2021届中考数学专题复习训练——二次函数专题11二次函数综合之相似三角形

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中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)

中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -和()1,0B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线43y x h =-+经过点B ，交抛物线于另一点C ．P 是线段BC 上一点，过点P 作直线PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，且PB PQ =，求点P 的坐标；(3)M ，N 是抛物线上的动点（不与点B 重合），直线BM ，BN 分别交y 轴于点E ，F ，若EBF EOB ∽△△，求证：直线MN 经过一个定点．2．如题，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点，当ACD 周长最小时，求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点，射线AE 交抛物线于点F ，P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线AF 与点G ，是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线l x ⊥轴于点(),0M m ，交BC 于点N ，连接CM PB PC ，，．PCB 的面积记为1S ，BCM 的面积记为2S ，当12S S 时，求m 的值；(3)在（2）的条件下，点Q 在抛物线上，直线MQ 与直线BC 交于点H ，当HMN △与BCM 相似时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线214y x bx c =-++与x 轴分别相交于()2,0A -，()8,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE BF +的最大值；①若G 是AC 的中点，以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似求点D 的坐标． 5．如图抛物线223y x x =-++交x 轴于A B 两点交y 轴于点C 连接AC BC ．(1)求ABC 的面积；(2)点M 为y 轴上一点是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在请求出点M 的坐标；若不存在请说明理由；(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合）且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图抛物线1L ：245y x x =-++的顶点为D 交x 轴于点A B （点A 在点B 左侧）交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线” 其顶点为P ．(1)若抛物线2L 经过点()38-，求抛物线L 1对应的函数关系式； (2)连接BC ．设点Q 是抛物线1L 上且位于其对称轴右侧的一个动点若DPQ 与BOC 相似求其“共根抛物线”2L 的顶点Р的坐标．7．如图直线23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 抛物线243y x bx c =-++经过点A B ．(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)(),0M m 为x 轴上一动点过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N ．①点M 在线段OA 上运动若以B P N 为顶点的三角形与APM ∆相似求点M 的坐标； ①点M 在x 轴上自由运动若三个点M P N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）则称M P N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M P N 三点成为“共谐点”的m 的值．8．如图二次函数2y ax bx c =++（0a <）的图象与x 轴交于()1,0A - B 两点与y 轴交于点C 已知3OB OA = OC OB =．(1)求该二次函数的表达式；(2)点M 为抛物线对称轴上一动点是否存在点M 使得BM CM -有最大值若存在请直接写出其最大值及此时点M 坐标若不存在请说明理由．(3)连接AC P 为第一象限内抛物线上一点过点P 作PD x ⊥轴垂足为D 连接PA 若PDA 与COA 相似请求出满足条件的P 点坐标：若没有满足条件的P 点请说明理由．9．如图在平面直角坐标系中二次函数的图象交坐标轴于()20A -，()40B ， ()08C ，三点点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时 PBC 的面积最大求此时P 点坐标及PBC 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q 使以O B Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在请直接写出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．10．如图已知抛物线经过()40A ，()10B ， ()02C -，三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若P 是直线4x =右侧的抛物线上一动点过点P 作PM x ⊥轴垂足为M 是否存在点P 使得以A P M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在请说明理由11．综合与探究：如图在平面直角坐标系中抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A - ()3,0B 与y 轴交于点C 连接BC ．若在第四象限的抛物线上取一点M 过点M 作MD x ⊥轴于点D 交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)试探究抛物线上是否存在点M 使ME 有最大值？若存在求出点M 的坐标和ME 的最大值；若不存在请说明理由；(3)连接 CM 试探究是否存在点M 使得以M C E 为顶点的三角形和BDE △相似？若存在请求出点M 的坐标；若不存在请说明理由．12．综合与探究如图抛物线213222y x x =-++的图象与x 轴交于A B 两点点A 在点B 的左侧与y 轴交于点C 连接BC ．(1)求点B C 的坐标．(2)C '是点C 关于抛物线对称轴的对称点 D 是BC 线段上一点已知25BD BC = 求直线C D '的解析式．(3)若C 关于x 轴的对称点为M 连接BM N 是线段AB 上的动点过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P 交直线BM 于点Q 当以B P Q 为顶点的三角形与BOM 相似时请直接写出点P 的坐标．13．如图抛物线26y ax bx =+-与y 轴交于点A 与x 轴交于点()3,0B - ()1,0C P 是线段AB 下方抛物线上的一个动点过点Р作x 轴的垂线交x 轴于点H 交AB 于点D ．设点P 的横坐标为()30t t -<<．(1)求抛物线的解析式．(2)用含t 的式子表示线段PD 的长并求线段PD 长度的最大值．(3)连接AP 当DPA 与DHB △相似时求点P 的坐标．14．如图抛物线经过点()2,0A - ()3,3B -和坐标原点O 顶点为C ．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：BOC 是直角三角形；(3)若点P 是抛物线上第一象限内的一个动点过点P 作PM x ⊥轴垂足为M 是否存在点P 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在求出点P 的坐标；若不存在请说明理由．15．在平面直角坐标系中抛物线()26160y ax ax a a =--≠与x 轴的两个交点分别为A B 、与y 轴相交于点C 连接BC 已知点()04C ，．(1)求A B 、两点坐标和抛物线的解析式；(2)设点P 是抛物线上在第一象限内的动点（不与C B 、重合）过点P 作PD BC ⊥ 垂足为点D ．①点P 在运动过程中线段PD 的长度是否存在最大值？若存在求出最大值以及此时点D 的坐标；若不存在请说明理由：①当以P D C 、、为顶点的三角形与COA 相似时求点P 的坐标．参考答案：1．（1）解：将()2,0A - ()1,0B 代入2y x bx c =++得：()2202201b c b c⎧=--+⎪⎨=++⎪⎩ 解得：12=⎧⎨=-⎩b c ∴抛物线的函数表达式为：22y x x =+-；（2）解：将()1,0B 代入43y x h =-+ 得：4013h =-⨯+ 解得：43h = ∴直线BC 的解析式为：4433y x =-+ 联立直线BC 与抛物线得：244332y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩ 解得：103529x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩ 1052,39C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭设44,33P m m⎛⎫-+⎪⎝⎭则()2,2Q m m m+-PB PQ=()()2224444123333m m m m m⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22257101933m m m-=--+即()257101333m m m--=--+或()257101333m m m-=--+解得：1m=或53m=-或5m=-P是线段BC上一点()1,0B1052,39C⎛⎫-⎪⎝⎭53m∴=-532,39P⎛⎫∴-⎪⎝⎭；（3）解：设()()()2211122212,2,,21,1 M x x x N x x x x x+-+-≠≠直线MN的解析式为y kx n=+即2111222222x x kx nx x kx n⎧+-=+⎨+-=+⎩解得：()121212k x xn x x=++⎧⎨=-+⎩∴直线MN的解析式为：()()121212y x x x x x=++-+直线BM的解析式为y k x n''=+即21112x x k x nk n⎧+-=+'=+'''⎨⎩解得：()1122k xn x=+⎧⎨=-+''⎩∴直线BM的解析式为：()()1122y x x x=+-+当0x=时()12y x=-+()10,2E x∴--直线BN的解析式为y k x n''''=+即222220x x k x n k n '''⎧+-=+⎨=+'''''⎩解得：()2222k x n x =+⎧⎨=-+''''⎩∴直线BN 的解析式为：()()2222y x x x =+-+当0x =时 ()22y x =-+()20,2F x ∴--12EF x x ∴=-EBF EOB ∽△△EF BE BE OE∴= 112BE OE x ==+()21121122x x x x ∴++=-⋅+即()221111212542x x x x x x x ++=+-- ∴()121252x x x x =--+∴()()()()()()121212121212125223y x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+=++---+=++++⎣⎦ ∴当2x =-时 1y =∴直线MN 经过一个定点()2,1-．2．（1）解：把点()1,0A - ()4,0B 分别代入22y ax bx =++得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①抛物线的解析式为213222y x x =-++．（2）①()1,0A - ()4,0B①对称轴为直线14322x -+== 点A 关于对称轴的对称点为点B 连接BC 交对称轴于点D 连接AD 此时AD CD +最小当0x =时 2y =①点()0,2C ．设直线BC 的解析式为2y kx =+ 代入()4,0B 得420k += ①12k =- ①直线BC 的解析式为122y x =-+ 当32x =时 54y = ①点35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）存在．①()0,2C E 是OC 的中点∴()0,1E ．又()1,0A -①直线AE 的解析式为1y x =+ 1OE OA ==．联立2132221y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩得2132122x x x -++=+．解得12x = 21x =-（舍）．当2x =时 3y =．①()2,3F ．设213,222P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则(),1G n n +． ①2213112112222PG n n n n n =-++--=-++．分以下两种情况：①如图2 若FPG AOE ∽△△ 则90FPG PF PG =．①PF x ∥轴．①2PF n =-． ①2112122n n n -=-++．解得1n =或2n =（舍）．①()1,3P ．①如图3 若PFG AOE ∽△△ 则90PFG ∠=︒ PF FG =．过点F 作FH PG ⊥于点H 则2PG FH = 即()21112222n n n ⎛⎫--++=- ⎪⎝⎭．解得3n =或2n =（舍）．①()3,2P ．综上点P 的坐标为()1,3或()3,2．3．（1）解：抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于()20A -，()40B ，两点 ∴()221220214402b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得：14b c =⎧⎨=⎩①抛物线的函数表达式为2142y x x =-++；（2）解：抛物线2142y x x =-++与y 轴交于点C ∴()0,4C∴4OC =设直线BC 的解析式为y kx d =+ 把()4,0B ()0,4C 代入得： 404k d d +=⎧⎨=⎩解得14k d =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为4y x =-+直线l x ⊥轴 (),0M m21,42P m m m ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭(),4N m m -+ ()221144222PN m m m m m ∴=-++--+=-+ 221111244222B C S PN x x m m m m ⎛⎫∴=⋅-=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭()4,0B ()0,4C (),0M m()211448222C S BM y m m ∴=⋅=⨯-⨯=- 12S S2482m m m ∴-+=-解得2m =或4m =（P 与B 重合舍去）m ∴的值为2；（3）解：()4,0B ()0,4COB OC ∴= BOC ∴是等腰直角三角形45CBO ∴∠=︒BMN ∴是等腰直角三角形45BNM MBN ∴∠=∠=︒HMN 与BCM 相似且45MNH CBM ∠=∠=︒H ∴在MN 的右侧且NH MN BC BM=或NH MN BM BC = 设(),4H t t -+ 由（2）知()2,0M ()2,2N ()4,0B ()4,0CBC ∴= 2BM = 2MN =2NH - 当NHMNBC BM =时如图：∴222242t -=解得6t =或2t =-（此时H 在MN 左侧舍去）()6,2H ∴-由()2,0M ()6,2H - 同（2）得直线MH 解析式为112y x =-+2112142y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点Q 的坐标为⎝⎭或⎝⎭；当NH MNBM BC =时如图：∴222242t -=解得32t =（舍去）或52t =5322H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，由()2,0M 5322H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同（2）得直线MH 解析式为36y x =- 236142y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩解得261266x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩2261266x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩①点Q 的坐标为(226,1266-+-+或(226,1266----．综上所述点Q 的坐标为333133+-⎝⎭或333133-+⎝⎭或(226,1266-+-+或(226,1266----． 4．（1）将()2,0A - ()8,0B 代入抛物线214y x bx c =-++ 得()221220418804b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴该抛物线的解析式为213442y x x =-++．（2）①由抛物线的解析式为213442y x x =-++ 得()0,4C ．设直线BC 的解析式为y kx t =+ 将()8,0B ()0,4C 代入得80,4,k t t +=⎧⎨=⎩解得1,24,k t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142y x =-+．设第一象限内的点D 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 则1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2213114424224DE m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8BF m =- ()()2211282944DE BF m m m m ⎛⎫∴+=-++-=--+ ⎪⎝⎭． 104-< ∴当2m =时 DE BF +有最大值为9．①()2,0A - ()8,0B ()0,4C2OA ∴= 8OB = 4OC = 10AB =22220AC OA OC ∴=+= 22280BC OB OC =+= 2210100AB == 222AC BC AB ∴+=90ACB ∴∠=︒90CAB CBA ∴∠+∠=︒．DF x ⊥轴于点F90FEB CBA ∴∠+∠=︒CAB FEB DEC ∴∠=∠=∠．以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似只需OA AG DE CE =或OA AG CE DE =． G 是AC 的中点 ()2,0A - ()0,4C()1,2G ∴- 2OA =12AG AC == 由①知2124DE m m =-+ 1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭CE ∴=．当OA AG DE CE =时22124m m =-+解得4m =或0m =（舍去） ()4,6D ∴．当OAAGCE DE =时 251524m m m -+解得3m =或0m =（舍去） 253,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．综上所述以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似点D 的坐标为()4,6或253,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5．（1）解：对于抛物线223y x x =-++ 当0x =时可有3y = 即(0,3)C 当0y =时可有2230x x -++= 解得11x =- 23x =即(1,0)A - (3,0)B①3OC = 3(1)4AB =--= ①1143622ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；（2）解：存在点M 的坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或()01M -，理由如下：①(1,0)A - (3,0)B (0,3)C ①221310AC =+= 4AB = 223332BC =+如下图当BCA CMB ∽时则有BCABCM BC = 3232①92CM = ①93322OM CM OC =-=-= ①30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当BAC CMB ∽时如图：则有BC ABCM BC = 4CM =①4CM =①1OM CM OC =-=则()01M -，综上：30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()01M -，（3）解：根据题意点P 与点B 不重合；且45APC ∠=︒ 如图结合二次函数的对称性且=45ABC ∠︒ ①45BAP ∠=︒①CP AB ∥则3P C y y ==①223y x x =-++①对称轴()2121x =-=⨯- 则()112C P x x += 则2P x =①P 的坐标为()23，当45PAC ∠=︒时如下图设AP 交y 轴于点H 过点H 作HN AC ⊥于点N ①45PAC ∠=︒①9045NHA PAC PAC ∠=︒-∠=︒=∠ ①HN NA =①(1,0)A - (0,3)C①1OA = 3OC = ①1tan 3NH OA ACO CN OC ∠=== 设HN NA t == 则3CN t = 2AH t = ①310AC t t =+解得10t =①52AH t = ①2212OH AH OA =-=①10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AH 的解析式为111(0)y k x b k =+≠ 将点(1,0)A - 10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得111012k b b =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得111212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①直线AH 的解析式为1122y x =+ 联立直线AH 的解析式1122y x =+与抛物线解析式223y x x =-++ 可得2112223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩ 解得=1x -（舍去）或52x =①点57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当45ACP ∠=︒时如下图设CP 交x 轴于点T 过点T 作TK BC ⊥于点K ①(3,0)B (0,3)C ①3OB OC == ①190452OCB CBT ∠=∠=⨯︒=︒ ①45ACP OCB ∠=∠=︒ 即ACO OCP OCP PCB ∠+∠=∠+∠①ACO PCB ∠=∠ ①1tan tan 3TK BCP ACO CK ∠==∠= ①45KBT ∠=︒①9045KTB KBT KBT ∠=︒-∠=︒=∠①KB KT =设KT KB t == 则3CK t = 2BT t ①332BC t t =+=解得32t = ①322BT t ==①3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 设直线CT 的解析式为222(0)y k x b k =+≠ 将点(0,3)C 3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得2223302b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2223k b =-⎧⎨=⎩ ①直线CT 的解析式为23y x =-+联立直线CT 的解析式23y x =-+与抛物线解析式223y x x =-++可得22323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得0x =（舍去）或4x =①点(4,5)P -．