知识讲解 曲线运动复习与巩固 基础

曲线运动复习与巩固

编稿：周军审稿：隋伟

【学习目标】

1．知道物体做曲线运动的条件及特点，会用牛顿定律对曲线运动条件做出分析。

2．了解合运动、分运动及其关系，特点。知道运动的合成和分解，理解合成和分解遵循平行四边形法则。

3．知道什么是抛体运动，理解平抛运动的特点和规律，熟练掌握分析平抛运动的方法。了解斜抛运动及其特点。

4．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。

5．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。能正确处理竖直平面内的圆周运动。

6．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、曲线运动

（1）曲线运动的速度方向

曲线运动的速度方向是曲线切线方向，其方向时刻在变化，所以曲线运动是变速运动，一定具有加速度。

（2）曲线运动的处理方法

曲线运动大都可以看成为几个简单的运动的合运动，将其分解为简单的运动后，再按需要进行合成，便可以达到解决问题的目的。

（3）一些特别关注的问题

①加速曲线运动、减速曲线运动和匀速率曲线运动的区别

加速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹锐角

减速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹钝角

匀速率曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向成直角

注意：匀速率曲线运动并不一定是圆周运动，即合外力的方向总是跟速度方向垂直，物体不一定做圆周运动。

②运动的合成和分解与力的合成和分解一样，是基于一种重要的物理思想：等效的思想。

也就是说，将各个分运动合成后的合运动，必须与实际运动完全一样。

③运动的合成与分解是解决问题的手段

具体运动分解的方式要由解决问题方便而定，不是固定不变的。

④各个分运动的独立性是基于力的独立作用原理

也就是说，哪个方向上的受力情况和初始条件，决定哪个方向上的运动情况。

要点二、抛体运动

（1）抛体运动的性质

所有的抛体运动都是匀变速运动，加速度是重力加速度。其中的平抛运动和斜抛运动是匀变速曲线运动。

（2）平抛运动的处理方法

通常分解为水平方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体（或上抛运动或下抛运动）。

（3）平抛运动的物体，其飞行时间仅由抛出点到落地点的高度决定，与抛出时的初速度大小无关。

而斜抛物体的飞行时间、水平射程与抛出时的初速度的大小和方向都有关系。

（4）运动规律及轨迹方程

规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）

水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：x v t v v

x

==

00

,

竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动：y gt v gt

y

==

1

2

2，

平抛运动的轨迹：是一条抛物线

2

2

2

x

v

g

y=

合速度：大小：

2

2

y

x

v

v

v+

=

，即

v v gt

=+

22

()

，

方向：v与水平方向夹角为

)

(

tan

1

v

gt a-

=

合位移：大小：

2

2y

x

S+

=

，即

S v t gt

=+

()()

222

1

2，

方向：S与水平方向夹角为

)

2

(

tan

1

v

gt

-

=

β

一个关系：

β

αtan

2

tan=，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不

相同，速度的方向要陡一些。如图所示

要点三、圆周运动

（1）描写圆周运动的物理量

圆周运动是人们最熟悉的、应用最广泛的机械运动，它是非匀变速曲线运动。要理解描写它的各个物理量的意义：如线速度、角速度、周期、转速、向心加速度。速度方向的变化和向心加速度的产生是理解上的重点和关键。

（2）注重理解圆周运动的动力学原因

圆周运动实际上是惯性运动和外力作用这一对矛盾的统一。 （3）圆周运动的向心力

圆周运动的向心力可以是重力、万有引力、弹力、摩擦力以及电磁力等某种性质的力; 可以是单独的一个力或几个力的合力，还可以认为是某个力的分力；向心力是按效果命名的；

注意：匀速圆周运动和变速圆周运动的区别：

匀速圆周运动的物体受到的合外力完全用来提供向心力，而在变速圆周运动中向心力是合外力的一个分量，合外力沿着切线方向的分量改变圆周运动速度的大小。 （4）向心运动和离心运动

