第108讲 材料力学(四)(2010年新版)

第一节
第二节第四节扭转
一、扭转的概念
（一）扭转的力学模型，如图5-4-1所示。

受力特征杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反，作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。

变形特征杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。

扭转角φ杆件任意两横截面间相对转动的角度。

（二）外力偶矩的计算
轴所传递的功率、转速与外力偶矩间有如下关系：
式中传递功率N的单位：kW为千瓦，P s为公制马力(1P s=735．5Nm／s)；转速n的单位为rpm(转每分钟)。

二、扭矩和扭矩图
扭矩受扭杆件横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩。

用M T表示，见图5—4—2，其值用截面法求得。

扭矩符号 扭矩M T 的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，若矢量的指向与截面外向法线的指向一致时扭矩为正，反之为负。

扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

三、 圆杆扭转时的剪应力 强度条件 （一）横截面上的剪应力
1．剪应力分布规律 横截面上任一点的剪应力，其方向垂直于该点所在的半径，其值与该点到圆心的距离成正比，见图5-4-3。

2．剪应力计算公式 横截面上距圆心为ρ的任一点的剪应力ρτ为
横截面上的最大剪应力发生在横截面周边各点处，其值为
3．剪应力公式的讨沦 (1)公式适用于线弹性范围(τ
max ≤τp )，小变形条件下的等截面实心或空心圆直杆。

(2)M T 为所求截面上的扭矩。

(3)I P 称为极惯性矩，Wt 称为抗扭截面系数，其值与截面尺寸有关，分别为 实心圆截面(图5—4—
4)
空心圆截面(图5—4—
4)
其中
α=d/D
（二）圆杆扭转时的强度条件
强度条件圆杆扭转时横截面上的最大剪应力不得超过材料的许用剪应力，即
由强度条件可对受扭杆进行强度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题计算。

四、圆杆扭转时的变形刚度条件
（一）圆杆的扭转变形计算
单位长度扭转角
扭转角
若长度L内，M T、G、I P均为常量时
公式适用于线弹性范围，小变形下的等直圆杆。

GI P表示圆杆抵抗扭转弹性变形的能力，称为抗扭刚度。

（二）圆杆扭转时的刚度条件
刚度条件圆杆扭转时的最大单位长度扭转角不得超过规定的许可值，即
由刚度条件，同样可对受扭圆杆进行刚度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。

[例5—4—1] 一传动轴如图5－4—5所示。

已知轴的直径d=45mm，转速n=300rpm，主动轮输入的功率N A=36．7kW，从动轮B、C、D输出的功率分别为N B=14．7kW、N C=N D=llkW；轴的材料为45号钢，G=8×104MPa，[τ]=40MPa，
[θ]=20／m。

试校核轴的强度和刚度。

[解] 1．计算外力偶矩
2．画扭矩图确定危险截面
用截面1—1、2－2、3－3分别将杆截开，取各脱离体如(b)图示，由平衡条件∑Mx=0，分别得
扭矩图如图(e)所示。

由图可见在AC段内的扭矩最大，M T=702Nm，因为轴是等截面的，故A右—C
左间任一横截面均为危险截面。

3.强度校核
满足强度条件。

4．刚度校核
满足刚度条件。

[例5-4-2] 一直径为d的圆截面杆承受外力偶矩T后，测得该杆表面与纵线成45度方向的线应变为ε，
如图5－4－6a所示。

试求其材料的剪变模量G。

[解] 圆杆表面A点处的剪应力为
圆杆扭转时处于纯剪应力状态如图5－4－6b所示。

由于剪应变γ单元体原来的对角线，ac，在变形后
成为ac’，对角线的伸长量为c’c’’，对角线ac的线应变为
根据剪切虎克定律
τ=Gγ
得
第三节第五节截面图形的几何性质
一、静矩与形心
（一）定义
设任意形状截面图形的面积为A(图5—5—1)，则图形
对z、y轴的静矩
形心C的坐标
（二）特征
1．静矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同坐标轴的静矩不同。

静矩可能为正、为负或为零。

2．静矩的量纲为[长度]3，单位为m3。

3．图形对任一形心轴的静矩为零；反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

4．若截面图形有对称轴，则图形对于对称轴的静矩必为零，图形的形心一定在此对称轴上。

5．组合图形对某一轴的静矩，等于各组分图形对同一轴静矩的代数和(图5—5—2)，即
二、惯性矩惯性积
（一）定义
没任意形状截面图形的面积为A(图5—5—3)，则图形对y、z轴的惯性矩
对O点的极惯性矩
对y、z轴的惯性积
（二）特征
1．图形的极惯性矩是对某一极点定义的，轴惯性矩是对某—坐标轴定义的，惯性积是对某一对坐标轴定义的。

2．极惯性矩、轴惯性矩、惯性积的量纲为K度四次方，单位为m4。

3．极惯性矩、轴惯性矩其数值均为正；惯性积的数值可正可负，也可能为零，若一对坐标轴中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积必等于零；但图形对某—对坐标轴的惯性积为零，则这
对坐标轴中不一定有图形的对称轴。

4．极惯性矩的值恒等于以该点为原点的任一对坐标轴的轴惯性矩之和，即
5．组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的轴惯性矩，分别等于各组分图形对同一点的极惯性矩或对同一轴的轴惯性矩之和，即
组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同—对坐标轴的惯性积之和，即
三、 惯性半径 （一）定义
任意形状截面图形的面积为A ，则图形对y 轴和z 轴的惯性半径分别为
（二）特征
1．惯性半径是对某一坐标轴定义的。

2．惯性半径的量纲为长度一次方，单位为m 。

3．惯性半径的数值恒取正值。

四、 平行移轴公式
设任意形状截面图形的面积为A(图5—5—4)，形心为c ，图形对形心轴y c 、z c 的轴惯性矩分别为c
c z y I I 、,
惯性积为
c
c z
y I ，则图形对平行于形心轴的坐标轴y 、z 的惯性矩和惯性积分别为
运用上述公式时应注意：
1．利用平行移轴公式计算必须从形心轴出发；a、b是形心C在新坐标系y、z中的坐标，所以是有正负的。

2．在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小；但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。

五、形心主轴形心主惯性矩
主惯性轴截面图形对于某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这对轴称为主惯性轴，简称主轴。

即I yz=0时，y、z轴即为主轴。

主轴的方位
主惯矩截面图形对主轴的惯性矩，称为主惯矩。

它是图形对过同一点的所有坐标轴的惯性矩中的最大值和最小值，其值为
且
形心主轴通过图形形心的一对主轴。

形心主惯性矩截面图形对形心主轴的惯性矩。

可以证明：
1．若图形有一根对称轴，则此轴即为形心主轴之一，另一形心主轴为通过图形形心并与对称轴垂直的轴。

2．若图形有二根对称轴，则此二轴即为形心主轴。

3．若图形有三根以上对称轴时，则通过形心的任一轴均为形心主轴，且主惯矩相等。