04-工程力学-4力偶

正确理解力偶的概念和性质。
能熟练地应用力偶系平衡条件求解力偶系的平
衡问题。
A· B = A B cos(A ，B) i· i=1
i· j=0
数学工具箱
z
j· j=1
j· k=0
k· k=1
k· i=0 C
O x
k B j
y
A× B = C C = A B sin ( A, B ) i×i =0 j×j=0
M
A
B
l
D
45
动脑又动笔
解： 选梁AB为研究对象
M
A
B
FA = FB 列平衡方程： ∑M = 0 ，
l
D
45

A
FA
45o
M
B
M－ FA l cos45o = 0 FA = FB= √2M / l
FB
动脑又动笔
如图所示的铰接四连杆机构 OABD，在杆 OA 和 BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，
4.4
力偶及其性质
1. 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平 行力所组成的力系，称为力偶。
（F,F）
d F
力偶的作用面
力偶臂
F
2. 力偶的基本性质
① 力偶不能与一个力等效
（即力偶没有合力），因此
F
也不能与一个力平衡。力偶
是最基本、最简单的力系。 ② 力偶的主矢 ≡ 0
FR ≠ 0
F F
2. 空间问题中力对点的矩 力使物体绕 O 点转动的效果决定于？
F
A O d
三要素∶
力矩的大小
转向 力矩作用面的方位
z
M o ( F) k
B F
A (x，y，z)
r j
y
O i
x
z
M o (F) 定义∶ k M o (F) = r × F
x
B F A
O i
r j
y
力对点O 的矩等于矢径 r 与力F 的矢积。
第四章 力偶系
Chapter Four System of Couples
本章基本要求 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 力对点之矩 力对轴之矩 力系的主矢和主矩 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡
本章内容小结
本 章 基 本 要 求
深刻理解力对点之矩的概念和力对轴之矩 的概念，并要求熟练计算。 正确理解力系的主矢和主矩的概念。
解析法∶ M o (F) = M ox i + M oy j + M oz k M ox = ∑ M ox( Fi ) M oy = ∑ M oy( F ) i i=1
i=1 n n
M oz = ∑ M oz( F ) i
i=1
n
分析和讨论
正立方体的顶角作用着六个大小相等的力，此力系对 任意点的
而使机构在图示位置处于平衡。已知OA = r，DB
= 2r，α= 30°，不计杆重，试求 M1 和 M2 间的
关系。
B
A α
M1
O
M2 D
动脑又动笔
B
解：
A
O
α
M1 M2 D FBA B
分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。
FAB = FBA
写出平衡方程： ∑M = 0 M1－ FAB r cosα = 0
解析表示∶
M o (F) = r × F = ( x i + y j + z k ) ×（ Fx i + Fy j + Fzk ） = (yFz – zF y ) i + (zFx – xFz ) j + (xF y– yF x) k i = x Fx j y k z Fz
Fy
M o (F) = M ox i + M oy j + M oz k M ox = (y Fz – z F y ) M oy = (z F x – x F z ) M oz = (x Fy – y Fx )
M O F n M O Fr M O F
M O F
Fn cos r
F α Fn
Fr
动脑又动笔
y
已知力 F 的作用点 A 的坐 标为 x 和 y ,试计算力 F 对于 坐标原点 O 的矩。O来自FyαA
F
Fx
x
解： M O F M O Fx M O Fy
① 主矢 = 0 , 主矩 ≠ 0
② 主矢 ≠ 0 , 主矩 ≠ 0 ③ 主矢 ≠ 0 , 主矩 = 0
F1 F5 F2
F6
④ 主矢 = 0 , 主矩 = 0
F3
F4
2. 力系等效定理
两个不同力系等效的充分必要条件是 主矢相等，且对同一点的主矩相等。 推论 力系平衡的充分必要条件∶ 主矢 = 0 ，对任意点的主矩 = 0
x
