高考数学二轮复习三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练规范练6理

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2019高考数学二轮复习三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练规范练5 理

规范练(五)(时间：45分钟满分：46分)1．(12分)若数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0且2S n ＝a 2n ＋a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n >0(n ∈N *)，令b n ＝1a na n ＋，求数列{b n }的前n 项和T n .[规范解答及评分标准] (1)∵a 1>0,2S n ＝a 2n ＋a n ，∴当n ＝1时，2S 1＝a 21＋a 1，则a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2n ＋a n 2－a 2n －1＋a n －12，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∴a n ＝－a n －1或a n ＝a n －1＋1， ∴a n ＝(－1)n －1或a n ＝n .(6分)(2)∵a n >0，∴a n ＝n ，b n ＝1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋3n ＋n ＋.(12分)2．(12分)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA ＝FC ，且∠DAB ＝∠DBF ＝60°.(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．[规范解答及评分标准] (1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO . ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，且O 为AC 的中点． ∵FA ＝FC ，∴AC ⊥FO .又FO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面BDEF .(5分) (2)如图，设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，DF . ∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°， ∴△DBF 为等边三角形． ∵O 为BD 的中点，∴FO ⊥BD .又AC ⊥FO ，AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD . 则OA ，OB ，OF 两两互相垂直．以O 为原点，分别以OA ，OB ，OF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O —xyz ，如图所示．(7分)设AB ＝2.∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，∴BD ＝2，AC ＝2 3. ∵△DBF 为等边三角形，∴OF ＝ 3.∴A (3，0,0)，B (0,1,0)，D (0，－1,0)，F (0,0，3)，∴AD →＝(－3，－1,0)，AF →＝(－3，0，3)，AB →＝(－3，1,0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AF →·n ＝－3x ＋3z ＝0，AB →·n ＝－3x ＋y ＝0.取x ＝1，得平面ABF 的一个法向量为n ＝(1，3，1)．设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，(10分) 则sin θ＝|cos 〈AD →，n 〉|＝|AD →·n ||AD →|·|n |＝155.即直线AB 与平面ABF 所成角的正弦值为155.(12分) 3．(12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：K 2＝n ad a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .[规范解答及评分标准] (1)补充完整表格如下表：(2分)(2)因为K 2＝－255×45×60×40≈8.25>6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(6分)(3)由(1)知，爱好该项运动的男、女生比例为40∶20＝2∶1，所以，按性别分层抽样，抽取的6人中包括男生4名，女生2名，记选出3人中的女大学生人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.所以X 的分布列为(10分)所以E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(12分)选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分． 4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求直线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值． [规范解答及评分标准] (1)∵直线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t ，∴直线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.(2分) ∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0.∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0， ∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(4分) (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2，得t 2－22t ＋2－8a ＝0.∴Δ＝(22)2－4(2－8a )>0，解得a >0. ∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2－8a .(6分)根据参数方程的几何意义可知|PA |＝|t 1|，PB ＝|t 2|，由|PA |＝2|PB |得t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝22，t 1·t 2＝2t 22＝2－8a ，解得a ＝136>0，符合题意；(8分)当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝22，t 1·t 2＝－2t 22＝2－8a ，解得a ＝94>0，符合题意．综上所述，a ＝136或a ＝94.(10分)5．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[规范解答及评分标准] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，(1分) 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，(2分)解得12≤x <2或0<x <12或∅.故不等式的解集为{x |0<x <2}．(5分)(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.(10分)。

2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题六函..

