第三章 直线与方程知识点及典型例题

第三章 直线与方程知识点及典型例题

1. 直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,

我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。即k=tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

当[)

90,0∈α时，0≥k ； 当()

180,90∈α时，0

例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和

解：k 1=tan30°=3

3

∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3

例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )

A.120°

B.150°

C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：

(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 3. 直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都

等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：y =kx +b ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)

④截矩式：

1x y

a b

+=其中直线l 与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，b ),即l 与x 轴、y 轴的 截距分别为a 、b 。

注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1x y

a b

+=或y =kx . ⑤ 一般式：A x +B y +C=0（A ，B 不全为0）

注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：

平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是1

2

-，经过点A(8，—2)； .

(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .

(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3

,32

-； .

(4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .

例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）

A ．C =0，B>0

B ．

C =0，B>0，A>0

C ．C =0，AB<0

D ．C =0，AB>0

例2：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB.>0且BC<0，则l 直线不经的象限是（ ）

A ．第一

B ．第二

C ．第三

D ．第四 4. 两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 5. 已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，

(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零) 若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组??

?=++=++0

C B A 0

C B A 222111y x y x 的一组解。

两条直线的交角：

两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最

小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ?

????2,0π，当

90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 若方程组无解21//l l ? ； 若方程组有无数解?1l 与2l 重合 6. 点的坐标与直线方程的关系

7. 1122满足 12答：A 1A 2+B 1B 2=0 经典例题；

例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行 解：

例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 解：

例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 解：

例4. 已知直线l 的方程为12

1

+-

=x y ，

(1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。

8. 两点间距离公式：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，

则|AB|=2

12212)()(y y x x -+-

9. 点到直线距离公式：一点P(x o ，y o )到直线l ：A x +B y +C =0的距离2

2

o o B

A C

B A d +++=|

y x |

10. 两平行直线距离公式

例：已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：A x +B y +C 1=0，l 2：A x +B y +C 2=0， 则l 1与l 2的距离为2

2

21B

A C C d +-=

例1：求平行线l 1：3x + 4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。

例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。

11. 直线系方程

已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零) 若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：

l ：A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0或者λ (A 1x +B 1y +C 1)+ A 2x +B 2y +C 2 =0都可以 例1：直线l ：(2m+1)x +(m+1)y —7m —4=0所经过的定点为 。(m ∈R) 例2：求满足下列条件的直线方程

(1) 经过点P(2，3)及两条直线l 1： x +3y —4=0和l 2：5x +2y+1=0的交点Q ；

(2) 经过两条直线l 1： 2x +y —8=0和l 2：x —2y+1=0的交点且与直线4x —3y —7=0平行； (3) 经过两条直线l 1： 2x —3y +10=0和l 2：3x +4y —2=0的交点且与直线3x —2y +4=0垂直； 解：

12. 中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为(221x x +，2

2

1y y +) 例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程。

13、对称问题：

①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.

③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线b

=对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x ,y)=0关于直线

±

x

y+

y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.

②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.

例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).

(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标

(2) 分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.

(3) 求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。

(4) 求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。

例2：点P(—1，—2)关于直线l：x+y—2=0的对称点的坐标为。

例3：已知圆C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线x—y—1=0对称，则圆C2的方程为：。

A. (x+2)2+(y—2)2=1

B. (x—2)2+(y+2)2=1

C. (x+2)2+(y+2)2=1

D. (x—2)2+(y—2)2=1

[基础训练A 组]

一、选择题

1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a

C ．0=+b a

D ．0=-b a

2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x

3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）

A ．0

B ．8-

C ．2

D ．10

4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限

C ．第一、三、四象限

D ．第二、三、四象限

5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1 B ．0135,1- C ．0

90，不存在

D ．0

180，不存在

6．若方程014)()32(2

2

=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．2

3

-≠m

C ．1≠m

D ．1≠m ，2

3

-

≠m ，0≠m 二、填空题

1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.

2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．

若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。

4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22

x y +的最小值是________________.