综上所述点P 坐标为(2,3) 57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,5)-． 6．（1）解：在抛物线1L ：245y x x =-++中令0y = 则2450x x -++=解得11x =- 25x = 即()10A -， ()50B ，根据题意设抛物线L 2的函数关系式为()()15y a x x =+-将点()38-，代入得()()83135a =-+-- 解得12a = ①抛物线2L 的函数关系式为()()2115152222y x x x x =+-=--；（2）解：由题意得 5OB OC ==①BOC 为等腰直角三角形①抛物线1L ：()224529y x x x =-++=--+①顶点()29D ，由题意可知PDQ ∠不可能为直角①当90DPQ ∠=︒时如图 DPQ BOC ∽或DPQ COB ∽ 则DP QP =设Q 2()45m m m -++，①2QP m =- ()2945DP m m =--++①()22945m m m -=--++ 解得12m =（舍去） 23m = ①当3m =时 2458m m -++=①()28P ，①当90DQP ∠=︒时如图 DPQ BCO ∽或DPQ CBO ∽ 过点Q 作QM DP ⊥垂足为点M 则DM QM MP ==由①可知()28M ，①1MP DM ==①()27P ，综上所述：点P 的坐标为()28P ，或()27P ，．7．（1）解：23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 02c 解得2c =(0,2)B ∴抛物线243y x bx c =-++经过点A B ∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2410233y x x =-++；（2）解：①由（1）可知直线解析式为223y x =-+ (,0)M m 为x 轴上一动点过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N2,23P m m ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 223PM m 3AM m 22410242243333PN m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭BPN △和APM △相似且BPN APM ∠=∠90BNP AMP 或90NBP AMP ∠=∠=︒当90BNP ∠=︒时则有BN MN ⊥N ∴点的纵坐标为224102233m m ∴-++= 解得0m =（舍去）或52m = 502M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，；当90NBP ∠=︒时过点N 作NC y ⊥轴于点C则90NBC BNC ∠+∠=︒ NC m = 22410410223333BC m m m m =-++-=-+ 90NBP ∠=︒90NBC ABO ∴∠+∠=︒ABO BNCRt Rt NCB BOA ∴∽△△ ∴NC CB OB OA= ∴24103323m m m -+= 解得0m =（舍去）或118m = 1108M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，；综上可知当以B P N 为顶点的三角形与APM △相似时点M 的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1108⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ①由①可知(,0)M m 2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭M P N 三点为“共谐点”∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点当P 为线段MN 的中点时则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或0.5m =；当M 为线段PN 的中点时则有22410220333m m m ⎛⎫-++-++= ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或1m =-；当N 为线段PM 的中点时则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或14m =-；综上可知当M P N 三点成为“共谐点”时m 的值为0.5或1-或14-． 8．（1）解：(1,0)A -1OA ∴=3OB OA = OC OB =3OB OC ∴==．(3,0)∴B (0,3)C二次函数()2<0y ax bx c a =++的图象经过点A B C∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴该二次函数的表达式为223y x x =-++；（2）解：①()222314y x x x =-++=--+①抛物线对称轴为直线1x =延长AC 交对称轴于点M 此时BM CM AM CM AC -=-=有最大值①()1,0A - (0,3)C ①221310AC =+=设直线AC 的解析式为3y mx =+ 代入()1,0A -得03m =-+ 解得3m =①直线AC 的解析式为33y x =+①当1x =时 336y =+=①点M 坐标为()16，；答：BM CM - 点M 坐标为()16，；（3）解：设2(,23)P m m m -++PD x ⊥轴 P 为第一象限内抛物线上一点 0m ∴> OD m = 223PD m m =-++ 1AD OA OD m ∴=+=+ PDA 与COA 相似 ∴OA AD OC PD =或OA PD OC AD= ∴211323m m m +=-++或212331m m m -++=+．解得：10m = 21m =-或31m =- 483m =．0m >83m ∴=． PDA ∴与COA 相似满足条件的P 点坐标为81139⎛⎫⎪⎝⎭，． 9．（1）解：①(0,8)C 则设抛物线解析式为28y ax bx =++把A 、B 两点坐标代入可得428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩①抛物线解析式为228y x x =-++；（2）解：①点P 在抛物线上①可设()228P t t t -++，过P 作PE x ⊥轴于点E 交直线BC 于点F 如图①(40)B ，(08)C ，设直线BC 解析式为8y kx =+则048k =+解得2k =-①直线BC 解析式为28y x =-+①(28)F t t -+，①()2228(28)4PF t t t t t =-++--+=-+ ①1111()2222PBC S PF OE PF BE PF OE BE PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅△ ()221442(2)82t t t =-+⨯=--+ ①当2t =时 PBC S 最大值为8 此时2288t t -++=①当P 点坐标为(2,8)时 PBC 的最大面积为8；（3）解：设(0)Q m ，①=90AOC ︒∠①分AOC QOB ∽△△和AOC BOQ ∽△△两种情况当AOC QOB ∽△△时①OA OC OQ OB= 即284m = 解得1m =±①点Q 的坐标为()01，或()01-，；当AOC BOQ ∽△△时 ①OA OC OB OQ= 即284m = 解得16m =±①点Q 的坐标为()016，或()016-，；综上点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，． 10．（1）解：①该抛物线过点()02C -，①可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将()40A ，()10B ，代入得1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①此抛物线的解析式为215222y x x =-+-；（2）解：存在；设P 点的横坐标为m 则P 点的纵坐标为215222m m -+- 由题意 4m > 如图 4AM m =- 215222PM m m =-+①90COA PMA ∠=∠=︒ ①12PM OC AM OA ==或①2PM OA AM OC ==当12PM OC AM OA ==时则21522422m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ 解得：1224m m ==，（都不符合题意舍去）；当2PM OA AM OC==时则()21522422m m m -+=- 解得：1254m m ==，（4m =不符合题意舍去）此时 2152222m m -+-=- 则()52P -，综上所述符合条件的点P 为()52-，． 11．（1）解：把点()1,0A - ()3,0B 代入24y ax bx =+-中得：409340a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：4383a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则抛物线的表达式为则抛物线的表达式为：248433y x x -=-；（2）存在理由如下：由抛物线解析式可知：点()0,4C - 设BC 的表达式为：4y kx =-将点B 的坐标代入上式得：034k =- 解得：43k = 则直线BC 的表达式为：443y x =- 设点4,43E x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 则点248,433M x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则224484(4)(4)43333ME x x x x x =----=-+ ①403-< 故ME 有最大值当32x =时 ME 的最大值为3 此时点3,52M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）存在理由如下：DEB CEM M C E ∠=∠，，，为顶点的三角形和BDE △相似 ①当CME ∠为直角时则点C 、M 关于抛物线对称轴对称而抛物线的对称轴为32x =则点()3,4M -；①当90ECM ∠=︒时如图：由（1）得()0,4C - 设直线BC 的解析式为： 14y k x =- 把()3,0B 代入得1340k -=143k ∴= 设直线CM 的解析式为：24y k x =- 易知：121k k234k ∴=- 故直线CM 的表达式为：344y x =-- 联立抛物线表达式和上式得：248344334x x x --=-- 解得：0x =（舍去）或2316x =即点23325(,)1664M -；综上点M 的坐标为：23325,1664⎛⎫-⎪⎝⎭或()3,4-12．（1）解：令2132022x x -++= 解得11x =- 24x =①点A 在点B 的左侧①()10A -，()40B ，将0x =代入213222y x x =-++ 可得：2y =①()02C ，；（2）证明：如图过点D 作DD x '⊥轴于点D根据题意可得：DD OC '∥①BDD BCO '∽ ①25BD DD BD BO CO BC ''=== ①()40B ，()02C ， ①4BO = 2CO =①2425BD DD ''== 解得85BD '= 45DD '= ①125OD BO BD ''=-=①12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线213222y x x =-++ 可知对称轴为直线32x = ①点C 、C '关于抛物线对称轴对称①()32C '，设直线C D '的解析式为()0y kx b k =+≠把()32C '，、12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式可得：3212455k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：24k b =⎧⎨=-⎩ ①直线C D '的解析式为24y x =-；（3）解：①()02C ，①点C 关于x 轴的对称点M 的坐标为()02-，设直线BM 的解析式为()0y ax n a =+≠把()40B ，()02M -，代入解析式可得：402a n n +=⎧⎨=-⎩ 解得：122a n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ①直线BM 的解析式为122y x =- 设点N 的坐标为()0m ，则213222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，、()12142Q m m m ⎛⎫--≤≤ ⎪⎝⎭， ①PQ x ⊥轴①OM PQ ∥①BMO BQP ∠=∠①90BOM ∠=︒ 而90BQP ∠<︒①可分以下两种情况：①如图2 连接BP 当90QBP MOB ∠=∠=︒时 PBQ BOM ∽①BPQ QBN ∠=∠①90BNP QNB ∠=∠=︒①BNP QNB ∽ ①PN NBBN NQ = ①21324221422m m mm m++-=-- ①()21324221442m m mm m ++-=-- ①21322224m m m ++=-解得：4m =或3m =检验：当4m =时 40m -= 等式不成立且点B 、P 、Q 重合 BPQ 不存在此情况舍去；将3m =代入213222y x x =-++ 可得2y =①()32P ，； ①如图3 当90BPQ MOB ∠=∠=︒时此时点P 与点A 、点N 重合 BOM BPQ ∽此时1m =- 点P 的坐标为()10-，；综上所述以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与BOM 相似时点P 的坐标为()32，或()10-，．13．（1）解：①抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于点()3,0B -()1,0C ①936060a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：24a b =⎧⎨=⎩①抛物线为：2246y x x =+-；（2）解：①2246y x x =+-当0x =时 y =-6①()0,6A -设直线AB 为y kx n =+①630n k n =-⎧⎨-+=⎩ 解得：26k n =-⎧⎨=-⎩①直线AB 为26y x =--设点P 的横坐标为()30t t -<<．①()2,246P t t t +- (),26D t t --①222624626PD t t t t t =----+=--当()63222t -=-=-⨯-时 PD 的最大值为：233926222⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）解：如图连接AP①BDH ADP ∠=∠ 而DPA 与DHB △相似①分两种情况讨论：当DPA DHB ∽时 ①DP AP DH BH= 90APD BHD ∠=∠=︒ ①AP x ∥轴 OH AP =①A P 关于抛物线的对称轴对称①()3,0B - ()1,0C①抛物线的对称轴为直线3112x -+==- 而()0,6A - ①()2,6P --；如图当DHB DAP ∽时过A 作AQ PH ⊥于Q①AQ OH = 6AO QH ==设AQ OH n ==①DHB DAP ∽①90DHB DAP ∠=∠=︒①90ADP APD APQ QAP ∠+∠=∠+∠=︒①PAQ ADP ∠=∠由PH y ∥轴可得ADP BAO ∠=∠①PAQ BAO ∠=∠ ①31tan tan 62PAQ BAO ∠=∠== ①12PQ AQ 即12PQ n = ①1,62P n n ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ①()()2124662n n n -+⨯--=-- 解得：74n =（0n =舍去） ①755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上：()2,6P --或755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 14．（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ 将点(2,0)A - (3,3)B - (0,0)O 代入可得：4209330a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：120a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以函数解析式为：22y x x =+；（2）证明：①()22211y x x x =+=+-①抛物线的顶点C 的坐标为()1,1--①()0,0O ()3,3B -①()()22303018OB =--+-= ()()2210102OC =--+--=()()22313120BC =---+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ①222OB OC BC +=①BOC 是直角三角形；（3）解：假设存在点P 使以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似如图设(,)P x y 由题意知0x > 0y > 且22y x x =+由（2）知 BOC 为直角三角形 90COB ∠=︒ 且:1:3OC OB = ①若PMA COB ∽ 则AM PM BO CO= 即223(2)x x x +=+ 得 113x = 22x =-（舍去）当13x =时 79y = 即1(3P 7)9； ①若PMA BOC ∽AM PM OC BO= 即：223(2)x x x +=+ 得：13x = 22x =-（舍去）当3x =时 15y = 即(3,15)P ．①存在当点P 坐标为17,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,15) 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似． 15．（1）解：①2616y ax ax a =--经过()04C ，①164a -= 解得14a =- ①213442y x x =-++；令0y = 即2134=042x x -++ 解得：122,8x x =-=①()()2,0,8,0A B -（2）设直线BC 的关系式为y kx b =+ ()8,0B ()04C ，①408b k b =⎧⎨=+⎩解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ①直线BC 的方程为142y x =-+．如图过点P 作PG x ⊥轴于点G PG ，交CB 于点E①PG CO ∥①PED OCB ∠=∠又90PDE COB ∠=∠=︒①PDE BOC ∽△△ ①PD PE BO BC= ①8,4BO CO ==①BC =①BO PD PE PE BC =⨯ ①当线段PE 最长时 PD 的长度最大．设213(4)42P t t t -++，则1(,4)2E t t -+．即213442PG t t =-++ 142EG t =-+． ①22112(4)444PE PG EC t t t =-=-+=--+()08t <<．当4t =时 PE 有最大值是4 此时P 点坐标为()46，．①25854PD == 设1,42D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ①()2221854462m m ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得12125m m == ①111214442255m -+=-⨯+= 即点D 的坐标为121455⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ①①284OA OB OC ===，，①2222420AC =+= ()2228100AB =+= 2224880BC =+=．可得222AC BC AB =＋．①90ACB ∠=︒．①COA BOC ∽．故当PDC △与COA 相似时则PDC △与BOC 相似． ①PCD CBO ∠∠＝或PCD BCO ∠∠＝．（i ）如图当PCD CBO ∠=∠时即PDC COB ∽①PCD CBO ∠=∠①CP AB ∥①()04C ，①4P y =． ①2134442t t -++= 解得1260x x ==，（舍）即PDC COB ∽时 (64)P ，；（ii ）当PCD BCO ∠=∠时即PDC BOC ∽如图过点P 作PG x ⊥轴于G 与直线BC 交于F①PF OC ∥①PFC BCO ∠=∠①PCD PFC ∠=∠①PF PC =. 设213(4)42P n n n -++，则2124PF n n =-+ 过点P 作y 轴的垂线垂足为N在Rt PNC △中 22222243213131344421644PC PN NC n n n n n n ⎡⎤=+=+-++-=-+⎢⎥⎣⎦（） ①22PF PC = 即2243211313(2)41644n n n n n -+=-+ 解得120=3=n n ， (舍)．即PDC BOC ∽时 25(3)4P ，． ①当PDC △与COA 相似时点P 的坐标为(64)P ，或2534P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。

