第二章 第一节 正交多项式
2.4§2.4 正交多项式和最佳平方逼近
n−1
( x ), n = 1 , 2 , L
−2 x 2
( 2 . 4 . 10 )
给出。它们是在区间（ ， ） 给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 ρ ( x ) = e 多项式如下： 个Hermite多项式如下： 多项式如下
的正交多项式。 的正交多项式。前几
H H H H
2 3 4 5
(x ) = 4 x (x ) = 8 x
1 2 ( 3 x − 1 ), 2 1 3 ( x ) = ( 5 x − 3 x ), P3 2 1 4 2 ( x ) = ( 35 x − 30 x + 3 ), P4 8 1 5 3 P 5 ( x ) = 8 ( 63 x − 70 x + 15 x ).
P 2(x) =
− 上的单根,并且与原点对称 并且与原点对称. 它们的根都是在开区间 (− 1,1)上的单根 并且与原点对称
（2.4.4）
给出的多项式序列
{P k ( x )}
=
项式序列，其中 是正交多项式序列，
a
( x P k , P k) (P k , P k)
k
, bk =
(P k , P k) ( P k −1 , P k −1)
.
(2.4.5)
三项递推公式（ 三项递推公式（2.4.4）是构造正交多项式的简单公式，此外， ）是构造正交多项式的简单公式，此外， 还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。 还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。
2 2 4 4 i =0 i =0
从而有
1
a = ( xP , P ) /( P , P ) = 0.5, b = ( P , P ) /( P , P ) = 0.125 P ( x ) = ( x − a ) P ( x ) − b P ( x ) = ( x − 0.5) − 0.125
数值计算方法_正交多项式讲解
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
||
T* n
(
x)
||
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
第二章最佳平方逼近课件
在区间[-1,1]上关于权函数
正交,且
10
事实上,若 于是有
则有
11
例 4、 Laguerre 多项式 即多项式
是在
上带权 的n次正交多项式,且
例 5 、Hermite 多项式
12
即多项式
是在区间
上带权 的n次正交多项式,且有正交关系式:
13
(二)、 正交多项式的性质
设
是在 上带权正交的多项式序列，其中
的方程组为
解之得
故
29
三、一般最小二乘逼近问题的提法 1、广义多项式与权系数 2、一般最小二乘逼近问题的提法 3、正规方程组 4、小结
30
(一)、广义多项式与权系数
(1) 、广义多项式 设函数系
线性无关，则其有限项线性组合
称为广义多项式。
例如
(2) 、“权系数”的概念 在例6中，如果要研究低温时电阻与温度的关系，显然低温 下测得的电阻值更重要一些，而另外一些电阻值的作用小 些。这在数学上表现为用和
求电阻 和温度 间的关系。
22
解决这类问题通常的步骤如下 :
y (1)用一坐标将 ， 值描于图上
(1) (2)凭视觉知，
在一条直线
上的两测附近，于是可设
近
x
，
似的成直线关系。 上面的直线关系称为数学模型。在第 次观测数据中， 与
实测值 有误差
通常称为残差。 23
它是衡量被确定的参数 和 (也就是近似多项式 )好坏的重要标志。
使得 最小。这时
称为函数
在区间 上关于
权函数 的最小二乘逼近多项式。
注意， 可看成 中
且
的极限。通常， “最小”也可说成“最优”或“最佳”；“二乘 可
3.3正交多项式
本节内容
正交多项式
正交函数族、 正交函数族、正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式
正交函数族
设 f(x), g(x) ∈ C[a, b]， ρ (x) 是 [a, b] 上的 ， 权函数，若 b ( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
Chebyshev多项式 多项式
T0 ( x ) = 1
T1 ( x ) = x
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
M
(2) 奇偶性： Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式：( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x ) 递推公式：
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, … ，
j≠k 0, ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = Ak ≠ 0, j = k
举例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… ， ， ， ， ， 在 [-π, π] 上是带权 ρ (x)=1 的正交函数族 π
π 证： (1, 1) = dx = 2π ∫
(2) 奇偶性： Tn ( − x ) = ( −1) n Tn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式： Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) 递推公式：
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
数值分析第二章作业答案
第二章1.试证明nn R⨯中的子集“上三角阵”对矩阵乘法是封闭的。
证明：设n n R B A ⨯∈,为上三角阵，则)( 0,0j i b a ij ij >== C=AB ，则∑==nk kjik ij b ac 1)( 0j i c ij >=∴，即上三角阵对矩阵乘法封闭。
2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512103421121A ，求A 的行空间)(T A R 及零空间N(A)的基。
解：对T A 进行行变换，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00100010121420050000121501131242121TA 3)(=∴T A r ，)(T A R 的基为[][][]T T T 5121,03421121321=-==ααα，由Ax=0可得[]Tx 0012-=∴N(A)的基为[]T0012-3.已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算A 的谱半径()A ρ。
解：2321()det()230(3)(64)013A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基。
，其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解：，（）（）令因此（）（0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭）12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有（）（）是中的一组基。
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k 0 n
1.9
推论2 任何次数不超过 n的多项式 qk ( x)必定同 gn1 ( x) 带权 正交,即
(qk ( x), gn1 ( x)) 0,(k 0,1,n)
特别地有
( xk , gn1 ( x)) 0.(k 0,1,n).
