全等三角形经典模型总结-5.2

全等三角形相关模型总结一、角平分线模型（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；结论：①△ACD≌△ABD；② CD= DB（角分线垂两边，对称全等必呈现）（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；结论：①△OPM≌△OPN ；②△OMN为等腰三角形；③P是MN的中点（三线合一）；（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，结论：△OED≌△OFD ；（4）作平行线① 以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB 等腰三角形；② 过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH 等腰三角形； 已知：OP 平分∠MON ，AB ∥ON ， 已知：OC 平分∠AOD ，DH ∥OC ， 结论： △OAB 等腰三角形 结论： △ODH 等腰三角形角平分线+两边垂线→全等三角形 辅助线：过点G 作GE 射线AC已知：AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AC ，DB ⊥AB ， 求证：CD=DB证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠1=∠2，∵CD ⊥AC ，DB ⊥AB ， ∴∠ACD=∠ABD=90°， 在△ACD 和△ABD 中，∴△ACD ≌△ABD （AAS ） ∴CD=BD⊥⎪⎩⎪⎨⎧AD =AD 90=ABD ∠=ACD ∠2∠=1∠例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：BE=CF．例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现例1：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F．求证：BD=2CE例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD 交AD的延长线于M. 求证：2AM=（AB+AC）例3：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°，求证：EF∥BC.截取构造全等：例1：如图，AB>AC ，∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。

例2：如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD.例3：在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．例4：已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BCE C D B PAAC B D角平分线+平行线模型例、△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且MN∥BC交AB、A C分别于点M、N；求证：△AMN的周长是AB+ A C；二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形. （2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：【题型1】证角等如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，M 为AC 中点，连结BM ，作AD ⊥BM 交BC 于点D ，连结DM ，求证:∠AMB =∠CMD ．解析：作等腰Rt △ABC 关于BC 对称的等腰Rt △BFC ，延长AD 交CF 于点N ，∵AN ⊥BM ，由正方形的性质，可得AN =BM ，易证Rt △ABM ≌Rt △CAN ，∴∠AMB =∠CND ，CN =AM ， ∵M 为AC 中点，∴CM =CN ，∵∠1=∠2，可证得△CMD ≌△CND ， ∴∠CND =∠CMD ， ∴∠AMB =∠CMD ．【题型2】判定三角形形状如图，Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =AC ，AD =CE ，AN ⊥BD 于点M ，延长BD 交NE 的延长线于点F ，试判定△DEF 的形状．解析：作等腰Rt △ABC 关于BC 对称的等腰Rt △BHC ，可知四边形ABHC 为正方形，延长AN 交HC 于点K ， ∵AK ⊥BD ，可知AK =BD ，易证:Rt △ABD ≌Rt △CAK ， ∴∠ADB =∠CKN ，CK =AD ， ∵AD =EC ，∴CK =CE ，易证△CKN ≌△CEN ，∴∠CKN =∠CEN ，易证∠EDF =∠DEF ，∴△DEF 为等腰三角形．21NFA BCDM E EMDCBA ABCD E FNMKHM NFE D C BA【题型3】利用等积变形求面积如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 上一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，且BE =4，CF =3，求S 矩形DFAE ．解析：作等腰Rt △ABC 关于BC 的对称的等腰Rt △GCB ，可知四边形ABGC 为正方形，分别延长FD 、ED 交BG 、CG 于点N 、M ， 可知DN =EB =4，DM =FC =3，由正方形对称性质，可知S 矩形DFAE =S 矩形DMGN =DM ·DN =3⨯4=12．【题型4】求线段长如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠BAC =45°，BD =3，CD =2，求AD 的长．解析：以AB 为轴作Rt △ADB 的对称的Rt △AEB ，再以AC 为轴作Rt △ADC 的对称的Rt △AFC ．可知BE =BD =3，FC =CD =2，延长EB 、FC 交点G ，∵∠BAC =45°， 由对称性，得∠EAF =90°，且AE =AD =AF ，易证四边形AFGE 为正方形，且边长等于AD ，设AD =x ，则BG =x －3，CG =x －2，在Rt △BCG 中，由勾股定理，得()()222235x x -+-=， 解得x =6，即AD =6．【题型5】求最小值如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，M 为AC 的中点，P 为斜边AB 上的动点，求PM +PC 的最小值．