中考数学总复习《二次函数中的相似三角形存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的相似三角形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 的函数表达式为2(0y ax a a =-≠，a 为常数），点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，且2OA OB =，点A 关于x 轴的对称点为C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，以点C 为顶点的抛物线经过点D ．(1)求点,A B 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在（2）中拋物线的对称轴上有一点P ，且以点D O P 、、为顶点的三角形与AOB 相似，求出所有满足条件的点P 的坐标．2．已知在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线4y x =+经过A ，C 两点(1)求抛物线的表达式；(2)如果点P ，Q 在抛物线上，并与对称轴对称，（P 点在对称轴左边），且2PQ AO =，求P ，Q 的坐标；(3)动点M 在直线4y x =+上，且ABC 与COM 相似，求点M 的坐标．3．已知：抛物线2:3L y x bx =+-交x 轴于(),3,0A B 两点，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D 在第四象限的抛物线上，DE BC ⊥于点E ，若12DE BE =，求点D 的坐标； (3)如图2，抛物线L 经过平移后得到抛物线21:4H y x =-，直线OP 交抛物线的其中一个点为P ，直线PQ 与抛物线有且只有一个交点P ，且与y 轴不平行，⊥OQ OP 交PQ 于点Q ，求点Q 的纵坐标．4．如图，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点G ，抛物线的对称轴为直线=1x -，交x 轴于点E ，交抛物线于点F ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图，点P 是线段BC 上一动点，过点P 作PD x ⊥轴，交抛物线于点D ，问当动点P 运动到什么位置时，四边形CEBD 的面积最大？求出四边形CEBD 的最大面积及此时P 点的坐标．(3)坐标轴上是否存在点G ，使得以A ，C ，G 为顶点的三角形与BCF △相似？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线22y ax bx =-+-经过A （4，0），B （1，0）两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P 是抛物线在第一象限上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线上有一点Q （点Q 不与点B 重合），使得点Q 与点B 到直线AC 的距离相等，请直接写出点Q 坐标．6．如图，已知二次函数的图象与x 轴交于1,0A 和()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C -，直线2y x m =-+经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M 在AE 下方的抛物线上运动，求AME △的面积最大值；(3)如图2，在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与AOD △相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．7．如图1，平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于1,0A ，()3,0B -两点，交y 轴于点()0,3C ，点M 是线段OB 上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线BC 于点F ，交抛物线于点E ．(1)求抛物线的解析式； (2)当BCE 面积最大时，求M 点的坐标；(3)如图2，是否存在以点C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图①，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点A ，()4,0B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点()0,4C ，拋物线的对称轴l 与x 轴交于点N ，长为2的线段PQ （点P 位于点Q 的上方）在x 轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)求抛物线的关系式；(2)在线段PQ 运动过程中，当PC PA +的值最小时，求此时点P 的坐标；(3)如图①过点P 作PM y ⊥轴于点M ，当CPM △和QBN 相似时，求点Q 的坐标．9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为()2,1D -，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点M 是直线l 上的动点，当以点M 、B 、D 为顶点的三角形与ABC 相似时，求点M 的坐标． 10．如图，抛物线23y ax bx =++经过点于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，若点E 是第二象限内抛物线上的一点，直线AE 与BC 相交于点F ，连接CE ，BE ，若BCE 的面积3，求点E 的横坐标；(3)如图①，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 交y 轴于点G ，点P 在平面内，以点B ，C ，P 为顶点的三角形与ACG 相似且∠=∠CBP CAG 时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．11．如图，顶点为D 的抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过点B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，CD ，BD ．求证：ACO DBC ∽△△；(3)点P 为抛物线对称轴上的一个动点，点M 是平面直角坐标系内一点，当以点A ，C ，M ，P 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点P 的坐标．12．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ，设该抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标；(2)若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标；(3)连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EF CD ⊥交CD 于点F ，若12=DF CF ，求点E 的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A B C ，，三点．(1)求证：90ACB ∠=︒；(2)点D 是第一象限内抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求255DE BE +的最大值； ①点G 是AC 的中点，若以点C D E ，，为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．14．如图，抛物线2134y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连接AC ，BD ．(1)求点A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点F 为抛物线对称轴上的动点，且BEF △与AOC 相似，请直接写出符合条件的点F 的坐标；(3)点P 为抛物线上的动点，是否存在这样的点P ，使BDP △是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ①x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ①BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得①BCO ＋2①PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值．参考答案：1．(1)()0,4A ()2,0B(2)抛物线的解析式为24y x =-(3)满足条件的点P 的坐标为()0,4或()0,4-或()0,1或()0,1-2．(1)2142y x x =--+(2)775,,3,22P Q ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)84,33⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,1-3．(1)抛物线解析式为223y x x =--(2)()2,3D -(3)12Q y =-4．(1)223y x x =+-(2)当32m =-，四边形CEBD 的面积最大，最大面积为518，此时点P 的坐标为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，点G 的坐标为()()10,0,0,,9,03⎛⎫- ⎪⎝⎭5．(1)抛物线的解析式为215222y x x =-+- (2)存在，符合条件的点P 的坐标为（2，1）(3)点Q 的坐标为（3，1）或75(27,)22+-或75(27,)22---6．(1)223y x x =+-；(2)27；(3)存在，点P 的坐标为()0,12或290,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．7．(1)223y x x =--+；(2)3,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)存在， 3,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．8．(1)234y x x =-++(2)35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)Q 的坐标是35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或3219,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭9．(1)243y x x =-+(2)点M 的坐标是()2,2或12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．(1)223y x x =-++(2)3172- (3)()16,3-P 263,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P ()30,9P 4129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P11．(1)223y x x =-++(3)()11，或()16，或()16-，或()10，12．(1)243y x x =-+ ()21-，(2)51351322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或51351322⎛⎫++ ⎪⎝⎭， (3)207,99⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(2)①9；①(4,6)D 或25(3,)4D ．14．(1)()()2,0,6,0A B - ()0,3C ()2,4D (2)()2,6或()2,6-或82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)()2,0-或()6,12--15．(1)222433y x x =-++(2)22655PN m m =-+(3)存在 74 (4)65或125。