专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质［全国卷3年考情分析］年份全国卷I全国卷II全国卷HI2019函数图象的识别叮5函数解析式、函数图象与性质的综合问题・T12函数图象的识别顼7函数的奇偶性・T14函数的奇偶性与单调性的综合问题・Tii2018函数图象的识别叮3函数图象的识别叮7抽象函数的奇偶性及周期性2017利用函数的单调性、奇偶性解不等式叮5分段函数、解不等式叮15(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5〜10或第13〜15题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.考点一函数的概念及其表示［大稳定——常规角度考双基］1.［求函数的定义域］函数j=log2(2x-4)+^的定义域是()A.(2,3)B.(2,+8)C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+8)［2x—4>0,1解析：选D由题意得<解得x>2且x#=3,所以函数y=log2(2x—4)+x—37^0,x—j 的定义域为(2,3)U(3,+8).故选D.|10g3X,X>0,2.［分段函数求函数值］已知/•(*)=,,(0<a<l), 5./(-2)=5,/(-1)=3,a x+b, xWO则航一3))=()A.—2B.2C.3D.-3解析：选B由题意得，J[—2)=a~2+b=5,①犬一1)=「+方=3,②联立①②，结合OVaVl,得b=l,(10g3X,X>0,<1Y,,侦)+1,xWO,则犬一3)=(J)+1=9,AA—3))=/(9)=log39=2.故选B.2~x xW03.[分段函数解不等式](2018・全国卷I)设函数为)={'''则满足/(x+l)</(2x)1,x>0,的X的取值范围是()A.(一8,-1]B.(0,+°°)C.(-1,0)D.(—8,0)―x+lWO,解析：选D法一：①当，，人即xW—1时，[2xW0,f(x+l)<f(2x),即为2~(x+1,<2~2x,即一(x+l)<—2x,解得x<l.因此不等式的解集为(一8,-1],[x+lWO,②当时，不等式组无解.[2x>0x+l>0,③当f/即一1<x W0时，.2xW0,f(x+l)<f(2x),即为l<2~2x,解得x<0.因此不等式的解集为(一1,0).x+l>0,④当即x>OBt,f(x+l)=l,f(2x)=l,不合题意.2x>0,综上，不等式f(x+l)<f(2x)的解集为(一8,0).故选D.法二：5)='2~x,xWO, 1,x>0,/.函数的图象如图所示.结合图象知，要使f(x+l)<f(2x)9x+l<0, f［x+lNO,则需\ 2x<0, 或， Ax<0.故选D・［2x<0,、2xvx+14 .［分段函数求参数值或范围］已知函数处)=(1—2a) x+3〃，x<l,一的值域为R,则实数0的取值范围是解析：当xNl 时，处)=2广21,(1—2«) x+3a, x<l,・.•函数f(x)=\ < 的值域为R,2X , xNll —2a>0,..•当xvl 时，y=(l —2g )x +30必须取遍(一8, 1］内的所有实数，贝吨 , 、解l —2a+3a^l,得 OWqVj.答案：［o, 3［解题方略］1. 函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.2. 分段函数问题的5种常见类型及解题策略［小创新——变换角度考迁移］求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解x, 0<x<l,0, x=l,——,x>l.(2 (1—x) ， OWxWL1. ［概念型新定义函数问题］已知函数f(x)=j 如果对任意的nex —1, 1V x W2,' V 'N*,定义为(x)= 〃个 (x)］｝,那么夭020(2)的值为()A. 0B.1C. 2D.3解析：选 B V/1(2)=/(2) = l, f 2(2)=fil) = 0, f 3(2)=f(0)=2, ,'.f…(2)的值具有周期性,且周期为3, ..捱02。

高三数学二轮复习指导

高三数学二轮复习指导高三数学二轮复习指导一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率要做到两先两后，即先预习后听课，先复习后作业。

以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。

而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。

预习还可以培养自己的自学能力。

二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。

现在学生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。

查漏补缺的过程就是反思的过程。

除了把不同的问题弄懂以外，还要学会举一反三，及时归纳。

每次订正试卷或作业时，在做错的.试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类：1、找不到解题着手点。

2、概念不清、似懂非懂。

3、概念或原理的应用有问题。

4、知识点之间的迁移和综合有问题。

5、情景设计看不懂。

6、不熟练，时间不够。

7、粗心，或算错。

三、强化定时训练，及时反馈矫学好数学要做大量的题，但反过来做了大量的题，数学不一定好，因此要提高解题的效率，做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。

如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的定式训练是必要的。

1、要有针对性地做题，典型的题目，应该规范地完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题，但一定要做到定时定量;2、要循序渐进，由易到难，要对做过了典型题目有一定的体会和变通，即按学、练、思、结程序对待典型的问题，这样做能起到事半功倍的效果。

3、是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧。

高考理科数学二轮分层特训卷：方法技巧专练(六)

