关于向量内积的基本知识点

关于向量内积的基本知识点：

基本概念：

设 V 是实数 R 上的线性空间 .如果 V 中任意两个向量α, β都按某一法则对应于 R 中一个唯一确定的数 , 记作 ( α , β ), 且 满足

(i) ( α , β)=( β, α );

(ii) ( α+β, γ )=( α , γ ) + (β , γ );

(iii) ( k α , β) = k(α, β);

(iv) 当αθ≠时, ( α , α )>0;

其中的α , β,γ是 V 中任意向量 , k 是任意实数 .则称 ( α , β) 为向量 α , β的内积. 而 V 叫做对这个内积来说的一个欧几里德 (Euclid) 空间 , 简称欧氏空间 .

举例说明：

例1： 在 R n 里 , 对于任意两个向量),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β

,

规定：

n n y x y x y x +++= 2211),(βα

容易验证 , 关于内积的公理被满足 , 因而 R n 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间。 例2： 在 R n 里 , 对于任意两个向量),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β

,

规定：

n n y nx y x y x +++= 22112),(βα 不难验证 , 这样R n 也作成一个欧氏空间. 由以上两个例子可以看出 , 对同一个线性空间可以引人不同的内积 , 使它作成欧氏空间

例3： 令 C[a ,b] 是定义在 [a ,b] 上一切连续实函数所成的线性空间 .关于任意 f(x), g(x) ∈C[a ,b] , 规定:

dx

x g x f g f b

a ?=)()(),(

根据定积分的基本性质可知 , 关于内积的公理都被满足 , 因而 C[a ,b] 作成一个欧氏空间 .

一些性质：

关于欧氏空间 V 中的向量α , β,γ和实数a 有 以下基本性质：

(1) (0, α )=( α , 0 )=0;

(2) (2) ( α ,β十γ )=( α , β ) 十 ( α , γ );

(3) (3) ( α , a β ) = a ( α , β ).

进一步 , 对于 V 向量r ααα,,,21 ,s βββ,,,21 及 R 中实数 r a a a ,,,21 和s b b b ,,,21 , 必有

),(),(1111∑∑∑∑=====s j j i j i r i s j j j r i i i b a b a βαβα

长度: 由于对欧氏空间的任意向量α来说 , 句 （α, α ） 总是一个非负实数 , 我们可以合理地引人向量长度的概念 . 设α是欧氏空间的一个向量 .非负实数 ( α , α ) 的算术平方根 ),(αα, 叫做α的长度,记作| α |, 即 | α | = ),(αα .

由定义可知 , 欧氏空间中每个向量都有确定的长度 .零向量的长度是 0, 非零向量的长度是正数. 对欧氏空间的任意向量α和任意实数k ,

|k α| = ),(ααk k =),(2ααk = |k||α|

即实数k 与向量α的数量乘积的长度等于k 的绝对值与α长度的积 .

长度为 1 的向量叫做单位向量 .如果α是非零向量 , 则αα1

是一单位向量 , 用这种方式得到单位向量叫做α的单位化 . 以下定理给出了一个重要的不等式 , 通常称为哥西一施瓦兹不等式

定理1: 在在一个欧氏空间里 , 关于任意向量α , 卢有不等式

),)(,(),(2ββααβα≤

等号成立当且仅当α，β线性相关

证明思路： 应用二次函数。

由定理1， 我们可以得到很多重要不等式。如：哥西 (Cauchy) 不等式；施瓦兹 ( Schwarz ) 不等式等。

夹角: 设的βα,是欧氏空间中两个非零向量 .则由哥西一施瓦兹不等式得

1

),(1≤≤-β

αβα 这样βαβα),(arccos

有意义 , 称其为βα,的夹角 .

这样 , 欧氏空间任意两个非零向量有唯一的夹角)0(πθθ≤≤。为方便起见 , 我们规定 : 零向量与任何向量的夹角为2π

，

如果 (βα,)=0, 则称欧氏空间的二个向量βα,是正交的 .

不难知道 , βα,正交 , 当且仅当βα,的夹角为 2π

。容易验证 , 在欧氏空间 R n 中 , 单位向量i ε= (0, … ,0 ,1,0, … ,0), i = 1,2, … ,n.两两正交 .

定理2: 在一个欧氏空间中 , 如果向量α与,,,,21r βββ 中每一个正交 , 则α与,,,,21r βββ 的任意一个线性组合也正交.

距离: 在欧氏空间里 , 定义向量α

, 卢的距离为 |βα-|, 通常用 d(βα,)表示β

α,的距离 .

容易证明 , 距离有如下性质

(i) 当βα≠时 ,d(βα,)>0.

(ii) d(βα,) = d(αβ,). (iii) d(βα,) ≤ d(γα,)+d(βγ,),

其中γβα,,是欧氏空间的任意向量 .不等式 (iii) 称为三角形不等 式 .在解析几何里 , 这个不等式的意义就是一个三角形两边之和大 于第三边 .

最后,值得一提的是,如果W是欧氏空间V的一个子空间,那么W关于V的内积来说,W也作成一个欧氏空间.

基本定义：

正定矩阵的行列式必大于零，但是，我们判断矩阵是否为正定矩阵，要看各级顺序主子式都要大于零。

如果两个矩阵是相似的，则它们的特征多项式是相同的；若两个矩阵的特征多项式相同，则这两个矩阵是相似的。

知道基础解系的基本定义：

第一．就是要最多有r个线性无关向量，再加一个向量就是线性相关的;

第二．其他任意一个向量都可由这r个向量线性表示。

接着，要会求基础解系，然后找出这个r个线性无关向量。