机械振动基础

第十三章 机械振动基础

一、目的要求

1、掌握建立各种类型单自由度系统振动（自由振动、阻尼振动、受迫振动）微分方程的方法及其解的表达式。理解恢复力、阻尼力和干扰力的概念。

2、对各种类型振动规律有清晰的理解，会计算有关的物理量。

深刻理解自由振动的固有频率（或周期）、振幅、初相位角的概念。会应用各种方法特别是能量法，求固有频率。

了解阻尼对自由振动的干扰、幅频曲线、共振和放大系数的概念。 3、懂得如何利用振动现象，以及消振和隔振的原理与方法。 二、基本内容

1．基本概念

单自由度系统的自由振动，计算固有频率的能量法；单自由度系统的有阻尼自由振动；单自由度系统的无阻尼受迫振动；单自由度系统的有阻尼强迫振动；转子的临界转速；隔振。

2．主要公式

（1）单自由度系统无阻尼自由振动微分方程

02=+x x

n ω m k n /2

=ω 单自由度系统无阻尼自由振动微分方程的解

)sin(?ω+=t A x n

2202

n

x x A ω +

= 0

0x x tg n

ω?=

n ω是系统的固有（圆）频率，A 为自由振动的振幅，?为初相位。

n

T ωπ

2= 是系统的自由振动的周期。

T

f 1

=

是系统自由振动的频率。 能量法求单自由度系统无阻尼自由振动的固有频率

max max V T =（注意：计算最大势能max V 时，取系统的静平衡位置为势能零点。

）

（2）单自由度系统有阻尼自由振动微分方程

022

=++x x n x n ω m

c

n =

2 其中式c 是系统的粘滞阻尼系数。

小阻尼情况下（n n ω<）单自由度系统有阻尼自由振动微分方程的解

)sin(d d nt t Ae x ?ω+=-

2

220020

)(n

nx x x A n -++=

ω ， 2

221ξωωω-=-=n n d n 002

2

0nx x

n x tg n d +-= ω?

n

n

ωξ2=

为系统的阻尼比。

有阻尼自由振动的周期

2

2

12n

T n

-=

ωπ

减幅系数11

nT i i

e A A ==

+η 对数减幅系数11

1ln ln

ln nT e A A nT i i

====+ηδ （3）单自由系统无阻尼受迫振动的微分方程

t h x x n ωωsin 2

=+

m

F h 0

=

0F 为激振力的力幅 单自由系统无阻尼受迫振动的微分方程的解

t h

t A x n

n ωωω?ωsin )sin(2

2-+

+= 稳态解 t h

x n

ωωωsin 2

2-=

共振的条件 n ωω≈

（4）单自由度系统有阻尼受迫振动的微分方程

t h x x n x n ωωsin 22

=++

单自由度系统有阻尼受迫振动的微分方程的解

)sin(4)sin(2

22εωω

ω?ω--+

+=-t n h

t Ae x d

d d nt

2

2d

n tg ωω

ε=

三、重点和难点

1．重点

（1）单自由度系统自由振动，自由振动的固有频率和求固有频率的方法。 （2）单自由度受迫振动，受迫振动的幅频曲线、共振现象。 2．难点

用能量法计算系统的固有频率时，势能零点的选择。 四、教学提示

1．建议

单自由度振动问题是研究多自由度系统振动的基础，在学习中应注意： （1）讲清如何将机械振动系统抽象为理想的力学模型——弹簧质量系统，明确恢复力的概念及常见恢复力（力矩），会列各种类型单自由度系统微分方程。

（2）对诸如固有频率、周期、振幅、位相和初位相等物理量，要讲清它们与那些因素有关，并熟记它们的计算公式及多种计算方法。

（3）阻尼对振动的影响、受迫振动微分方程求解过程等不作重点介绍，但对共振产生的条件要讲透，减振和隔振原理简单说明即可。