1 2
(1.1)
欧氏范数(L2范数):
f
2
( ( x)[ f ( x) ]dx)
2 b
a
(1.2)
定义4
若内积
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x) dx 0
a b
则称 f 与 g 在区间 [ a, b] 上带权 ( x )正交，若函数 0,1,2, n 满足: b 0,( j k )
1， cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x,,cos nx,sin nx, 在区间[-π , π ] 上两两正交,因为
cos kx cos jxdx 0,( k j ) sin kx sin jxdx 0,( k j ) cos kx sin jxdx 0 sin 2 kxdx cos 2 kxdx
k 1
= (-1) (2k )! [( x 2 1) k ]dx
k 1
1
=(2k)! [(1 x) k (1 x) k ]dx
1
1
=(2k)!
k 1 [(1 x)k 1 (1 x) k 1 ]dx k 1 1
k (k 1)....3.2.1 1 =(2k)! (1 x) 2 k dx (k 1)(k 2).....2k 1
* 比较 x n1 两边的系数，可见Cn1 1。两边乘以 gk ( x) (x)并积分
有 xg n , g k Ck g k , g k 从而
Ck (g ,xg ) /(g ,g ) n k k k
* ( * * 当 k n 1 时，因为 xg 是 k 1 n次多项式，gn , xgk ) 0 ，所以
k
Ck 0, k 0,1,, n 2
当k n 1 时
Cn1 g n , xg n1 / g n1 , g n1
而
* * * xg n1 x =g n x +Cn1 g n1 x C0 g0 ( x)
其中
ˆ n ( xgn , gn ) /( gn , gn )
ˆn ( gn , gn ) /( gn1 , gn1 )
性质3
n 次正交多项式 gn ( x) 有 n 个互异的实根，并且全
*
部位于区间 ( a, b) 内。 证明： 取固定的
* n( n 1) ,假定 g n ( x)>0, 则
( f , g ) ( x) f ( x ) g ( x )dx
a b
为函数f 与g在[a,b]上的内积. 内积具有下列简单性质: (1) ( f , g ) ( g , f ) (2) ( f , g ) ( f , g ); R (3) ( f1 f2 , g ) ( f1, g ) ( f 2 , g ) (4) 当 f 0,( f , f ) 0 我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种 度量两个向量u 及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量 一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词.
( k , j ) ( x) k ( x) j ( x) dx a Ak 0,( j k )
则称{k } 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数系.当 k ( x) 是代数多
项式时,称为正交多项式.
下面我们列举几个最常见的正交函数系.
