一致连续性及其应用论文

一致连续性及其应用 作者：XXX 指导老师：XXX

摘 要 函数的一致连续性是数学分析中最重要，且高度抽象的概念之一，在数学分析和相关专业课

的后继学习与研究中起着十分重要的作用.一致连续性刻画了函数在区间上的整体性质.准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.本文从函数一致连续性的定义出发，对一致连续性的性质、定理进行讨论，并介绍其应用.

关键词 函数 一致连续性 应用

1 引言

弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.因此本文对函数一致连续性的概念、性质以及判定条件进行了深入的分析和总结,目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续,使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识.

2 一次函数的连续性与一致连续性 2.1 定义

定义2.1.1 函数()f x 在某

()0x 内有定义，若对 0ε?>，0δ?>，使得当

0x x δ-<时，有

0()()f x f x ε-<.

那么，函数()f x 在点0x 处连续.

定义2.1.2 函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε?>，()0δδε?=>，,x x I '''?∈，只要x x δ'''-<，就有

()()f x f x ε'''-<,

则称函数()f x 在区间I 上一致连续.

2.2 函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系

（1）函数()f x 在区间I 上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系.函数连续性的δ不仅和ε有关，而且还和点0x 有关，即对于不同的0x ，一般来说δ是不同

的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在区间连续；而函数的一致连续性的δ仅与ε有关，与0x 无关,即对不同的0x ，δ都是是相同的.这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.

（2）函数)(x f 在区间I 上一致连续，则)(x f 在I 上连续.这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（x '或x ''）固定即可，但这个命题的逆命题：在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续，却不一定成立.

例2.1 证明函数1

y x

=在(0,1)内不一致连续（尽管它在(0,1)内每一点都连续）. 证明 取 01ε=，对0δ?>（δ充分小且不妨设12δ<），取,2

x x δ

δ'''==，

则虽然有

2

x x δ

δ'''-=

<,

但

111

1x x δ

-=>'''. 所以函数1

y x

=

在(0,1)内不一致连续. （3）在闭区间[],a b 上连续的函数()f x 在[],a b 上一致连续.这是著名的G.康托定理。（我们将在函数的一致连续性的判定定理进行介绍.）

注 对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面： （1）函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系.

（2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对,x x I '''?∈，当x x δ'''-<时，就有

()()f x f x ε'''-<.

（3）函数一致连续的否定叙述：设函数()f x 在区间I 上有定义，若00ε?>，使0δ?>， 总,x x I '''?∈，虽然有x x δ'''-<， 但是

0()()f x f x ε'''-≥,

则称函数()f x 在区间I 上非一致连续.

总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性.函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质.

3 一致连续的性质

性质 3.1 设)(x f 与)(x g 都区在间I 上一致连续，则)()(x g x f +在区间I 上一致连续.

证明 由于函数)(),(x g x f 在区间I 一致连续，所以21,,0,0x x ?>?>?δε， 当δ<-21x x 时，有

()()()()εε<-<-2121,x g x g x f x f

()()[]()()[]()()()()()()()().

212121212211x g x g x f x f x g x g x f x f x g x f x g x f -+-≤-+-=+-+ 所以

()()[]()()[]ε22211<+-+x g x f x g x f .

所以()()x g x f +一致连续.

性质 3.2 设)(x f 与()x g 都在区间I 上一致连续，则()()x g x f -在区间I 上一致连续.

性质3.3 若)(x f 和)(x g 都是区间I 上的有界的一致连续函数，则)()()(x g x f x F = 也在I 上一致连续.

证明 由题设)(x f ，)(x g 有界，从而存在0>M ，使

I x M x g M x f ∈?<<，，)()(.

再由 )(x f ，)(x g 都一致连续，则0,01>?>?δε和02>δ ,使I x x x x ∈?4321,,,，且

243121,δδ<-<-x x x x 时有

M

x g x g M

x f x f 2)()(,2)()(4321ε

ε

<

-<

- ,

令},m in{21δδδ=,则I x x ∈?65,，且δ<-65x x 时

565566556656

()()

()()()()

()()()()()().

22F x F x f x g x f x g x f x g x g x g x f x f x M

M

M

M

ε

ε

ε-=-≤-+-<+=

所以)(x f )(x g 在I 上一致连续.

