与对角矩阵相似的充要条件
相似矩阵和矩阵对角化的条件
3 0 0 1 ,2 ,3线性无关， 三 个 ， A ~ 0 1 0 ， 共 0 0 1 0 2 -1 相应的可逆阵 (1,2,3 ) 1 1 0 P 1 0 1
例2
1 1 0 A 4 3 0 是否和对角矩阵相似． 判断矩阵 1 0 2 若相似，求出可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP .
三. 矩阵可对角化的条件
条件1(充要条件）：A有n个线性无关的特征向量．
证明：必要性
若 A
1 , n
~
2
则存在 阶可逆矩阵 ， n P
使得P1AP . 设P (1 , 2 ,, n )
显然， i (i 1, 2,, n) , 且1 ,2 ,,n 线性无关．
设P (1 , 2 ,, n )
由于 1 ,2 ,,n 线性无关，故Ｐ可逆．于是，
AP A(1 ,2 ,,n )
( A1 , A2 ,, An ) (11 , 22 ,, n n )
AP (11 , 22 ,, nn )
i
i 是A的特征值，i 是A的属于 i 的特征向量．
又 1 , 2 ,, n 线性无关
A有n个线性无关的特征向量
充分性
设Ａ有n个线性无关的特征向量：1 , 2 ,, n , 它们所对应的特征值依次为： 1 , 2 ,, n , 则有
Ai ii (i 1, 2,, n)
第二节
相似矩阵和矩阵对角化的条件
一．相似的定义 设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可 逆矩阵P，使得
P AP B
记作 A B 则称A相似于B．
1
相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
1
1 0 2
例2 判断 A 1 2 1 是否可以相似对角化.
1
3
0
解： 解出A的特征值为 1 1 ，2 1(二重)
属于特征值-1的特征向量为
3
1 1
0
属于特征值 1 的特征向量为
1
2 0
1
因为仅有2个线性无关的特征向量
所以，A不能相似于对角阵.
定理2 矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
若A～B , 则 ( A) ~ (B)
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
Ak P k P1, ( A) P() P1. 对于对角矩阵,有
k
1
( )
1
k
k 2
,
()
( ) 2
,
定理3 设 是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于的
线性无关的特征向量最多 k 个.
即 设 A 的不同的特征值：
1，2，… m
重数分别为：
k1，k2，… km
线性无关特征向量的个数： s1，s2，… sm
则有 si ki ， i=1,2,…,m，及
s1＋ s2＋ … ＋ sm k1＋ k2＋ … ＋ km n
n阶矩阵相似对角矩阵的充要条件的证明
矩阵相似对角化是线性代数中重要的概念，它在矩阵的理论和应用中扮演着重要的角色。
在矩阵相似对角化的过程中，我们常常会遇到矩阵相似对角化的充要条件问题，即何时一个n阶矩阵能够相似对角化成对角矩阵。
本文将对这一问题进行详细的证明，帮助读者更好地理解矩阵相似对角化的条件和过程。
一、n阶矩阵相似对角化的定义n阶矩阵A经过相似对角化可以转化为对角矩阵D的形式，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D。
其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵。
这个过程称为矩阵的相似对角化。
那么，n阶矩阵相似对角化的充要条件是什么呢？二、矩阵相似对角化的充要条件1. 必要条件若矩阵A能相似对角化成对角矩阵D，则A和D有相同的特征值。
假设A经过相似对角化得到对角矩阵D，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D，那么A和D具有相同的特征值。
2. 充分条件若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可以相似对角化成对角矩阵D。
特征向量组成的矩阵P的逆矩阵P^-1是A的特征向量，对角矩阵D的对角元是A的特征值。
三、n阶矩阵相似对角化的充要条件的证明1. 必要条件的证明假设A能相似对角化成对角矩阵D，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D。
由特征值的定义可知，对角矩阵D的对角元就是A的特征值。
所以A和D具有相同的特征值。
2. 充分条件的证明假设n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们知道对角化矩阵P的逆矩阵P^-1是A的特征向量，对角矩阵D的对角元是A的特征值。
那么矩阵P的逆矩阵存在，即P是可逆矩阵。
所以A可以相似对角化成对角矩阵D。
四、总结通过以上的证明，我们可以得出n阶矩阵相似对角化的充要条件是：A和D有相同的特征值，并且n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。
这一定理为矩阵相似对角化提供了明确的条件，对于理解和应用矩阵相似对角化具有重要的意义。
五、矩阵相似对角化的应用矩阵相似对角化在科学和工程领域有着广泛的应用，特别是在求解线性代数方程、矩阵的对角化、微分方程的求解等方面。
第十五次课 相似矩阵及矩阵的对角化【精选】
合并以后仍是线性无关的。
即设 l1,l2,,lt 是矩阵A的不同的特征值，
又设
l1
对应的无关特征向量为 1(1)
,2(1)
,,
(1) i1
l2 对应的无关特征向量为 1( 2) , 2( 2) ,, i(22)
lt
对应的无关特征向量为
1(t
)
,2(t
)
,,
(t it
)
则
若 方阵A与一个对角阵L相似，则称方阵A可对角化。 记为 A~ L，并称 L 是 A 的相似标准形。
问 n 阶方阵A与一个对角矩阵L相似的条件？
下页
思考题
(X1, X2, , Xn)
l1 0 0
0
l2
0
=?