解析：将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt △ACB 关于AB 对称的Rt △ADB ，可知四边形ACBD 为正方形，连接CD ，可知点C 关于AB 的对称点D ，连接MD 交AB 于点P ，连接CP ，则PM +PC 的值为最小，最小值为:PM +PC =DM=GMNFED C BAF EDCBA GFED CBADCBAM PDBC AMPB C AC 1ABC ED D E(C )B AC 1C 1AB C ED 1AB CEDED CB A21三、三垂直模型（弦图模型）例题：已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ；⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D =，其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由.① ② ③ ④解析：⑴∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD∴90∠=∠=︒B D在ABC △与CDE △中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD B D BC DE ，∴ABC CDE △≌△（SAS ）∴1∠=∠E∵290∠+∠=︒E ，∴90∠=︒ACE ,即AC ⊥CE⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明1ABC C DE △≌△∴1∠=∠ACB C ED∵1190∠+∠=︒C ED DC E ∴190∠+∠=︒DC E ACB ，∴AC ⊥C 1E四、手拉手模型【探究一】“手拉手”模型基本构图；如图1，若A B C ∆与ADE ∆旋转全等，则必有ABD ∆与ACE ∆为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形ABD ∆与ACE ∆共顶角顶点，则必有ABC ∆与ADE ∆旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，ABC ∆与ADE ∆仍然旋转全等，并且有两个共同的结论； 结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：BC 与DE 所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）图1EDC BA图2EDBA图3EDCBA 图4E D CB A FG 图5ED CBA 图6图7图8【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立； 如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：︒=∠=∠=∠=∠60CAE BAD COE BOD ；结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（ABC ∆≌ADE ∆；AHD ∆≌AGB ∆；AGC ∆≌AHE ∆）结论4：如图15，连接GH ，可得AGH ∆为等边三角形；（由结论3可得AH AG =）结论5：BE GH ∥；（由结论4可得︒=∠=∠60BAD AGH ）结论6：连接AO ，可得AO 平分BOE ∠；（如图16，分别作BC AM ⊥、DE AN ⊥，AM 与AN 分别是全等三角形ABC ∆与ADE ∆对应边BC 和DE 上的高，故相等）图9E图10图11图12图13图14图15NM O 图16EDC BASFEDCBAMPNMHGFEDCB A例题1：如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AD=AB ，AE=AC ，则下列正确的是（ ） A. ABD ACE △≌△ B. ADF AES △≌△C. BMF CMS △≌△D. ADC ABE △≌△解析：D例题2：如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数． 解析：先证ABG AFC △≌△可得BG =CF ，∠=∠ACF AGB∵∠=∠NPG APC ∴108∠=∠=︒GNC GAC五、半角模型 条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ； （2）=2CMNCAB ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P② 将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .FDEGCB ANM CBA 例题1：如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以 D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 ．【解析】 6例题2：如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ，AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-解析：证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．∵180B ADC +=︒∠∠，180ADF ADC +=︒∠∠， ∴B ADF =∠∠． ∵AB AD =， ∴ABG ADF △≌△．∴BAG DAF =∠∠，AG AF =．∴12BAG EAD DAF EAD EAF BAD +=+==∠∠∠∠∠∠．∴GAE EAF =∠∠． ∵AE AE =， ∴AEG AEF △≌△． ∴EG EF =∵EG BE BG =-，∴EF BE FD =-．FEDCBA附：正方形半角模型正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且︒=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .一、全等关系（1）求证：①EF BE DF =+；②22HG BH DG =+；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠.二、相似关系（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ⋅=2；⑤HG BG AG ⋅=2；⑥21=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BEABHCF =∠tan . （5)、和差关系求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.。