性质3.4 设)(x f 与()x g 都在区间I 上一致连续，且)(x f 区间I 上有界，且存在

0>α，使得对任意的I ∈x 有()()0>≥ααx g ，则

()()

x g x f 在区间I 一致连续. 证明 由()x g 在区间I 的一致连续性得 I ∈?21,x x 有()()ε<-21x g x g 所以

()()2111x f x f -

=()()()()

2121x f x f x f x f - ()()

21x f x f ε

<

.

由于()()0>≥ααx f ，所以()()a x g x g 21121≤,即()()211x g x g 有界，函数()

x g 1

在其定

义域上一致连续.

再由性质3.3知，

()())

(1)(x g x f x g x f ?=在其定义域上一致连续. 性质3.5 函数)(x f 在 ],[b a 上一致连续,又在],[c b 上一致连续,c b a << ，则

)(x f 在],[c a 上一致连续.

证明 由)(x f 在],[b a 一致连续，故0,01>?>?δε,使当],[,21b a x x ∈,且

121δ<-x x 时，有

2

)()(21ε

<

-x f x f ①

同理，)(x f 在],[c b 上一致连续,对上述0>ε，存在02>δ，使当],[,43c b x x ∈，且

243δ<-x x 时，有

2

)()(43ε

<

-x f x f ②

令},m in{21δδδ= ，则对 0>ε,当],[,65c a x x ∈ 且 δ<-65x x 时，

（1）若],[,65b a x x ∈，由①式有εε

<<

-2

)()(65x f x f .

（2）若],[,65c b x x ∈，由②式也有ε<-)()(65x f x f .

（3）若],[],,[65c b x b a x ∈∈时,则δδ<-<-b x b x 65,. 所以

εε

ε

=+

<

-+-≤-2

2

)()()()()()(6565x f b f b f x f x f x f .

从而得证)(x f 在],[c a 上一致连续.

性质3.6 函数)(x f 在),[+∞a 连续,函数)(x g 在),[+∞a 一致续,且

0)()(lim =-+∞

→x g x f x ，则)(x f 在 ),[+∞a 一致连续.

证明 0)()(lim =-+∞

→x g x f x ,故 A x x a A ≥?>?>?21,,,0ε,有

3

)()(,3

)()(2211ε

ε

<

-<

-x g x f x g x f .

又函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,故对上述A x x ≥?>?>21,,0,0δε , 且 δ<-21x x ，有

3

)()(21ε

<

-x g x g .

综上A x x ≥?21,,且 δ<-21x x ，有

)()()()()()()()(22211121x g x f x g x g x g x f x f x f -+-+-≤-

εε

ε

ε

=+

+

<

3

3

3

，

即)(x f 在),[+∞A 一致连续，再由Cantor 定理知)(x f 在],[A a 上一致连续，故

)(x f ),[+∞a 在一致连续.

性质3.6表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数，则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续，如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数，即此函数存在斜渐近线，则它必一致连续.即是如下推论.

推论 3.1设函数)(x f 在),[+∞a 连续,且有斜渐近线,即有数b 与c ,使

0])([lim =--+∞

→c bx x f x ,则)(x f 在),[+∞a 一致连续.

4.一致连续性的判定定理

由于用函数一致连续的定义判定函数()f x 是否一致连续，往往比较困难.于是产生了一些以G ·康托定理为基础的较简单的判别法.

定理4.1（Contor 定理） 若函数()f x 在[],a b 上连续?()f x 在[],a b 上一致连续．

证明1（有限覆盖定理）

?0x ],[b a ∈，因为)(x f 在0x 点连续，所以0>?ε， 0),(0>=?x εδδ，使得

],[,21b a x x ∈?，若||01x x -<

2δ，<-||02x x 2

δ

，则 <-|)()(|01x f x f 2ε

<-|)()(|02x f x f 2

ε

就有

||21x x -≤|02x x -|||01x x -+<

2δ+2

δ=δ， |)()(|12x f x f -≤|)()(|01x f x f -<-+|)()(|02x f x f 2ε+2

ε

=ε，

也就是说，在],[b a 任何0x 邻域)4

,(0δ

x O 内21,x x ?，都有

<-|)()(|12x f x f ε.