5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为

(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

三、解答题

1．已知直线Ax By C ++=0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴；

（5）设()

P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点， 证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000．

2．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。

3．经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？ 请求出这些直线的方程。

4．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．

（数学2必修）第三章 直线与方程

[综合训练B 组]

一、选择题

1．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x

2．若1(2,3),(3,2),(,)2

A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）

Ａ．21 Ｂ．2

1

- Ｃ．2- Ｄ．2 3．直线x a y

b

221-=在y 轴上的截距是（ ）

A ．b

B ．2

b - C ．b 2

D ．±b

4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0)

B ．(0,1)

C ．(3,1)

D ．(2,1)

5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关

6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）

A ．4

B

C

D 7．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的 斜率k 的取值范围是（ ） A ．3

4

k ≥

B ．324k ≤≤

C ．3

24

k k ≥≤

或 D ．2k ≤ 二、填空题

1．方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。

2．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 3．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为

4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是___________________。

５．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ． 三、解答题

1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2．一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。

3、把函数()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象近似地看作直线，设a c b ≤≤， 证明：()f c 的近似值是：()()()[]f a c a

b a

f b f a +---．

4

．直线1y x =+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1

(,)2

P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，

求m 的值。

（数学2必修）第三章 直线与方程

[提高训练C 组]

一、选择题

1．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后， 又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）

A ．-

13

B ．3-

C ．

1

3

D ．3 2．若()()

P a b Q c d ，、，都在直线y mx k =+上，则PQ 用a c m 、、表示为（ ） A ．()a c m ++12

B ．()m a c -

C ．

a c m -+12

D ． a c m -+12

3．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为

(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）

A ．23

B ．32

C ．32-

D ． 23

- 4．△ABC 中，点(4,1)A -,AB 的中点为(3,2)M ,重心为(4,2)P ，则边BC 的长为（ ）

A ．5

B ．4

C ．10

D ．8

5．下列说法的正确的是（ ）

A ．经过定点()

P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程

x a y

b

+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()

()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程

()()()()y y x x x x y y --=--121121表示

6．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+= 二、填空题

1．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______. 2．直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转0

90得直线l ， 则直线l 的方程是 ．

3．一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 4．若方程0222

2

=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是 ． 5．当2

1

0<

1．经过点(3,5)M 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？

2．求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程

3．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 2

1=上，求2

2PB PA +取得 最小值时P 点的坐标。

4．求函数()f x =的最小值。

第三章 直线和方程 答案 [基础训练A 组] 一、选择题

1.D tan 1,1,1,,0a

k a b a b b

α=-=--

=-=-= 2.A 设20,x y c ++=又过点(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-= 3.B 42,82m k m m -=

=-=-+ 4.C ,0,0a c a c

y x k b b b b

=-+=->< 5.C 1x =垂直于x 轴，倾斜角为0

90，而斜率不存在

6.C 22

23,m m m m +--不能同时为0 二、填空题

1.2

2d == 2. 234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+ 3.250x y --= '

101

,2,(1)2(2)

202

k k y x --=

=-=--=-- 4.8 22x y +

可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d ==

5. 2

3

y x =

平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点(3,2) 三、解答题

1. 解：（1）把原点(0,0)代入Ax By C ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零 即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠； （4）0,A C ==且0B ≠ （5）证明：

()00P x y ，在直线Ax By C ++=0上

00000,Ax By C C Ax By ∴++==-- ()()000A x x B y y ∴-+-=。

2.

解：由23503230x y x y +-=??--=?，得1913

9

13x y ?

=????=??

，再设20x y c ++=，则4713c =-

47

2013

x y +-=为所求。 3.

解：当截距为0时，设y kx =，过点(1,2)A ，则得2k =，即2y x =；

当截距不为0时，设

1,x y a a +=或1,x y a a

+=-过点(1,2)A ， 则得3a =，或1a =-，即30x y +-=，或10x y -+= 这样的直线有3条：2y x =，30x y +-=，或10x y -+=。 4. 解：设直线为4(5),y k x +=+交x 轴于点4

(5,0)k

-，交y 轴于点(0,54)k -， 1416

5545,4025102S k k k k

=

?-?-=--= 得2

2530160k k -+=，或2

2550160k k -+= 解得2,5k =

或 8

5

k = 25100x y ∴--=，或85200x y -+=为所求。 第三章 直线和方程 [综合训练B 组]

一、选择题

1.B 线段AB 的中点为3(2,),2

垂直平分线的2k =，3

2(2),42502

y x x y -=---= 2.A 2321,,132232

AB

BC m k k m --+===+-

3.B 令0,x =则2

y b =-

4.C 由13kx y k -+=得(3)1k x y -=-对于任何k R ∈都成立，则30

10

x y -=??-=?

