圆的一般方程练习题
圆的一般方程练习
• [解析] 化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0距 离为，得＝，∴a＝2或0.
4．若点(2a，a－1)在圆x2＋y2－2y －5a2＝0的内部，则a的取值范围是
()
• A．(－∞，] B．(－，) • C．(－，＋∞) D．(，＋∞)
时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若 D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准” 形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
• (2)在书写本题结果时，易出现r＝(m－2)的错误结果，导致这种错误的原因 是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．
2．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2 －6x＝0的圆心连线方程为( )
• A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 • C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[答案] C [解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y＝(x－3)即 3x－y－9＝0，故选C．
3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到 直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值
10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－
6)，该圆与两坐标轴的四个截距之
和为－2，求圆的方程．
• [解析] 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
• ∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)， • 代入圆的一般方程，得
• 设根程(－圆，yE2＋)在得＝Exx－y轴1＋＋2上x，F2＝的＝即0截－D的距＋D两．为E个－设x1根2、圆＝，x在02得，.y轴y它1③＋上们y的是2＝截方－距程E为x.由2y＋1已、D知xy＋2，，F得它＝－们0的D是＋两方个 • 由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20. • ∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
圆的一般方程高一数学总结练习含答案解析
2.2 圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,配方可化为① .1.当D 2+E 2-4F>0时,它表示以② 为圆心,③ 为半径的圆.2.当D 2+E 2-4F=0时,它表示一个点④ .3.当D 2+E 2-4F<0时,它不表示任何图形.4.我们把⑤ 称为圆的一般方程.圆的性质及其应用1.(2013江西南昌月考,★☆☆)若方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0表示圆,则k 的取值范围是( ) A.14<k<1 B .k<14或k>1 C.k=14或k=1 D .k∈R思路点拨 令D 2+E 2-4F>0即可解得.2.(2014江西,9,5分,★☆☆)在平面直角坐标系中,A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C.(6-2√5)π D.54π思路点拨 求圆C 面积的最小值,只要求出半径的最小值即可.圆过原点,则半径r=|CO|,又圆心到直线2x+y-4=0的距离d=r,∴2r=|OC|+d.问题转化为圆心到直线的距离与到原点的距离和的最小值. 3.(2013福建福州调研,★★☆)动点A 在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y 2=4B.(x-3)2+y 2=1C.(2x-3)2+4y 2=1D.(x +32)2+y 2=12思路点拨 设出中点的坐标,找出其满足的关系式即可.4.(2013四川宜宾一模,★☆☆)已知点M(1,0)是圆C:x 2+y 2-4x-2y=0内的一点,那么过点M 的最短弦所在直线的方程是 .思路点拨 弦与CM 垂直时,弦长最小.一、选择题1. 方程x 2+y 2+2x-4y-6=0表示的图形是( ) A.以(1,-2)为圆心,√11为半径的圆 B.以(1,2)为圆心,√11为半径的圆 C.以(-1,-2)为圆心,√11为半径的圆 D.以(-1,2)为圆心,√11为半径的圆2.如果x 2+y 2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,5) B.(-∞,54) C.(-∞,32) D.(32,+∞)3.原点与圆:x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2=0(a>1)的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法确定4.经过圆x 2+2x+y 2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( ) A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=05.如果圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点,那么D,E,F 满足( ) A.D≠0,E≠0,F=0 B.D≠0,E=0,F=0 C.D=0,E≠0,F=0D.D=0,E=0,F≠06.已知圆C:x 2+y 2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m 的值为( ) A.8 B.-4 C.6 D.无法确定7.若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为( )A.-2或2B.12或32 C.2或0D.-2或0二、填空题8.过圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是 . 9.已知点(a+1,a-1)在圆x 2+y 2-x+y-4=0的外部,则a 的取值范围是 . 