过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
收稿日期:2007-10-25
作者简介:贺斌(1961—
),男,湖北随州人,湖北省谷城县第三中学高级教师.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
贺 斌
(谷城县第三中学,湖北 441700)
中图分类号:O123.3 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2008)03-0011-02
文[1]回答了过哪些点可以作三次函数图像的三条切线.受文[1]启发,一个自然的问题是:过哪些点可以作三次函数y 图像的一条切线、两条切线?本文在文[1]的基础上给出过一点所作三次函数图像切线条数的完备结论.
引理[2],[3] 三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的图像C 上的点N (-b
3a
,f (-b
3a
))是C 的唯一对称中心.定理 设三次函数图像C 在其对称中
心N 处的切线为l ,M 是三次函数图像C 所
在平面上的一点,则
(Ⅰ)过点M 能且仅能作C 的一条切线,当且仅当点M 位于C 和l 所夹的上、下两个区域内(边界除外),或点M 与点N 重合;
(Ⅱ)过点M 能且仅能作C 的两条切线,当且仅当点M 位于图像C 或切线l 上
(点N 除外);
(Ⅲ)过点M 能且仅能作C 的三条切
线,当且仅当点M 位于C 和l 所夹的左、右
两个区域内(边界除外).
为方便读者形象直观的理解,我们根据三次函数首项系数的正(如图1)负(如图2)画出相应的示意图如右.
证 设三次函数为f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0),点M 的坐标为(x 0,y 0),
点
A (t ,f (t ))为三次函数y =f (x )图像C 上
的一点,则点A 处的切线方程为y -f (t )=f ′
(t )(x -t ).于是,切线过点M ,等价于存在实数t ,使
图1 三次函数 图2 三次函数
y 0-f (t )=f ′(t )(x 0-t )(1)
注意到(1)是关于t 的三次方程(易知
t 3
的系数不为0),故过点M 最多可作图像C 的三条切线.
记g (t )=y 0-f (t )-f ′(t )·(x 0-t ),则
g ′
(t )=-f ′(t )-f ″(t )(x 0-t )+f ′(t )=(t -x 0)f ″
(t )=2(t -x 0)(3at +
b ).
若x 0=-b
3a
,则g ′
(t )=6a (t -x 0)2,g (t )为R 上的单调函数,方程g (t )=0有且仅有一个实数根.即过直线x =-
b
3a
上的任一点能且仅能作y =f (x )图像的一条切线.
若x 0≠-
b
3a
,则g ′
(t )在点x 0附近的函数值异号,在点-b
3a
附近的函数值也异1
12008年第3期 数学通讯
号,故x 0和-
b
3a
都是g (t )的极值点.于是结合函数g (t )的单调性知:
1)方程g (t )=0有且仅有一个实数根,
当且仅当函数g (t )的极大值<0(如图3,仅画出了g (t )首项系数大于0的情况,后同)或极小值>0(如图4)
.
图3 三次函数 图4 三次函数
即
g (x 0)<0,g (-
b
3a
)<0,或g (x 0)>0,g (-b
3a
)>0.亦即g (x 0)·g (-b
3a
)>0(x 0≠-b 3a
).即x 0≠-b
3a
,[y 0-f (x 0)]·[y 0-f (-b 3a
) -f ′
(-b 3a )(x 0+b 3a
)]>0(2)
由引理知,三次函数y =f (x )的图像有唯一对称中心N (-b 3a ,f (-b
3a
)).而C 在点N 处的切线l 的方程为
y -f (-b 3a )=f ′(-b 3a )(x +b 3a
).故直线x =x 0与C 及l 的交点纵坐标分别为
f (x 0),f (-b 3a )+f ′(-b 3a )(x 0+b 3a
).由于x 0≠-
b
3a
,故上述两纵坐标不相等.注意到不等式组(2)的第二式为关于y 0
的一元二次不等式,并且y 20项的系数为正,故满足上述不等式组的点M (x 0,y 0)位于C 和l 所夹的上、下两个区域内(边界除外).
2)方程g (t )=0有且仅有两个相异实
数根,当且仅当g (x 0)=0,或g (-
b
3a
)=0(如图5,6),
即y 0=f (x 0),或y 0-f (-b
3a
)=f ′
(-b 3a )(x 0+b 3a
).亦即当且仅当点M 位于y =f (x )的图像上,或点M 位于过三次
函数对称中心N (-b 3a ,f (-b
3a
))处的切线l 上(点N 除外)时,可作y =f (x )的两条切
线.