例 1、 三角函数系
(k !) 2 (1 x) 2 k 1 =(2k)! (2k )!(2k 1)
1 1
于是有
(k !) 2 22 k 1 , 2k 1
四、
即多项式
1
1
Pk2 ( x)dx
2 2k 1
Chebyshey 多项式
Tn (x)=cos(narccosx),n= 0,1,2,
定义3 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在 空间处处有定义并满足条件: (1)
f 0,
(2) f f ; 为任意常数 (3) f g f g 在闭区间上连续的函数 f ( x )的最常见范数有:
(1) (2) 最大值范数:
f
max f ( x) ; x [a, b]
二、 正交多项式的性质
设 gk ( x) 是在 [ a, b] 上带权正交的多项式序列，其中 g ( x) 表示 n 次正交多项式：
n
gn ( x) An x n A1 x A0 ,( An 0)
(1.8)
若记
* g n ( x)
n 0,1, 2
g n ( x) , An
三、 Legendre 多项式
1 dn Pn (x)= n [( x 2 1) n ], n= 0,11.3 2 n! dx n
即多项式:
即多项式:
P0 (x)=1 , P1 (x)=x,
1 1 P2 (x)= (3x 2 1) , P3 (x)= (5 x3 3 x), 2 2 P4 (x)= 1 (35 x 4 30 x 2 3) 8
2
k m
k !m! Pk ( x) Pm ( x)dx
1
1
m dk 2 k d [( x 1) ] m [( x 2 1) m ]dx 1 dx k dx 1
d m1 d k 1 [( x 2 1) m ] k 1 [( x 2 1) k 1 dx m 1 dx
故
( xg ,g )=(g ,g ) n-1 n n n
于是有
* * * * Cn1 =( gn ,gn ) / (gn1 ,gn1 )= n
当 k n 时，则有
* * * * Cn =( gn ,xgn ) / (gn ,gn )=n
把这些结果代入（1.11）式，得到 即
* * * * xgn ( x)= n gn1 ( x)+n gn ( x) gn1 ( x)
* * * 证明 由于 xgn ( x) 是 n 1 次多项式，因此可由 g0 ( x), g1* ( x),, gn1 使
xg (x)=C0 g0 (x)+C1 g1 (x)++Cn +1 gn +1 (x) (1.11) n
* * * gn1 ( x)=(x-n ) gn ( x)- n gn1 ( x)
证毕。
推论
对于最高次项系数为 Ak 的正交多项式 gk ( x) ,有递推 关系式
g
* n 1
An1 ˆ ) g ( x) An1 An1 ˆ g ( x) ( x)= ( x n n n n 1 2 An An
性质2 对于最高次项系数为1的正交多项式 gk ( x)存 在着递推关系
gn1 (x) (x-n )gn (x)- n gn -1 (x)
(1.10)
其中
* * * * n ( xg n , g n ) /( g n , g n ), * * * * n ( g n , g n ) /( g n1 , g n1 ).
第一节
正交多项式
一、 正交函数系与正交多项式
二、 正交多项式的性质 三、 Legendre 多项式 四、 Chebyshey 多项式
五、其它常用的正交多项式 六、小结
一、 正交函数系与正交多项式
定义1 给定函数 ( x), x [a, b] 若 ( x ) 满足: (1) ( x) 0, x (a, b); (2)
n
则 g * ( x) 的最高次项的系数为1，并且 g * ( x) 也是在 [ a, b] 上带 权正交的 n次多项式。
n
性质1 关于权函数 ( x ) 的任意正交函数系 gk ( x)都是线性 无关的。
事实上，要是C0 g0 ( x) Cn gn ( x) 0,则以 ( x) gk ( x)乘等式 的两边并积分，得到 Ck 0 k 0,1,2, n . 由此可知 推论1 任何次数不超过 n 的多项式 q ( x ) 可由正交多项 式 g0 ( x), g1 ( x),, gn ( x) 线性表出，即
1
d m k (1) [( x 2 1) m ]( x 2 1) k dx 1 dx m k
k 1
若 k m ,则
1
1
Pk ( x ) Pm ( x) dx 0
若 k m ,则有
2
k k
k !k ! Pk2 ( x) dx
1
1
d 2k (1) [( x 2 1) k ]( x 2 1) k dx 1 dx 2 k
* * x1 只能是 gn ( x)的单根。现假设 gn ( x) 在区间 这就推出 ( a , b ) 内只有 k个根 x1 , x2 ,, xk (k n), 于是
* gn ( x) ( x x1 )( x x2 )( x xk )q( x)
或写成
* gn ( x)( x x1 )( x xk ) q( x)( x x1 )2 ( x xk )2
则
* Qn2 ( x) gn ( x) /( x x1 )2