第4章机械振动基础-课件

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解：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点）
静平衡时：(M m )g R kst2R
stM2kmg
则任意位置x 时：
F k(s t2 x )M 2 m g 2 kx
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应用动量矩定理：
LA
mxRMxR1MR2 2
x R
(23Mm)Rx
mA(F) (Mm)gRF2R4kxR
由
dLA dt
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。
质量—弹簧系统： mxkx, xn2x0 (n2k/m)
单摆：
m2lmgl , n20 (n2g/l)
复摆：
Imga, n20 (n2mg/Ia)
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二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位
四、其它
1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
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2. 弹簧并联系
并
串
统和弹簧串联系
联
联
统的等效刚度
st
F1 k1
F2 k2
, mgF1 F2
mg(k1 k2 ) st
,
st
mg k1 k2
keq k1 k2
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例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，
大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度
k1 ，, k重2 物质量为m, 不计
轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。
解：取静平衡位置O为坐标原 点，取C偏离平衡位置x为广义 坐标。系统的最大动能为：
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Tmax12M(xmax)2
并联
st st 1 st 2
mg mg mg ( 1 1 )
k1 k2
k1 k2
st
mg k eq
mg
(1 k1
1 k2
)
k
eq
k1k 2 k1 k2
串联
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§4-2 计算固有频率的能量法
1. 由系统的振动微分方程的标准形式
2. 静变形法：
qn2q0
n
g st
st ：集中质量在全部重力
kstmg U max1 2k2 A
Tmax1 2mx21 2m2A n2
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由TmaxUmax
12wk.baidu.comA 2n2 12k A2
n
k m
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振
动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。
例1 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹
簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质 量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。
因平衡时
Uk2[(st2x)2st2](Mm)gx 2kx22kstx(Mm)gx
2ksx t (Mm )gx
U2k2x
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由 T+U= const 有：
1(3Mm)x22kx2const 22
对时间 t 求导，再消去公因子 x ，得
(2 3Mm)x4kx0
x
3
8k M
2
m
x
0
n
8k 3M 2m
作用下的静变形
3. 能量法： 由Tmax=Umax , 求出 n
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无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达
到最大值。
如：
U max1 2k[A (s)t2s2 t]mgA
第4章机械振动基础
精品
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。
2. 振动的利弊： 利：振动给料机
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛
引起噪声，影响劳动条件
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。
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无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
1M2(
2
xmax R
)2
12m(
Rr R
xmax)2
1 2R2
[M(
2R2
)m(Rr)2
]xm2 ax
mA(F)，
有 (23Mm)Rx4kxR
振动微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有频率：
n
8k 3M 2m
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解2 ： 用机械能守恒定律
以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）
T1Mx2 1MR2 (x)2 1mx2
2
22 R 2
12(23Mm)x2
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
C1，C2由初始条件决定为 C 1 q 0, C 2 q 0/ n
qq0co nst q 0 nsi nnt
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三、自由振动的特点：
A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。T
置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
aq cq 0
a, c是与系统的物理参数有关的常数。令 n2 c/ a
则自由振动的微分方程的标准形式：
qn2q0
解为：
qAsi nnt()
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设 t = 0 时，qq0, q q 0 则可求得：
A q02 q02 n2 , arctqn g0q0
或：
q C 1c onts C 2sin nt
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。
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第四章 机械振动基础 §4–1 单自由度系统的自由振动 §4–2 计算固有频率的能量法 §4–3 单自由度系统的有阻尼自由振动 §4–4 单自由度系统的无阻尼受迫振动
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§4-1 单自由度系统的自由振动
一、自由振动的概念：
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运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。
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4. 振动的分类：
单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动