正单轴晶体
《物理光学》§7-4-5-6晶体光学性质的图形表示
2 2 2
§7－4晶体光学性质的图形表示
此为一旋转轴为光轴（z 此为一旋转轴为光轴（z轴）的旋转椭球。 如图7 16a和 如图7－16a和b所示，分别给出了负单轴晶 体（ no ＞nε，如方解石）和正单轴晶体 （ no ＜nε ，如石英）的折射率椭球形状。 z
0 0 1 0 0
§7－6晶体光学器件
由于要使其中一支光发生全反射，利用了方 解石和加拿大树胶。 加拿大树胶是一种各向同性透明的物质。它 对钠黄光的折射率为1.550。介于方解石对寻 对钠黄光的折射率为1.550。介于方解石对寻 常光的折射率1.6548和对非常光的主折射率 常光的折射率1.6548和对非常光的主折射率 1.5159之间。 1.5159之间。 所以就e 所以就e光来说，树胶相对于方解石是光密 介质；而对o 介质；而对o光来说，树胶相对于方解石却是 光疏介质。于是在特定的条件下，o光就可能 光疏介质。于是在特定的条件下，o 发生全反射，射向棱镜壁，被棱镜壁吸收。
§7－4晶体光学性质的图形表示
折射率椭球： 一、 折射率椭球： 由前述可知，在晶体的介电主轴坐标系中， 物质方程可有如下简单形式： Dx = ε 0ε rx Ex , Dy = ε 0ε ry Ey , Dz = ε 0ε rz Ez 因此，光波中电能密度的表达式可为：
2 2 2 Dx Dy Dz 1 1 We = E• D = + + 2 2ε 0 ε rx ε ry ε rz → →
§7－6晶体光学器件
尼科耳棱镜的孔径角约为± 尼科耳棱镜的孔径角约为±140 尼科耳棱镜不适用于高度会聚或发散的光束， 价格昂贵，入射光束与出射光束不在一条直线上。 对激光：是一种优良的偏振器。 2.格兰棱镜 2.格兰棱镜 是为改进尼科耳棱镜入射光束与出射光束不在 一条直线上，带来使用不便的问题而设计的。 特点： 吸收层 O 端面与底面垂直
3光在几类特殊晶体中的传播规律
n4(no 2sin2 ne 2cos2 ) n2ne 2 ne 2(no 2sin2 ne 2cos2 ) no 4ne 20
该方程有两个解
nno (51)
n
none
(52)
no2sin2ne2cos2
(1)两种特许线偏振光波(本征模式) 第一个解 n 与光的传播方向无关，与之相应的光波称 为寻常光波，简称 o 光。
k12 k22 k32 0 (40)
n1211 n1212 n1213
1 2 n o 2 ,3 n e 2 n o 2( 4 8 )
k 1 0 ,k 2 s i n ,k 3 c o s( 4 9 )
(1)两种特许线偏振光波(本征模式)
即
n 2 n o 2 n 2 ( n o 2 s i n 2 n e 2 c o s 2 ) n o 2 n e 2 0 ( 5 0 )
①寻常光波
可见，o 光的 E 平行于 x1 轴，从一般意义上讲，即
垂直于 k 与 x3 轴决定的平面。又由于 D＝0no2E，所
以 o 光的 D 矢量与 E 矢量平行。
Do Eo
x1
x3
k so x2
②异常光波
将 n＝n 及 k1＝0，k2＝sin，k3 ＝ cos 代入(42)式，
得到
(no2n2)E1 0
对于 e 光，其折射率随 k 矢量的方向改变；E 矢量与 D 矢量一般不平行，它们与光轴的夹角随着 k 的方向 改变；它的光线方向 se 与波法线方向不重合。
n
none
(52)
no2sin2ne2cos2
De x3
Ee
se k so
Do
x2
Eo
x1
(完整版)激光倍频技术原理
ne (mI正 ) no2
1 no2 2
1
ne
(
I m正
)
2
cos
2
I m正
no 2
sin
2
I m正
ne 2
arcsin
(no )2 (no )2
(no2 )2 (ne )2
1/ 2
<2>正单轴晶体II 类 o e o2
E(2,
2
z)
ei(2tk2 z)
c.c.
E(, z, t) E(, z) ei(tkz) c.c.