10.若曲线x 2+y 2+a 2x+(1-a 2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a= . 11.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 .三、解答题12.已知圆C:x 2+y 2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3). (1)P(a,a+1)在圆上,求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率; (2)若M 为圆C 上任一点,求|MQ|的最大值和最小值.13.定长为4的线段AB 的两个端点A,B 分别在x 轴和y 轴上滑动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.一、选择题1.(2015辽宁锦州统测,★☆☆)已知圆x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2=0(0<a<1),则原点O 在( ) A.圆内 B.圆外C.圆上D.圆上或圆外2.(2014贵州四校联考,★☆☆)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )A.2B.1+√2C.2+√22D.1+2√23.(2014福建福州期中,★☆☆)圆C1:x2+y2-4x+2y+4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+28=0关于直线l对称,则直线l的方程为( )A.2x-3y+6=0B.2x-3y-6=0C.3x+2y-4=0D.3x+2y+4=04.(2013河南商丘测试,★☆☆)已知圆的方程是x2+y2-4x+6y+9=0,下列直线中经过圆心的是( )A.3x+2y-1=0B.3x+2y=0C.3x-2y=0D.3x-2y+1=05.(2013河北唐山一模,★☆☆)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.πB.8πC.4πD.9π二、填空题6.(2015合肥金寨段考,★★★)经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的一般方程为.三、解答题7.(2014湖北黄冈中学训练,★★☆)已知方程x2+y2+2x-6y+m=0.(1)若m∈R,试确定方程所表示的曲线;(2)若方程表示的是圆,且圆的圆心到直线2x-y-1=0的距离等于半径,求m的值.知识清单①(x+D2)2+(y+E2)2=14(D2+E2-4F) ②(-D2,-E2)③12√D2+E2-4F④(-D2,-E2)⑤x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)链接高考1.B 由题意知(4k)2+(-2)2-20k>0,所以4k2-5k+1>0,所以k>1或k<14.2.A 由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=√5.∴圆C面积的最小值为π(√5)2=45π.故选A.3.C 设中点为M(x,y),则动点A(2x-3,2y),∵A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1,故选C.4.答案x+y-1=0解析过点M的最短弦与CM垂直,圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),∵kCM =1-02-1=1,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.基础过关一、选择题1.D 原方程可化为(x+1)2+(y-2)2=11,所以表示以(-1,2)为圆心,√11为半径的圆.2.B 令D2+E2-4F=(-2)2+12-4k>0,得k<54.3.C 因为a>1,所以02+02-2a×0-2×0+(a-1)2>0,所以原点在圆外.4.A x2+2x+y2=0可化为(x+1)2+y2=1,∴圆心为C(-1,0).又所求直线与直线x+y=0垂直,∴所求直线的斜率为1,故所求直线的方程为y=x+1, 即x-y+1=0.5.C 配方得(x +D 2)2+(y +E 2)2=D 2+E 2-4F4.∵圆与x 轴相切于原点, ∴{-D2=0,|-E 2|=√D 2+E 2-4F2≠0,∴{D =0,E ≠0,F =0.6.C 圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆心(-m2,0),即-m2+3=0,∴m=6. 7.C 配方得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为(1,2),圆心到直线的距离d=√2=√22,所以a=2或0,故选C.二、填空题 8.答案 x+2y+1=0解析 由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0. 9.答案 a>√2或a<-√2解析 ∵点(a+1,a-1)在圆x 2+y 2-x+y-4=0的外部,∴(a+1)2+(a-1)2-(a+1)+a-1-4>0, ∴a 2>2,即a>√2或a<-√2. 10.答案 ±√22解析 若曲线x 2+y 2+a 2x+(1-a 2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线上的圆,而圆心坐标是(-a 22,-1-a 22),则-a 22=-1-a 22,解得a=±√22.11.答案 6√2解析 x 2+y 2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=(3√2)2,圆心到直线x+y-14=0的距离d=√12+12=5√2>r=3√2,∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为2r=6√2. 三、解答题12.解析 (1)∵点P(a,a+1)在圆上,∴a 2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,∴a=4, ∴P(4,5),∴|PQ|=√(4+2)2+(5-3)2=2√10,k PQ =3-5-2-4=13.(2)∵圆心C 的坐标为(2,7),∴|QC|=√(2+2)2+(7-3)2=4√2,又圆的半径是2√2,∴点Q 在圆外,∴|MQ|max =4√2+2√2=6√2,|MQ|min =4√2-2√2=2√2.13.解析 解法一:设线段AB 的中点M 的坐标为(x,y),则A(2x,0),B(0,2y). 由|AB|=4,得√(2x )2+(-2y )2=4, 化简得x 2+y 2=4,所以线段AB 的中点M 的轨迹方程是x 2+y 2=4. 解法二:设M(x,y),A(x 0,0),B(0,y 0),则{x 0=2x ,y 0=2y .|AB|=√x 02+(-y 0)2=4,即(2x)2+(2y)2=16,化简得x 2+y 2=4,所以线段AB 的中点M 的轨迹方程是x 2+y 2=4.三年模拟一、选择题1.B 将O(0,0)代入x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2可得(a-1)2,因为0<a<1,所以(a-1)2>0,即原点O 在圆外.2.B 圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1. 圆心到直线x-y-2=0的距离为√2=√2>1,∴圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为1+√2. 3.A 圆C 1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=1, 圆C 2的方程可化为(x+2)2+(y-5)2=1,则C 1(2,-1),C 2(-2,5),所以线段C 1C 2的中点为(0,2),k C 1C 2=-32.由题意知直线l 是线段C 1C 2的中垂线,所以直线l 的方程为y-2=23x,即2x-3y+6=0. 4.B 根据题意知该圆的圆心坐标为(2,-3).各选项中只有3x+2y=0过点(2,-3),故选B.5.C 设P(x,y),由|PA|=2|PB|得√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,整理得x 2+y 2-4x=0,即(x-2)2+y 2=4,表示圆心为(2,0),半径为2的圆.圆的面积为π×22=4π.二、填空题6.答案 x 2+y 2-3x-5y+2=0解析 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,在x 轴上的两个截距为x 1,x 2,在y 轴上的两个截距为y 1,y 2. 当x=0时,y 2+Ey+F=0,则y 1+y 2=-E2;当y=0时,x 2+Dx+F=0,则x 1+x 2=-D2. 则{16+4+4D +2E +F =0,1+9-D +3E +F =0,(-D2)+(-E2)=4,解得{D =-3,E =-5,F =2,∴圆的方程为x 2+y 2-3x-5y+2=0.三、解答题7.解析 (1)原方程可变形为 (x+1)2+(y-3)2=10-m.当m<10时,方程表示的曲线是以(-1,3)为圆心、√10-m 为半径的圆; 当m=10时,方程表示的图形是点(-1,3); 当m>10时,方程不表示任何曲线.(2)当m<10时,圆心(-1,3)到直线的距离等于圆的半径√10-m . 即√22+(-1)=√10-m ,∴m=145.。
圆的一般方程
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
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课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
圆方程测试题及答案
圆方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中 \( g \)、\( f \) 和 \( c \) 是常数。
若圆心坐标为 \( (-g, -f) \)，那么 \( c \) 的值应该是：A. \( g^2 + f^2 \)B. \( -g^2 - f^2 \)C. \( 1 \)D. \( 0 \)答案：A2. 圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \) 的半径是多少？A. 3B. 5C. 10D. 20答案：B二、填空题1. 圆的标准方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( (a,b) \) 是圆心坐标，\( r \) 是半径。
如果圆心坐标为 \( (3, 4) \)，半径为 5，则该圆的方程为________________。
答案：\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)2. 圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 与直线 \( y = x \) 相切，求切点坐标。
答案：切点坐标为 \( (±\sqrt{2}, ±\sqrt{2}) \)。
三、解答题1. 已知圆 \( C \) 的圆心在 \( (1, 1) \)，半径为 2，求圆 \( C \) 的方程。
解答：根据圆的标准方程，圆 \( C \) 的方程为 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 \)。
2. 已知圆 \( x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 \) 与直线 \( 2x + y- 3 = 0 \) 相切，求圆心到直线的距离。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式，得到 \( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \)。
圆心坐标为 \( (-1, 2) \)。
利用点到直线距离公式\( \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，将圆心坐标代入直线方程，得到距离 \( d = \frac{|2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \)。
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系专项训练(含每步提示及答案——原创材料)