注意需要的向心力和提供的向心力之不同，如r

m r v m F 22

ω==向是质量为m 的物体做圆周运动时需

要向心力的大小；提供的向心力是实实在在的相互作用力。需要的向心力和提供的向心力之间的关系决定

着物体的运动情况，即决定着物体是沿着圆周运动还是离心运动或者向心运动。

向心运动和离心运动已经不是圆周运动，圆周运动的公式已经不再适用。 （5）解决圆周运动的方法

解决圆周运动的方法就是解决动力学问题的一般方法，学习过程中要特别注意方法的迁移和圆周运动的特点。

（6）一些特别关注的问题

①同一个转动物体上的各点的角速度相同；皮带传动、链条传动以及齿轮传动时，各轮边缘上的点的线速度大小相等。

这一结论对于解决圆周运动的运动学问题很有用处，要注意理解和应用。 ②对于线速度与角速度关系的理解

公式ωr v =ω=v

r a v r r ==22ω，是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度

的关系，某一时刻的线速度、角速度与向心加速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动中的任意

一个状态。 ③一些临界状态

1)细线约束小球在竖直平面内的变速圆周运动

恰好做圆周运动时，在最高点处重力提供向心力，它的速度值

v gR ≥。

2)轻杆约束小球在竖直平面内做变速圆周运动

a 、最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力；

b 、在最高点处的速度是Rg v =

时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力；球的速度大于这

个速度时，杆对球提供拉力，球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。 3)在静摩擦力的约束下，物体在水平圆盘做圆周运动时：

物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度

r g

μω=

（μ为最大静摩擦

因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。 ④圆周运动瞬时变化的力

物体由直线轨道突然进入圆周轨道时，物体与轨道间的作用力会突然变化。物体在轨道上做变速圆周运动时，物体受到弹力的大小和它的速度的大小有一定的关系，在有摩擦力作用的轨道上，速度的变化往往会引起摩擦力的变化，应引起足够的注意。 【典型例题】

类型一、运动的合成和分解

例1、如图所示，甲乙两船在同一条河边同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为u ，划船速度均为v ，

出发时两船相距H

33

2，甲乙两船头与岸边均成600角，且乙船恰好能直达对岸的A 点，则下列判断正确

的是（ ）

A ．甲乙两船到达对岸的时间不同

B ．两船可能在未达到对岸前相遇

C ．甲船在A 点右侧靠岸

D ．甲船也在A 点靠岸

【思路点拨】渡河时间决定于垂直河岸的运动，靠岸点的位置决定于平行河岸的的运动。 【答案】D

【解析】由于甲乙两船垂直河岸的速度相同，故过河时间相同，A 选项错误。

由乙船恰好能直达对岸的A 点，可知河水流速和划船速度的关系u v =0

60cos ，

由此可得甲船垂直河岸的速度

v v v 2360sin 01=

=和平行河岸的速度v u v v =+=0

260cos ，

由运动的分解可得出甲船到达对岸时平行河岸的位移

H v H v s 33212

==，

即甲船也在点A 靠岸，BC 选项错误，选项D 正确。

【总结升华】由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动．一般只讨论v v >船水时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短，此时以船速渡河；二是渡河位移最小，此时以合速度渡河．

例2、如图所示的塔吊臂上，有一可以沿水平方向运动的小车A ，小车下装有吊着物体B 的吊钩，在小车A 和物体B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B 向上吊起，A 、B 之间的距离以)SI (t H d 2

2-=（SI 表示国际单位制，式中H 为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做（ ）

A ．速度大小不变的曲线运动

B ．速度大小增加的曲线运动

C ．加速度大小方向均不变的曲线运动

D ．加速度大小方向均变化的曲线运动

【思路点拨】弄清物体B 在竖直方向上的确切运动情况是解决此题的关键所在。如何弄清B 在竖直方

向上的运动情况呢？不妨将A 、B 之间的距离22t H d -=做一下变换，变为22t d H y =-=（y 是B 物

体离开地面向上运动的距离），将此式与初速度为零的匀加速直线运动的位移公式221at y =

比较可见，物

体B 以4m/s 2

的加速度向上做初速度为零的匀加速直线运动。

【答案】BC

【解析】物体B 同时参与了两个运动：

水平方向上的匀速直线运动：a x =0，v x 大小不变

竖直方向的匀变速直线运动：a y =4m/s

2

t

t a v y y 4==

不难看出，物体B 所做的运动类似于平抛运动，不同的是在竖直方向上所做的是向上的初速度为零匀

加速直线运动，平抛运动是竖直向下的自由落体运动而已。

所以选项B 、C 正确

类型二、平抛运动与牛顿第二定律

例3、物块从光滑曲面上的P 点自由下滑，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q 点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图所示，再把物块放到P 点自由滑下，则（ ）

