2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示练习理北师大版

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D.因为a －12b ＝(3，1)，所以a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)．所以2a ＋b＝(－2，6)．又(2a ＋b )∥c ，所以－6＝6x ，x ＝－1.故选D.2．(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85B ．(－6，8) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－85D ．(6，－8)解析：选D.因为向量b 与向量a 方向相反，所以可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝25λ2＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b ＝(6，－8)．故选D.3．已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3.所以λ＋μ＝2.故选A. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A.因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB 中，AC →＝15AB →，D 为OB 的中点，若DC →＝λOA →＋μOB →，则λμ的值为________．解析：因为AC →＝15AB →，所以AC →＝15(OB →－OA →)，因为D 为OB 的中点，所以OD →＝12OB →，所以DC →＝DO →＋OC →＝－12OB →＋(OA →＋AC →)＝－12OB →＋OA →＋15(OB →－OA →)＝45OA →－310OB →，所以λ＝45，μ＝－310，则λμ的值为－625.答案：－6257．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2)，OB →＝(－2，－1)，若2AP →＝AB →，则|OP →|＝________. 解析：设P 点坐标为(x ，y )，AB →＝OB →－OA →＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP →＝(x－1，y －2)，由2AP →＝AB →得，2(x －1，y －2)＝(－3，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2＝－3，2y －4＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝12.故|OP →|＝14＋14＝22. 答案：228．已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝3－3λ， 即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：19．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)． 10.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD →＝xOA →＋yBC →，求x ＋y 的值．解：不妨设⊙O 的半径为1，以圆心O 为坐标原点，以OB ，OD 为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，D (0，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD →＝xOA →＋yBC →， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1，0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233.所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.[综合题组练]1．已知P ＝{}a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝{b |b ＝(1，1)＋n (－1，1)，n∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A.{}（1，1） B ．{}（－1，1） C.{}（1，0）D ．{}（0，1）解析：选A.设a ＝(x ，y )，则所以集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.2．(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，合得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BC AC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点，在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →x 1AB→＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A.5＋12B ．2 C. 5D ．5＋1解析：选C.由题意， AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →. 所以x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.3．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为________．解析：因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)． 答案：(0，2)4．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0 5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解：法一：以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin (α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB →|sin (α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，由OC →＝m OA →＋n OB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3. 法二：由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，OB →·OC →＝1×2×22＝1，OA →·OC →＝1×2×152＝15，OA →·OB→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35，由OC →＝m OA →＋n OB →，得OC →·OA →＝m OA →2＋n OB →·OA →，即15＝m －35n ①，同理可得OC →·OB →＝m OA →·OB →＋n OB →2，即1＝－35m ＋n ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74.所以m＋n ＝54＋74＝3.6.已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，AD 为角平分线． (1)求AD 的长度；(2)过点D 作直线交AB ，AC 的延长线于不同两点E ，F ，且满足AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，求1x＋2y的值，并说明理由．解：(1)根据角平分线定理：DB DC ＝AB AC ＝2，所以BD BC ＝23， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以AD →2＝19AB →2＋49AB →·AC →＋49AC →2＝49－49＋49＝49，所以AD ＝23.(2)因为AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝13x AE →＋23y AF →，因为E ，D ，F 三点共线，所以13x ＋23y ＝1，所以1x ＋2y ＝3.。