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系习题：点()1,2-a a 在圆03222=--+y y x 的内部，则a 的取值范围是（ ）A 、11<<-aB 、10<<aC 、540<<a D 、054<<-a 提示点：提示点1：设圆的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：r d < ⇔ 点P 在圆内；r d = ⇔ 点P 在圆上；r d > ⇔ 点P 在圆外；提示点2：圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的圆心为（2,2ED --），半径为2422FE D -+提示点3：两点间距离公式为()()221221y y x x d -+-=；结合提示2,3可知，圆心为()1,0，半径为2，点到圆心的距离为()()221102--+-=a a d则根据提示1知，r d <，则有540<<a ，故选C 。
习题：点()1,2-a a 在圆04222=--+y y x 的外部，则a 的取值范围为 。
提示点：点()00,y x P 与圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：0002020>++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆外；0002020=++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆上；0002020<++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆内；故将点()1,2-a a 代入圆的一般方程有()()()04121222>----+a a a ，故1>a 或51-<a 。
习题：若1>a ，则点()1,2-a a 与圆03222=--+y y x 的位置关系 。
提示点：点()00,y x P 与圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：0002020>++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆外；0002020=++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆上；0002020<++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆内；将点()1,2-a a 代入圆的一般方程有()()()a a a a a 4531212222-=----+()45-=a a ，因1>a ，故()045>-a a ，故应填在圆外。
圆的一般方程----典型题(好)
1.2. 若直线3x+y+a=0过圆x^2+y^2+2X-4y=0的圆心，则a的值为什么?由圆的方程可知圆心的坐标(-1，2)把(-1，2)代入直线方程，得3x(-1)+2+a=0解得a=13. 若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是x2+y2-4x+2y+5k=0(x-2)2+(y+1)2=-5k+5方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆-5k+5>0k<14. 当点P在x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3,0）的联结线段PQ的中点的轨迹方程是？. 设M坐标为（x，y），则P点坐标为：X=2x-3，Y=2y 点P在圆X*X+Y*Y=1上，故有：（2x-3）^2+(2y)^2=1 即：（x-1.5）^2+(y)^2=0.25 以（1.5，0）为圆心，0.5为半径的圆5. 已知点A（1，2）在圆X^2＋Y^2 ＋2X＋3Y＋m＝0内，则m 的取值范围由公式：圆的一般方程x²+y²+D x+Ey+F=0 转化为圆的标准方程为：(x+D/2)².+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4则，已知圆的标准方程为：(x+2/2)².+(y+3/2)²=(2²+3²-4m)/4整理得：(x+1)².+(y+3/2)²=(13-4m)/4点P（X,Y) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：当(x－a)^2+(y－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
将A（1，2）代入上面的不等式：：(1+1)².+(2+3/2)²<(13-4m)/4解的：m<-136. 由方程Ｘ２+Ｙ２+Ｘ+（M-１）Y+1/2M2=0确定的圆中最大面积是？对x,y进行配方。
(x+1/2)2-[y+(m-1)/2)]2=-(m2-2m-2)/4-(m2-2m-2)/4=-(m-1)2/4+3/4当m=1时，圆取得最大半径根号3/2面积为3π/4先化成圆的标准方程，半径为√（-m的平方-2m+2）/2，半径的最大值为√3/2，最大面积是3/4π7. 若圆X^2+Y^2+DX+EY+F=0过点(0,0),(1-1),且圆心在直线X+Y-3=0上,求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径。
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.圆心为点，且经过原点的圆的方程为【答案】【解析】由于圆过原点，，所以圆的标准方程.【考点】圆的标准方程2.圆的圆心和半径分别（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将圆配方得：，故知圆心为（2，-1），半径为，所以选A【考点】圆的一般方程.3.圆的面积为；【答案】【解析】写成标准方程,所以,那么圆的面积公式等于.【考点】圆的标准方程与圆的一般方程4.圆的方程过点和原点，则圆的方程为；【答案】【解析】设圆的一般方程为,将三点代入得：,解得,所以圆的方程为.【考点】求圆的方程5.已知，则以线段为直径的圆的方程为；【答案】【解析】,,圆心为中点，圆心，所以圆的方程为.【考点】求圆的标准方程6.已知圆方程.（1）若圆与直线相交于M，N两点，且（为坐标原点）求的值；（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】首先确定方程表示圆时应满足的条件；设，，利用韦达定理，建设立关于的方程,解方程可得的值.在（1）的条件下,以为直径的圆过原点,利用韦达定理求出的中点,从而也就易于求出半径,得到圆的方程.试题解析：解：（1）由得:2分于是由题意把代入得 3分， 4分∵得出： 5分∴∴ 8分（2）设圆心为.9分半径 12分圆的方程 13分【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系；3、韦达定理的应用；4、向量垂直的条件．7.已知，则以为直径的圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心为AB的中点，为。