现在考虑)4,

(0δ

x O ，当0x 取遍],[b a 上一切点时，)4

,(0δ

x O 构成一个开区间集E ，它 覆盖着],[b a ，由有限覆盖定理，],[b a 就由从E 中所取的有限个开区间

)4

,

(k

k x O δ),3,2,1(m k =

所覆盖，现取η=)4

4

,4,4min(

3

21k

δδδδ

，对],[,21b a x x ∈?且||21x x -≤η，1x 必属

于)4

,

(k

k x O δ中的一个，设)4

,

(0

01i

i x x δ∈即||01i x x -<

4

i

δ，又

||02i x x -≤+-||21x x ||01i x x -<η+

4

i

δ，

表明)4

,

(,0

021i

i x O x x δ∈，所以有<-|)()(|12x f x f ε，即)(x f 在],[b a 上一致连续．

这个证明方法是华东师大版数学分析上册中，运用有限覆盖定理理来证明，还可以用闭

区间套定理来证明.

证明2（闭区间套定理）

若上述事实不成立，则至少存在一个00ε>，使得区间[],a b 不能按上述要求分成有限多个小区间.将[],a b 二等分为 []0,a c 、[]0,c b 则二者之中至少有一个不能按上述要求分为

有限多个小区间，记为[]11,a b ；再将[]11,a b 二等分为 []11,a c 、[]11,c b 依同样的方法取定其一，记为[]22,a b ；......如此继续下去，就得到一个闭区间套[],,1,2,n n a b n =,由闭

区间套定理知，存在唯一一点c 满足

lim lim n n x x c a b →∞

→∞

==， ③

且属于所有这些闭区间，所以[],c a b ∈，从而()f x 在点x c =连续，于是0δ?>，当

x c δ-<[](,)x a b ∈时,就有

()()2

f x f c ε-<

④

又由③式，于是我们可取充分大的k ，使,k k a c b c δδ-<-<,从而对于[],k k a b 上任意点

x ，都有x c δ-<.因此，对于[],k k a b 上的任意两点,x x '''， 由④都有

0()()

()()()()2

2

f x f x f x f c f c f x εεε'''-'''≤-+-<

+

=，

这表明[],k k a b 能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间[],k k a b 的取法矛盾，从而得证.

注 定理4.1对开区间不成立.例如函数1

()f x x

=在()0,1内每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.

G.康托定理我们可知，函数()f x 在闭区间[],a b 上一致连续的充要条件是()f x 在

[],a b 上连续，所以在闭区间[],a b 上连续的函数必定一致连续，然而对于有限开区间和无

限区间，则结论不一定成立.而破坏函数在区间一致连续性的原因有以下两种情况

（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点. （2）对于无限区间，这时函数在无穷远处可能破坏一致连续性. 虽然如此，我们对于破坏一致连续性的有限开区间的端点或无穷远点附加一定的限制条件，G.康托定理也可以推广到有限开区间和无限区间.

定理4.2 ()f x 在(),a b 连续，且lim ()x a f x +

→与lim ()x b f x -

→都存在?函数()f x 在

(),a b 内一致连续.

证明 ""? 若()f x 在(),a b 内一致连续，则对()120,0,,,x x a b εδ?>?>?∈， 当12x x δ-<时，有

12于是当12,(,)x x a a δ∈+时，有

12()()f x f x ε-<.

根据柯西收敛准则，极限lim ()x a f x +

→存在.同理，可证极限lim ()x b f x -

→也存在,从而()f x 在

(),a b 连续，lim ()x a

f x +→与lim ()x b

f x -→都存在.

""?若()f x 在(),a b 连续，且lim ()x a

f x +→和lim ()x b

f x -→都存在，则令

()(0),()(),,(0),f a x a F x f x x a b f b x b +=??

=∈??-=?

于是有()F x 在闭区间[],a b 上连续，由Contor 定理，()F x 在[],a b 上一致连续，从而()f x 在(),a b 内一致连续.

根据定理4.2容易得以下推论

推论4.1 函数()f x 在(],a b 内一致连续?()f x 在(],a b 连续且lim ()x a f x +

→存在.

推论4.2 函数()f x 在[),a b 内一致连续?()f x 在[),a b 连续且lim ()x b f x -

→存在.

注 当(),a b 是无限区间时，条件是充分不必要的.

例如()f x x =，()sin g x x =在(),-∞+∞上一致连续，但是lim ()x f x →+∞

=+∞，

lim ()x g x →+∞

不存在，从而得出下面定理.

定理4.3 ()f x 在(),-∞+∞内一致连续的充分条件是()f x 在(),-∞+∞内连续，且

lim ()lim ()x x f x f x →-∞

→+∞

和都存在.