中考数学二次函数与相似三角形有关问题专项训练

二次函数与相似三角形有关问题专项训练1．（2021•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，∴抛物线的函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣＝1，故设点P（1，m），点Q（x，0），B（3，0），C（0，﹣3），①以PB为对角线时，，解得：，∴P（1，﹣3），Q（4，0）；（2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4），∴BD2＝22+42＝20，CD2＝12+12，BC2＝32+32，∴BD2＝CD2+BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，设点M的坐标（m，0），则点G的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，∴要使以A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，需要满足条件：，①当m＜﹣1时，此时有：，解得：，m2＝﹣1或m1＝0，m2＝﹣1，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1时无解；②当﹣1＜m≤3时，此时有：，解得：，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）或m1＝0，m2＝﹣1（不符合要求，舍去），∴M（）或M（0，0），③当m＞3时，此时有：或，解得：（不符合要求，舍去）或m1＝6，m2＝﹣1（不符要求，舍去），∴点M（6，0）或M（，0），答：存在点M，使得A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，点M的坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．2．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y ＝ax2+2x+c的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，∴＝，解得m＝或m＝0（舍去），∴EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴EF＝，综上所述，EF＝或．3．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD 于点E，连接OE交AB于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE⊥AB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，∴A（3，0），B（0，），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），D（0，3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设直线AD的解析式为y＝kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3，∴E（1，2），∵G（1，0），∠EGO＝90°，∴tan∠OEG＝＝，∵OA＝3，OB＝，∠AOB＝90°，∴tan∠OAB＝＝＝，∴tan∠OAB＝tan∠OEG，∴∠OAB＝∠OEG，∵∠OEG+∠EOG＝90°，∴∠OAB+∠EOG＝90°，∴∠AFO＝90°，∴OE⊥AB；（3）存在．∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，∴C（﹣1，0），∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，∴AD＝OA＝3，设直线CD解析式为y＝mx+n，∵C（﹣1，0），D（0，3），∴，解得：，∴直线CD解析式为y＝3x+3，①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD，如图2，∴OM∥CD，∴直线OM的解析式为y＝3x，结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝，x2＝，②当△AMO∽△ACD时，如图3，∴＝，∴AM＝＝＝2，过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM＝90°，∵∠OAD＝45°，∴AG＝MG＝AM•sin45°＝2×＝2，∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，∴M（1，2），设直线OM解析式为y＝m1x，将M（1，2）代入，得：m1＝2，∴直线OM解析式为y＝2x，结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，解得：x＝±，综上所述，点P的横坐标为±或．4．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；（2）存在，理由：当∠CP′M为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，则点P′的坐标为（1，8）；当∠PCM为直角时，在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，则PM＝＝＝，则PN＝MN+PM＝6+＝，故点P的坐标为（1，），故点P的坐标为（1，8）或（1，）；5．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为A，B（﹣3，0），∴A（1，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．∵直线y＝﹣2x+m经过点A（1，0），∴0＝﹣2+m，∴m＝2．（2）如图1中，∵直线AF的解析式为y＝﹣2x+2，直线交y轴于D，与抛物线交于点E，∴D（0，2），由，解得即点A，或，∴E（﹣5，12），过点E作EP⊥y轴于P．∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，∴△EDP∽△ADO，∴P（0，12）．过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，同法可证，△P′DE∽△ADO，∴∠P′＝∠DAO，∴tan∠P′＝tan∠DAO，∴＝，∴＝，∴PP′＝2.5，∴P′（0，14.5），综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．6．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，∴AC2+BC2＝100，而AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°；（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设第一象限D（m，+m+4），则E（m，﹣m+4），∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）＝﹣m2+m+8＝﹣（m﹣2）2+9，∴当m＝2时，DE+BF的最大值是9；②由（1）知∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵DF⊥x轴于F，∴∠FEB+∠CBA＝90°，∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，（一）当A与E对应时，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，而G为AC中点，A（﹣2，0），C（0，4），∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），∴CE＝＝，当＝时，＝，解得m＝4或m＝0（此时D与C重合，舍去）∴D（4，6），当＝时，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），∴D（3，），∵在Rt△AOC中，G是AC中点，∴OG＝AG，∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，∴∠DEC＝∠GOA，（二）当O与E对应时，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，∵OG＝AG，∴＝与＝答案相同，同理＝与或＝答案相同，综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3，）．7．（2021•江岸区校级自主招生）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；（2）在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．【解答】解：（1）由题意，，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0）．（2）存在．如图2中，连接PB，PC．∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），∴BC＝3，PC＝，PB＝2，∴PB2＝PC2+CB2，∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，当MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3时，△COM与△BCP相似，∴OM＝1或9，∴满足条件的点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．8．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x 轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．（1）求抛物线的对称轴；（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；（2）由y＝（x﹣2）2+a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），由y＝x﹣a得C（0，﹣a），设直线AM的解析式为y＝kx+a，将M（2，a﹣4）代入y＝kx+a中，得2k+a＝a﹣4，解得k＝﹣2，直线AM的解析式为y＝﹣2x+a，联立方程组得，解得，∴D（a，a），∵a＜0，∴点D在第二象限，又点A与点C关于原点对称，∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，即P（a，a），将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x+a，解得a＝或a＝0（舍去），∴a＝；（3）存在，理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴点F（﹣1，0）E（5，0），∴EN＝FN＝3 MN＝9，设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），∴EG＝|m﹣5|，QG＝|m2﹣4m﹣5|，又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，如图所示，需分两种情况进行讨论：i）当＝＝3时，即＝3，当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；ii）当＝＝＝时，即＝，解得m＝或m＝或m＝5（舍去），当m＝时，Q坐标为点Q2（，），当m＝，Q坐标为点Q3（，），综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．9．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，∴m＝﹣2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为﹣或1或﹣2；②存在，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣1或x＝4，∴点A（﹣1，0），∴OA＝1，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，∵△PNC与△AOC相似，∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，∴∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC，∴CP∥OB，∴点P的纵坐标为﹣2，∴m2﹣m﹣2＝﹣2，∴m＝0（舍）或m＝3，∴P（3，﹣2）；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∴∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD，∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD，由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，∴2m﹣m2＝，∴m＝或m＝0（舍），∴P（，﹣）．即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．10．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），∴，解得．∴抛物线解析式为：；（2）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，抛物线的对称轴为，∴点E的横坐标为3，又∵点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴E（3，5），设，①当MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，则，解得或（舍去），∴此时点M的坐标为（3，8），②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，则，解得：或（舍去），∴此时点M的坐标为；③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，此时△MNE与△COB相似，此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，设M（3，m），则m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此时点M的坐标为（3，11）；故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．11．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；（2）存在，理由如下：连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：y＝kx+m，将C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入MC的解析式得：，解得：∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠CBE＝∠E，设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EC上，∴﹣3＜x＜0，则，，由题意知：△PEO相似于△ABC，分情况讨论：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．12．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A 在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）（3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点D（，﹣），由题意，∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，＝＝，设Q（x，x2﹣x﹣2），则P（，x2﹣x﹣2），∴DP＝x2﹣x﹣2﹣（﹣）＝x2﹣x+，QP＝x﹣，∵PD＝2QP，∴2x﹣3＝x2﹣x+，解得x＝或（舍弃），∴P（，）．②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，x﹣＝x2﹣3x+，解得x＝或（舍弃），∴P（，﹣）．第二种情形：当∠DQP＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，∴＝＝，由图3﹣3可知，M（，），Q（，），∴MD＝8，MQ＝4，∴DQ＝4，由＝，可得PD＝10，∵D（，﹣）∴P（，）．②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．同法可得M（，﹣），Q（，﹣），∴DM＝，QM＝1，QD＝，由＝，可得PD＝，∴P（，﹣）．综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）或（，）或（，﹣）．13．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，∴△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当时，△COB∽△CDM∽△CMN，∴，解得，a＝1，∴M（1，8），此时ND＝DM＝，∴N（0，），当时，△COB∽△MDC∽△NMC，∴，解得a＝，∴M（，），此时N（0，）．如图3，当点M位于点C的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：或＝2，△CMN与△OBC相似，解得a＝或a＝3，∴M（，）或M（3，0），此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．综合以上得，存在M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．。

中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题》专项训练题(附有答案)