专练(六)技法16 分类讨论思想1．已知a >0，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0 答案：D解析：∵a >0，b >0，且a ≠1，b ≠1， ∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1， ∴(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1， ∴(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. 2．[2019·武昌调研]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或3 答案：C解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3.3．[2019·福建泉州新世纪中学质检]若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1 B.13C.113 D ．－1或13 答案：B解析：根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，m －1<0，解得m <1，此时渐近线方程为y ＝±1－m 3－mx ，由题意得，1－m 3－m＝12，解得m ＝13； ②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m <0，m －1>0，解得m >3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ，由题意得，m －1m －3＝12，无解．综上可知m ＝13.故选B.4．[2019·湖北武汉调研]已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113答案：D解析：先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z＝x ＋ay 的最大值只需直线的截距最大，当a >0时，－1a<0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； ②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去．当a <0时，－1a >0，③若0<－1a<1，即a <－1，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a>1，即－1<a <0，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.5．[2019·江西师范附属中学模拟]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <22x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：A解析：①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2； ②当2－a <2即a >0时，－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去．所以f (a )＝－2.故选A. 6．[2019·安徽阜阳二模]等比数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝2，a 3＋a 6＋a 9＝18，则{a n }的前9项和S 9＝________.答案：14或26解析：由题意得q 2＝a 3＋a 6＋a 9a 1＋a 4＋a 7＝9，q ＝±3，①当q ＝3时，a 2＋a 5＋a 8＝3(a 1＋a 4＋a 7)＝6，S 9＝2＋6＋18＝26； ②当q ＝－3时，a 2＋a 5＋a 8＝－3(a 1＋a 4＋a 7)＝－6，S 9＝2－6＋18＝14.所以S 9＝14或26. 7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，则曲线Γ的离心率等于________．答案：32或12解析：设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝43c ，且|PF 1|>|PF 2|.若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝12；若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝32.故曲线Γ的离心率等于32或12.8．[2019·辽宁沈阳期末]f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )＝f (－x )，且x ≥0时，f (x )＝x 3，若对任意的x ∈[2t －1，2t ＋3]，不等式f (3x －t )≥8f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)∪{0}解析：f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝x 3，在x >0上为单调增函数， f (3x －t )≥8f (x )＝8x 3＝f (2x )， |3x －t |≥|2x |，所以(3x －t )2≥(2x )2，化简得5x 2－6xt ＋t 2≥0.(*) ①当t ＝0时显然成立；②当t >0时，(*)式解为x ≤t5或x ≥t ，对任意x ∈[2t －1，2t ＋3]，(*)式恒成立，则需t ≤2t－1，或t ≥1；③当t <0时，(*)式解为x ≤t 或t ≥t5，对任意x ∈[2t －1，2t ＋3]，(*)式恒成立，则需2t ＋3≤t ，故t ≤－3. 综上所述，t ≤－3或t ≥1或t ＝0.9．[2019·湖南师大附中3月月考]设函数f (x )＝x 22－a ln x －12，a ∈R .(1)若函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax，其中x ∈[1，e]．①当a ≤1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在[1，e]上单调递增，又f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意． ②当a ≥e 2时，f ′(x )≤0恒成立，f (x )在[1，e]上单调递减，又f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意． ③当1<a <e 2时，若1≤x <a ，则f ′(x )<0，f (x )在[1，a )上单调递减，又f (1)＝0，所以f (a )<f (1)＝0，所以函数f (x )在区间[1，a )上有唯一的零点，若a <x ≤e ，则f ′(x )>0，f (x )在(a ，e]上单调递增，要使函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，只需f (e)<0，即e 22－a －12<0，解得e 2>a >e 2－12.综上，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a |a ≤1或a >e 2－12. (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－a ln x 0＋ax 0<0在[1，e]上有解，即函数g (x )＝x ＋1x －a ln x ＋ax在[1，e]上的最小值小于零．g ′(x )＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝(x ＋1)(x －a －1)x 2，x ∈[1，e]．①当a ＋1≥e ，即a ≥e －1时，g (x )在[1，e]上单调递减，所以g (x )的最小值为g (e)，由g (e)＝e ＋1＋a e －a <0可得a >e 2＋1e －1，因为e 2＋1e －1>e －1，所以a >e 2＋1e －1.②当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )在[1，e]上单调递增，所以g (x )的最小值为g (1)，由g (1)＝1＋1＋a <0可得a <－2.③当1<a ＋1<e 时，即0<a <e －1时，g (x )在[1，a ＋1)上单调递减，在 (a ＋1，e]上单调递增，可得g (x )的最小值为g (a ＋1)，因为0<ln(a ＋1)<1，所以0<a ln(a ＋1)<a ，从而g (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1－a ln(a ＋1)＋aa ＋1＝a ＋2－a ln(a ＋1)>2，所以g (a ＋1)<0不成立，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. 10．[2018·全国卷Ⅰ，20]设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解析：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2，2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为kBM ＋kBN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0.所以kBM ＋kBN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .。

(四川专版)高考数学二轮复习考前回归知识必备练习理-人教版高三全册数学试题

考前回归知识必备*1 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体.,x A x A∈∉。

元素特点：互异性、无序性、确定性。

关系子集x A x B A B∈⇒∈⇔⊆。

A∅⊆；,A B B C A C⊆⊆⇒⊆n个元素集合子集数2n。

真子集00,,x A x B x B x A A B∈⇒∈∃∈∉⇔⊂相等,A B B A A B⊆⊆⇔=运算交集{}|,x xB x BA A∈∈=且()()()U U UC A B C A C B=()()()U U UC A B C A C B=()U UC C A A=并集{}|,x xB x BA A∈∈=或补集{}|Ux x UC A x A∈=∉且常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。

四种命题原命题：若p，则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。

互为逆否的命题等价。

逆命题：若q，则p否命题：若p⌝，则q⌝逆否命题：若q⌝，则p⌝充要条件充分条件p q⇒，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p q⇒等价于A B⊆，p q⇔等价于A B=。

必要条件p q⇒，q是p的必要条件充要条件p q⇔，,p q互为充要条件逻辑连接词或命题p q∨，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为假。

