二进小波变换
连续小波与二进小波变换
第2章 连续小波与二进小波变换信号处理的应用随处可见，当你用数码相机拍摄照片，当你听着MP3音乐，你有没有想过，正是信号处理技术使你轻松的获得娱乐。
信号处理的主要任务是将现有的信号处理技术进行总结和抽象，信号处理的任务是认识客观世界中存在的信号的本质特征，并找出规律。
从不同的角度去认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。
信号的表示方式很多，时间形式和频率形式是最重要的两种形式。
时间形式是基于传感器采样得到的信号强度数据。
这种数据很直观。
除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。
频率的表示方法是建立在傅里叶分析（Fourier Analysis ）基础之上的，由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，而时频局部性质恰好是非平稳信号最基本和最关键的性质。
为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform ）、小波变换等。
短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，它选择一个时频局部化的窗函数。
短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg 不确定准则的限制，时频窗的面积有下界。
这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。
Gabor 变换是海森伯不确定准则下的最优的短时傅里叶变换。
高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数。
具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是Gabor 变换。
与短时傅里叶变换一样，Gabor 变换也是单一分辨率的。
小波变换使用小波基函数，时频窗面积不变，但形状可改变。
小波函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析（Multiresolution Analysis ）的特点，克服了短时傅里叶变换分析非平稳信号单一分辨率的困难。
小波变换是一种时间-尺度分析方法，而且在时间、尺度（频率）两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。
二进制小波变换
二进制小波变换介绍二进制小波变换（Binary Wavelet Transform，BWT）是一种基于小波理论的数据压缩和加密技术。
它将信号分解为不同尺度和频率的子信号，通过对子信号进行编码和解码，实现对原始信号的压缩和恢复。
本文将详细介绍二进制小波变换的原理、应用和优缺点。
原理二进制小波变换的基本步骤1.将原始信号进行离散小波变换，得到尺度和频率不同的子信号。
2.对子信号进行二进制编码，将其转换为二进制序列。
3.对二进制序列进行压缩，减少冗余信息的存储空间。
4.将压缩后的二进制序列进行解压缩，恢复原始信号。
二进制小波变换的数学模型二进制小波变换可以用以下数学模型表示：∞(n)⋅ϕj,k(n)BWT(f)=∑fn=−∞其中，f(n)是原始信号，ϕj,k(n)是小波基函数，j表示尺度，k表示频率。
应用数据压缩二进制小波变换可以对数据进行有效的压缩，减少存储空间的占用。
它通过对信号进行分解，将不同尺度和频率的子信号进行编码和压缩，从而达到压缩数据的目的。
在图像、音频和视频等领域，二进制小波变换被广泛应用于数据压缩算法中。
数据加密二进制小波变换也可以用于数据加密。
通过对信号进行分解和编码，可以将原始信号转换为难以理解的二进制序列。
同时，还可以通过设置密码参数来增强加密的安全性。
在信息安全领域，二进制小波变换被用于实现对数据的保密和防篡改。
信号处理二进制小波变换在信号处理中也起到重要的作用。
它可以对信号进行分解和重构，从而提取出信号的特征和重要信息。
通过对信号的分析和处理，可以实现信号的去噪、特征提取和模式识别等任务。
优缺点优点1.高效的数据压缩能力：二进制小波变换可以对信号进行有效的压缩，减少存储空间的占用。
2.良好的数据加密性能：二进制小波变换可以将原始信号转换为难以理解的二进制序列，提高了数据的安全性。
3.灵活的信号处理能力：二进制小波变换可以对信号进行分解和重构，实现信号的去噪、特征提取和模式识别等任务。
0005第5章 二维二进小波变换
＝(2 j ˆ ,2 j 1 ˆ ]
二进小波的定义
函数 L2，称为二进小波。若存 在两个常数0 0 A B , 使 : ˆ (2 ) B A
j 2
几乎处处成立
这个条件称为二进小波 的稳定性条件。
二进小波变换的定义：
1 W j ( f )(b) 2 W ( f )(b, j ) 2
j
二进小波的重构问题：
进一步，我们希望 * ( x)也是一个二进小波。 f ( x)
j － －
j * j W ( f )( b )( 2 ( 2 ( x b))db j
^ ^ 1 * j ix ( W ( f )( ))( ( 2 )) e d j j － 2 －
下面考虑离散小波变换(DWT). 设 ( t )为基本小波, a0 1, b0 0. 在由 ( t ) 生 成的连续小波
a ,b ( t )
1
tb (a , b R, a 0) a a
中, 取 a a
m 0
, b nb a
m 2 0
j
j
j ˆ ( 2 )(
i
ˆ (2
i
( 2 ))
j
2
)
j
j j ˆ ˆ ( 2 ) ( 2 )
j
ˆ (2
j
))
2
1
定理：
ˆ (2 ) B 是满足稳定性条件： A
条件下, b也取为离散的值, 则得到离散小波和相应 的离散小波变换.