5.B cos sin sin (cos )0θθθθ?+?-=

6.D 把330x y +-=变化为6260x y +-=

，则20

d ==

7.C 3

2,,4

PA PB l PA l PB k k k k k k ==≥≤,或 二、填空题

1.2 方程1=+y x

2.724700x y ++=，或724800x y +-=

设直线为7240,3,70,80x y c d c ++==

==-或

3.3

22b a +的最小值为原点到直线1543=+y x 的距离：155

d =

4．

44

5

点(0,2)与点(4,0)关于12(2)y x -=-对称，则点(7,3)与点(,)m n 也关于12(2)y x -=-对称，则3

712(2)22

3172n m n m ++?-=-???-?=-?-?，得235215m n ?=????=??

5.11

(,)k k

1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-= 对于任何a R ∈都成立，则0

10x y ky -=??-=?

三、解答题

1.解：设直线为2(2),y k x -=+交x 轴于点2

(2,0)k

--，交y 轴于点(0,22)k +， 122

2221,4212S k k k k

=

?+?+=++= 得2

2320k k ++=，或2

2520k k ++= 解得1

,2

k =-

或 2k =- 320x y ∴+-=，或220x y ++=为所求。 2.解：由4603560

x y x y ++=??

--=?得两直线交于2418(,)2323-

，记为2418

(,)2323A -，则直线AP 垂直于所求直线l ，即43l k =

，或24

5

l k = 43y x ∴=

，或24

15

y x -=， 即430x y -=，或24550x y -+=为所求。 1. 证明：,,A B C 三点共线，AC AB k k ∴=

即

()()()c y f a f b f a c a b a --=-- ()[()()]c c a

y f a f b f a b a

-∴-=

-- 即()[()()]c c a y f a f b f a b a -=+-- ()f c ∴的近似值是：()()()[]

f a c a

b a

f b f a +--- 2. 解：由已知可得直线//CP AB ，设CP

的方程为,(1)y x c c =+>

32AB c =?==

，3y x =+过1(,)2P m

得

13,232

m m =-+= 第三章 直线和方程 [提高训练C 组]

一、选择题 1.A 1tan 3

α=- 2.D

PQ a c =

=-3.D (2,1),(4,3)A B -- 4.A (2,5),(6,2),5B C BC = 5.D 斜率有可能不存在，截距也有可能为0

6.B 点(1,1)F 在直线340x y +-=上，则过点(1,1)F 且垂直于已知直线的直线为所求 二、填空题

1.2- 122

3

1

31:23,:

23,,,2

222

l y x l x y y x k k =+-=-+=+==- 2.70x y +-= (3,4)P l 的倾斜角为0000

4590135,tan1351+==-

3.4160x y -+=，或390x y +-= 设44

4(3),0,3;0,34;33412y k x y x x y k k k k

---=+==

-==+-++= 2413110,31140,4,3

k k k k k k --=--===-或

4.1

5.二 0

21

,1210

1k x k y x k k k x y k k y k ?

=?-?

三、解答题

1. 解：过点(3,5)M 且垂直于OM 的直线为所求的直线，即 3

3,5(3),3552055

k y x x y =--=--+-=

2. 解：1x =显然符合条件；当(2,3)A ，(0,5)B -在所求直线同侧时，4AB k =

24(1),420y x x y ∴-=---= 420x y --=，或1x =

3. 解：设(2,)P t t ，

则2

2

22222

(21)(1)(22)(2)101410PA PB t t t t t t +=-+-+-+-=-+

当710t =

时，2

2PB PA +取得最小值，即77(,)510

P 4.

解：()f x =

(,0)x

到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于x 轴对称的点(1,1)-

min ()f x ∴==