类比集合的并且命题p q∧，,p q均为真时才为真，,p q有一为假即为假。

类比集合的交非命题p⌝和p为一真一假两个互为对立的命题。

类比集合的补量词全称量词∀，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。

存在量词∃，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。

向量OZ向量OZ的模叫做复数的模，向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。

0向量0与任一非零向量共线】方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

,a b 的夹角记为,a b >。

高考数学二轮复习三大题分层规范特训一基础得分天天练规范练1理201812152226

规范练(一)(时间：45分钟满分：46分)(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度．得到函数g (x )＝33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－33cos2x 的图象，即g (x )＝－33cos2x ，(8分) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时， 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，可得cos2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，(10分)所以－33cos2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36.(12分) 2．(12分)如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA ＝PD ，∠APD ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PCD ；(2)求二面角A —PB —C 的余弦值．[规范解答及评分标准] (1)证明：∵底面ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面PAD .(2分)又∵AP ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AP .∵PD ⊥AP ，CD ∩PD ＝D ，∴AP ⊥平面PCD .(4分)∵AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD .(6分)(2)如图，取AD 的中点O ，BC 的中点Q ，连接PO ，OQ ，则OQ ⊥AD .∵PA ＝PD ，∴PO ⊥AD ，∴PO ⊥底面ABCD .以O 为原点，分别以OA →，OQ →，OP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．不妨设正方形的边长为2，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (－1,2,0)，P (0,0,1)，∴PA →＝(1,0，－1)，PB →＝(1,2，－1)，PC →＝(－1,2，－1)．设平面APB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PA →＝0，n 1·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝0，z 1＝1， ∴平面APB 的一个法向量为n 1＝(1,0,1)．(8分)设平面BCP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·PC →＝0，n 2·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2y 2－z 2＝0，x 2＋2y 2－z 2＝0，取y 2＝1，则x 2＝0，z 2＝2，∴平面BCP 的一个法向量为n 2＝(0,1,2)．(10分)∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝22×5＝－105. 由图知所求二面角的平面角为钝角，故二面角A —PB —C 的余弦值为－105.(12分) 3．(12分)有一个类似计步数据库的公众账号，用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取某人朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：规定：人一天行走的步数超过8000时被系统评定为“积极性”，否则被评定为“懈怠性”．(1)以这50人一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评定为“积极性”的人数，求P (X ≤2)和X 的数学期望；(2)为了调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人(男性6人，女性4人)．其中男性中被系统评定为“积极性\”的有4人，“懈怠性\”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性\”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的均有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y .求x >y 的概率．[规范解答及评分标准] (1)被系统评定为“积极性”的概率为3050＝35，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35. 故P (X ≤2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝98125，(4分)X 的数学期望E (X )＝3×35＝95.(6分)(2)“x >y ”包含“x ＝3，y ＝2”，“x ＝3，y ＝1”，“x ＝3，y ＝0”，“x ＝2，y ＝1”，“x ＝2，y ＝0”，“x ＝1，y ＝0”．P (x ＝3，y ＝2)＝C 34C 36×C 22C 24＝130，P (x ＝3，y ＝1)＝C 34C 36×C 12C 12C 24＝215， P (x ＝3，y ＝0)＝C 34C 36×C 02C 22C 24＝130，P (x ＝2，y ＝1)＝C 24C 12C 36×C 12C 12C 24＝25， P (x ＝2，y ＝0)＝C 24C 12C 36×C 02C 22C 24＝110，P (x ＝1，y ＝0)＝C 14C 22C 36×C 02C 22C 24＝130. 所以P (x >y )＝130＋215＋130＋25＋110＋130＝1115.(12分) 选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－23cos θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (0,1)，点Q (3，0)，直线l 过点Q 与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|PM |的值．[规范解答及评分标准] (1)由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为x sin α－y cos α＋cos α＝0.(3分)由ρsin 2θ－23cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－23ρcos θ＝0，则曲线C 的直角坐标方程为y 2＝23x .(5分)(2)易得点P (0,1)在直线l 上，所以tan α＝k PQ ＝0－13－0＝－33，解得α＝5π6.所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32t ，y ＝1＋12t ，(7分) 代入y 2＝23x 中，得t 2＋16t ＋4＝0.(8分)设A ，B ，M 所对应的参数分别为t 1，t 2，t 0，则t 0＝t 1＋t 22＝－8，所以|PM |＝|t 0|＝8.(10分)5．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋3|.(1)解不等式f (x )>6；(2)若关于x 的不等式ax －1≤f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．[规范解答及评分标准] (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，(1分)所以当x <－3时，由f (x )>6，得－2x －1>6，解得x <－72；(2分) 当－3≤x ≤2时，由f (x )>6，得5>6，无解；(3分)当x >2时，由f (x )>6，得2x ＋1>6，解得x >52.(4分) 综上所述，不等式f (x )>6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x <－72或x >52(5分)(2)令g (x )＝ax －1，则g (x )的图象是恒过点(0，－1)的直线．当直线g (x )＝ax －1过点(－3,5)时，得5＝－3a －1，解得a ＝－2；当直线g (x )＝ax －1与直线y ＝2x ＋1平行时，a ＝2.(7分)因为关于x 的不等式ax －1≤f (x )恒成立，所以综合图象可得－2≤a ≤2.(9分)所以实数a 的取值范围为[－2,2]．(10分)精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高三数学二轮复习技巧