二进小波变换及反变换的快速算法
二进小波变换及反变换的快速算法将一维信号的二进小波变换推广到二维信号（图像）。
此时，小波变换是由两个小波),1y x （ψ和),(2y x ψ来定义的。
定义函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎝⎛⎪⎪⎭⎫= ⎝⎛⎪⎪⎭⎫=222222,1),(2,1),(2222121j j j j j j y x y x y x y x j j ψψψψ 相应的重构小波为),(1y x χ及),(2y x χ，实际工作中，小波),1y x （ψ、),(2y x ψ，以及重构小波),(1y x χ、),(2y x χ由离散滤波器H 、G 、K 、L 决定。
()R Ly x f 22),(∈∀，f 在尺度2j和位置),(y x 的小波变换由两个分量来定义，即⎪⎩⎪⎨⎧==),(2*),(2),(2*),(22211y x f y x f y x f y x f j j jj W W ψψ 称函数集合{}zj y x f y x f Wf W W jj∈=),(2),,(221为),(y x f 的二维二进小波变换。
),(21y x f W j和),(22y x f W j是),(y x f 在2j尺度上的两个细节信号。
对于一维情况，假定小波函数)(x ψ是某平滑函数)(x θ的一阶导数，比如)(x θ是三次样条函数，并且)(x θ的积分为1，此时，)(x ψ是紧支撑二次样条函数，将一维二次样条小波推广到二维，相应的离散滤波器H 、G 、K 、L 的有限冲激响应如下表所示。
四个滤波器的有限冲激响应注：表中-为无数据在实际应用中，假设图像D 具有N ×N 个象素，即}{,,1d D m n Nm n =≤≤,为了解决边界问题，可以采用二维余弦变换中的周期化技术。
假定图像以2N ×2N 个样本作为一个周期，可以对图象进行对称延拓⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤+≤≤≤≤≤≤+≤≤≤≤=-+-+-+-+Nm N N n N N m N N n N m N n N N m N n d d d d d m N n N m N n m n N n m n m 21,2121,11,211,112,1212,,12,,计算图像f S d1的二维二进小波变换的算法如下，记H p、G p、K p分别为滤波器H 、G 、K 在系数之间插入12-p个0得到的离散滤波器。
小波变换及分析原理知识
- 252 -小波分析原理1.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。
对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数(,)()x b a b x a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。
其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。
对信号()f x 的连续小波变换则定义为,(,)()(),()f a b Rx b W a b f x dx f x x a ψψ-⎛⎫==〈〉 ⎪⎝⎭其逆变换（回复信号或重构信号）为*1()(,)fR R x b f x W a b dadb C a ψψ⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 信号()f x 的离散小波变换定义为2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞---∞=-⎰其逆变换（恢复信号或重构信号）为(2,2)()(2,2)()j j j j fk j k f t C Wk x ψ+∞+∞=-∞=-∞=∑∑其中，C 是一个与信号无关的常数。
显然小波函数具有多样性。
在MA TLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。
实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。
- 253 -1.2 小波的多尺度分解与重构1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分辨率为2N-的()f x 的低频部分（近似部分）和分辨率为2(1)j j N -≤≤下()f x 的高频部分（细节部分）完全重构。
sjs3-第三章 离散小波变换(3课时)
Sadmissible
⊃
S dyadic ⊃ S discrete
等价地，小波框架在频域中是指，满足
的函数族。 α
≤
m ∈ Z
∑
ψˆ ( 2
m
ω )
2
≤
β
19
19二进小波及其稳定性条件二进小波变换的稳定性条件二进小波及其重构小波二进小波变换具有平移不变性二进小波是允许小波离散小波是二进小波basic
第三章
离散小波变换(DWT)
引言 • CWT中的尺度a和位移b连续变化，在a−b平面上的不同点
上 ， ψ a ,b (t ) 具 有 很 大 的 相 关 性 ， 因 此 ， CWT 系 数 的 WTx (a, b) 信息量是冗余的，不适合图像压缩、数值计算。 另外，其计算量大的惊人。
1
a0
….