2
Q dE(2, z) E2 (, z)ei(2k k2 )zdz
E(2, L) L dE(2, z) E2 ()eikL/2L sin(kL / 2)
就属于双轴晶体。双轴晶体的折射率曲面是双层双叶曲面，不再以Z
轴为光轴，Z轴是两个光轴的角平分线，折射率也不仅是 的函数，
也是 的函数
在双轴晶体中非光轴方向，中存在着两个相互正交的光电场 、 , 分别对应着双层双叶曲面的两个曲面E ' n'(,) 和 E '' n''(,) ，同样可 以利用角度匹配的方法，也分为I类（平行式）和II类（正交式）匹 配，即：
10
§8.3角度匹配方法
负单轴晶体的角度匹配
<1>负单轴晶体I类 no ne
基频光取o光偏振态，倍频光选e光偏振态 o o e2
要求no ne2
1
no
ne2
第4章 晶体光学及元器件概要
在此，介电常数ε=ε0εr是标量，电位移矢 量D与电场矢量E的方向相同，即D矢量的每 个分量只与E矢量的相应分量线性相关。对 于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系 为:
D 0 r E
D 0 r E
5
介电常数
0 r 是二阶张量。其分量形式为：
1 2 3 0
在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传 播的光波折射率都等于主折射率n0，或者说， 光波折射率与传播方向无关。
8
(2).单轴晶体
单轴晶体的主介电系数为：
2 2 2 1 2 no , 3 ne no
在这种晶体中存在着一个特殊方向，当波矢K与 该方向一致时，光的传播特性如同在各向同性 介质中一样，该方向叫做光轴，所以晶体称为 单轴晶体。
p T q
3
中，上式可表示为矩阵形式 ：
式中， 是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系O-x1x2x3 T
T T T p 11 12 13 q1 1 p T T T q 2 21 22 23 2 q T T T 3 p3 31 32 33
Di 0 ij E j
i, j=1, 2, 3
即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性 相关。在一般情况下，D与E 又由光的电磁理论，晶体的介电张量 是一个对称张 量，因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是 对角张量，只有三个非零的对角分量，为：
12
13
四、折射率椭球（光率体）
在传统的晶体光学中，人们引入了几何图形方法来使我们 直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及 与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。折射 率椭球便是其中一种描述晶体光学性质的三维曲面。 在主轴坐标系中，由光的电磁理论可知：
非线性光学习题解答终极版
非线性光学习题解答[李春蕾(2011111772)]第一章 晶体光学简介 电光效应1.解答：由于矢量运算不受坐标系的影响，只是表示形式不同而已，不妨在直角坐标系下建立方程，设x x y y z z k k e k e k e =++ ，x y z r xe ye ze =++，x y z e e e x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ 则exp[i()]x y z fk x k y k z =++ 于是i i i i x y z x x y y z zf f f fe e e fk e fk e fk e fk x y z∂∂∂∇=++=++=∂∂∂，问题得证。
对于平面波，设0000exp[i()]()exp[i()]x x y y z z EE t k r E e E e E e t k r ωω=−⋅=++−⋅其中，0exp[i()]x x E E t k r ω=−⋅，0exp[i()]y y E E t k r ω=−⋅ ，0exp[i()]z z E E t k r ω=−⋅()()()(i i )(i i )(i i )i x y zy y x xz z x y z x y z x y z z y y z x x z z x y y x E e e e E E E E E E e e e x y z y z z x x y E E E e k E k E e k E k E e k E k E k E∇×∂∂∂∂∂∂∂∂∂==−+−+−∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−++−++−+=×同理，i H k H ∇×=×.2.