M z (F) = ( r xy × F xy ) · k
F xy
M o (F) = r × F
rz
z
Fz
F F xy
y
F = F z + F xy A r (= rF )xy ·k = ( k × r xy F rz× z )· xy r z + M o (F ) k r j M oz = (r × F ) oz O rxy ( rxy × Fz) ·k = (F z× k ) · = (r × F ) · k i rxy x = ( rz + rxy )×(F z + F xy ) · k
z
力矩矢 大小、方向、矩心 定位矢量
M o (F) k O i
x
B F
A
r
j d
y
M o (F) = r × F = Fr sin (r , F) = F d
垂直于 r 与 F 所确定的平面,指向用右手定则。
z
B F
k O i
x
A (x，y，z)
r j
y
r = xi + yj + zk
F = Fx i + Fy j + Fz k
M A FB d FA A d M B
因为力偶只能与力偶平衡 ，
B
所以
又 ∑M = 0 即
FA = FB
－ M + FA×d = 0
所以 FA = FB = M / d
例 题 2
如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的
矩分别为：M1 = M2 =10 N.m， M3 = 20 N.m；固定螺柱 A 和
F Rx = ∑ F i x
F Ry = ∑ Fi y
i=1 n i=1 n
n
FR = ∑ F i
i=1
n
F Rz = ∑ F i z
i=1
▲ 力系的主矩
定义 ∶ 力系中所有力对同一点之矩的
矢量和，称为力系对这一点的主矩。
n n
M o = ∑ M o ( F i ) = ∑ ri × F i
i=1 i=1
B 的距离 l = 200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水平力。
FA
A
解： 选工件为研究对象
M1
M3 M2
FA = FB
列平衡方程： ∑M = 0 ，
FA l－M1 －M2 － M3 = 0
B
FB
FA = FB = 200 N
动脑又动笔
横梁 AB 长 l ，A 端用铰链杆支撑，B 端为 铰支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为 M ，如图所示。不计梁和支杆的自重，求 A 和 B 端的约束力。
分析和讨论
带有不平行二槽的矩形平板上作用一矩 为M的力偶，今在槽内插入两个固定与地面 的销钉，若不计摩擦则 ① 平板保持平衡；
M A
B
② 平板不能平衡；
③ 平衡与否不能判断。
3. 力偶系的平衡条件 空间力偶系平衡的必要充分条件是合力偶矩矢等
于零，即力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。
∑M = 0 平衡方程
① 力偶可在作用面内任意转动和移动；
F
F
② 力偶的作用面可任意平移；
M
M
③ 只要保持力偶矩不变，可任意改变力偶
中的力的大小和力偶臂的长短。
F
d
F1
d1
F2
d2
M
F
F1
F d = F1 d 1 = F2 d 2 = M
F2
只要保持力偶矩矢量不变，不
会改变力偶对刚体的作用效应。
力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩 矢量M。
FR ≡ 0
2
z
M o = ∑ M o( F i ) i=1 = rA × F + rB × F = ( rA － rB ) ×F = rBA × F
O
x
F=－F
A
F
rA
rB
rBA F
B
y
③ 力偶对任意点的主矩 = r × F
力偶对刚体的作用效应 力偶三要素∶ ① 力偶矩的大小 ② 力偶的转向 Fd
例.
长方体，上下底为正方形，边长 3a ，高a，力大 小F ；求力 F 对点矩 M o F 。
y A
解： A ( 3a, 3a,0)
r 3a i 3a j F Fxi Fy j Fz k
3 1 0 F j F k 2 2 M o (F ) r F
i 3a 0 j 3a 3 F 2
∑ Mx= 0 ∑ My= 0 ∑ Mz = 0
平面力偶系的平衡方程 ∑M = 0
想一想
既然力偶不能与 一力相平衡，为什 么图中的圆轮又能 平衡呢 ?
M=Fr r
刚体是否平衡 ？ A F1 F4 D B F2