高三数学二轮复习技巧高三数学二轮复习技巧有哪些在学习的过程中，查漏补缺，保强攻弱。

同时在高三数学二轮复习中，也是要对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系。

下面小编给大家整理了关于高三数学二轮复习技巧内容，欢迎阅读，内容仅供参考!高三数学二轮复习技巧1、首先，要加强基础知识的回顾与内化。

由于第一轮复习时间比较长，范围也比较广，前面复习过的内容容易遗忘，而临考前的强化训练，对遗忘的基本概念，基本思维方法又不能全部覆盖，这就要求同学们在二轮复习阶段的课后要抽出时间多看课本，回顾基本概念、性质、法则、公式、公理、定理;回顾基本的数学方法与数学思想，回顾疑点，查漏补缺。

2、其次，要紧跟老师的复习思路与步骤。

课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化;认真完成老师布置的习题，同时要重视数学课本中的典型习题。

做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。

不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做对的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。

3、加强数学复习的计划性。

由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。

高三数学二轮应该如何复习一、注意基础知识的整合、巩固。

二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。

浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高数学解题的准确性和速度二、查漏补缺，保强攻弱。

在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。

三、提高数学运算能力，规范解答过程。

在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。

四、强化数学思维，构建知识体系。

高考理科数学二轮复习练习：大题规范练1“17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材) 数学(理)集合、常用逻辑用语、不等式(含解析)