A ．物块将仍然落在Q 点

B ．物块将会落在Q 点的左边

C ．物块将会落在Q 点的右边

D ．物块有可能落不到地面上

【思路点拨】物体离开传送带之后做平抛运动，它落在何处取决于离开传送带时的速度，物体离开传送带时的速度又取决于它在传送带上的受力情况，因此分析物块在传送带上的受力情况是解决此题的关键

所在。

【答案】A

【解析】传送带静止时，物块在传送带上受到的滑动摩擦力方向始终是向左的阻碍物体运动；当皮带轮逆时针方向转动时，传送带沿水平方向向左运动，物体相对于传送带的运动方向始终是向右的，也就是说，物体在此情况下受到的滑动摩擦力方向始终是向左的，与传送带静止时的受力情况是相同的。所以物体仍然落在Q 点。

类型三、平抛运动规律的运用

例4、在平坦的运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地，若不计空气的阻力，则：（ ）

A ．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定

B ．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定

C ．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定

D ．垒球在空中运动的运动的时间仅由击球点离地面的高度决定

【答案】D

【解析】垒球被击出后做平抛运动，在竖直方向上221gt y = ，

g y

t 2=，故D 选项正确；

垒球落地时竖直方向的速度gy v 2=⊥，落地时的速度gy v v 22

+=，由此式可以判断A 选项错误；

00

2tan v gy

v v =

=⊥θ，由此式可知B 选项错误；

垒球在空中运动的水平位移

g y

v t v x 20

0==，可知C 选项错误。

举一反三

【高清课程：曲线运动复习与巩固 例1】

【变式】水平抛出一个小球，经过一段时间球速与水平方向成450

角，再经过1秒球速与水平方向成600

角，求小球的初速大小。

【答案】)

05

1v m /s =

例5、一个人站在阳台上，以相同的速率

分别把三个球竖直上抛、竖直向下抛、水平抛出，若忽略

空气阻力则它们落地时的速率（ ）

A ．上抛球最大

B ．下抛球最大

C ．平抛球最小

D ．三球一样大

【思路点拨】用匀变速运动的公式分别求出各个球落地时的速率进行比较。 【答案】D

【解析】设物体抛出点的高度是h ，落地时的速率是v ，根据匀变速运动的公式

gy

v v 22

02=-

物体做竖直上抛运动时加速度a=－g ，位移是y=－h(通常以初速度的方向为正方向)， 落地时的速率是：

gh

v v 22

0+=；

物体做竖直下抛运动是匀加速直线运动，a=g ，位移是y= h 代人公式gy

v v 22

02=-，

同样得到落地时速率

gh

v

v2

2

+

=

；

平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，

gh v

y

2 2=

，

物体水平抛出时：落地时的速率

gh

v

v

v

v

y

x

2

2

2

2+

=

+

=

。

综上可见，三球落地时的速率相等，选项D正确。

【总结升华】抛体运动都是匀变速运动，使用匀变速运动的公式时，要注意公式的矢量性。

举一反三

【变式】甲、乙两人在一幢楼的三楼窗口比赛掷垒球，他们都尽力掷出同样的垒球，不计空气阻力。甲掷出的水平距离正好是乙的两倍。若乙要想水平掷出相当于甲在三楼窗口掷出的距离，则乙应（）A．在5楼窗口水平掷出B．在6楼窗口水平掷出

C．在9楼窗口水平掷出D．在12楼窗口水平掷出

【思路点拨】运用平抛运动的射程并注意到不同楼层的高度关系，问题得到解决。

【答案】C

【解析】由平抛运动的规律

2

2

1

gt

y=vt

x=

垒球落地的水平距离是

g

y

v

vt

x

2

=

=

设每一层楼的高度是h，当甲、乙分别从三楼抛出时，

22h

x v

g

?

=

甲甲

22h

x v

g

?

=

乙乙

乙

甲

x

x2

=

解得乙

甲

v

v2

=

如乙在更高的楼层是抛出垒球且与甲的水平位移相同，则

g

H

v

x

?

=

2

乙

甲

将此式与

22h

x v

g

?