证明 （1） 先证()f x 在[),a +∞上一致连续.

令lim ()x f x A →+∞

=，由柯西收敛准则有对0,0M ε?>?>使对,x x M '''?>，有

()()f x f x ε'''-<

现将[),a +∞分为两个重叠区间[],1a M +和[),M +∞，因为()f x 在[],1a M +上一致连续，从而对上述10,0εδ>?>，使[],,1x x a M '''?∈+，且1x x δ'''-<时，有

对上述0ε>，取{}1min ,1δδ=，则[),,x x a '''?∈+∞，且x x δ'''-<，都有

()()f x f x ε'''-<.

所以函数()f x 在[),a +∞内一致连续.

（2） 同理可证函数()f x 在(],a -∞内一致连续. 由（1）、（2）可得()f x 在(),-∞+∞内一致连续.

注 若将[),a +∞分为[],a M 和[),M +∞，则当x '与x ''分别在两个区间时，即使有

x x δ'''-<，却不能马上得出()()f x f x ε'''-<的结论.

由定理4.3可得出以下推论：

推论4.3 函数()f x 在[),a +∞内一致连续的充分条件是()f x 在[),a +∞内连续，且

lim ()x f x →+∞

存在.

推论4.4 函数()f x 在(),a +∞内一致连续的充分条件是()f x 在(),a +∞内连续，且

lim ()x a f x +

→与lim ()x f x →+∞

都存在.

推论4.5 函数()f x 在(],b -∞内一致连续的充分条件是()f x 在(],b -∞内连续，且

lim ()x f x →-∞

存在.

推论4.6 函数()f x 在(),b -∞内一致连续的充分条件是()f x 在(),b -∞内连续，且

lim ()x b f x -

→与lim ()x f x →-∞

都存在.

对于一元函数在任意区间上一致连续性，有下定理

定理4.4 函数()f x 在区间I 上一致连续?,(1,2,...)n n x y I n ?∈=，只要

()lim 0n n n x y →∞

-=，就有[]lim ()()0n n n f x f y →∞

-=.

证明 ""? 由()f x 在I 上一致连续知，0ε?>，0δ?>，使得,x x I '''?∈，只要x x δ

'''-<，就有

()()f x f x ε'''-<.

又,n n x y I ?∈，()lim 0n n n x y →∞

-=知，对上述0ε>存在*

N N ∈，n N ?>，有

n n x y δ-<， 从而对n N ?>有

()()n n f x f y ε-<, 即

[]lim ()()0n n n f x f y →∞

-=.

""? 若不然，则必存在00,,n

n x x I ε'''>∈，虽然 1

n

n x x n

'''-<， 但是

0()()n

n f x f x ε'''-≥, 显然

()lim 0n

n n x x →∞

'''-=， 但是

[]lim ()()0n

n n f x f x →∞

'''-≠. 推出矛盾，故()f x 在I 一致连续.

注 此定理主要用来判定函数非一致连续.利用定义证明函数()f x 在I 上非一致连续的关键是确定00ε>，找出,x x I '''∈使得0()()f x f x ε'''-≥，而要做到这一点，对于某些函数而言通常是比较困难的.但是，根据前面判定函数一致连续的充要条件，易得函数在区

间I 上非一致连续的两个比较简单的充分条件

（1）连续函数()f x 在区间(),a b 内非一致连续的充分条件是(0)f a +和(0)f b -至少有一个不存在.

（2）连续函数()f x 在区间I 非一致连续的充分条件是在区间上存在两个数列{}n x ，

{}n y ，使得()lim 0n n n

x y →∞-=，但[]lim ()()0n n n f x f y →∞

-≠. 定理4.5 若函数()f x 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件，即存在常数

0L >，使得对,x x I '''?∈都有

()()f x f x L x x ''''''-≤-

成立，则()f x 在区间I 上一致连续.

证明 因为函数()f x 在区间I 上满足Lipschitz 条件，即,x x I '''?∈，有()()f x f x L x x ''''''-≤-，于是对0ε?>，取0L

ε

δ=>，

,x x I '''?∈，只要x x δ'''-<，就有

()()f x f x L x x ε''''''-≤-<.

故函数()f x 在区间I 上一致连续.