图5 三次函数 图6 三次函数
3)方程g (t )=0有三个相异的实数根,
当且仅当
x 0≠-
b 3a
,g (x 0)·g (-b
3a
)<0,即
x 0≠-b
3a
,[y 0-f (x 0)]·[y 0-f (-
b
3a
) -f ′
(-b 3a )(x 0+b
3a
)]<0.通过与1)类似的分析(或参见文[1])知:满足上述不等式组的点M (x 0,y 0)位于C 和l 所夹的左、右两个区域内(边界除外).
综上,定理获证.
参考文献:
[1] 贺斌,黄福.过哪些点可以作三次函数图像的
三条切线.数学通讯,2007(21).
[2] 管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯,
2004(15).
[3] 刘国杰.三次函数图像对称性的探索.数学通
讯,2006(20).
2
1数学通讯 2008第3期。
三次函数的对称中心与切线条数
三次函数的对称中心与切线条数问题证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。
提示：可根据奇函数图像的平移得到。
分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--与32y ax bx cx d =+++比较系数得：2333am b am k c n km am d-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a-- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3320011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程3231010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即32300230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。
三次函数图象切线问题的探究
三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。
一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k的切线有两条。
当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。
2.a＜0时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。
若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。
证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。
1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。
用《几何画板》实现三次函数的切线的条数
《几何画板》小妙招判断三次函数的切线的条数于非洲山东临沂第一中学 2760001引言过平面内任意一点P 作一个三次函数图象的切线，可能有一条，二条或三条. 可是，当点P 落在怎样的一个区域内时可以作一条，二条或三条呢？本文拟用《几何画板》软件实现对这一问题的直观化.2探索由于一般的三次函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠都是中心对称曲线，其对称中心为(,())33b bg a a--，所以其函数解析式可化为： 23()()()()3333b b b b y a x c x g a a a a=++-++-.于是通过变换：2,3(),()3,.3b x x a b y y g a m a b n c a ⎧'=+⎪⎪⎪'=--⎪*⎨⎪=⎪⎪=-⎪⎩就可以把问题转化为研究最简单的三次函数3()(0)f x mx nx m =+≠的切线问题了.设点00(,)M x y 为平面上任一点，过点M 作函数3()f x mx nx =+的切线，设切点坐标为11(,)x y ，则切线方程为：2111(3)().y y mx n x x -=+-把点00(,)M x y 的坐标代入上式，并整理得关于1x 的方程：3210100230mx mx x y nx -+-=.于是，过点M 有几条切线，就等价于这个关于1x 的三次方程有几个不同的零点.设32000()23(0)h x mx mx x y nx m =-+-≠，则由200()666()0,h x mx mx x mx x x '=-=-=得到00,.x x x ==当00x =时，30()2(0)h x mx y m =+≠在R 上是单调函数，()h x 只有一个零点，这时过点M 只有一条切线. 特别的，当点(0,0)M 为3()f x mx nx =+的对称中心时，其切线方程为y nx =.当00x ≠时，()h x 有两个极值，一个是极大值，一个是极小值，其函数值分别是00(0)h y nx =-，30000()h x y mx nx =--. ()h x 的零点的个数就与这两个极值的符号有关：若(0)h 与0()h x 同号，即0(0)()0h h x ⋅>时()h x 只有一个零点，这时过点M 只有一条切线；若(0)h 与0()h x 中有且只有一个为0，即0(0)()0h h x ⋅=时()h x 有两个零点，这时过点M 有两条切线；若(0)h 与0()h x 异号，即0(0)()0h h x ⋅<时，()h x 有三个零点，这时过点M 有三条切线.3规律及图解：注意到当00(0)0h y nx =-=时，点M 恰在过对称中心的切线y nx =上；当30000()0h x y mx nx =--=时，点M 恰在函数3()f x mx nx =+的图像上. 如果把函数3()f x mx nx =+的图像想象成一条直线的话，那么y nx =与3()f x mx nx =+的图像相交于对称中心，它们把平面分成如下几部分（如图1）：一个交点（三次函数的对称中心），四条射线，四个两两对顶的区域. 