0 0 ln
(l1X1, l2X2, , ln Xn)
二、相似矩阵的性质
1. 如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相 同的特征值。即 若A~B，则 |lE-A|=|lE-B|
证明：因为P-1AP=B， |lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|，
下面讨论对角化的问题
l1
l1
P -1AP
l2
AP
P
l2
ln
ln
记 P [1,2,,n ]
l1
A[1,2,,n]
[1,2,,n ]
l2
线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件
(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
矩阵相似对角化的一个充分条件_陈飞翔
成傅氏级数．
解 ∵ l = 2，由上式可以得到傅立叶级数
∫ ∫ a0
=
1 2
2
f（ x） dx =
－2
1 2
2
qdx
0
=
1 2
·（
பைடு நூலகம்
qx）
2 0
=
q，
∫ ak
=
1 2
2
f（
－2
x）
cos
kπ2 xdx
∫ = 1 2 qcos kπxdx
20
2
[ ] =
kqπsin
kπx 2
2 0
= 0，
∫ bk
=
1 2
【参考文献】 同济大学应用数学系． 线性代数［M］． 北京： 高等教育 出版社，2007．
（ 接上页）
∫ bk
=
1 l
π
f（
－π
x）
sin
kπl xdx，
∑( ) ∴ f（ x）
=
a0 2
+
∞ k =1
ak
cos
kπx l
+
bk sin
kπx l
．
{ 例 3 将 g（ x） = 0 － 2 ≤ x ＜ 0（ q ≠ 0 常数） 展开 q 0≤x ＜ 2
四、结 论 以上我们从三个方面把 f（ x） 展开成傅立叶级数，只要 抓重点，分清层次，学生是很容易接受的． 同时又可以解数 学近似计算、物理波形讨论等实际问题． 对教学、科研具有 双重意义．
【参考文献】 ［1］吉林大学数学系． 数学分析（ 中册） ［M］． 北京人民 教育出版社，1978． ［2］华东师范大学数学系． 数学分析（ 上册） ［M］． 高等 教育出版社，2001． ［3］欧阳光中，朱学炎，秦曾复． 数学分析 （ 上册） ［M］． 上海： 上海科学技术出版社，1983． ［4］刘祖光，鲁恩权． 大学数学辅导与考研指导［M］． 北 京： 科学出版社，2002． ［5］盛骤，吴迪光，张光天． 数学分析（ 高等学校专科教 学用书） ． 浙江大学出版社，1985．
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，与线性变换和向量空间的理论密切相关。
矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的两个重要概念，它们在解决特征值问题、矩阵的可对角化性和矩阵的特殊性质等方面发挥着重要作用。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指具有相同特征值的矩阵之间存在一种关系。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B成立，那么就称矩阵A与B相似，记作A∼B。
相似关系是一种等价关系，它具有自反性、对称性和传递性。
相似矩阵有以下几个重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A与B相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。
2. 相似矩阵具有相同的迹。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
如果A与B相似，那么它们的迹也相等。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵的秩是指矩阵的列空间的维度。
如果A与B相似，那么它们的秩也相等。
二、矩阵的对角化对角化矩阵是一种特殊的相似矩阵，使得矩阵在某一种特殊的变换下能够变为对角矩阵。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，其中D是一个对角矩阵，那么就称矩阵A可对角化。
对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量组成一个线性无关的向量组。
此时，矩阵A经过适当的变换后，可以将其对角化。
对角化的优点是简化了矩阵的计算和处理。
对角矩阵的运算更加方便，可以更直观地观察矩阵的性质，同时在求解线性方程组和矩阵的幂等问题时，也能够更加高效地进行计算。
三、矩阵相似与对角化的关系矩阵的相似与对角化之间存在一定的联系。
设A是一个n阶矩阵，如果A与对角矩阵D相似，那么A可对角化。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，那么矩阵A可对角化。
对角化的好处在于可以将矩阵的运算和计算简化为对角矩阵的运算。
同时，对角化也能够更好地揭示矩阵的特殊性质，如特征值、特征向量和秩等。
计算矩阵的相似和对角化是解决线性代数问题的重要方法。
矩阵相似对角化
例如，对于矩阵$A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$，其特征值为 $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3$，对 应的特征向量分别为$x_1 = begin{bmatrix} -2 -4 -6 end{bmatrix}, x_2 = begin{bmatrix} -1 -2 -3 end{bmatrix}, x_3 = begin{bmatrix} 1 2 3 end{bmatrix}$。选取可逆矩阵$P = begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 -6 & -3 & 3 end{bmatrix}$， 则有$P^{-1}AP = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$。
性质
