数学实验作业二

数学实验作业二

题目：P72. 1.d)；6)；8) 日期：2003-3-9

【实验目的】：

1、掌握用MATLAB 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。

2、掌握用MATLAB 作线性最小二乘的方法。

3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。

【实验内容】：

一：对函数2

x y e -=,22x -≤≤在n 个节点上（ n 不要太大，如5

至11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m 个插值点的函数值（m 要适中，如50至100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n ，再作比较，由此作初步分析。

【MATLAB源程序】

先附上拉各朗日插值程序如下：

function y=lagr1(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+p*y0(k);

end

y(i)=s;

end

函数插值比较程序如下：

%数学实验作业二.1-d

clear;

n=5;

%在n个节点上进行插值

m=75;

%产生m个插值点，计算函数在插值点处的精确值，将来进行对比x=-2:4/(m-1):2;

y=exp(-x.^2);

z=0*x;

x0=-2:4/(n-1):2;

y0=exp(-x0.^2);

y1=lagr1(x0,y0,x);

% y1为拉格朗日插值

y2=interp1(x0,y0,x);

% y2为分段线性插值

y3=spline(x0,y0,x);

% y3为三次样条插值

[x' y' y1' y2' y3']

plot(x,z,'k',x,y,'r:',x,y1,'g-.',x,y2,'b',x,y3,'y--')

gtext('Lagr.'), gtext('Pieces. linear'), gtext('Spline'),

gtext('y=exp(-x.^2)')

hold off;

%比较插值所得结果与函数在插值点处的精确值

s = ' x y y1 y2 y3'

[x' y' y1' y2' y3']

【MATLAB 计算结果】

n=5时，得到结果如下：

数值比较如下：

x y y1 y2 y3

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-2.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0.0183

-1.9467 0.0226 -0.0328 0.0370 -0.0082

-1.8933 0.0277 -0.0717 0.0556 -0.0276

-1.8400 0.0339 -0.0990 0.0742 -0.0404

-1.7867 0.0411 -0.1158 0.0929 -0.0468

-1.7333 0.0496 -0.1229 0.1115 -0.0472

-1.6800 0.0595 -0.1211 0.1302 -0.0419

-1.6267 0.0709 -0.1112 0.1488 -0.0314

-1.5733 0.0841 -0.0940 0.1675 -0.0159

-1.5200 0.0992 -0.0702 0.1861 0.0041

-1.4667 0.1164 -0.0406 0.2047 0.0284

-1.4133 0.1357 -0.0058 0.2234 0.0566

-1.3600 0.1573 0.0334 0.2420 0.0883

-1.3067 0.1813 0.0764 0.2607 0.1232

-1.2533 0.2079 0.1226 0.2793 0.1609

-1.2000 0.2369 0.1714 0.2980 0.2011

-1.1467 0.2685 0.2222 0.3166 0.2434

-1.0933 0.3026 0.2745 0.3353 0.2875

-1.0400 0.3391 0.3277 0.3539 0.3330

-0.9867 0.3778 0.3813 0.3763 0.3796

-0.9333 0.4185 0.4349 0.4100 0.4269

-0.8800 0.4610 0.4880 0.4437 0.4746

-0.8267 0.5049 0.5401 0.4774 0.5222

-0.7733 0.5499 0.5910 0.5112 0.5695

-0.7200 0.5955 0.6401 0.5449 0.6162

-0.6667 0.6412 0.6872 0.5786 0.6618

-0.6133 0.6865 0.7320 0.6123 0.7060

-0.5600 0.7308 0.7740 0.6460 0.7484

-0.5067 0.7736 0.8131 0.6797 0.7888

-0.4533 0.8142 0.8490 0.7134 0.8266