中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题》专项训练题(附有答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边3OA =，AB=4，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，抛物线243y x bx c =++经过A ，C 两点，连接AC ．(1)请直接写出b ，c 的值；(2)若动点(),0E m 在边OA （不与O ，A 两点重合）上，过点E 作x 轴的垂线l 交BC 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，连接PC ． ①设线段PM 的长为h ，求h 与m 的函数关系式；①当点P 在BC 下方的抛物线上时，以P ，C ，F 为顶点的三角形与AEM △是否相似？若相似，请求出此时点E 的坐标；若不相似，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax b =++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线沿射线CB 方向平移5个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．是否存在M 使得M ，B 关于PD 对称，若存在直接写出M 的坐标，若不存在，请说明理由．3．综合与探究：如图，抛物线2134y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作x 轴的垂线l ，连接AP 交BC 于点D ．当PD AD最大时，求点P 的坐标及PDAD的最大值； (3)在（2）的条件下，在l 上是否存在点Q ，使BCQ △是直角三角形．若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2122y x bx =-++交x 轴于A （1-，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．(1)求抛物线解析式；(2)过点P 作y 轴的垂线与射线BC 交于点Q ，设线段PQ 的长度为d ，点P 的横坐标为m ，求d 与m 的函数关系式；(3)若点P 在y 轴右侧，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将①CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′．是否存在点P ，使Q ′恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．5．综合与探究如图，直线243y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线243y ax x c =++经过B ，C 两点，与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为点D ．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）点M 是线段BC 上一动点，连接DM 并延长交x 轴交于点F ，当:1:4FM FD =时，求点M 的坐标；（3）点P 是该抛物线上的一动点，设点P 的横坐标为m ，试判断是否存在这样的点P ，使90PAB BCO ∠+∠=︒，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且点()1,0A -，点()0,2C ，抛物线的对称轴为直线32x =，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)将ABC 沿直线BC 折叠，得到DBC △，请问：点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 落在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 没有落在对称轴上，请说明理由；(3)若点E 是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE 交直线BC 于点F ，设EFn AF=，求n 的最大值并求出此时点E 的坐标．7．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，点()2,0A 且2OA OB =，与y 轴交于点C ，连接BC ，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ACD 面积的最大值及此时D 点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O 、D 、E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于()8,0A 和()2,0B -两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线CD 交x 轴于点()2,0D ，点P 为线段AC 下方抛物线上的一点，过点P 作PH y ∥轴交直线CD 于点H ，在直线CD 上取点Q ，连接PQ ，使得HQ PQ =，求524PQ PH -的最大值及此时P 点的坐标； (3)连接BC ，把原抛物线214y x bx c =++沿射线BC 方向平移25个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，连接AM ，直接写出所有使得AMN ABC ∽的点M 的横坐标．9．已知抛物线223y x x =--与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点(),0N n 为x 轴上的动点，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(2)①如图1，直线PN 交直线BC 于点G ，若点G 恰好在线段PB 的垂直平分线上，且3n <时，求n 的值；①如图2，连接AC ，AP ，抛物线上存在一点P ，使得以P ，A ，N 为顶点的三角形与CAO △相似，求点P 的坐标．10．已知抛物线：2616(0)y ax ax a a =-->与x 轴交点为A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点G 是AC 的中点．(1)求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2)直线32y x =-与抛物线交于点M ，N 且MO NO =，求抛物线解析式．*提示：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是1x 和2x ，那么12b x x a+=-和12cx x a⋅=；(3)已知点P 是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．若以点C ，P ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点P 的坐标．11．抛物线22230yx mx m m 与x 轴交于A ，B 两点，A 点在B 点左边，与y 轴交于C 点，顶点为M ．(1)当1m =时，求点A ，B ，M 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，若P 为抛物线对称轴上一个动点，且PAC △为等腰三角形，求P 点坐标；(3)如图2，若一次函数y kx b =+的图象过A 点且与抛物线交于另一点F ，交对称轴于E ，MG x 轴，FG MG ⊥和AM AF ⊥．若45AMEF ，求MG AB的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233322y x x =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，过点P 作x 轴的平行线交BC 于点E ，求3PE PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)如图2，在（2）中3PE PD +取得最大值的条件下，将抛物线233322y x x =-++沿着射线CB 方向平移得到新抛物线y '，且新抛物线y '经过线段BC 的中点F ，新抛物线y '与y 轴交于点M ，点N 为新抛物线y '对称轴上一点，点Q 为坐标平面内一点，若以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是以PN 为边的菱形，写出所有符合条件的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．13．直线33y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴的另一交点为A ，连接AC ，点P 为AC 上方的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，连接BP ，交线段AC 于点D ，若:5:16PD BD =，求此时点P 的坐标； (3)如图①，连接PC ，过点P 作PE y 轴，交线段AC 于点E ，若PCE 与ABC 相似，求出点P 的横坐标及线段PE 长．14．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -和()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（0<t <5）．当t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？ (3)求t 为何值时，BMN 是等腰三角形？15．如图1，抛物线 ²2y ax x c =++，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．当0y ≥时13x -≤≤．(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是抛物线上第一象限的点．①如图1，连接AD ，交线段BC 于点G ，若12DG AG =时，求D 点的坐标； ①如图2，在①条件下，当点D 靠近抛物线对称轴时，过点D 作DP x ⊥轴，点H 是DP 上一点，连接AH ，求1010AH DH +的最小值； (3)如图3，F 为抛物线顶点，直线EF 垂直于x 轴于点E ，直线AD BD ，分别与抛物线对称轴交于M 、N 两点．试问，EM EN +是否为定值?如果是，请直接写出这个定值：如果不是，请说明理由．参考答案： 1．(1)83b =- 4c =- (2)①2443h m m =-+，①相似，()1,0或23,016⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)213222y x x =-++ (2)PD 有最大值，最大值为455，此时点P 的坐标为(2,3) (3)不存在3．(1)()()()2,0,6,0,0,3A B C - (2)153,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PD AD的最大值为916 (3)存在，()3,6-或353,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或353,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,94．(1)213222y x x =-++ (2)当P 在y 轴右侧时，24d m m =-+；当P 在y 轴左侧时24d m m =-(3)存在 931313,2P ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭5．（1）214-433y x x =++ 16(2,)3；（2）44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，m 的值为4或8 6．(1)213222y x x =-++ (2)D 点不在对称轴32x =上 (3)45 ()2,3E7．(1)22y x x =-++(2)ACD 面积的最大值1 ()1,2D(3)1334m +=或1m =． 8．(1)213442y x x =-- (2)524PQ PH -取得最大值49516 97,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)12或0或443-或443+9．(1)()1,0A -，()3,0B 和()0,3C -(2)①2n =±；①点P 的坐标为()6,21，1013,39⎛⎫ ⎪⎝⎭和811,39⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()20A -，和()80B ，，对称轴为直线3x =； (2)213442y x x =--； (3)P 点坐标为()46-，或2534⎛⎫- ⎪⎝⎭，．11．(1)()1,0A -，()3,0B 和()1,4M -(2)1,1或()1,6或()1,6-或()1,0 (3)54m12．(1)332y x =-+ (2)3PE PD +的最大任为52，此时()1,3P (3)11173,236Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21330,22Q ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和31330,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．(1)223y x x =--+(2)点P 的坐标为1(2-，15)4或5(2-，7)4）．(3)P 的横坐标为32-或53-，PE 的长为94或209．14．(1)二次函数的表达式为245y x x =-++(2)当52t =时，BMN 的面积最大，最大面积是258(3)t 的值为53，525-或5215．(1)223y x x =-++(2)①()14，，()23，①10(3)是定值，定值为8。

中考复习：二次函数和相似三角形问题(含答案)

综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+）（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

2021年河北省中考复习数学《相似三角形》专题复习(人教版)(Word版附答案)

节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（）A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD 的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．12．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是(A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是(C )A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为(B )A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．【解答】(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB＝AEAC＝13.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝13，∠ADE＝∠ABC.∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴DFCF＝DECB，即2CF＝13.∴FC＝6.9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(A)A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝4 3．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10).∴S △A 2B 2C 2＝（2＋8）×102－12 ×2×6－12 ×4×8＝28., 12．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是(C )A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C ，O ，C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′＝1∶2D ．AB ∥A ′B ′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1； (3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是个平方单位．解：(1)如图，线段A 1B 1即为所求； (2)如图，线段A 2B 1即为所求；(3)20.[由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形， ∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42 )2＝20.]。

湖南省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编--专题11 二次函数(解答题)(解析版)