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征多项式和特征值。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征子空间和特征向 量。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 行列式值。
相似矩阵的判定
如果一个矩阵具有n个线性无关 的特征向量，则该矩阵可相似 对角化。
如果一个矩阵的所有特征值都 是单重的，则该矩阵可相似对
矩阵分解
矩阵相似对角化是矩阵分解的一 种形式，可以将一个复杂的矩阵 分解为易于处理的几个部分，如 三角矩阵、对角矩阵等。
线性变换
矩阵相似对角化可以用于研究线 性变换的性质。通过对矩阵进行 相似对角化，可以了解线性变换 在各个方向上的拉伸、压缩、旋 转等效应。
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与对角矩阵相似的充要条件
对角矩阵是一种非常特殊的矩阵，它的主对角线上的元素非零，其它元素均为零。
对角矩阵在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
与对角矩阵相似的矩阵也具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨与对角矩阵相似的充要条件。
正文
一、相似矩阵的定义
在矩阵论中，相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$，则称 $A$ 和 $B$ 相似，记作 $Asim B$。
相似矩阵的定义表明，相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
相似矩阵的概念为矩阵的特征值和特征向量的研究提供了一种重要的工具。
二、对角矩阵的定义
对角矩阵是一种非常特殊的矩阵，它的主对角线上的元素非零，其它元素均为零。
设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶矩阵，若 $a_{ij}=0(i eq j)$，则称 $A$ 是对角矩阵。
对角矩阵可以表示为
$A=begin{pmatrix}a_{1}&0&cdots&00&a_{2}&cdots&0vdots&vdots& ddots&vdots0&0&cdots&a_{n}end{pmatrix}$。
对角矩阵具有一些重要的性质，如对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素，对角矩阵的特征向量就是其坐标轴上的向量等。
三、与对角矩阵相似的充要条件
与对角矩阵相似的充要条件是：矩阵 $A$ 与一个对角矩阵相似的充要条件是 $A$ 的特征向量组成的矩阵 $P$ 可逆。
证明：
充分性证明：
设 $A$ 和 $B$ 是两个相似矩阵，即存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$。
设 $P=(p_1,p_2,cdots,p_n)$，其中
$p_i(i=1,2,cdots,n)$ 是 $A$ 的第 $i$ 个特征向量，则对于任意$i$，有 $AP=p_ilambda_i$，其中 $lambda_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 个特征值。
因此，
$$ A(P_1,P_2,cdots,P_n)=(P_1lambda_1,P_2lambda_2,cdots,P_nl ambda_n)=(P_1,P_2,cdots,P_n)begin{pmatrix}lambda_1&0&cdots& 00&lambda_2&cdots&0vdots&vdots&ddots&vdots0&0&cdots&lambda_ nend{pmatrix} $$
即 $A$ 与对角矩阵相似。
必要性证明：
设 $A$ 与一个对角矩阵 $D$ 相似，即存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=D$。
设 $P=(p_1,p_2,cdots,p_n)$，其中
$p_i(i=1,2,cdots,n)$ 是 $A$ 的第 $i$ 个特征向量，则对于任意$i$，有 $AP=p_ilambda_i$，其中 $lambda_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 个特征值。
因为 $P$ 可逆，所以 $P$ 的列向量组成的矩阵 $P$ 是满秩矩阵，即 $P$ 的列向量线性无关。
因此，$A$ 的 $n$ 个特征向量
$p_1,p_2,cdots,p_n$ 线性无关。
即 $A$ 的特征向量组成的矩阵$P$ 可逆。
综上所述，与对角矩阵相似的充要条件是 $A$ 的特征向量组成的矩阵 $P$ 可逆。
四、应用举例
1. 对角化矩阵
与对角矩阵相似的矩阵具有很多重要的性质和应用。
其中一个应用就是对角化矩阵。
对于任意一个 $n$ 阶矩阵 $A$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，则称 $A$ 可对角化。
对角化矩阵的应用非常广泛，如在数值计算、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
2. 特征值分解
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个 $n$ 阶矩阵分解为一个对角矩阵和一个可逆矩阵的乘积。
设 $A$ 是一个$n$ 阶矩阵，其特征值为 $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$，对应的特征向量为 $p_1,p_2,cdots,p_n$，则有 $A=PDP^{-1}$，其中 $P=(p_1,p_2,cdots,p_n)$，
$D=begin{pmatrix}lambda_1&0&cdots&00&lambda_2&cdots&0vdots& vdots&ddots&vdots0&0&cdots&lambda_nend{pmatrix}$。
特征值分解在信号处理、图像处理、机器学习等领域中都有广泛的应用。
结论
与对角矩阵相似的充要条件是矩阵 $A$ 的特征向量组成的矩阵
$P$ 可逆。
与对角矩阵相似的矩阵具有很多重要的性质和应用，如对角化矩阵、特征值分解等。
对角矩阵在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是矩阵论研究的重要内容之一。