证明：在选定主轴坐标系的情况下，物质方程可以写成0i i i D E εε=，1,2,3i =同时，将晶体光学第一基本方程写成分量形式，20[()]ii i D n E k k E ε=−⋅，1,2,3i =联立两式，整理得到02()11ii i k k E D nεε⋅=− 对于对应同一个k 的两个电位移矢量D ′ 、D ′′，建立它们的标量积2222312022222211223322210221()()111111111111()()()()()()()()()()()1D D k k k k E k E n n n n n n k n n k E k E n n εεεεεεεεε′′′⋅ ′′′=⋅⋅++−−−−−−′′′′′′′′′′′′′′′=⋅⋅′′′− 22222331222222221223311111111111()()()()()()k k k k k n n n n n n εεεεε −+−+−−−−−−− ′′′′′′′′′由23122011i i ik n n ==−∑，得到大括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和为零，所以0D D ′′′⋅=即对应同一个k 的两个电位移矢量D ′ 、D ′′相互垂直.3.解答：22011i i k nε=−∑是方程20[()]i ii i E n E k k E εε=−⋅的本征值方程，设其本征值为m n ，相应的本征解为()m E ，则可以得到，()2()()0[()]m m m mEn E k k E ε⋅=−⋅ε晶体中可以有两个本征解，设另一个为()n E ，用其点乘上式得到()()()()()201[()]n m m n m mEE k k E E E n ε⋅−⋅=⋅⋅ε 交换指标m 和n 后可以得到()()()()()201[()]m n n m n nEE k k E E E n ε⋅−⋅=⋅⋅ε 上两式相减，考虑到介电常数张量ε为对称张量，则可以得到()()2201110m n n m E E n n ε −⋅⋅=ε 如果m n n n ≠，则有()()0m n EE ⋅⋅=ε 如果m n n n =，显然方程成立。
第3章 晶体在外场作用下的光学性质 1
+
ε3
2 x3
=1
式中x1、x2 、x3为晶体的介电主轴坐标系，n1、n2、 n3为晶体的三个主折射率值，ε1、ε2、ε3为晶体介电张 量的三个主值。
17
3.2 电光效应
电光效应引起晶体折射率的改变可以用折射率 椭球面的变化来表示。这一变化可以视为椭球 面方程中各系数产生的微小的增量。通常把有 外电场存在时的折射率椭球方程改写为 式中
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3.1 晶体光学简介
光线在中级晶族的晶体中传播时，会发生双折 射现象。然而，存在一个特殊的传播方向；在 这个方向，偏振方向互相垂直的任意两个线偏 振光的折射率和位相速度都相同，这个特殊方 向称为晶体的光轴。可见，沿着光轴方向传播 的光不发生双折射。中级晶族对应的晶体都只 有一个光轴，因此称为单轴晶体。如：冰洲石、 石英、红宝石、冰等。
7
3.1 晶体光学简介
4、三大晶族及特性 1）高级晶族 立方晶系属于高级晶系，具有最高的对称性。 立方晶系在光学上表现为各向同性，即 ε1=ε2=ε3=n2。
8
3.1 晶体光学简介
2）中级晶族 三方晶系、四方晶系和六方晶系都属于中级晶族，它 们的高次旋转轴就是光轴。中级晶族的介电张量具有 旋转对称性(ε1=ε2 ε3≠ )，在光频条件下，ε1=ε2＝ ， 2 2 ε2＝no 。no称为寻常折射率；ne称为异常折射率。当 ne 光线具有不同的偏振方向时，寻常折射率不变。值得 注意的是，不同偏振方向的电磁波对应的异常折射率 并不等于ne，而是随偏振方向与光轴间夹角的变化而 变化。
27cossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincossincoscossincossinsincoscossincossin公式31可见kdp晶体沿z轴加电场时由单轴晶体变成了双轴晶体折射率椭球的主轴绕z轴旋转了45角此转角与外加电场的大小无关其折射率变化与电场成正比这是利用电光效应实现光调制调q锁模等技术的物理基础
《物理光学》第7章 光的偏振与晶体光学基础
vk = vs cos α
z
4、 自然光：具有一切可能的振动方向的许多光波的总和。 振动方向无规则。 自然光可以用相互垂直的两个光矢量表示，这两个光矢量的 振幅相同，但位相关系不确定。
没有优势方向
自然光的分解
一束自然光可分解为两束振动方向相互垂直的、 一束自然光可分解为两束振动方向相互垂直的、等幅 不相干的线偏振光。 的、不相干的线偏振光。
寻 常 光 线 (ordinary ray) 和 非 常 光 线 (extr- ordinary ray)
o光 : 遵从折射定律