=

甲甲

比较可得8

H h

=，即乙需要从第9层楼上抛出垒球。

类型四、圆周运动中的临界问题

例6、如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，今以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球至最高点，ω=时，小球对棒的作用力为零；ω=

时，小球对棒的压力为

1

2

mg

；ω=时，小球对棒的拉力为

1

2

mg

。

【答案】

g

R

g

R

g

R

，，

2

3

2。

【解析】在最高点如果小球对棒作用力为零。小球做圆周运动向心力由重力充当，有：

，R m mg 21ω=解得：1g

R

ω=

在最高点小球对棒压力为

12mg 时，有：mg mg m R

-=1

222ω，解得：R g 22=

ω 在最高点小球对棒拉力为12mg 时，有：mg mg m R

+=1

232ω，解得：

ω332=g R

【总结升华】（1）这类题要注意杆与轻绳的区别：杆能产生拉力和支持力，而绳子只能产生拉力。（2）

用轻杆约束物体在圆周运动的最高点时，速率为零是是否能做圆周运动的临界状态，轻杆受力为零是轻杆受到拉力还是受到压力的临界状态，要注意区分。 类型五、圆周运动中的动力学问题

例7、一只光滑的碗水平放置，其内放一小球，开始小球相对静止于碗底，如图所示，则下列哪些情况能使碗对小球的支持力大于小球的重力（ ）

A ．碗竖直向上加速运动；

B ．碗竖直向下加速运动

C ．碗由匀速向左运动突然变成减速运动的瞬间

D ．碗由匀速向左运动突然变为静止的瞬间

【答案】AD

【解析】A 、B 、C 、D 四个选项所设置的四种情况下，小球均处在碗底，所以都是只受到重力G 及支持力N 的作用。

当碗竖直向上加速运动时，小球也有向上加速度。所以，小球所受合外力向上

，∴A 正确。

同理，当碗向下加速运动时，小球所受合外力向下，所以N

当碗匀速向左运动时，小球和碗有相同的速度v 0，当碗刚一做减速运动的瞬间，虽然碗有加速度，但在此瞬间速度仍为v 0，而小球由于惯性速度也是v 0，它们在此一瞬间没有相对运动，∴小球的速度v 的大小和方向都没有变化。此瞬间N=G ，C 不正确。

当碗由匀速运动突然变为静止时，小球由于惯性还要继续向前运动，所以小球和碗之间要产生相对运动，又由于碗的限制，小球将做曲线运动，所以要有向上的向心加速度，所以合外力向上N > G ，故 D 正确。

类型六、平抛运动的的实验

例8、在描迹法探究平抛运动的实验中，在保证桌面的高度不变时，改变小球从弧形轨道的释放高度，使释放高度越来越大时

（1）小球的轨迹发生如何的变化？

（2）小球的落地点发生如何的变化，这一变化的是如何引起的？

（3）如果小球相对于弧形轨道的释放点不变，改变桌面的高度，小球的落地点如何发生变化？这个变化是如何引起的？

【解析】（1）释放高度越来越大时，小球的水平初速度变大，由抛物线的轨迹方程2

20

2x v g y =

可以

知道，抛物线变平。

（2）由平抛运动的射程公式g y

v

x

2

=

知，在y不变时，小球的落地点变远，是小球的水平初速度变大而小球在空中运动的时间不变引起的。

（3）由

g

y

v

x

2

=

知，小球的落地点变远，是小球的水平初速度不变而小球在空中运动的时间变长引起的。

举一反三

【高清课程：曲线运动复习与巩固例4】

【变式】如图为平抛运动轨迹的一部分，已知条件如图所示。求：v0和v b

【答案】

21

v

h h

g

=

-

22

21

21

4

4

b

gs g(h h)

v

h

++

=

（-h）

例9、如图所示，用闪光照相探究平抛物体的运动规律时，拍摄的两个物体分别做自由落体运动和平抛运动在不同时刻位置的一副照片。照片中同一时刻，自由落体运动小球的位置和平抛运动小球的位置之连线，与自由落体小球的轨迹不垂直。

（1）试分析造成这种现象可能的原因是什么？

（2）如果各连线与自由落体小球的轨迹垂直，你能根据这副照片对小球在水平方向是否做匀速直线运动做出判断吗？

【解析】（1）两个小球没有同时运动，做自由落体运动的小球先于平抛运动的小球开始运动。或者，做平抛运动的小球其初速度不水平，略微向上倾斜。

（2）能做出判断。因为闪光照相的时间间隔是相等的，即小球在相邻两个位置之间运动的时间是相等的，如果相邻两个小球之间的水平距离都相等，则说明做平抛运动的小球在水平方向做匀速直线运动。