m a0
a0τ 0
….
m a0 τ0
a τ
m 0 0
m b⎯ ⎯→ na0 τ0
(m = 0,1,2,...；n ∈ Z )
3
问题：如何理解尺度与位移离散之间的关系？
（2）离散小波
则:
− m 2 m 2
t −b 1 ψ a ,b (t ) = ψ( ) a a
ψ m,n (t ) = a0 ψ [a0 − m (t − na0 mτ 0 )]
m∈Z
∑∫
x
2 m ,b
（3.18)
~ 其中：ψ
1 (t ) = ψ 2m ,b是ψ 2m ,b的对偶小波。 2 m ,b A
16
（5）二进小波的性质
• 线性变换； • 构成一个框架； • 也是容许性小波； • 具有平移不变性：
一种基于二进小波变换的短波语音抗时变干扰算法
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：
Ｔ ｅ ｓ ｏｔ ａ ｅ ｎ ｒ ｗ— ａ ｄ ｉ ｔｒｅ ｅ ｃ ｎ ｓ ｅ ｃ ｏ ｈ ｈ ｒ ｖ ａ ｒ ｂ ｎ ｎｅ ｒ ｎ ｅ ｉ ｐ ｅ ｈ ｃ ｍｍｕ ｉａ ｉｎ ｉ ｔ — ａｙ ｎ Ｏ ｔａ ｔｉ ｍｏｅ ｄｆ ｃ ｌ ｔ ｌ ｒ ｗ ｏ ｆ ｎ ｃ ｔ ｓ ｉ ｖ ｒｉ ｇ Ｓ ｈ ｔ ｉ ｓ ｏ ｍｅ ｒ ｉ ｕｔ ｏ ｆｔ ｉ ｆ ｉｅ
ｌ ｔ ｒｎ ｆ ｒ ，ｗｈ ｃ ｎ ｌ ｓｓｔ ｅ ｓ ｅ ｃ ｉｎ ｌｉ ｉ 一 ｑ ｅ ｃ ｏ ｉ ｎ ｔ ｅ ｈ ｇ ｅ ｏｕ ｉｎ ａ ｄ ｋ ｅ ｈ ｐ ｅ ｈ ｓｇ ａ ｏ ｔ ｕ ｔ ． ｅ ａ ｓｏ ｔ ｍ ｉｈ ａ ａｙ ｉ ｈ ｐ ｅ ｈ ｓｇ ａ ｎ ｔ ｍｅ ￣ｅ ｕ ｎ ｙ ｄ ｍａｎ ｏ ｈ ｉ ｈ ｒ ｓ ｌ ｔ ｎ ｅ ｐ ｔ ｅ ｓ ｅ ｃ ｉｎ ｌｃ ｎ ｉ ｉ ｏ ｎ ｙ Ｔ ｅ ｅ ａｅ ｄｆ ｒ ｎ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉ ｉｓ ｉ ｈ ｅａｉ ｎ ｈ ｐ ｏ ａ ｅ ｅ ｔ ｎ ｆｒ ｃ ｅ ｃｅ ｔ ａ ｄ ｓ ａｅ ｗ ｅ ｈ ｐ ｅ ｈ ｓ ａ ，ｔｅ ｒ ｎ ｏ ｈ ｒ ｒ ｉ ｅ ｅ ｔｃ ａａ ｔｒｓ ｃ ｎ ｔ ｅ ｒ ｌｔ ｓ ｉ ｆ ｗ ｖ ｌｔ ｒ ｓ ｍ ｏ ｆ ｉ ｎ ｓ ｎ ｃ ｈ ｎ ｔ ｅ ｓ ｅ ｃ ｉ ｌ ｈ ａ ｄ ｍ ｆ ｔ ｏ ａ ｏ ｉ ｌ ｎ ｇ ｎ ｉｅ ａ ｄ ｔ —ａ ｉ ｇ ｉ ｔｒ ｒ ｎ ｅ ａ ｅｔａ ｓｏ ｍｅ ｎ ｄ ｆ ｒ ｎ ｃ ｌｓ ｎ ｗａ ｅ ｅ ｏ ｉ ｅ ｓ ｅ ｃ ｉｎ ｌ ｓｄ ｃ ｍｐ ｓ ，ｔ ｅ ｔ — ａ — ｏｓ ｎ ｉ ｖ ｒ ｎ ｅ ｆ ｅ ｃ ｒ ｒ ｎ ｆｒ ｄ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｓ ａｅ ．Ｉ ｖ ｌ ｔ ｍａ ｎ ｔ ｐ ｅ ｈ ｓｇ ａ ｅ ｏ ｏ ｅ ｈ ｍｅ ｖ ｒ ｍｅ ｙ ｎ ｅ ｆ ｄ ｈ ｉ ｉ
二进小波
1 2
j
(
% Wf ( 2 j , ⋅) ∗ψ 2 j
)(t )
copyright@孙延奎2006
% ψ 2 (t ) =
j
1 ⎛ t ⎞ % ψ⎜ j⎟ j 2 ⎝2 ⎠
二进小波的构造
目标: 构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器.
设
% % h, g , h , g
% ˆ ˆ % ˆ 都是有限滤波器， h (ω ) , g (ω ) , h (ω ) , g (ω ) 是其频域表示 ˆ
其中，
ψ2
j
1 ⎛ t ⎞ ( t ) = ψ 2 j ( −t ) = j ψ ⎜ − j ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
重构问题： ψ (t ) 在满足什么条件下，可以由二进小波变换
{Wf ( 2 , u ) | j ∈ Z , u ∈ R} 重构原信号？
j
注意与当前文献中各种定义的区别.
Wf ( s, u ) = f ∗ψ s ( u )
g1 / 2 = 0.5798, g 2 / 2 = 0.0869, g3 / 2 = 0.0061
copyright@孙延奎2006
一些常用的二进小波
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -2
讨论3: gn是如何求出的? 该结论由教材参考文献[5]中第 28页给出.没有具体的推导过程. 该滤波器在许多论文中被使用. 但我经过验证,该结论似乎是不 正确的, 请大家思考一下该问题.