通过以上的研究，我们不仅很容易知道过一个点能够作多少条切线，而且也使得用《几何画板》图解这一有趣的现象成为可能的了：当点M 为3()f x mx nx =+的对称中心（0，0）时，过点M 有且只有一条切线y nx =（如图2）；图1 图2当点M 落在两个对顶区域且满足300000()()0y nx y mx nx --->时，过点M 有且只有一条切线（如图3和图4）；图3 图4当点落M 在四条射线上（不含对称中心）即满足300000()()0y nx y mx nx ---=时，过点M 有且只有两条切线（如图5和图6）；图5 图6当点M 落在两个对顶区域且满足300000()()0y nx y mx nx ---<时，过点M 有且只有三条切线(如图7和图8）；图7 图84应用掌握了这一规律，我们不仅能够准确的判断出过一个点能够作多少条切线，而且还可以利用这一规律轻松解题呢！例1 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，试问：分别过点（1）(0,54)-，（2）(2,0)， （3）16(,2)11作曲线C 的切线有几条？ 解：这里1,0,1,2a b c d ===-=，20,()2,1,1333b b b f m n c a a a-=-===-=-， 所以通过变换()*即,2,1,1.x x y y m n '=⎧⎪'=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩可以把原函数转化为3y x x =-，三个点分别转化为16(0,56),(2,2),(,0)11--.（1）300000()()31360y nx y mx nx ---=>Q ,∴过点(0,56)-作3y x x =-的切线只有一条；(2) 300000()()0y nx y mx nx ---=Q ,∴过点(2,2)-作3y x x =-的切线有两条；(3) 300000()()y nx y mx nx ---=Q 24161601111⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴过点16(,0)11作3y x x =-的切线有三条.于是原问题获解.例2（2008南昌一模）已知3()3,f x x x =-过点(1,)(2)A a a ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，则a 的取值范围是（ ）A.(1，-1)B.（-2，3）C.（-1，-2）D.(-3，-2)解：这里的1,3m n ==-，001,x y a ==，所以当 []3(3)11310a a ⎡⎤--⋅-+⨯<⎣⎦即32a -<<-时为所求. 答案为D.例3（2007全国II 卷）已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，其充要条件为 ()(())0b a b f a +⋅-<， 注意到30,(),a f a a a a >=->- 所以有()a b f a -<<.。
谈谈三次曲线的切线问题
谈谈三次曲线的切线问题1 关于三次曲线切线的四道高考题题1 (2014年高考北京卷文科第20题)已知函数x x x f 32)(3-=．(1)求)(x f 在区间]1,2[-上的最大值；(2)若过点),1(t P 存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求t 的取值范围；(3)问过点)2,0(),10,2(),2,1(C B A -分别存在几条直线与曲线)(x f y =相切？只需写出结论．解 36)(2-='x x f ．(1)用导数可求得：当且仅当22-=x 时，)(x f 在区间]1,2[-上取最大值且最大值是2． (2)当点P 在曲线)(x f y =上即1-=t 时： 又当点)1,1(-P 是切点时，曲线)(x f y =过点P 的切线是1条． 又当点)1,1(-P 不是切点时，可设切点为)1)(32,(3≠-P P P P x x x x ，得 )1(36113223≠-=-+-P P P P P x x x x x 21-=P x 所以此时过点P 的切线是1条． 得过点P 存在2条直线与曲线)(x f y =相切，不合题意．所以1-≠t ，即点P 不在曲线)(x f y =上．可设切点为)32,(3P P P x x x '-''，得 3613223-'=-'-'-'P PP P x x t x x 036423=++'-'t x x P P 题意即这个一元三次方程有三个实根．设364)(23++'-'='t x x x g P P P ，得)1(12)(-''=''PP P x x x g ，所以题意即 ⎩⎨⎧<+=='>+=='01g(1))(03g(0))(t x g t x g P P 极小值极大值 13-<<-t所以所求t 的取值范围是)1,3(--．(3)①因为点)2,1(-A 不在曲线)(x f y =上，所以可设切点为)32,(3A A A x x x -，得36123223-=+--A A A A x x x x。
过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
综上 ,定理获证.
参考文献 :
[1 ] 贺斌 ,黄福. 过哪些点可以作三次函数图像的 三条切线. 数学通讯 , 2007 (21) .
[2 ] 管宏斌. 三次函数对称中心初探. 数学通讯 ,
2004 (15) . [3 ] 刘国杰. 三次函数图像对称性的探索. 数学通
讯 ,2006 (20) .
-
b 3a
)
<0,
x0
≠-
b 3a
,
即 [ y0 - f ( x 0) ]·[ y0 - f ( - 3ba)
-
f ′( -
3ba)
(
x0
+
b 3a
)
]
<
0.
通过与 1) 类似的分析 ( 或参见文 [ 1 ])
知 :满足上述不等式组的点 M ( x 0 , y0) 位于
C 和 l 所夹的左 、右两个区域内 (边界除外) .