1.集合、常用逻辑用语、不等式考向1 集合的概念及运算1.(2022·全国甲·理3)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x 2-4x+3=0},则∁U (A ∪B )=( ) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}2.(2022·全国乙·理1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M 满足∁U M={1,3},则( )A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M3.(2022·新高考八省第二次T8联考)设集合A={x|log 2(x-1)<2},B={x|x<5},则( )A.A=BB.B ⊆AC.A ⊆BD.A ∩B=⌀ 4.(2022·安徽蚌埠质检三)设集合M={x|x=C 5m ,m ∈N *,m ≤5},则M 的子集个数为( )A.8B.16C.32D.64考向2 充分条件、必要条件与充要条件5.(2022·浙江·4)设x ∈R ,则“sin x=1”是“cos x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2022·河南濮阳一模)“b ≤1”是“函数f (x )={bx +2,x >0,log 2(x +2)+b ,-2<x ≤0是在(-2,+∞)上的单调函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若x ,y ∈R ,则“x<|y|”是“x 2<y 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2022·河南许昌质检)若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,4] B.[1,4] C.(1,4)D.(1,4]考向3 常用逻辑用语9.(2022·河南郑州质检)已知命题p :∃x 0∈R ,3sin x 0+4cos x 0=4√2;命题q :∀x ∈R ,1e |x|≤1.则下列命题中为真命题的是 ( )A.p ∧qB.(¬p )∧qC.p ∨(¬q )D.¬(p ∨q )10.(2022·河南焦作一模)已知命题p :∃x 0∈N *,lg x 0<0,q :∀x ∈R ,cos x ≤1,则下列命题是真命题的是( ) A.p ∧q B.(¬p )∧q C.p ∧(¬q )D.¬(p ∨q )11.(2022·河南洛阳一模)已知命题p :"x ∈R ,x 2+x+1>0;命题q :若a>b ,则1a<1b.下列命题为真命题的是( ) A.(¬p )∨q B.(¬p )∧(¬q ) C.p ∧qD.p ∨q12.若“∃x 0∈12,2,使得2x 02-λx 0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为 .考向4 不等关系及线性规划13.(2022·河南许昌质检)已知a>b>0,且a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.ln(a-b )>0 B.√a +√b >2 C.b a >a bD.1a +1b >414.(2022·河南焦作二模)已知x ,y 满足约束条件{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0,则3x-2y 的最大值为 ( )A.1B.4C.7D.1115.(2022·浙江·3)若实数x ,y 满足约束条件{x -2≥0,2x +y -7≤0,x -y -2≤0,则z=3x+4y 的最大值是( )A.20B.18C.13D.616.(2022·河南濮阳一模)设x ,y 满足约束条件{y ≥2x ,y ≥-x ,y ≤2,则z=y-x 的最大值是 .1.集合、常用逻辑用语、不等式1.D 解析: 由题意知B={1,3},则A ∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U (A ∪B )={-2,0}, 故选D .2.A 解析: ∵U={1,2,3,4,5},∁U M={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M ,3∉M ,4∈M ,5∈M. 故选A .3.C 解析: log 2(x-1)<2⇔0<x-1<4⇔1<x<5,∴A={x|log 2(x-1)<2}={x|1<x<5},即A ⊆B ,故选C .4.A 解析: 因为C 51=C 54,C 52=C 53,所以集合中含有3个元素,则M 的子集个数为23=8,故选A .5.A 解析: 由sin x=1,得x=2k π+π2,k ∈Z ,此时cos x=0;由cos x=0,得x=k π+π2,k ∈Z ,此时sin x=±1,故选A .6.B 解析: 依题意,函数f (x )是在(-2,+∞)上的单调函数, ∵y=log 2(x+2)+b 在(-2,0]上单调递增, ∴f (x )在(-2,+∞)上单调递增, 需b>0且1+b ≤2,即0<b ≤1. 故选B .7.B 解析: 由x<|y|推不出x 2<y 2,如x=-3,y=1;由x 2<y 2得|x|<|y|,又因为x ≤|x|,所以x ≤|x|<|y|,所以x 2<y 2⇒x<|y|. 故选B .8.D 解析: 根据题意,(x-a )2<4⇔-2<x-a<2⇔a-2<x<a+2,不等式的解集为(a-2,a+2); 1+12-x ≤0⇔3-x2-x ≤0⇔(x-3)(x-2)≤0且x ≠2,解得2<x ≤3,不等式的解集为(2,3]; 若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则(2,3]⫋(a-2,a+2);则有{a -2≤2,a +2>3,解得1<a ≤4,即a 的取值范围为(1,4]. 故选D .9.B 解析: ∵3sin x+4cos x=5sin(x+θ)∈[-5,5],tan θ=43,4√2>5,∴命题p 为假命题.∵|x|≥0,∴1e|x|≤1e=1,∴命题q 为真命题,∴p ∧q 为假命题;(¬p )∧q 为真命题;p ∨(¬q )为假命题;¬(p ∨q )为假命题.故选B .10.B 解析: 因为∀x ∈N *,lg x ≥0,所以命题p 为假命题,¬p 为真命题.因为∀x ∈R ,cos x ≤1成立,所以命题q 为真命题,所以(¬p )∧q 为真命题.11.D 解析: 对命题p ,因为x 2+x+1=x+122+34>0恒成立,故命题p 为真命题.对命题q ,当a 为正数,b 为负数时,命题不成立,故命题q 为假命题,故只有选项D 为真命题,故选D .12.(-∞,2√2] 解析: 由题意得,“∀x ∈12,2,2x 2-λx+1≥0”为真命题,即λ≤2x+1x .因为2x+1x≥2√2x ·1x=2√2,当且仅当2x=1x,即x=√22时,等号成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2√2].13.D 解析: ∵a>b>0,且a+b=1,∴12<a<1,0<b<12, ∴0<a-b<1,ln (a-b )<0,故A 错误;∵1>a>b>0,∴√a +√b <1+1=2,故B 错误; 令f (x )=lnxx (0<x<1),则f'(x )=1-lnxx 2>0,故f (x )在(0,1)上单调递增,故lna a>lnb b,即b ln a>a ln b ,即ln a b >ln b a ,∴a b >b a ,故C 错误; ∵a>b>0,∴1a +1b =a+b a +a+b b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,∴1a +1b >4,故D正确.14. D 解析: 不等式组{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立方程组{2x +y +2=0,4x -y -8=0,解得{x =1,y =-4,即B (1,-4),平移直线3x-2y=0至经过点B 时目标函数u=3x-2y 取得最大值,即u max =3×1-2×(-4)=11.15. B 解析: 根据约束条件画出可行域.可知当直线y=-34x+z4过点(2,3)时,z 取到最大值,为18,故选B .16.4 解析: 画出可行域如图所示,化目标函数为斜截式方程y=x+z ,则当直线y=x+z 在y 轴上截距最大时,z 取得最大值,联立{y =2,y =-x , 解得{x =-2,y =2,。

高考数学二轮复习课件高考5个大题题题研诀窍函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”讲义理(含解析)