1 0.8 0.6 0.4 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4 -0.6 -0.8 -4 0.2 0 -0.2 0.8 0.6
基于二进小波变换的图像边缘检测算法研究
基于二进小波变换的图像边缘检测算法研究本文旨在介绍基于二进小波变换的图像边缘检测算法，以及它与其他算法的比较。
小波变换是一种常用的信号处理技术，用于从原始信号中提取有用信息，因此它在图像检测领域得到了广泛的应用，尤其是用于图像边缘检测。
在小波变换中，首先从图像中提取合适的小波函数，然后将图像用该小波函数进行低分解，其分解成不同级别的分量。
高级别小波分量会包含图像中比较高频的特征，而低级别小波分量会包含图像中的低频特征。
由于图像的边缘特征属于高频特征，因此使用小波变换提取图像边缘特征会比使用其他方法更加简单和有效。
二进小波变换作为小波变换的一种，其主要优点在于具有更高的精度和更短的计算时间。
因此，基于二进小波变换的图像边缘检测算法在某些应用场景中得到了更广泛的应用。
在这种算法中，将原始图像先分解成不同尺度的小波分量，然后再利用非最大抑制（NMS）等方法提取边缘，最后可以得到较准确的边缘检测结果。
基于二进小波变换的图像边缘检测算法与其他算法相比，具有良好的精度，可以有效提取到较弱的图像边缘特征，这对于涉及更深层次复杂视觉结构的图像处理技术来说非常重要。
此外，由于基于二进小波变换的图像边缘检测算法具有较低的计算复杂度和较短的运行时间，因此它可以更容易地应用于实时图像处理系统中。
尽管基于二进小波变换的图像边缘检测算法具有优良的表现，但仍存在一定的不足。
其一，该算法需要通过相关算法（如NMS）来提取边缘，这需要一定的计算复杂度，因此有可能影响实时性能.其二，由于小波变换是一种经典的信号处理方法，存在固有的限制，例如不能有效去除噪声，而噪声的存在会影响图像边缘的检测准确性。
综上所述，基于二进小波变换的图像边缘检测算法是一种有效的图像处理技术，具有良好的精度、较短的运行时间以及能够有效提取到弱边缘的特性。
不过，它仍然存在着一定的缺点，需要进一步提高其实时性能，同时尽量减少噪声对边缘检测结果的影响。
小波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记
⼩波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记对于⼀个连续的周期信号，可以将其分解为⼀组频率不同的三⾓函数信号的线性组合，这就是傅⾥叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。
当这个周期信号的周期趋近于⽆穷⼤时，傅⾥叶级数就变成了傅⾥叶变换。
此时的信号本质上是⼀个连续⾮周期信号，傅⾥叶变换的意义就在于对其进⾏分解，同样也是以⼀组三⾓函数作为正交基，并通过这组三⾓函数基的线性组合来表⽰原信号。
数学表达为：由于三⾓函数是⼀个⽆限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进⾏拟合时，具有以下两个不⾜：第⼀，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要⼤量的三⾓函数基进⾏组合才能完成较好的信号拟合；第⼆，由于三⾓函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进⾏傅⾥叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。
因此傅⾥叶变换对于⾮平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。
⼩波变换就是为了解决对⾮平稳信号的分解问题⽽产⽣的数学⽅法。
相⽐于傅⾥叶变换使⽤⼀组⽆限长的三⾓函数基进⾏信号拟合，⼩波变换使⽤的是⼀组正交的、迅速衰减的⼩波函数基进⾏信号拟合。
这种⼩波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。
因此在利⽤这种⼩波函数基对信号进⾏分解时，可以⽤较少的⼩波函数基就拟合出突变信号（稀疏编码特性），同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。
⽤于⽣成⼀组不同频率和时移的⼩波函数的⼩波函数，称为基本⼩波（Basic Wavelet），由其⽣成的⼀组⼩波函数，是该基本⼩波的⼀个⼩波族（Wavelet Family），表⽰为：，其中为尺度参数，通过伸缩控制⼩波的尺度（频率），为平移参数，通过移位控制⼩波在时域中的出现位置。
这两个参数的作⽤顺序是先作平移，再作伸缩。
对这⼀族⼩波函数进⾏归⼀化，即得到⼀组⼩波函数基。
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抽样方法的分析：
n 窗口的宽度与其中心频率相适应。 （二进制划分）
抽样方法的分析：
n 问题： 怎样确定时间刻度参数a的样本值{aj},
使：
抽样方法的分析：
抽样方法的分析：
二进小波的定义：
二进小波变换的定义：
二进小波稳定性条件的另一种表述：
定理：
定理的证明：
定理的证明：
定理的证明：
二进小波的重构问题：
二进小波的重构问题：
二进小波的重构问题：
二进小波的重构问题：
二进小波的重构问题：
二进小波的重构问题：
定理：
定义：
n 注：
一个二进小波的二进对偶不一定是 唯一的。
二进小波变换
－－小波的基本思想：
n 连续小波变换将一维信号变换 到二维变换域上，从而有大量 的信息冗余量。
抽样方法的思考：
n 为完成对频域的分割，应对时间 刻度a抽样，其准则为：
a) 方法简单，高效。 b) 保留f(t)的全部信息。
抽样方法的分析：