高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教A版选修2_3
类型 1 排列的概念(自主研析) [典例 1] 判断下列问题是否是排列问题： (1)从 2，3，5，7，11 中任取两数相乘可得多少个不 同的积？ (2)从上面各数中任取两数相除，可得多少个不同的 商？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品 后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 解：(1)乘法符合交换律与顺序无关，不是排列问题． (2)除数与被除数互换结果不一样，与顺序有关，是 排列问题． (3)“门”不同，先后也不一样，是排列问题．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的 式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算 量．
4 2A5 ＋ 7A 8 8 5 A8 － A 8 9
(2)
＝
＝ 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5
2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5
＝1. 8×7×6×5×（24－9） 2x＋1≥4， * (3)根据排列数的定义，x 应满足 x∈N ， x≥3， 解得 x≥3，x∈N*. 根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)· 2x· (2x－1)· (2x －2)＝140x· (x－1)· (x－2)．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)a， b， c， d 与 a， d， b， c 是不同的两个排列． ( (2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( ) )
(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排 列不发生变化．( )
解析：(1)对，题中的两个是不同的排列，因为与元 素的位置有关．
(2)对，根据排列的定义知说法正确． (3)错，元素的位置交换后，所得的排列与原排列不 同． 答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．下面问题中，是排列问题的是(
)
A．由 1，2，3 三个数字组成无重复数字的三位数 B．从 40 人中选 5 人组成篮球队 C．从 100 人中选 2 人抽样调查 D．从 1，2，3，4，5 中选 2 个数组成集合
(2)排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的所有不同排列的个数叫作从 n 个不同元素中取出 m 个
m A n 元素的排列数，用符号______ 表示．
2．排列数公式
m An ＝n(n－1)(n－2)„(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)
n！ ＝ ． （n－m）！
温馨提示 注意排列数公式的特征： m 个连续自然数 之积；其中最大因数是 n，最小因数是 n－m＋1.
1．2 排列与组合 1．2.1 排列 第 1 课时 排列与排列数公式
[学习目标] 1.理解排列的概念(重点)． 2.能利用计 数原理推导排列数公式(难点)． 3.会用排列数公式进行 相关计算(重点)．
[知识提炼· 梳理] 1．排列的相关概念 (1)排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列．
8×7×6×5×（8＋7）
因为 x≥3，于是得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)． 3 则 4x －35x＋69＝0，解得 x＝3 或 x＝5 (舍去)． 4
2
所以原方程的解为 x＝3.
归纳升华 排列数的计算方法 1． 排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行， 应注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大 的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元 素的个数，这是排列数公式的逆用．
解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作 横坐标， 哪一个数作纵坐标有关， 所以这是一个排列问题． (2)因为从 10 名同学中抽取两名去学校开座谈会不用 考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)第一问不是排列问题，因为选出 3 个座位与顺序 无关；第二问是排列问题，因为“入座”问题与顺序有关．
类型 2 排列数公式 [典例 2] 求解下列问题： (1) 用排列数表示 (55 － n)(56 － n)„(69 － n)(n∈N* 且 n<55)；
4 2A5 ＋ 7A 8 8 (2)计算 8 5 ； A8－A9 3 (3)解方程：A4 ＝ 140A 2x＋1 x.
解：(1)因为 55－n，56－n，„，69－n 中最大的数 为 69－n，且(69－n)－(55－n)＋1＝15，即共有 15 个数， 所以(55－n)(56－n)„(69－n)＝A15 69－n.