专题11 二次函数（解答题）1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++，当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯，化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则40b -=，得4b =，当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．2．（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？【答案】（1）图象见详解；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元．【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系，所以设其关系式为y kx b =+，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；（3）①由题意易得()2P x y =-，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得22203210x x -+-=，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+；（3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-； ∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-； ②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤， ∴22203210x x -+-=，解得：123,7x x ==， ∴3x =；答：此时的销售单价应定为3元．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．3．（2021·湖南永州市·中考真题）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式；（2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=+；（2）4；（3）4．【分析】（1）将点(0,4)代入二次函数的解析式可得c 的值，根据二次函数的对称轴可得b 的值，由此即可得；（2）先求出二次函数的对称轴为2bx =-，再分0b ≤，02b <<和2b ≥三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于b 的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根据21y y ≥可得2340x x m ++-≥，令2334y x x m =++-，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得．【详解】解：（1）将点(0,4)代入21y x bx c =++得：4c =，二次函数的对称轴为1x =，12b∴-=，解得2b =-，则此二次函数的表达式为2124y x x -=+；（2）20b c -=，即2c b =，222213()24b y x bx b x b =++=++∴，则此二次函数的对称轴为2bx =-，由题意，分以下三种情况： ①当2bb ≤-，即0b ≤时，在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而减小，则当x b =时，1y 取得最小值，因此有22221b b b ++=，解得b =0b =>（不符题设，舍去）； ②当32bb b -<-<，即02b <<时，在32b b x -≤≤-内，1y 随x 的增大而减小；在2bx b -<≤内，1y 随x 的增大而增大，则当2bx =-时，1y 取得最小值，因此有23214b =，解得2b =>或0b =-（均不符题设，舍去）； ③当32bb -≥-，即2b ≥时，在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而增大，则当3x b =-时，1y 取得最小值，因此有223(3)2124b b b -++=，解得4b =或12b =-<（不符题设，舍去），综上，b 的值为4；（3）由（1）可知，2124y x x -=+，由21y y ≥得：22224x x m x x ++≥-+，即2340x x m ++-≥，令2334y x x m =++-，在01x ≤≤内，3y 随x 的增大而增大，要使得当01x ≤≤时，总有23340y x x m =++-≥，则只需当0x =时，30y ≥即可，因此有40m -≥，解得4m ≥，则实数m 的最小值为4．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．4．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）4,1,4-；（2）当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”，理由见解析；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)．【分析】（1）先根据关于y 轴对称的点坐标变换规律可得,r s 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 的坐标代入“T 函数”即可得；（2）分0k ≠和0k =两种情况，当0k ≠时，设点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是一对“T 点”，将它们代入函数解析式可求出0k =，与0k ≠矛盾；当0k =时，y p =是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，且有无数对“T 点”；（3）先将点(0,0)O 代入2y ax bx c =++可得0c，再根据“T 函数”的定义可得0b =，从而可得2y ax =，与直线y mx n =+联立可得12,x x 是方程20mx n ax --=的两实数根，然后利用根与系数的关系可得1212,m n x x x x a a+==-，最后根据()11211x x --+=化简可得n m =-，从而可得y mx m =-，由此即可得出答案．【详解】解：（1）由题意得：点()1,A r 与点(),4B s 关于y 轴对称，4,1r s ∴==-，()1,4A ∴， 10>，∴将点()1,4A 代入2y tx =得：4t =，故答案为：4,1,4-；（2）由题意，分以下两种情况： ①当0k ≠时，假设关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”，点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是其图象上的一对“T 点”，则0000kx p y kx p y +=⎧⎨-+=⎩，解得0k =，与0k ≠相矛盾，假设不成立，所以当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”； ②当0k =时，函数y kx p p =+=是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，它有无数对“T 点”；综上，当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）由题意，将(0,0)O 代入2y ax bx c =++得：0c，2y ax bx ∴=+，设点333(,)(0)x y x ≠与点33(,)x y -是“T 函数”2y ax bx =+图象上的一对“T 点”，则23332333ax bx y ax bx y ⎧+=⎨-=⎩，解得0b =， 2(0)y ax a ∴=>，联立2y ax y mx n⎧=⎨=+⎩得：20mx n ax --=，“T 函数”2y ax =与直线y mx n =+交于点()11,M x y ，()22,N x y ，12,x x ∴是关于x 的一元二次方程20mx n ax --=的两个不相等的实数根，1212,m n x x x x a a ∴+==-， ()11211x x --+=，2211x x x x +=∴，即m na a=-，解得n m =-，则直线l 的解析式为y mx m =-，当1x =时，0y m m =-=，因此，直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)．【点睛】本题考查了关于y 轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“T 函数”和“T 点”的定义是解题关键．5．（2021·湖南株洲市·中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；②连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值．【答案】（1）=8∆ （2）①证明见解析；②1c x =2【分析】（1）根据判别式公式代入求解即可．（2）①通过条件，得到OC=OB ，再根据ASA 即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明AOF DEB △△，得到AO OFDE EB=，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】解：（1）当12a =，2b c ==-时，方程为：212202x x --=， ()()2214242=82b ac ∆=-=--⨯⨯-，（2）①证明：∵12b x x a +=-，且1bc x a-+=，∴2x c =-， ∴OC OB c ==，在AOC △与DOB 中，90ACO ABDOC OBAOC DBO ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()AOC DOB ASA ≅△△．②解：ACO CAF CBD ∠=∠+∠，ACO CFA CAF ∠=∠+∠， ∴CFA CBD ∠=∠， ∵DE BC ⊥， ∴90DEB ∠=，又∵90AOF ∠=， ∴AOF DEB △△， ∴AO OFDE EB=， ∵OC OB c ==，且90COB ∠=， ∴45OCB ∠=,BC =，在DEC Rt △中，45OCB ∠=，∴DC ==，又∵AOC DOB ≅△△，∴1OD OA x ==-，又∵OC OD DC =+，∴1DC c x =-+，)122DE CE DC c x ===-+，∴))1122EB BC CE c x c x =-=--+=-+， ∵AO OF DE EB=，1122x x --= ，即：21120c c x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1c x =2或1c x =-1（舍），【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .6．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）①32m =；②不存在，理由见解析【分析】（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；（2）①设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解；②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0）， ∴10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴b =2-，c =3-；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --，设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵0<m <3，∴PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+214， ∵-1<0， ∴当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214； ②∵抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3，∴C （0，-3），∴OB =OC =3，由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵PQ ∥OC ，当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3，当点Q 在点P 上方时，∴PQ =2333m m -++=，即230m m -+=，∴()30m m -=，解得0m =或3m =，当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC OC =≠，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时，若点Q 在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1≠OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁1,1,2021,2021……都是“雁点”．点”．例如()()（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或312⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x=求出 “雁点”坐标即可；（2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EM H 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩ 即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--．（2）① 联立25y x y ax x c =⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵ 这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴ 2440ac ∆=-=∵ 4c a= ∵ 1a >∴ 04c <<② 将4c a =代入，得2440E E ax x a++= 解得2k x a =-，∴ 22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x aα=++，令0y = 有2450ax x a++= 解得41,N M x x a a=-=-∴ 4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH =2a ，MH =242()a a a---= ∴2EH MH a ==∴ EM H 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H设C （m ，m ），P （x ，y ）∵ △CPB 为等腰三角形，∴PC =PB ，∠CPB =90°，∴∠KPB +∠HPC =90°，∵∠HPC +∠HCP =90°，∴∠KPB =∠HCP ，∵∠H =∠PKB =90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩ ∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+= ∴ 315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴ KP =JB ，KC =JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ，即3x m y y m x -=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得12222x x ==∴3)2P或3)2P如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC =TP ，RP =TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y -=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122=22x x = ∴ 此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或3)2，或3)2，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．8．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O的半径为E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=；（2）()4,4A -，8y x =-；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A 、B 坐标求出AB 解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知ABO 为等腰三角形，再根据O 、A 、B 三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点E 的运动时间为12t AP PB =+，在OA 上取点D ，使OD =可证明APO △∽PDO △，根据相似三角形比例关系得12PD AP =，即12t AP PB PD PB =+=+，当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．【详解】解：（1）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过(2,3)C -，且与x 轴交于原点及点()8,0B ∴0c ，二次函数表达式可设为：()20y ax bx a =+≠将(2,3)C -，()8,0B 代入2y ax bx =+得：3420648a b a b -=+⎧⎨=+⎩解这个方程组得142a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∵二次函数的函数表达式为2124y x x -= （2）∵点A 为二次函数图像的顶点， ∴421224b x a =-=-⨯=-，22140(2)4414444ac b y a ⨯⨯---===-⨯ ∴顶点坐标为：()4,4A -，设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，则有：4408k m k m -=+⎧⎨=+⎩解之得：18k m =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的函数表达式为8y x =-（3）ABC 是等腰直角三角形，过点A 作AF OB ⊥于点F ，易知其坐标为(4,0)F∵ABC 的三个顶点分别是()0,0O ，()4,4A -，()8,0B，∴808OB =-=，OA ===AB ===且满足222OB OA AB =+∴ABC 是等腰直角三角形（4）如图，以O 为圆心，P 在圆周上，依题意知：动点E 的运动时间为12t AP PB =+在OA 上取点D ，使OD =连接PD ，则在APO △和PDO △中，满足：2PO AO OD OP==，AOP POD ∠=∠， ∴APO △∽PDO △，∴2AP PO AO PD OD OP===，从而得：12PD AP = ∴12t AP PB PD PB =+=+ 显然当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，过点D 作DG OB ⊥于点G ，由于OD =且ABO 为等腰直角三角形，则有1DG =，45DOG ∠=︒，∴动点E 的运动时间t 的最小值为：t DB ==== 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．9．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．【答案】（1）213442y x x =-++；（2）顶点是在直线EF 上，理由见解析；（3）P 点坐标为（9，114-）．【分析】（1）先求出A 点坐标，再求出直线AB 的解析式，进而求得E 的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出点F 的坐标，再求出直线EF 的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可；（3）设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），求出直线BP 的解析式，进而求得M 的坐标；再求FQ 的解析式，确定Q 的坐标，可得|MQ |=()182p -+6，最后根据S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ 列出关于p 的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD ，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-∴A （3，10），设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则10302k b k b =+⎧⎨=-+⎩ ，解得24k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，当x =0时，y =4，则E 的坐标为（0,4），设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c ，()()220220884a b c a b c c ⎧=-+-+⎪=⋅++⎨⎪=⎩ ，解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为213442y x x =-++；（2）顶点是在直线EF 上，理由如下：∵F 是AD 的中点，∴F （8,10），设直线EF 的解析式为y =mx +n ，则4108n m n =⎧⎨=+⎩，解得344m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线EF 的解析式为y =34x +4， ∵213442y x x =-++， ∴抛物线的顶点坐标为（3，254）， ∵254=34×3+4， ∴抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）∵()()21314=-x+28424y x x x =-++-，则设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），直线BP 的解析式为y =dx +e ，则()()021-p+284d e p pd e =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得()()184182d p e p ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为y =()184p --x +()182p -，当x =0时，y =()182p -，则M 点坐标为（0，()182p -）， ∵AB //FQ ， ∴设FQ 的解析式为y =2x +f ，则10=2×8+f ，解得f =-6，∴FQ 的解析式为y =2x -6 ，∴Q 的坐标为（0，-6），∴|MQ |=()182p -+6， ∴S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ =1122QM OB QM PN +=()12QM OB PN + =()()1186222p p ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ =219842p p -++ ∴当p =9时，PBQ △的面积最大时，∴P 点坐标为（9，114-）．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键．10．（2021·湖南中考真题）已知函数2(0)(0)x x y x x -≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，点()11,A x y 在第一象限内的函数图象上．（1）若点()22,B x y 也在上述函数图象上，满足21x x <．①当214y y ==时，求12,x x 的值； ②若21x x =，设12=-w y y ，求w 的最小值；（2）过A 点作y 轴的垂线AP ，垂足为P ，点P 关于x 轴的对称点为P '，过A 点作x 轴的线AQ ，垂足为Q ，Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，直线AQ '是否与y 轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）①122,4x x ==-；②14-；（2）直线AQ '与y 轴交于定点，定点的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）①先确定20x ≤，再根据214y y ==代入求解即可得；②先确定2210,x x x <-=，从而可得21122,y x y x ==-，再代入w 可得一个关于1x 的二次函数，利用二次函数的性质即可得；（2）先分别求出点,,P P Q '的坐标，再利用待定系数法求出直线,AP QQ ''的解析式，从而可得点Q '的坐标，然后利用待定系数法求出直线AQ '的解析式，由此即可得出结论．【详解】解：（1）①对于二次函数2y x ，在0x >内，y 随x 的增大而增大，21211,40,x x x y y <>==，20x ∴≤，则当14y =时，214x =，解得12x =或120x =-<（舍去），当24y =时，24x -=，解得24x =-； ②21121,0,x x x x x <>=，2210,x x x ∴<-=，21122,y x y x ∴==-，则22121211()w y y x x x x =-=--=-，化成顶点式为2111()24w x =--，由二次函数的性质可知，在1>0x 内，当112x =时，w 取最小值，最小值为14-；（2）由题意，设'AP 与QQ '交于点B ，画图如下，11(x ,)A y 在已知函数的第一象限内的图象上，211y x ∴=，即211(,)A x x ，AP y ⊥轴，AQ x ⊥轴，点P 关于x 轴的对称点为P '，22111(0,),(0,),(,0)P P Q x x x '∴-，设直线'AP 的解析式为11y k x b =+，将点22111(,),(0,)P A x x x '-代入得：21111211k x b x b x ⎧+=⎨=-⎩，解得112112k x b x =⎧⎨=-⎩，则直线'AP 的解析式为2112y x x x =-， Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，QQ AP ''∴⊥，∴设直线QQ '的解析式为2112b x y x +=-，将点1(,0)Q x 代入得：121201x b x -+=，解得212b =，则直线QQ '的解析式为11212x y x +=-，联立211121122y x x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，解得211212121(12)4141x x x x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即22111221141(12),41x x x B x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，设点Q '的坐标为(,)Q m n '，则2111212121(12)2410241m x x x x x n x ⎧++=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得121212141241x m x x n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即21122114142,1x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭，设直线AQ '的解析式为33y k x b =+，将点22111122112(,),1,414x x A x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭代入得：2313121133221124141k x b x x x k b x x ⎧+=⎪⎨+=⎪++⎩，解得2131314414x k x b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AQ '的解析式为21144114x y x x -=-+，当0x =时，14y =，即直线AQ '与y 轴交于定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．11．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x =2.5；（2）①()()=-+1-2y x x ；②1或4【分析】（1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a 的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；②根据条件求出A 、B 、C 、D 四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m 的值．【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x =（1+4）÷2=2.5,；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，根据交点式可求出C 1二次函数表达式为()()=-+1-2y x x ；②根据①中的函数关系式，可得A （2,0），B （-1,0），C （0,2），D （m ，2-++2m m ），且m ＞0 由图像可知∠BOC =∠DEO =90°，则以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似有两种情况，（i ）当△ODE ∽△BCO 时，则OE DE OB OC =，即2-++2=12m m m ，解得m =1或-2（舍），（ii ）当△ODE ∽△CBO 时，则OE DE OC OB =，即2-++2=21m m m ，解得m所以满足条件的m 的值为1 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键．12．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP PC +的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =-++；（2）直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时AP PC +的最小值为（4）存在，()3,4N 或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入求解即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，然后把点B 、C 的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，然后可分①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，③当AN 为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++；（2）由（1）可得抛物线的解析式为234y x x =-++，∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴()0,4C ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把点B 、C 的坐标代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）由抛物线234y x x =-++可得对称轴为直线322b x a =-=，由题意可得如图所示：连接BP 、BC ，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴AP BP =，∴AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，此时BC 与对称轴的交点即为所求的P 点，∵4OC OB ==，∴BC =∴AP PC +的最小值为∵点P 在直线BC 上， ∴把32x =代入得：35422y =-+=， ∴35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）存在，理由如下：由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，()()1,0,0,4A C -，当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC 为对角线时，如图所示：连接MN ，交AC 于点D ，∵四边形ANCM 是平行四边形，∴点D 为AC 、MN 的中点，∴根据中点坐标公式可得：A C M N A C M N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21004034m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩，解得：43m n =-⎧⎨=⎩，∴()3,4N ；②当AM 为对角线时，同理可得：A M C N A M C N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21000434m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩，解得：n =，∴4N ⎫-⎪⎪⎝⎭；③当AN 为对角线时，同理可得：A N M C A N M C x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21003440n m n n -+=+⎧⎨-++=+⎩，解得：3n =，∴()3,4N ；∴综上所述：当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）314；（3）存在，()1,0F -或52839F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【分析】（1）直接将()1,0A -，()4,0B 两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点P 的坐标，接着表示出Q 点和M 点的坐标后，求出线段PQ 和QM 的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出CBA ∠=DQM ∠，进而得到F 点的其中一个位置，在BC 另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF 与y 轴的交点，进而求出BF 的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴该抛物线的函数表达式为：213222y x x =-++；（2）∵3y kx =+经过点A ，∴30k -+=，∴3k =，。

