《复变函数》试卷A答案

华南理工大学期末考试 2009《复变函数》试卷 A 答案

1，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知 41z i =-，则z 所有取值为

2164(0,1,2,3)nk z e

n π

π+

==

（2）设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，C 是D 内一条简单正向闭曲线，

ξ在C 的外部，则积分2009

()

()C f z dz z ξ=-⎰ 0 （3）在映射2w z =下，区域10arg w w π<<<， 的原像为

{1,0arg arg }22

z z z z π

π

π<<<

⋃-<<-

（4）函数 2

w x ixy =+ 在如下范围内可导：(0,0) （5）计算积分0()i

z z i e dz --=⎰ 1i i e +-

（6）函数2

2()cos z f z e z =在00z =的泰勒展开式为

6

2

8

131 (224)

z z z +-++

2，计算题，(每题5分，合计25分)。

（1）计算 Ln(512)i + 和 i i 的值

12(512)ln13tan

5

Ln i iArc +=+ [ln (2)]

(2)2

2

,i i i k k i iLni i e e

e

n Z π

π

ππ++-+===∈

（2）求解方程ch 1z =

cos()122chz iz iz k z k i

ππ====-

（3）设3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上解析，求l ，m ，n

2232

2222,2,2222,3230,30,3

u my nx y v x lxy u v

nyx lxy x y

nyx lxy n l u v

my nx x y x my nx x m n m n l =+=+∂∂==∂∂≡⇒=∂∂=+-=-∂∂+≡-⇒==-⇒===-

（4）计算积分C

z

dz z

⎰

，其中:2C z =正向

(02)220i C z ie d id i i

θθππθππθθθπ≤≤===⎰

⎰i -i 220

0的参数方程：z=2e 2e 原式=2

（5）函数 3sin ()z

f z z

=和1

1()z g z e -= 都有什么奇点？如果是极点，请

指出它是几阶极点。

(),0,f z 极点，且m=2。 ,g(z),1本性奇点。

3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径：

（1）21n

n n n z e

∞

=∑；

（2）1

i

n n n e z π

∞

=∑。

2

1

n 2

2

n n n 1lim lim (2)lim lim cos

_sin

1

1

n i

n e e R e e

i n n R π

π

π

--→∞

→∞

→∞

=======（）

4，(本题10分) 计算积分22

01

0112sin d p p p π

θθ<<-+⎰

， 。

22

1

2

2

11sin (),21

(1)11

,

11

Re ((),)lim()()lim 1122Re ((),)1

i z z pi z pi dz

z e z d i z iz dz pz p iz p pi pi pi

pi s f z pi z pi f z p z pi

p

i s f z pi p θθθππ=→→==-=

=+++>=-==-+-

⇒==+⎰设则原式为不解析点，且原式

5，(本题10分) 计算积分25

1

:2(1)(1)(3)

C

dz C z z z z =+--⎰

， ，为正向曲线。

5

Re ((),)0

2[Re ((),3)Re ()]2310s f z i s f z s f i ππ∞==-+∞-=

原式（z）， 6， (本题10分) 在指定区域展开成洛朗级数： （1）2

1

()01111(1)f z z z z z =<-<<-<+∞-， ；

（2）2

ln(1)

()01z f z z z

-=

<<， 20012200(1)011111()(1)1(1)1111111()()()

11(1[(1n n

n n z f z z n z z z z z z n f z z z z z z z z z

∞∞∞∞++<<=++=+++-->+=++=++--∑∑∑∑时

时

））]

21

2

1

(1)(2)(1)n n

n n n n z z n z n ∞

-∞

==-==-∑∑原式 7，(本题5分) 计算积分2

4

1

x dx x +∞

+⎰

。