解析：选项 A 中组成的三位数与数字的排列顺序有 关，选项 B，C，D 只需取出元素即可，与元素的排列顺 序无关． 答案：A
3．A，B，C 三名同学照相念，成“一”字形排队， 所有排列的方法种数为( A．3 种 B．4 种 ) C．6 种 D．12 种
解析：所有的排法有：A－B－C，A－C－B，B－A －C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共 6 种． 答案：C
归纳升华 判断一个具体问题是否为排列问题的方法
特别提醒： 判断是否为排列问题的关键是选出的元素 在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列 问题，否则就不是排列问题．
[变式训练] 判断下列问题是否是排列问题． (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标 平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽 2 名同学去学校开座谈会，有 多少种不同的抽取方法？ (3)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方 法？若选出 3 个座位安排 3 个客人入座，又有多少种方 法？
4． 从 n 个人中选出 2 个， 分别从事两项不同的工作， 若选派的种数为 72，则 n 的值为( A．6 B．8 C．9 D．12 解析：由 去 n＝－8)． 答案：C A2 n＝72，得 n（n－1） ＝72，解得 n＝9(舍 2 )
5．如果 Am n ＝17×16ׄ×5×4，则 n＝______，m ＝________． 解析：易知 n＝17.又 4＝n－m＋1＝17－m＋1＝18 －m， 所以 m＝14. 答案：17 14
1.2 第一课时 排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)
特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关
键．
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1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A 返回 B．①③ D．①②③ ( )
－1 n－m Am · A n－1！ － n 1 n－m (3) ＝ · (n－m)！· －1 An [ n － 1 － m － 1 ] ！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
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[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am n＝ n！ 适用于与排列数 n－m！
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.
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已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个
没有重复数字的两位数？
提示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个． 返回
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4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(排列)ppt课件
例2．解方程
A
3 2x
100Ax
2
解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1) ∵x≠0,x≠1 ∴ 2x-1=25 解得x=13 经检验x=13 是原方程的根。 例3．证明：A m
=A +mA n+1
。 。
m n
m-1 n
n! n! 证明：右边 m (n m )! (n m 1)! n ! (n m 1) n ! m (n 1)n ! (n m 1)! (n m 1)! (n 1)! Anm1 左 [(n 1) m ]!
一列，共有多少种不同的排法？
解决这个问题，需分3个步骤： 第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 根据分步计数原理，共有4×3×2＝24
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列． 注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有 重复元素，也没有重复抽取相同的元素． 2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是 “按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元 素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如 果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的 排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同， 那么也是不同的排列． 4.如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）， 叫做选排列；如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素 作排列），叫做全排列．
第1章-1.2-1.2.1-第1课时 排列与排列数公式
A．6 个
【解析】 符合题意的商有 A2 4＝4×3＝12. 【答案】 C
3．某段铁路所有车站共发行 132 种普通车票，那么这段 铁路共有的车站数是( A．8 B．12 ) C．16 D．24
【解】 设车站数为 n，则 A2 n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.
【答案】 B
4．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排； (2)从编号为 1,2,3,4,5 的五名同学中选出两名同学任正、 副班长．
沿途有四个车站，求这四个车 要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2 个车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A2 4种 不同的排法，即共有 A2 4 种不同的车票，由排列数公式可得 A2 4＝4×3＝12.
树形图法在解决简单排列问题中的应用 (12 分)从 0,1,2,3 这四个数字中，每次取出三个 不同的数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数． (2)若组成这些三位数中，1 不能在百位，2 不能在十位， 3 不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三 位数．
【提示】 不是．
排列的概念 一般地，从 n 个不同元素中取出 m( 按照 一定的顺序
m≤n )个元素，
排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取
出 m 个元素的一个排列．
排列数及排列数公式
【问题导思】 两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数 字游戏．
1． 从这 4 个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的 两位数？
【解】 (1)四名同学站成一排， 共有 A4 4＝24 个不同的排 列，它们是： 甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙， 甲丁丙乙； 乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙， 乙丁丙甲；
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学
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忽视排列问题中的限制条件致误 【例 4】 在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___． 【错解】 排列的个数是 12 个或 8 个． 【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条 件．
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知识点一 排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序 排成一列，叫做从 n 个 不同 元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且 元素的 排列顺序 也相同．
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(2)计算AA5525的值． 解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
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类型三 列举法解决排列问题 【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
Hale Waihona Puke [目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式 进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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1[1].2.1排列第1课时 排列与排列数公式 课件(人教A版选修2-3)
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排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
【课标要求】 1．了解排列、排列数的定义． 2．掌握排列数公式的推导方法． 3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【核心扫描】
1． 排列概念的理解．(难点) 2． 排列的简单应用．(重点) 3． 排列与排列数的区别．(易混点)
自学导引
1．排列的定义
【题后反思】
(1)题属于求排列数问题；(2)题不属于求
排列数问题，应注意它们的区别，区分的关键看“事件”是 否符合排列定义，排列的特点是先取后排，特点是序性．
【变式4】 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个 三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？ (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
题型四
排列的简单应用
【例4】 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班
的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少
种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组 报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？ 审题指导 根据排列和计数原理的概念解题．
1 (3)性质：An＝n！规定 A0＝__，0！＝1. n n
试 一 试 ： 如 果 A m ＝ 17×16×15×…×5×4 ， 则 n ＝ n ________，m＝________．
提示
因为最大数为17，是17－4＋1＝14个数的积，
∴n＝17，m＝14.