2021年中考临考专题训练：相似三角形及其应用(含答案)

2021中考临考专题训练：相似三角形及其应用一、选择题 1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .若BD ＝2AD ，则( )A. AD AB ＝12B. AE EC ＝12C. AD EC ＝12D. DE BC ＝122. 下列命题是真命题的是( )A .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶93. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB ，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（）A. 913B. 25C. 35D. 634. （2020·重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（1,2）,B （1,1），C （3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（）A ．5B ．2C ．4D ．255. (2019•重庆)下列命题是真命题的是A ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶96. (2019•贵港)如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为A ．23B ．32C ．26D ．57. （2020·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E.若BC ＝3，则DE 的长为( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4二、填空题9. 如图，在△ABC 中，∠ACD=∠B ，若AD=2，BD=3，则AC长为.10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .11. (2019•大庆)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG=1，则AD=__________．12. 如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG=2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH = .13. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ． ABCDEF14. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE ，则DF =______，BE =______．FDBE A C15. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．16. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知R t △ABC 是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与R t △ABC 相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是．三、解答题 17. (2019•张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ． (1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．18. 如图，AB是☉O的直径，点C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证:△BFG≌△CDG;(2)若AD=BE=2，求BF的长.19. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.20. （2019·上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E ═12∠C ；（2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ∶DE ＝2∶3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADEABC S S 的值．21. 在矩形ABCD 中，AD ＝4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一点，连接EM并延长交线段CD 的延长线于点F . (1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若AB ＝2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB ＝23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，若MG=nME ，求n 的值.22. 如图，AB是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点(不与O 、B 重合)，作EC ⊥OB交⊙O 于点C ，作直径CD 过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB .(1)求证：AC 平分∠FAB ； (2)求证：BC 2＝CE ·CP ；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度．23. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c＝a1，求证：a＝kc；(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．24. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．2021中考临考专题训练：相似三角形及其应用-答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝AE AC ＝13，∴AE EC ＝12，故选B .2. 【答案】B3. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．4. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．5. 【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，故选B ．6. 【答案】C【解析】设2AD x =，BD x =，∴3AB x =， ∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴DE AD AE BC AB AC ==，∴263DE xx=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠， ∵A A ∠=∠，∴ADE ACD △∽△， ∴AD AE DEAC AD CD==，设2AE y =，3AC y =，∴23AD yy AD=，∴AD =4CD=，∴CD = 故选C ．7. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝13，可得C（413,--）因此本题选B．8. 【答案】A【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE, ∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC, ∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，x3－x＝12，解得x＝1，∴DE的长为1.二、填空题9. 【答案】[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=-(舍去).10. 【答案】5411. 【答案】3【解析】∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2DG=2，∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为：3．12. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH的面积等于▱PGCF的面积.∵CG=2BG，∴BG∶BC=1∶3，BG∶PF=1∶2.∵△BPG∽△BDC，且相似比为1∶3，∴S△BDC=9S△BPG=9.∵△BPG∽△PDF，且相似比为1∶2，∴S△PDF=4S△BPG=4.∴S▱AEPH=S▱PGCF=9-1-4=4.13.2【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为1:21:22．14. 【答案】25－1【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x－x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．15. 【答案】326()55-，或(43)-，【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形， ∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥， ∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE CO BO =，即468PE =，解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC =+=+=，∴2BP =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==，解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=，∴点326()55P -，，综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，，故答案为：326()55-，或(43)-，．16. 【答案】解：∵在R t △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB ，AC ：BC ＝1：2，∴与R t △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE ，EF ＝2，DF ＝5的三角形， ∵，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为：22＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．三、解答题17. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥，AD BC =， ∴EBF EAD △∽△， ∴BF BEAD EA=， ∵BE =AB ，AE =AB +BE ， ∴12BF AD =， ∴1122BF AD BC ==， ∴BF CF =．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥， ∴FGC DGA △∽△， ∴FG FC DG AD =，即142FG =，解得，2FG =．18. 【答案】解:(1)证明:∵C 是的中点，∴=. ∵AB 是☉O 的直径，且CF ⊥AB ，∴=，∴=，∴CD=BF.在△BFG 和△CDG 中，∵∴△BFG ≌△CDG (AAS).(2)如图，过C 作CH ⊥AD ，交AD 延长线于H ，连接AC ，BC ，∵=，∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB，∴CH=CE.∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH.∵=，∴CD=BC.又∵CH=CE，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，∴AB=4+2=6.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=2.19. 【答案】解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因为∠PCA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切线.(2)因为∠PAO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2x，则FD=3x，连接AE，易证△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO为中位线，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.20. 【答案】解：（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝1 2∠BAC，同理∠ABD＝12∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD＋∠DBA，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，∴∠ADE＝12(∠ABC＋∠BAC)＝90°－12∠C，∴∠E＝90°－(90°－12∠C)＝12∠C ．（2）解：延长AD 交BC 于点F ．∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠E ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ， ∴∠E ＝∠CBE ，∴AE ∥BC ，∴∠AFB ＝∠EAD ＝90°，＝，∵BD ：DE ＝2：3，∴cos ∠ABC ＝＝＝．（3）∵△ABC 与△ADE 相似，∠DAE ＝90°，∴∠ABC 中必有一个内角为90° ∵∠ABC 是锐角，∴∠ABC ≠90°．当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，∵∠E ＝12∠C ，∴∠ABC ＝∠E ＝12∠C ，∵∠ABC ＋∠C ＝90°，∴∠ABC ＝30°，此时＝2－．当∠C ＝∠DAE ＝90°时，∠E=12∠C ＝45°，∴∠EDA ＝45°， ∵△ABC 与△ADE 相似，∴∠ABC ＝45°，此时＝2－．综上所述，∠ABC ＝30°或45°，＝2－3或2－2．21. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ，在△AME 和△DMF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FDBAM ＝DM∠AME ＝∠DMF， ∴△AEM ≌△DFM (ASA)；(2)证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于H ，解图①∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，在△AEM 和△HMG 中，⎩⎨⎧AM ＝GH∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG， ∴△AEM ≌△HMG ， ∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ， ∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ， FMG EMG ≌△△∴， ∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°， ∴△GEF 是等腰直角三角形．(3)解：如解图②，过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，解图②∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23， ∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°，∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ，∴EM MG ＝AMGH，在Rt △GME 中，tan ∠MEG ＝MGEM ＝ 3.∴n =322. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ， ∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠CAF ＝∠OAC ， ∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°，又∵∠BAC ＝∠D ， ∴△ACB ∽△DCP ， ∴∠EBC ＝∠P ， ∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC ＝90°， ∴∠CBP ＝90°， ∴∠BEC ＝∠CBP ， ∴△CBE ∽△CPB ， ∴BC PC ＝CECB，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ， ∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2， ∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.23. 【答案】(1)证明：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k (k >1)， ∴aa 1＝k .∴a ＝ka 1，又∵c ＝a 1，∴a ＝kc . (2)解：取a ＝8，b ＝6，c ＝4，同时取a 1＝4，b 1＝3，c 1＝2. 此时a a 1＝b b 1＝cc 1＝2，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1且c ＝a 1.(3)解：不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1.理由如下：若k ＝2，则a ＝2a 1，b ＝2b 1，c ＝2c 1. 又∵b ＝a 1，c ＝b 1，∴a ＝2a 1＝2b ＝4b 1＝4c ， ∴b ＝2c .(12分)∴b ＋c ＝2c ＋c ＜4c ＝a ，与b ＋c >a 矛盾，故不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2.24. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S=， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE AB S =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14， ∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ， ∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ， ∴EC AC ＝EMAB，∵AB ＝5， ∴445-，x x=解得x ＝209，21 ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CMAC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。

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相似三角形的判定类型一：直角三角形相似根据相似、三角函数求解【经典例题1】如图，已知二次函数y=﹣x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．(1)求该二次函数的解析式及点M 的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m （m ＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在∥ABC 的内部（不包括∥ABC 的边界），求m 的取值范围；(3)点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与∥BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【解析】(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y=−x 2+bx +c 得， ⎩⎨⎧==++-41332c c b 解得⎩⎨⎧==42c b ∴二次函数解析式为y=−x 2+2x +4，配方得y=−(x −1)2+5，∴点M 的坐标为(1，5)；(2)设直线AC 解析式为y=kx +b ，把点A(3，1)，C(0，4)代入得，⎩⎨⎧==+413b b k 解得⎩⎨⎧=-=41b k ∴直线AC 的解析式为y=−x +4，如图所示，对称轴直线x =1与△ABC 两边分别交于点E. 点F把x =1代入直线AC 解析式y=−x +4解得y=3，则点E 坐标为(1，3)，点F 坐标为(1，1)∴1<5−m<3，解得2<m<4；(3)连接MC ，作MG ⊥y 轴并延长交AC 于点N ，则点G 坐标为(0，5)∵MG=1，GC=5−4=1∴MC=2112222=+=+CG MG ，把y=5代入y=−x +4解得x =−1，则点N 坐标为(−1，5)，∵NG=GC ，GM=GC ，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P 在AC 上，则∠MCP=90°，则点D 与点C 必为相似三角形对应点①若有△PCM ∽△BDC ，则有MC/CP=CD/BD∵BD=1，CD=3，∴CP=MC ⋅BD/CD=312⨯=32， ∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P 在y 轴右侧，作PH ⊥y 轴，∵∠PCH=45°，CP=32∴PH=232÷=31 把x =31代入y=−x +4，解得y=311， ∴P 1(31，311)；同理可得，若点P 在y 轴左侧，则把x =−31代入y=−x +4，解得y=313 ∴P 2(−31，313)； ②若有△PCM ∽△CDB ，则有MC/CP=BD/CD∴CP=132⨯=23∴PH=23÷2=3，若点P 在y 轴右侧，把x =3代入y=−x +4，解得y=1；若点P 在y 轴左侧，把x =−3代入y=−x +4，解得y=7∴P 3(3，1);P 4(−3，7).∴所有符合题意得点P 坐标有4个，分别为P 1(31，311)，P 2(−31，313)，P 3(3，1)，P 4(−3，7).【经典例题】抛物线y=ax 2+bx+c 过A(2，3)，B(4，3)，C(6，−5)三点。