定理4.5仅仅是函数()f x 在区间I 上一致连续的充分非必要条件. 由著名的利普希茨（Lipschitz ）条件得到启发，还可得

推论4.7 设存在0L >，使对任意,x x I '''∈，有()()()()f x f x L g x g x ''''''-≤- 成立，且()g x 在区间I 上一致连续，则()f x 在区间I 上一致连续.

证明 由()g x 在区间I 上一致连续，则0,0,,,x x I x x εδδ''''''?>?>?∈-<只要，就有

()()g x g x L

ε

'''-<

.

于是，对上述0ε>，0δ>，,x x I '''?∈，只要x x δ'''-<，就有

()()()()f x f x L g x g x L

L

ε

ε''''''-≤-<=.

故()f x 在区间I 上一致连续.

定理4.6 函数()f x 在区间I 上一致连续?,,x x I x x δ''''''?∈-<当时有

0lim sup ()()0f x f x δ+

→'''-=.

证明 ""? 由函数()f x 在I 上一致连续，则

0,0εη?>?>，使得当,x x I '''?∈，且x x η'''-<时，有

()()2

f x f x ε

'''-<

,

于是，当0δ+

→时，令δη≤，只要x x δ'''-<，就有

()()2

f x f x ε

'''-<

,

从而

sup ()()2

f x f x ε

ε'''-≤

<.

所以

0lim sup ()()0f x f x δ+

→'''-=.

""? 由,x x I '''?∈，当x x δ'''-<时，有

0lim sup ()()0f x f x δ+

→'''-=，

则0,0εδ?>?>，使得当x x δ'''-<时，有

sup ()()f x f x ε'''-<,

从而有

()()sup ()()f x f x f x f x ε''''''-≤-<.

所以函数()f x 在I 上一致连续.

5一致连续性的应用

利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性. 例1 判断),0(,11

)(2

+∞∈+=x x x f 的一致连续性. 解 因为

011lim

2=++∞→x x ，111

lim 20=+→x x .

又)(x f 在),0(+∞上连续,所以)(x f 在),0(+∞上一致连续.

本题根据推论4.4，)(x f 在无限区间上连续且在端点极限存在，则)(x f 在此无限区间上一致连续.

例2 证明)(x f =x

e 在R 上非一致连续. 证明1 R n x n x e n ∈=+=?->?>?=

?ln ),1ln(),1

1

(0,21210δδε ,ln )1

1ln(ln )1ln(21δδ=<+=-+=-e n

n n x x

有

0212

1

1)1()()(ε=>

=-+=-n n x f x f . 所以)(x f =x

e 在R 上非一致连续.

此题根据一致连续性定义证得.

证明2 取R n y n x n n ∈=+=ln ),1ln(,且

0)1

1ln(lim ]ln )1[ln(lim )(lim =+=-+=-∞→∞→∞→n

n n y x n n n n n , 但

01)1(lim ][lim )]()([lim ln )1ln(≠=-+=-=-∞

→+∞→∞→n n e e y f x f n n n n n n n .

所以)(x f =x

e 在R 上非一致连续.

此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理4.4. 例3 判断)1,0(,1

cos )(∈=x x

e x

f x

的一致连续性. 解 因为x e x

x 1cos

lim 0

+→不存在,所以x

e x

f x

1cos )(=在)1,0(内不一致连续. 此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理4.2. 例4 证明x

e x

f =)(在),(a -∞上一致连续，而在),(+∞a 上非一致连续.

证明 因为0lim =-∞

→x

x e 且a

x

a

x e e =-→lim ,所以x

e 在),(a -∞上一致连续.因为

'(),l i m x x x x e e e →+∞

==+∞ ,所以)(x f =x e 在),(+∞a 上非一致连续.

此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性.此方法快捷方便，实际应用

很广泛.

结 束 语

从以上四个部分，本文对函数的一致连续性的定义、相关性质和判定定理进行了详细的介绍，同时总结和给出具体应用，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的认识和理解.

参考文献

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Uniform continuity and its application

Author:XXX Supervisor:XXX

Abstract : Uniform continuity of functions is one of the most important mathematical analysis, and one of the highly abstract concept. It plays a very important role in the subsequent study and research of mathematical analysis and related professional courses in. Uniform continuity characterizes the nature of the whole function in the interval. Accurate understanding and grasping the concept of uniformly continuous function method to demonstrate the uniformly continuous function is an important content of mathematical analysis.

Keywords：function uniform continuity application