仅有一个实数根. 即过直线
x
=
-
b 上的任 3a
一点能且仅能作 y = f ( x ) 图像的一条切线.
若
x0
≠-
b 3a
,
则
g′(
t)
在
点
x0
附近的
函数值异号 , 在点 -
b 附近的函数值也异 3a
收稿日期 :2007 - 10 - 25 作者简介 :贺斌 (1961 —) ,男 ,湖北随州人 ,湖北省谷城县第三中学高级教师.
函数对称中心
N(
-
b 3a
,
f
(
-
b 3a
)
)
处的切线
l 上 (点 N 除外) 时 ,可作 y = f ( x ) 的两条切
过定点的三次函数图像切线条数问题
过定点的三次函数图像切线条数问题
叶秋平
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2007(000)007
【摘要】二次函数y=αx2＋bx＋c（α≠0）的图像是抛物线，我们有如下共识：点P（x0，y0）在抛物线上时满足y0=αx02＋bx0＋c，过点P的切线有且只有一条；当点P在抛物线内时满足y0〉αx02＋bx0＋c，过点P的切线不存在；当点P在抛物线外时满足y0〈αx02＋bx0＋c，
【总页数】3页(P26-28)
【作者】叶秋平
【作者单位】浙江省龙游中学,324400
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.探究三次函数的切线条数 [J], 楼志权
2.一元三次函数图像的中心切线及切线问题 [J], 李晶;张国坤
3.用代数的方法证明过定点作圆锥曲线的切线条数 [J], 徐喜明
4.高考中三次函数图像的切线问题 [J], 罗永高;程雪飞
5.GeoGebra探究过任意点作三次函数切线条数问题 [J], 韩毅;张华
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过哪些点能够作三次函数图象的三条切线
过哪些点能够作三次函数图象的三条切线中图分类号： 文献标识码： 文章编号：2007年高考全国卷理22题为已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f x -<<．此题第（II ）小题的结论颇赖人寻味。
通过研读相关资料上所提供的“参考答案”能够发现：当0a >时，()a b f x -<<也是过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线的充分条件．并且易知y x =-为()y f x =在其对称中心(0,0)处的切线．于是，我们有如下更直观的结果：设函数3()f x x x =-，则过点(,)M a b ' （0a >）可作曲线C ：()y f x =的三条切线当且仅当点M '位于曲线C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的右侧区域内（边界除外）．（如图１）．我们更感兴趣的是，对于一般的三次函数，是否仍有类似结论？ 通过探索可知，答案是肯定的．定理 过点M 可作三次函数图象C的三条切线，当且仅当点M 位于图象C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的左、右两个区域内（边界除外）．为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相对应的示意图如下：____________________收稿日期：2007-08-图1 三次函数图2 三次函数证 设三次函数为 32()f x ax bx cx d =+++ （0a ≠），点M 的坐标为00(,)x y ，点(,())A t f t 为三次函数()y f x =图象C 上的一点．则点A 处 的切线方程为 ()()()y f t f t x t '-=-．于是，切线过点M ，等价于存有实数t ，使00()()()y f t f t x t '-=- (1) 注意到（1）是关于t 的三次方程（易知3t 的系数不为0），则过点M 可作C 的三条切线，当且仅当关于t 的方程（1）有三个相异的实数根．记 00()()()()g t y f t f t x t '=---，则 0()()()()()g t f t f t x t f t '''''=---+0()()t x f t ''=-02()(3)t x at b =-+．若03b x a=-，则20()6()g t a t x '=-，()g t 为R 上的单调函数，方程()0g t =有且仅有一个实数根．若03b x a ≠-，则()g t '在点0x 附近的函数值异号，在点3b a-附近的函图3 三次函数数值也异号，故0x 和3b a-都是()g t 的极值点．于是结合函数()g t 的单调性知，方程()0g t =有三个相异的实数根，当且仅当003()()03b x a b g x g a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪⋅-<⎪⎩即 000003[()][()()()]0333b x a b b b y f x y f f x a a a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪'-⋅----+<⎪⎩（2） 由文[1]、[2]知，三次函数()y f x =的图象有唯一对称中心(,())33b b N f a a--．而C 在点N 处的切线l 的方程为 ()()()333b b b y f f x a a a'--=-+ 故直线0x x =与C 及l 的交点纵坐标分别为0()f x 及 0()()()333b b b f f x a a a '-+-+． 因为03b x a≠-，故上述两纵坐标不相等。