直径为，半径为，所以所求的圆的方程是。
故选A。
【考点】圆的标准方程点评：要得到圆的标准方程，需求出圆的圆心和半径。
8.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】变形为，令得，定点，所以圆的方程为【考点】直线方程过定点及圆的方程点评：带参数的直线方程一定过定点，求定点时将含有参数的整理到一起，不带参数的整理到一起，化为的形式可求得定点9.求经过三点A，B(), C（0，6）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.【答案】，圆心坐标是.【解析】解：设所求圆的方程为 2分点A，B(), C（0，6）的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 6分解得： 8分于是得所求圆的方程为： 10分圆的半径圆心坐标是. 12分【考点】圆的一般方程点评：此题考查了圆的一般方程，求圆方程的方法为待定系数法，此方法是先设出圆的一般方程，然后把已知的点代入到所设的方程中确定出圆方程中字母的值，从而确定出圆的方程10.已知圆过点 A(1, 1)和B (2, -2),且圆心在直线x - y +1=0上，求圆的方程____.【答案】【解析】根据圆的几何性质可知圆心是AB的垂直平分线与直线x-y+1=0的交点.因为AB的垂直平分线方程为,即.由得,所以圆心坐标为(-3,-2),半径为5,所以所求圆的方程为.11.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（）A．．B．．C．D．【答案】B【解析】解：因为表示圆，则说明，解得，选B12.( 本小题满分14)已知点A（-4，-5），B（6，-1），求以线段AB为直径的圆的方程。
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课时作业23 圆的一般方程(限时：10分钟)1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离|1－2＋a |12＋(－1)2＝22，解得a ＝0或2.答案：C2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－ba >0，故直线不经过第四象限．答案：D3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．1解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)，∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4. 答案：C4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦．易求出圆心为C (4,1)，k CM ＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程：y ＝x －3和y ＝－(x －3)，即x －y －3＝0和x ＋y －3＝0.答案：x －y －3＝0 x ＋y －3＝05．求经过两点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心在直线2x ＋y －5＝0上的圆的方程．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧42＋72＋4D ＋7E ＋F ＝0，(－3)2＋62－3D ＋6E ＋F ＝0，2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－5＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋7E ＋F ＝－65，3D －6E －F ＝45，2D ＋E ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－6，F ＝－15.所以，所求的圆的方程为x 2＋y 2－2x －6y －15＝0.(限时：30分钟)1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为( )A ．(2，－3)；16B ．(－2,3)；4C ．(4，－6)；16D ．(2，－3)；4解析：配方，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4.答案：B2．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1C ．m <14 D ．m <1解析：由42＋(－2)2－4×5m >0解得m <1.一、选择题1.对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有( )．A．1个 B．2个 C．3个D．4个2．下列命题正确的是( )．A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦3．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为( ).A.米B.米C.米D.米4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于2，则两圆位置关系是( )．A．外离B．外切C．相切D．内含5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF ＝6，则圆的直径长为( )．A．12 B．10 C．4 D．15第3题图第5题图第6题图第7题图6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )．A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)7．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB 等于( )．A．55°B．90°C．110°D．120°8．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是( )．A．60°B．90°C．120°D．180°二、填空题9．如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是________(只填一个即可).10．已知两圆的圆心距为3，的半径为1.的半径为2，则与的位置关系为________.11．如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.