n1 sin i = n2 sin ro sin i ≠ const sin re
自然光 n1 n2 (各向异 各向异 性媒质) 性媒质
e光 : 一般不遵从折射定律、 也不一定在入射面内。
Dx ε xx D = ε y yx Dz ε zx
ε xy ε xz Ex ε yy ε yz E y ε zy ε zz Ez
通过坐标变换，找到主轴方向：x,y,z,则 通过坐标变换，找到主轴方向：x,y,z,则：
均匀性及各向异性
2 晶体的介电张量(The dielectric tensor) (The 张量的基础知识： 零阶张量(标量): ( ) 如果一个物理量在坐标移动时数值不变，则称为标量(T, (T, m, …) )
一阶张量(矢量)： ( ) 如果一个物理量由三个数表示，而且在坐标移动时如同坐标 一样变换，则此物理量称为矢量…
Dx ε x D = 0 y Dz 0
主介电常数 双轴晶体：
0
εy
0
0 Ex 0 Ey ε z Ez
应用折射率椭球讨论晶体的光学性质
或:
x 12
x
2 2
x
2 3
n
2 o
x
2 1
x
2 2
n
2 e
x
2 3
n
2 o
1
可见，单轴晶体的折射率曲面是双层曲面，由半径为 no
的球面和以 x3 轴为旋转轴的旋转椭球构成。球面对应 o 光的
折射率曲面，旋转椭球对应 e 光的折射率曲面。
对于正单轴晶体：ne>no，球面内切于椭球；对于负单轴 晶体：ne<no ，球面外切于椭球。两种情况的切点均在 x3 轴上， 故 x3 轴为光轴。
C1、C2 与 x3 轴的夹角分别为 、 ，则有：
tan n3
n1
n22 n12 n32 n22
小于 45，为正双轴晶体; 大于45，为负双轴晶体。
图 4-15 双轴晶体折射率 椭球在x3Ox1面上的截线
图4-16 双轴晶体双光轴示意图
b.光在双轴晶体中的传播特性
一束单色光从空气入射到晶体表面上，会产生双折射； 当一束单色光从晶体内部射向界面上时，会产生双反射。
界面上产生的两束折射光或两束反射光都是线偏振光， 其振动方向相互垂直。这种双折射和双反射现象是晶体光学 各向异性特性的直接结果。
光轴
方解石晶体的双折射现象
He-Ne激光束 （自然光）
45
方解石晶体中的双反射现象
利用双轴晶体的折射率椭球可以确定相应于k方向两束 特许线偏振光的折射率和振动方向，具体计算比单轴晶体 复杂得多。只讨论几种特殊情况：
(i) 当k方向沿着主轴方向(如x1轴)时，相应的两个特许线 偏振光的折射率分别为n2和n3，D矢量的振动方向分别沿 x2 轴和 x3 轴；当 k 沿 x2 轴时，相应的两个特许线偏振光的折 射率分别为 n1和 n3，D矢量的振动方向分别沿 x1轴和 x3轴。
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正单轴晶体
正单轴晶体，也称为单轴正晶，简称单轴晶。
它是一类重要的物质，正单轴晶体在生产生活和科学研究上有着广泛的用途，它还可以制成新型的光学器件。
正单轴晶体还有许多重要的物理性质，如下表：在日常生活中，我们发现任何物体都具有方向性，也就是具有“三大性”。
当一个物体的受力变化达到一定程度时，物体就会产生一种固有的取向性。
这种由于某种力作用而产生的取向性叫做物体的“方向性”。
正单轴晶体中，某些原子、分子或其他微粒在不停地旋转。
在晶体内部，正单轴晶体按照一定规律排列，沿一个方向高速旋转，使得晶体获得了“方向性”。
由于每一个原子的结合能力非常小，所以晶体在变形过程中比较稳定。
例如，在钢材拉伸时，一旦出现断裂，断口就呈现贝壳状；木材的纵向纤维方向很容易被扭断。
正单轴晶体的特点是：沿单晶晶体中某一假象方向晶面指数为零，这种晶体称为单轴晶体。
单轴晶体在自然界中广泛存在。
许多单晶矿石，如长石、云母等，都属于单轴晶体。
看，这是单轴正晶体中间插入的条状铝丝。
大家知道，纯铝的密度小，它能像天平一样使轻的物体往上浮，重的物体往下沉。
当铝中掺进一定量的硅后，便形成了单轴正晶，在电磁铁中使用的铁心就是这样制造的。
可见，正单轴晶体具有天平的功能。
在日常生活中，可以利用单轴晶体制造太阳能热水器。
因为正单轴晶体密度小，所以只需要把热水器放在一块正单轴晶体上就行了，因此用它来装热水器不仅轻巧，而且成本低，这就是太阳能热水器的
优势。
现在太阳能热水器有许多品牌，价格从几千元到上万元不等。
单轴晶体，可以说是最廉价的太阳能热水器。
现在人们对温度的感觉已经超出了这种人体自我调节的能力。
比如夏天里的热天气，人们普遍穿棉衣、戴棉帽、打赤膊，汗流浃背，甚至喝凉水，渴得嗓子冒烟，但仍然觉得酷暑难熬，无论吃什么东西，都解不了这炎热的"毒"。
只有在身边有人拿一杯冷饮递给你，又为你扇扇风，你才会有种清爽的感觉。
单轴正晶体能够吸收太阳的能量，把太阳的光能变成电能贮存起来，到了晚上，人们不用灯照明，只要把手放在正单轴晶体上，它就会自动发光，提供人们使用。