数列2、5、8、111，末项是101， 总和是504，这个数列共有多少项？
【例题2】
已知等差数列3、7、11、15、……，则该等差 数列的第100项是多少？
举一反三2
1、一个等差数列的首项=3，公差=2，项数 =10，则它的末项是多少？
2、已知等差数列1、4、7、10……，则该等 差数列的第30项是多少？
3、已知等差数列2、6、10、14、……则该等差数 列的第100项是多少？
【例题3】
有这样的一个数列1、2、3、4、……、99、100，请你 求出这列数各项相加的和。
举一反三3
1、1+2+3+4+……+49+50
2、6+7+8+9+……+75
举一反三5
1、如果一个等差数列的第5项是19，第8项是 61，那么它的第11项是多少？
2、如果一个等差数列的第3项是10，第7项 是26，那么它的第12项是多少？
3、如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18， 那么它的第110项是多少？
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等差数列（巧妙求和）
若干个数排成一列，称为数列
．．。
数列中的每一个数称
为一项．，其中第一项称为首项
．．，最后一项称为末项
．．。
数列
中数的个数称为项数
．．。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
通项公式：第n项=首项＋（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
求和公式：总和=（首项＋末项）÷项数÷2
1.有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列共有
多少项？
2.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。
这个等差
数列共有多少项？
3.有一个等差数列：2、5、8、11……101，这个等差数
列共有多少项？
4.已知等差数列11、21、26……1001，问这个数列共
有多少项？
5.有一等差数列：3、7、11、15……这个等差数列的第
100项是多少？
6.等差数列中，首项=3，公差=2，项数=10。
它的末项
是多少？
7.求等差数列1、4、7、10……这个等差数列的第30
项？
8.求等差数列2、6、10、14……这个等差数列的第100
项？9.有这样的一列数，1、2、3、4……99、100。
请你求
出这列数各项相加的和。
10.计算下面各题
（1）、1+2+3+4+……+49+50
（2）、4+5+6+7+8+9+……+73+74
（3）、100+99+98+……+61+60
11.求等差数列2、4、6……48、50的和。
12.计算下面各题
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+……+95+100
（3）9+18+29+36+……+261+270
13.※※计算（2+4+6+......+100）－（1+3+5+ (99)
14.※※用简便方法计算下面各题。
（1）（2+4+6+......+200）－（1+3+5+ (199)
（2）1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+58+59－60
内容：巧妙求和(中间数×项数)
①、21+22+23+24+25+26+27+28+29=（）
②、197+198+199+200+201+202+203=（）
③、76+77+78+79+80+81+82+83+84=（）
④、14+16+18+20+22+24+26=（）
⑤、45+50+55+60+65+70+75=（）
⑥、1+2+3+4+……+97+98+99=（）。