高中数学高考中三次函数图象的切线问题
高中数学高考中三次函数图象的切线问题三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，用导数方法探求切线的性质，用导数方法探求切线的性质，为分为分析问题和解决问题提供了新的视角、析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，新的方法，新的方法，不仅方便实用，不仅方便实用，不仅方便实用，而且三次函数的而且三次函数的切线性质变得十分明朗切线性质变得十分明朗..纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题现，本文给出三次函数切线的三个基本问题. .一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f1、0>a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线；a b ac k 332->时，有两条不同的切线；ab ac k 332-<时，没有切线；2、0<a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线；a b ac k 332-<时，有两条不同的切线；ab ac k 332->时，没有切线；证明证明 c bx ax x f ++=23)(2/1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2min /a b ac x f -=\ 当当ab ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：).3(33)3(2ab x a b ac a bf y +-=--当当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k 的切线有两条。
过三次函数图象上一点能作几条切线
Ｂ 口 Ｙ＝ （ ３ ａ ｘ ； ＋ ２ ｂ ｘ 。 ＋ ｃ ） ｘ 一 ２ 一 ｂ ｘ ＋ ｄ ．
・ ．
・
‘ ． ．
ｃ 宦 作 ２条或 ３ 条切线
Ｄ ． 能作 １ 条或 ２条或 ３条切线
且 口ａ ｍ 。 ＋ ｂ ｍ ＋ ｃ ｍ＋ ｄ＝ （ ３ ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｍ一 ２ ｎ 一 ＋ ｄ ，
— — — 一
４ｄ
．
’ ｙ’ ＝３ ａ ｘ ＋ ２ ｂ ｘ＋ｃ，
．
下面的问题供 同学们练习．
・ ．
切线斜率ｋ＝３ 锻 ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ｃ ，
１ ． 过 曲线Ｙ ＝ 一 ３ ｘ 上一点 （ １ ， ＿ ２ 舴 切线 ， 求切线方程． ２ ． 过曲线Ｙ＝Ｘ 一 ３ ｘ ＋ ＋ｌ 上 一点Ａ （ １ ， １ ） 作切线 ， 求切线
用综合除法分解因式得
解
设切点 为Ｐ （ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） ， 因为Ｙ ’ ＝ ３ ｘ ， 所 以， 以Ｐ 为 切点 的
（ 一 ［ ２ ａ ｘ ｏ ＋ （ ａ ｍ＋６ ） ］ ＝ ０ ．
ａ ｍ＋ｂ
切 线 的 斜 率 ＝３ ， 切 线 方 程 为 Ｙ— Ｙ 。 ＝ｋ （ ｘ — 。 ） ，即
方程．
切线方程为Ｙ — Ｙ 。 ＝（ ３ ａ ｘ ＋ ２ 撕。 ＋ ｃ ） 一 Ｘ ｏ ） ，
‘
．
‘ ｙ ０＝
＋ｈ ＋“ ０ ＋ｄ ，
’ ．
Ｙ ＝（ ３ ． ４＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｘ 一 （ ３ ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｘ ｏ ＋ Ｙ ０
３ ． 过曲线Ｙ＝ 一 ９ ｘ ＋ ２ 上一 点 （ ３ ， ２ ） 作切线 ， 求切线方程． ４ ． （ 选择题 ）过三次 函数Ｙ＝ 上任一点作曲线 的切线 ， 则
过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
函数图像切线是应用微积分数学中的重要概念，也是深入了解空间几何物理世界规律和分
析函数行为的重要分支。
令f(x)为任意定义在[a,b]上的函数，它在x_0这一点上的切线就是函数f(x)在x_0点取得
极值时，它的图像在这一点上所作的切线。
简单来说，切线就是函数图像在某一点取得极值时，直线和函数图像在这一点接触的切线。
通常不考虑切线的斜率，只关注它的导数。
函数图像切线可以由切线定理得出：若函数f(x)在x_0处取得极值，则函数f'(x_0)=0. 这一定理揭示了函数在极值点处切线的斜率为零。
另外，给定函数图像可以确定函数图像切线的数目。
如果f(x)在x_0处取得极值，则
f''(x_0)的值大于0，此时函数的图像在该点只有一条切线；如果f''(x_0)=0，函数的图像在该点只有两条切线；而如果f''(x_0)的值小于0，函数的图像在此点有三条切线。
总的来说，函数图像切线可以完备地总结出f(x)在x_0处取得极值时，只要我们知道函数
f''(x_0)的值，就可以确定它穿过x_0点时其图像与x轴接触所做的切线条数。