正交多项式

b
a
[ f ( x) p( x)] 2 dx
作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。
解决问题
（1）在各种度量意义下最佳逼近多项式 Pn ( x) H n 是否存在？
是否唯一？（本章讨论：最佳平方逼近，最佳一致逼近）
（2）如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式 Pn (x ) 。
6.1.2、几个常用的正交多项式
1.
勒让德多项式
当区间为[1, 1] ，权函数 ( x) 1时，由 {1, x,, x n ,}
正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式， 并用 P0 ( x ), P1 ( x ), , Pn ( x ), 表示.
罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式
（P ( x )， i ( x )） ci ，i 0， ，n. 1， （ i ( x )， i ( x )）
n
说明： i ( x )i 0 为 H n中一个正交基。
（3） i j时（ ( x), ( x)）=0,且 ( x)与任一次数小于就j i j j
的多项式正交
n
证明： ① { 0， 1， ，n }为正交多项式组，则（ 0， 1， ，n） 0， G
由定理得{i ( x)}in0线性无关。
② 因 P( x) Hn为任一次数 n 多项式，则可设
P( x) a0 a1 x an x n
又
k 1 j 0 k
P0 ( x ) 1,
1 dn Pn ( x ) n {( x 2 1) n } (n 1,2, ), n 2 n! dx
由于 ( x 2 1) n是 2n 次多项式， 所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x ) 1 ( 2n )( 2n 1) ( n 1) x n an 1 x n 1 a0 , 2 n n! ( 2n)! n an n . 2 于是得首项 x 的系数 2 ( n!)
无关的幂函数{1, x,, x n ,}, 利用逐个正交化手续构造
出正交多项式序列 { n ( x)} ： 0
0 ( x) 1,
n ( x) x
n j 0 n 1
( x , j ( x))
n
( j ( x), j ( x))
j ( x)
(n 1, 2,...).
其中i ( x) 是首项系数为1的i次多项式；
（2）P( x) Hn为任一次数 n 多项式，则
① {0 ( x),1 ( x),,n ( x)}于 [a，b] 线性无关；
（P , ） i (i 0,1,, n) ② P ( x ) ci i ( x ) ，其中 ci （ i , ） i i 0
作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函数p (x)，使不等式
max f ( x) p( x)
a x b
成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近
于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 采用
( k ) (1) 0
(k 0,1, , n 1).
设 Q(x)是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部 积分知
1 1 Pn ( x )Q( x )dx n Q( x ) ( n ) ( x )dx 1 2 n! 1 1

1 1 Q( x) ( n 1) ( x)dx 2 n n! 1
0 ( x) 1 1 ( x ) x 1 n1 ( x) ( x n )n ( x) nn1 ( x),(n 1, 2,...,)
且于[a, b]带权函数 ( x)为正交多项式组 {n ( x)}0 （n ( x)为首项系数 n , 为1的n次多项式） 是唯一的。
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准： (一) 一致逼近
max 以函数f (x)和p (x)的最大误差 x[ a ,b ] f ( x) p( x)
3．正交性
定义 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
a
b
则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。 定义6.2 设在[a, b]上给定函数系{k (x)} k=0,1,….，若满足条件
项式， (x) 为 [ a, b] 上权函数，如果多项式序列 { n ( x)} 0 满足正交关系式， 则称多项式序列 { n ( x)} 为在 [a, b] 上 0 带权 (x) 正交，称 n ( x) 为 [a, b] 上带权 (x) 的 n次正 交多项式.
只要给定区间[a, b] 及权函数 (x) ，均可由一族线性
若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为：
1 2
,
1

cos x,
1

sin x, , ,
1

cos nx,
1

sin nx
那么这个函数系在[- , ]上不仅保持正交的性质， 而且还是标准化的(规范的)
1内积
定义6.2 设f (x)，g (x) C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数，
最高项系数为1的勒让德多项式为
~ Pn ( x)
n! d [( x 2 1) n ]. (2n)! dx n
n
勒让德多项式重要性质：
性质1 正交性
0, 1 Pn ( x)Pm ( x)dx 2 , 2n 1
1
m n;
m n.
证明
令 ( x) ( x 2 1) n， 则
k j 0
k 1
选择系数 ckj使 0 (k ,i ) ( x , i ) （ ckj jj,, i i)) c kiຫໍສະໝຸດ i， i） （ kj k
j 0
k 1
( x k , i ) cki i , i ) （
即 ( x k ,i ) cki ,(i 0,1, , k 1) ( i , i )
b b a i 0 a
j 1
（4） (正交多项式的三项递推公式)
设 {n ( x)}0 为 a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组，i ( x) [ n
是首项系数为1的i次多项式，则
{n ( x)} 满足递推公式:
( xn , n ) (n , n ) 其中 n ，n (n , n ) (n1 , n1 )
（2） 若 Q( x) Pn ( x) 则
于是 {i ( x)}in0为 a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组， [
即 ( i , j ) ( x ) i ( x ) j ( x )dx 0,当i j .
b a
性质
设 (1) {i ( x)}n0为 a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组， [ i
正交性
( 0 , 0 )
(a) i ( x) 是首项系数为1的i次多项式；
(b) (i , j ) 0, 当 i j (i, j 0,1,..., k 1)
由 xk及0 ,1 ,,k 1 组合构造 k ( x ) x ckj j ( x )
0
1
c0 0 ( x) c11 ( x) cn n ( x)
P( x) c00 ( x) c11 ( x) cnn ( x)
两边与i ( x)作内积，则有
（P( x)， i ( x) c（ i ( x)， i ( x) ） i ）
于是
(1)
x k ( x ) ckj j ( x ),( k 1, 2, , n) (2)
将(2)代入(1)得
P( x) a00 ( x) a1[1 ( x) c100 ( x)] a2[2 ( x) c200 ( x) c211 ( x)]
§6.1 正交多项式
一、正交函数系的概念
考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ]
上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。
( 1) n n 2 n!

1
1
Q ( n ) ( x) ( x)dx.
下面分两种情况讨论: 则 （1） 若 Q(x) 是次数小于 n的多项式， Q ( n ) ( x) 0, 故得

1
1
Pn ( x)Pm ( x)dx 0, 当n m.
(2n)! n 1 x , ( n ) ( x) n 2 n 2 (n!) 2 n!
an[n ( x) cn00 ( x) cn11 ( x) cnn 1n1 ( x)]
a a c21 c a c [a00 (a1c10 a2c20 anncnn00))]0 ( x) [a11 a22c21 anncnn11 ]1 ( x) c nnn ( x) a a (a1c10 a2c20 a c c
证： 任何次数不高于j 1的多项式q( x)( j 1)可表示为 q ( x) c00 ( x) ... c j 1 j 1 ( x) cii ( x)