函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”[思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥]函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题.[典例] 已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x＋2e x ≤0. [快审题] 求什么想什么讨论函数的单调性，想到利用导数判断．证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化．给什么用什么已知函数的解析式，利用导数解题．差什么找什么证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值.[稳解题](1)f ′(x )＝ex－a (x >0)，①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②若a >0，则当0<x <e a 时，f ′(x )>0，当x >ea时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e a ，＋∞上单调递减．(2)证明：法一：因为x >0，所以只需证f (x )≤exx－2e ，当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max＝f (1)＝－e.记g (x )＝exx－2e(x >0)，则g ′(x )＝x －1e xx 2，所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤exx－2e ，即xf (x )－e x＋2e x ≤0. 法二：证xf (x )－e x＋2e x ≤0，即证e x ln x －e x 2－e x＋2e x ≤0，从而等价于ln x －x ＋2≤exe x .设函数g (x )＝ln x －x ＋2，则g ′(x )＝1x－1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1. 设函数h (x )＝e xe x，则h ′(x )＝exx －1e x2. 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1. 综上，当x >0时，g (x )≤h (x )，即xf (x )－e x＋2e x ≤0.[题后悟道] 函数与导数综合问题的关键(1)会求函数的极值点，先利用方程f (x )＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；(2)证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．[针对训练]已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝ax 22，直线l ：y ＝(k －3)x －k ＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行，求实数k 的值； (2)若至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，求实数a 的取值范围； (3)设k ∈Z ，当x >1时，函数f (x )的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值．解：(1)由已知得，f ′(x )＝ln x ＋1，且y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行，所以f ′(e)＝ln e ＋1＝2＝k －3，解得k ＝5.(2)因为至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，所以至少存在一个x 使x ln x <ax 22成立，即至少存在一个x 使a >2ln x x成立．令h (x )＝2ln x x ，当x ∈[1，e]时，h ′(x )＝21－ln xx 2≥0恒成立，因此h (x )＝2ln x x在[1，e]上单调递增.故当x ＝1时，h (x )min ＝0，所以实数a 的取值范围为(0，＋∞)．(3)由已知得，x ln x >(k －3)x －k ＋2在x >1时恒成立，即k <x ln x ＋3x －2x －1.令F (x )＝x ln x ＋3x －2x －1，则F ′(x )＝x －ln x －2x －12.令m (x )＝x －ln x －2，则m ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0在x >1时恒成立.所以m (x )在(1，＋∞)上单调递增，且m (3)＝1－ln 3<0，m (4)＝2－ln 4>0，所以在(1，＋∞)上存在唯一实数x 0(x 0∈(3,4))使m (x 0)＝0，即x 0－ln x 0－2＝0. 当1<x <x 0时，m (x )<0，即F ′(x )<0，当x >x 0时，m (x )>0，即F ′(x )>0，所以F (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．故F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋3x 0－2x 0－1＝x 0x 0－2＋3x 0－2x 0－1＝x 0＋2∈(5,6)．故k <x 0＋2(k ∈Z)，所以k 的最大值为5. [总结升华]函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、可把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．[专题过关检测] 1．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝ln x ＋a x(a ∈R)． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a.解：(1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1. 要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a，即证ln a ＋1a－1≥0.令函数g (a )＝ln a ＋1a－1，则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a2(a >0)，当0<a <1时，g ′(a )<0，当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (a )min ＝g (1)＝0. 所以ln a ＋1a－1≥0恒成立，所以f (x )≥2a －1a.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0. 设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)>0，即a <e24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)<0，即a >e24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e24.3．(2018·西安质检)设函数f (x )＝ln x ＋k x(k ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由条件得f ′(x )＝1x －kx2(x >0)，∵曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，∴f ′(e)＝0，即1e －ke 2＝0，得k ＝e ，∴f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2(x >0)．由f ′(x )<0，得0<x <e ；由f ′(x )>0，得x >e ， ∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，当x ＝e 时，f (x )取得极小值，且f (e)＝ln e ＋ee ＝2.∴f (x )的极小值为2.(2)由题意知对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立，设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋k x－x (x >0)，则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h ′(x )＝1x －kx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14恒成立，∴k ≥14.故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 4．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x . (1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .解：(1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x. 设函数g (x )＝ln(1＋x )－x1＋x ，则g ′(x )＝x1＋x2.当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0，且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0.(2)①若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)，这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． ②若a <0，设函数h (x )＝f x 2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax2.由于当|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2>0，故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点，当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点． h ′(x )＝11＋x－22＋x ＋ax 2－2x 1＋2ax2＋x ＋ax22＝x 2a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1x ＋1ax 2＋x ＋22.若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )>0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1,0)，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )<0，所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3x －24x ＋1x 2－6x －122，则当x ∈(－1,0)时，h ′(x )>0；当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点．综上，a ＝－16.。