(1)求抛物线的表达式；(2)如图∥，抛物线上一点D 在线段AC 的上方，DE∥AB 交AC 于点E ，若满足25=AE DE ，求点D 的坐标； (3)如图∥，F 为抛物线顶点，过A 作直线l ∥AB ，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴上运动，是否存在这样的点P 、Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与∥ABF 相似，若存在，求P 、Q 的坐标，并求此时∥BPQ 的面积；若不存在，请说明理由。

【解析】(1)根据题意，设抛物线表达式为y=a (x −3)2+h .把B(4，3)，C(6，−5)代入得：⎩⎨⎧-=+=+593h a h a ，解得：⎩⎨⎧=-=41h a ，故抛物线的表达式为：y=−(x −3)2+4=−x 2+6x −5；(2)设直线AC 的表达式为y=kx +n ，则：⎩⎨⎧-=+=+5632n k n k ，解得：k =−2，n =7，∥直线AC 的表达式为y=−2x +7，设点D(m ，−m+6m−5)，2<m<6，则点E(m ，−2m+7)，∥DE=(−m 2+6m−5)−(−2m+7)=−m 2+8m−12，设直线DE 与直线AB 交于点G ，∥AG∥EG ，∥AG=m−2，EG=3−(−2m+7)=2(m−2)，m−2>0，在Rt∥AEG 中，∥AE=5(m−2)，由DE/AE=25，得25)2(51282=--+-m m m ，化简得，2m 2−11m+14=0，解得：m 1=27，m 2=2(舍去)，则D(27，415). (3)根据题意得：∥ABF 为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P 、Q ，则∥BPQ 为等腰直角三角形，分三种情况：∥若∥BPQ=90°，BP=PQ ，如图2，过P 作MN∥x 轴，过Q 作QM∥MN 于M ，过B 作BN∥MN 于N ，易证得：∥BAP∥∥QMP ，∥AB=QM=2，PM=AP=3+2=5，∥P(2，−2)，Q(−3，0)，在Rt∥QMP 中，PM=5，QM=2，由勾股定理得：PQ=295222=+，∥S ∥BPQ =21PQ∥PB=229；如图3，易证得：∥BAP∥∥PMQ ，∥AB=PM=2，AP=MQ=3−2=1，∥P(2，2)，Q(3，0)，在Rt∥QMP 中，PM=2，QM=1，由勾股定理得：PQ=5，∥S ∥BPQ =21PQ∥PB=25； ∥若∥BQP=90°，BQ=PQ ，如图4，易得：∥BNQ∥∥QMP ，∥NQ=PM=3，NG=PM−AG=3−2=1，∥BN=MQ=4+1=5，∥P(2，−5)，Q(−1，0)∥PQ=345322=+，∥S ∥BPQ =21PQ∥PB=17；如图5，易得∥QNB∥∥PMQ ，∥NQ=PM=3，∥P(2，−1)，Q(5，0)， ∥PQ=10， ∥S ∥BPQ =21PQ∥PB=5， ∥若∥PBQ=90°，BQ=BP ，如图6，过Q 作QN∥AB ，交AB 的延长线于N ，易得：∥PAB∥∥BNQ ，∥AB=2，NQ=3，AB≠NQ∥此时不存在符合条件的P 、Q.练习1-1.如图，已知抛物线经过A （2，0）、B （3，3）及原点O ，顶点为C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上第二象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P 使得以点P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．练习1-2如图，二次函数 y =481(x + 2)(ax + b ) 的图像过点 A(-4，3），B(4，4). (1)求二次函数的解析式：(2)求证：∥ACB 是直角三角形；(3)若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作PH 垂直x 轴于点H ，是否存在以P 、H 、D 为顶点的三角形与∥ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

练习1-3如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．练习1-4如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C.(1)求抛物线解析式；(2)将∥ABC绕AB中点M旋转180°，得到∥BAD.求出点D坐标；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使∥BMP与∥BAD相似，若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习1-5如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点P，OM＝1，ON＝5．（1）求抛物线的表达式；（2）点A是y轴正半轴上一动点，点B是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB、AM、BM，且AB∥AM．∥AO为何值时，∥ABM∥∥OMN，请说明理由；∥若Rt∥ABM中有一边的长等于MP时，请直接写出点A的坐标．练习1-6如图，已知：抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 为顶点，连接BD ，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交与点 E.(1)求抛物线解析式及点D 的坐标；(2)G 是抛物线上B ，D 之间的一点，且S 四边形CDGB=4S∥DGB ，求出G 点坐标；(3)在抛物线上B ，D 之间是否存在一点M ，过点M 作MN∥CD ，交直线CD 于点N ，使以C ，M ，N 为顶点的三角形与∥BDE 相似?若存在，求出满足条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由。

练习1-7如图，在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y ++=232与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线23=x . （1）求抛物线的解析式；（2）M 为第一象限内抛物线上的一个点，过点M 作MG∥x 轴于点G ，交AC 于点H ，当线段CM ＝CH 时，求点M 的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG 绕点G 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG 与抛物线交于点N ，在线段GA 上是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与∥ABC 相似？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。

练习1-8如图，直线AB交x轴于点B(4，0)，交y轴于点A(0，4)，直线DM∥x 轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∥DAC=90°.(1)直接写出直线AB的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE.是否存在点P，使∥BPF与∥FCE相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

类型二：A 字型或两组对应边成比例其夹角相【经典例题2】如图，已知抛物线c bx x y ++=231经过∥ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC∥x 轴，点P 时直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与∥ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)∥点A(0,1).B(−9,10)在抛物线上，∥c =1;31×81−9b +c =10，∥b =2;c =1， ∥抛物线的解析式为y=31x 2+2x +1， (2)∥AC∥x 轴,A(0,1)∥31x 2+2x +1=1， ∥x 1=6,x 2=0，∥点C 的坐标(−6,1)，∥点A(0,1).B(−9,10)，∥直线AB 的解析式为y=−x +1，设点P(m,31m 2+2m+1)∥E(m,−m+1) ∥PE=−m+1−(31m 2+2m+1)=−31m 2−3m ， ∥AC∥EP ，AC=6，∥S 四边形AECP =S ∥AEC +S ∥APC =21AC×EF+21AC×PF=21AC×(EF+PF)=21AC×PE=21×6×(−31m 2−3m)=−m 2−9m=−(m+29)2+481， ∥−6<m<0∥当m=−29时,四边形AECP 的面积的最大值是481，此时点P(−29,−45). (3)∥y=31x 2+2x +1=31(x +3)2−2， ∥P(−3,−2)，∥PF=y F −y P =3,CF=x F −x C =3，∥PF=CF ，∥∥PCF=45∥同理可得：∥EAF=45∥，∥∥PCF=∥EAF ，∥在直线AC 上存在满足条件的Q ，设Q(t,1)且AB=92,AC=6,CP=32∥以C. P 、Q 为顶点的三角形与∥ABC 相似，∥当∥CPQ∥∥ABC 时，∥CQ/AC=CP/AB ， ∥292366=+t ，∥t=−4， ∥Q(−4,1)∥当∥CQP∥∥ABC 时，∥CQ/AB=CP/AC ， ∥623296=+t ，∥t=3， ∥Q(3,1).【经典例题2】(2019娄底)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，点B (3，0)，与y 轴交于点C ，且过点D (2，－3)．点P 、Q 是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求∥POD 面积的最大值；(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当∥OBE 与∥ABC 相似时，求点Q 的坐标．【解析】（1）函数的表达式为：y=a （x +1）（x -3），将点D 坐标代入并解得：a =1，故抛物线的表达式为：y=x 2-2x -3…∥；（2）设直线PD 与y 轴交于点G ，设点P （m ，m 2-2m -3），将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y=s x +t 并解得：直线PD 的表达式为：y=m x -3-2m ，则OG=3+2m ，S ∥POD =21×OG （x D -x P ）=21（3+2m ）（2-m ）=-m 2+21m+3，∥-1<0，故S ∥POD 有最大值，当m=41时，其最大值为1649；（3）∥OB=OC=3，∥∥OCB=∥OBC=45°，∥∥ABC=∥OBE ，故∥OBE 与∥ABC 相似时，分为两种情况： ∥当∥ACB=∥BOQ 时， AB=4，BC=32，AC=10，过点A 作AH∥BC 于点H ，S ∥ABC =21×AH×BC=21AB×OC ，解得：AH=22，则sin∥ACB=AH/AC=52，则tan∥ACB=2，则直线OQ 的表达式为：y=-2x …∥，联立∥∥并解得：x =±3，故点Q1（3，-23），Q2（-3，23），∥∥BAC=∥BOQ 时，tan∥BAC=OC/OA=3=tan∥BOQ ，则点Q （n ，3n ），则直线OQ 的表达式为：y=-3x …∥，联立∥∥并解得：x =2131+-，故点Q3（2131+-，21333-），Q4（2131--，21333+）；综上，当∥OBE 与∥ABC 相似时，Q 的坐标为：（3，-23）或（2131+-，21333-）或（-3，23）或（2131--，21333+）．练习2-1如图，在平面直角坐标系x oy 中，抛物线2x y =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线k h x y +-=2)(.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求h 、k 的值；（2）判断∥ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使∥AOM 与∥ABC 相似.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.练习2-2(2019郴州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于A (－3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； (2)点F 是线段AD 上一个动点．∥如图∥，设k ＝AF AD ，当k 为何值时，CF ＝12AD ?∥如图∥，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与∥ABC 相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．练习2-3如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）.(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．练习2-4如图，一次函数y=-x-2的图象与二次函数y=ax2+bx-4的图象交于x轴上一点A，与y轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y=ax2+bx-4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x=n（n<0），n是方程2x2-3x-2=0的一个根，连接AD．（1）求二次函数的解析式；（2）当S△ACB=3S△ADB时，求点C的坐标；（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．类型三：点在抛物线上：求（设）直线，求点，算长度，验证对应边成比例【经典例题4】(2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x ＝1的抛物线过B ， C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接AC .(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与∥ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）抛物线解析式y=81-x 2+41x +3，点A 坐标（-4,0）（2）点P （3，821）（3）存在.∥如图，当CQ1∥AB 交抛物线于点Q1时，81-x 2+41x +3=3，此时Q1（2,3）符合要求 ∥如图，作∥ABQ2=∥ABC 交抛物线于点Q2 此时Q2（-8，-7）不符合要求∥如图，过点B 作BQ3∥AC ，则∥ABC=∥ABQ3，此时Q3（-10，-12）符合要求∥如图，过点A 作AQ4∥BC 交抛物线于点Q4，，此时Q4（10，-7）不符合要求 ∥如图，作∥BAQ5=∥BAC 交抛物线于点Q5.此时Q5（12，-12）符合要求综上所述，点Q 坐标为（2,3），（-10，-12），（12，-12）。