名师点睛
1．对排列定义的理解 (1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”， 二是“按一定的顺序排列”． (2)排列的一个重要特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与这些元素的排列顺序有关，选取的元素不同
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －mn ，对于性质2，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)． ∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于( )A．12 B．13 C．14 D．15答案 C解析C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，n＝14，故选C.3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( )A．A310种B．C310种C．C310A310种D．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学
义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示
全排列的概念
n个不同元素__全__部__(q_uá_nb_ù_)取_的出一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
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[跟踪训练] 1．判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序 排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．
题．
()
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[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺 序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺 序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不 同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
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[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定_(_yī_dì_ng_)_的_顺排序成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)_元__素__(_yu相án s同ù) ． (2)_顺__序__(s_hù相nxù同) ． 思考：如何理解排列的定义？
2019-2020年人教A版高中数学选修2-3：1.2排列与组合1.2.1排列课件 (共29张PPT)
[自主梳理] 1．排列的有关概念 (1)定义：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫作从 n 个 不同 元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且元素的 排列顺序 也相同．
2．排列数与排列数公式
后面，则他可选的密码个数共有( )
A．A66
B．A68
C．A35＋A33
D．A35·A33
解析：分两步．第一步选 3 个数字安排在后三位，有 A35种方法，第二步把 3 个字母
安排在前三位，有 A33种方法，故共有 A35·A33个密码．
答案：D
探究三 “在”与“不在”的问题 [典例 3] 7 位同学站成一排． (1)若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (4)甲不能站排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？ [解析] (1)先考虑甲站在中间，有 1 种排法，再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学， 共 A66＝720 种排法． (2)先考虑甲、乙站在两端，有 A22种排法，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学，有 A55种排法，共 A22A55＝240 种排法．
1.2 排列与组合 1.2.1 排 列重点：排列的概念；排列数公
2.了解排列数的概念．
式；用排列知识解决简单的实
3.掌握排列数公式的推导方法．
际问题．
4.能用排列知识解决简单的实际问题. 难点：排列数公式的推导方法.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要 表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法 主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.2.2组合第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
若 C2n＝10，则 n 的值为( 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛，不同选法
有( )
A．504 种
B．729 种
C．84 种
D．27 种
答案：C
计算 C37＋C47＋C58＋C69＝________. 答案：210
甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等， 则车票票价有________种. 解析：车票的票价有 C23＝3(种). 答案：3
合应用题
核心素养 数学抽象
数学运算
逻辑推理、 数学运算
问题导学 预习教材 P21～P24 的内容，并思考下列问题： 1.组合的概念是什么？ 2.什么是组合数？组合数公式是什么？ 3.组合数有哪些性质？
1.组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素_合__成___一__组__，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
第五类：若 3 人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌， 共有 2C23C11C25C35＝600(种). 第六类：若 3 人中只有一人唱歌，又有一人跳舞有 C13C12C35C35＝ 600(种). 由分类加法计数原理得不同选法共有 25＋50＋300＋300＋600＋ 600＝1 875(种).
阶乘式
n！ Cnm＝_m_！__（__n_－__m__）__！__
Cnm＝_C_nn_－_m_，Cmn＋1＝_C_mn__＋__C_nm_－_1_
①n，m∈N*且 m≤n；②规定 C0n＝1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所 有组合的个数为 C23.( √ ) (2)从 1，3，5，7 中任取两个数相乘可得 C24个积．( √ ) (3)C35＝5×4×3＝60.( × ) (4)C22 001167＝C12 017＝2 017.( √ )