第9题图第11题图第12题图第15题图12．如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.13．点M到⊙O上的最小距离为2cm，最大距离为10 cm，那么⊙O的半径为________________．14．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且，则AC的长为_______．15．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝________________．16．已知⊙O的直径为4cm，点P是⊙O外一点，PO＝4cm，则过P点的⊙O的切线长为________________cm，这两条切线的夹角是________________．三、解答题17．如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆于点，交于点使．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；18．在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。
19．如图，点P在y轴上，交x轴于A、B两点，连结BP并延长交于C，过点C的直线交轴于，且的半径为，.(1)求点的坐标；(2)求证：是的切线；20. 阅读材料：如图(1)，△ABC的周长为，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用．表示△ABC的面积．∵，又∵，，，∴（可作为三角形内切圆的半径公式)．(1)理解与应用：利用公式计算边长分别为5、12、13的三角形的内切圆半径；(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(2))，且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、a n，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．2.【答案】B；【解析】在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，所以A不正确；等弧就是在同圆或等圆中能够重合的弧，因此B正确；三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆，所以C不正确；平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦，所以D不正确．对于性质，定义中的一些特定的条件，3.【答案】B；【解析】以实物或现实为背景，以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标.这样的考题，背景公平、现实、有趣，所用知识基本，有较高的效度与信度.4.【答案】D；【解析】通过比较两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判断两圆的位置关系． 5-2＝3＞2，所以两圆位置关系是内含．5.【答案】B ；【解析】圆周角是直角时，它所对的弦是直径．直径EF．6.【答案】C；【解析】横坐标相等的点的连线，平行于y轴；纵坐标相等的点的连线，平行于x 轴．结合图形可以发现，由点(2，5)和(2，-3)、(-2，1)和(6，1)构成的弦都是圆的直径，其交点即为圆心(2，1)．7.【答案】C；【解析】能够由切线性质、等腰三角形性质找出数量关系式．由AC切O于A，则∠OAB＝35°，所以∠AOB＝180°-2×35°＝110°．8.【答案】C；【解析】设底面半径为r，母线长为，则，∴，∴，∴ n＝120，∴∠AOB＝120°．二、填空题9.【答案】∠BAE=∠C或∠CAF=∠B.10.【答案】外切.11.【答案】147°；【解析】因为DB是⊙O的切线，所以OA⊥DB，由∠AOM=66°，得∠OAM=∠DAM=90°+57°=147°.12.【答案】∠6，∠2，∠5.【解析】本题中由弦AB=CD可知，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，故有∠1 =∠6=∠2=∠5.13.【答案】4 cm或6 cm ；【解析】当点M在⊙O外部时，⊙O半径4(cm)；当点M在⊙O内部时，⊙O半径．点与圆的位置关系不确定，分点M在⊙O外部、内部两种情况讨论．14.【答案】或；【解析】根据题意有两种情况：①当C点在A、O之间时，如图(1)．由勾股定理OC＝，故．②当C点在B、O之间时，如图(2)．由勾股定理知，故．没有给定图形的问题，在画图时，一定要考虑到各种情况．15.【答案】100°；【解析】∠ADE＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°-65°×2＝50°，∠BOC＝2∠BAC ＝100°．在前面的学习中，我们用到了圆内接四边形的性质(对角互补，外角等于内对角)，在解一些客观性题目时，可以使用．16.【答案】； 60°；【解析】连接过切点的半径，则该半径垂直于切线．在由⊙O的半径、切线长、OP 组成的直角三角形中，半径长2cm，PO＝4cm．由勾股定理，求得切线长为，两条切线的夹角为30°×2＝60°．本题用切线的性质定理得到直角三角形，利用勾股定理和切线长定理求解．三、解答题17.【答案与解析】AC与⊙O相切．证明：∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧，∴∠BAD=∠BED，∵OC⊥AD，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠BED+∠AOC=90°，即∠C+∠AOC=90°，∴∠OAC=90°，∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切.18.【答案与解析】一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形. 如图，HG为⊙O的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm故所求弓形的高为4cm或16cm19.【答案与解析】(1)连结..，，.是的直径，.，，，，，.(2)过点.当时，，.，，，.，，是的切线.20.【答案与解析】(1)∵ 52+122＝169＝132，∴此三角形为直角三角形．∴三角形面积，，周长＝5+12+13＝30．∴，解得r＝2．(2)连接OA、OB、OC、OD，四边形ABCD被划分为四个小三角形．∵，又∵，，，．∴∴．(3)．。