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规范练(六)
(时间：45分钟满分：46分)
1．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1010
＝S 5
5
＋5. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若，求数列{b n }的前n 项和T n .
[规范解答及评分标准] (1)解法一：设等差数列{a n }的公差为d .
∵
S 1010
＝S 5
5
＋5，∴10a 1＋a 10
210
－
5a 1＋a 525
＝5，(2分)
∴a 10－a 5＝10，∴5d ＝10，解得d ＝2.(4分) ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5分) 解法二：设等差数列{a n }的公差为d .
∵S 1010＝S 5
5＋5，∴10a 1＋10×92d 10－5a 1＋5×4
2d
5＝5，(2分) ∴5d
2
＝5，解得d ＝2.(4分) ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5分) (2)由(1)知，a n ＝2n ，∴S n ＝
n 2＋2n
2
＝n 2＋n .(6分)
(7分)
∴T n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n ·2n ＋2，①
2T n ＝1×24＋2×25＋3×26＋…＋(n －1)·2n ＋2＋n ·2n ＋3，②(8分) ①－②，得－T n
＝23＋24＋…＋2n ＋2－n ×2n ＋3＝
231－2n
1－2
－n ×2n ＋3＝2n ＋3－8－n
×2n ＋3＝(1－n )2n ＋3－8.(11分)
∴T n ＝(n －1)2n ＋3＋8.(12分)
2．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2AB ，Q 为棱PC 上一点．
(1)若点Q 是PC 的中点，证明：BQ ∥平面PAD ；
(2)PQ →＝λPC →
，试确定λ的值使得二面角Q —BD —P 的大小为60°. [规范解答及评分标准] (1)
证明：如图，取PD 的中点M ，连接AM ，MQ .∵点Q 是PC 的中点，∴MQ ∥CD ，MQ ＝1
2
CD .(1分) 又AB ∥CD ，AB ＝1
2CD ，∴MQ ∥AB ，MQ ＝AB ，∴四边形ABQM 是平行四边形．∴BQ
∥AM .(3分)
又AM ⊂平面PAD ，BQ ⊄平面PAD ，∴BQ ∥平面PAD .(4分)
(2)由AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，
DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)．(5分)
设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝(x 0，y 0，z 0－1)，PC →
＝(0,2，－1)． ∵PQ →＝λPC →
，∴(x 0，y 0，z 0－1)＝λ(0,2，－1)，∴Q (0,2λ，1－λ)．(7分) 又易证BC ⊥平面PBD ，
∴n ＝(－1,1,0)是平面PBD 的一个法向量．(8分) 设平面QBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨
⎧
m ·DB →
＝0，m ·DQ
→
＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，
2λy ＋1－λz ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－y ，
z ＝2λ
λ－1y .
令y ＝1，则m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1，1，2λλ－1.(9分) ∵二面角Q —BD —P 的大小为60°， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |
|m ||n |
＝
2
2·
2＋⎝
⎛⎭⎪⎫2λλ－12＝12
，
解得λ＝3± 6.(11分)
∵点Q 在棱PC 上，∴0≤λ≤1，∴λ＝3－
6.(12分)
3．(12分)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量的结果得到如下的频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P(87.8<Z<112.2)；
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：150≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.
[规范解答及评分标准](1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67.(2分)
所以随机变量ξ的分布列为
ξ90－30
P 0.670.33
(3分)
所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(4分)
(2)①由频率分布直方图知，抽取的产品的该项质量指标值的样本平均数x －
和样本方差
s 2分别为x －
＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130
×0.02＝100.(5分)
s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08
＋302×0.02＝150.(6分)
所以Z ～N (100,150)，
所以P (87.8<Z <112.2)＝P (100－12.2<Z <100＋12.2)＝0.6826.(8分) ②由①知，一件产品的该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的概率为0.6826. 依题意知，X ～B (500,0.6826)，(10分) 所以E (X )＝500×0.6826＝341.3.(12分)
选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝42，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，
y ＝2sin α
(α为参数)．
(1)将曲线C 上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，写出C 1的极坐标方程； (2)射线θ＝π3与C 1，l 的交点分别为M ，N ，射线θ＝2π
3与C 1，l 的交点分别为A ，B ，
求四边形ABNM 的面积．
[规范解答及评分标准] (1)设曲线C 1上的任意一点为(x ，y )，则点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ，y 2在曲线C 上，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，y
2
＝2sin α(α为参数)，
则曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2分) 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4.(4分)
(2)将θ＝π3，θ＝2π
3
分别代入直线的极坐标方程，得
ρN ＝
42sin π
12
，ρB ＝
42
sin 5π12
.(6分) 所以S △OBN ＝1
2ρB ·ρN ·sin π3＝12×42sin 5π12×42sin π12×3
2
＝32
3.(8分)
因为S △OAM ＝12×4×4×sin π
3
＝4
3，
所以S 四边形ABNM ＝S △OBN －S △OAM ＝28 3.(10分)
5．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －1|.
(1)当a ＝0时，求不等式f (x )>x 2＋|x －1|的解集； (2)当x ∈R 时，有f (2x )＋a ≥3成立，求a 的取值范围． [规范解答及评分标准] (1)当a ＝0时，原不等式等价于|x |>x 2，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－x >x 2或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，
x >x 2，解得－1<x <0或0<x <1.
所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．(4分) (2)因为当x ∈R 时，有f (2x )＋a ≥3成立，
所以当x ∈R 时，有|2x ＋a |＋|2x －1|≥3－a 成立．(6分) 又因为|2x ＋a |＋|2x －1|≥|2x ＋a －(2x －1)|＝|a ＋1|，(8分) 所以|1＋a |≥3－a ，解得a ≥1. 故a 的取值范围是[1，＋∞)．(10分)。