§281锐角三角函数(一)
锐角三角函数(1)
锐角三角函数一：【知识梳理】1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2.特殊角的三角函数值．3.三角函数的关系(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin Atan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA (2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ·cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==4.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA②cotA ＞cosA ．由定义，知cosA=b c，cotA=b a；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ．③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA5.解直角三角形分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形． 6.在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角．②坡度与坡角hα通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角。
第二十八章锐角三角函数-教案全章(1)
【锐角三角函数全章教案】锐角三角函数（第一课时）教学三维目标：一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三•情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：1. 教学重点：正弦，余弦，正切概念2 .教学难点：用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切教学程序：一.探究活动1 .课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2. 归纳三角函数定义。
Z A的对边N A的邻边N A的对边siaA= ,cosA= ,ta nA=-斜边斜边N A的邻边3例1.求如图所示的Rt " ABC中的siaA,cosA,tanA 的值。
二.探究活动二1.让学生画30° 45° 60°的直角三角形,分别求sia 30 ° cos45 ° tan60归纳结果30 °45°60°siaAcosAta nA2.求下列各式的值三. 拓展提高 P82例4.（略）73厂1.如图在"ABC 中，/ A=30° ,tan B= ,AC=23 ,2求AB四•小结 五.作业课本 p85— 86 2,3,6,7,8,10解直角三角形应用（一）一•教学三维目标（一） 知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余 及锐角三角函数解直角三角形.（二） 能力训练点通过综合运用勾股定理， 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形， 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.（三） 情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯. 二、 教学重点、难点和疑点1. 重点：直角三角形的解法.2. 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.3•疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边.三、 教学过程（一）知识回顾1. 在三角形中共有几个元素？2. 直角三角形 ABC 中，/ C=90° , a 、b 、c 、/ A 、/ B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1) sia 30 ° +cos30 °( 2) , 2 sia 45-—cos30cos30sia45°+ta60-tan30aba（1）边角之间关系si nA= cosA= tan A=-c c b⑵三边之间关系a2 +b2 =c2（勾股定理）⑶锐角之间关系/ A+ / B=90° .以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用.（二）探究活动1•我们已掌握Rt△ ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素•这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情.2. 教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）.3•例题评析例1在厶ABC中，/ C为直角，/ A、/ B、/ C所对的边分别为a、b、c,且b= 2 a—. 6，解这个三角形.例2在厶ABC 中，/ C为直角，/ A、/ B、/ C所对的边分别为a、b、c,且b= 20 .B=35°，解这个三角形（精确到0.1）.解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用•因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想.其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演.完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边•计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底.例3在Rt△ ABC中，a=104.0, b=20.49，解这个三角形.（三）巩固练习在厶ABC中，/ C为直角，AC=6 , - BAC的平分线AD=4 . 3，解此直角三角形。
初中数学 九年级下册 28-1 锐角三角函数(教学课件)
∵ ∠C=90°，∠A=45°∴ BC=AC=2
由勾股定理得AB=
+ =2 ∴cos A=
=
=
变式2-2 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于_____．
在 △ 中，∵ =
∴
，
=
A．
B．
C．
D．
【详解】作AB⊥x轴交x轴于点B，
∵A（3，4），∴AB=4，BO=3，∴AO= AB 2 + BO2 = 42 + 32 =5，
B
AB 4
= .故选C.
AO 5
∴sinα =
变式1-2 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）
A．不变
B．缩小为原来的
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，
不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值.
′′
与
’
′′
01
锐角三角函数-正弦
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
即 sin A=
∠所对的边
斜边
=
B
斜边
c
a 对边
∠所邻的边
斜边
B
=
斜边
c
A
正弦和余弦的注意事项：
b
邻边
a 对边
C
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)
sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的 值与它对应，所以sinA是A的函数。
已知sinA＝ 3 ，那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜
一个固定值；
2
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢？
这也就是说，
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。
锐角三角函数(第一课时)课件ppt
对边与斜边的比 BC ，你能得出什
么结论？
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是
等腰直角三角形，由勾股定理得
AB2 AC2 BC2 2BC2
AB 2BC
因此 BC BC 1 2
AB 2BC 2 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这 个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都 等于 2
（2）直角三角形中一个锐角的度数越大，它的 对边与斜边的比值越大
结论
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
B
sin A BC AB
＜1
sin B AC ＜1 AB
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,
那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
C
AB
在Rt△BCD中， sin B CD BC
A
D
B
因为∠B=∠ACD，所以
sin B sin ACD AD AC
请分别计算60度的锐角对边与斜边的比值 你能发现什么规律吗？
sin 45 2 2
sin 45 2 2
sin30 1
2
(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的 对边与斜边的比值随之确定；
意大利的伟大科学家C 伽俐 ．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
情
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井 房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
人教版九年级数学下册课件：28.1锐角三角函数(1)正弦
❖ 3、一个相关:正弦值只与角的度数有关。 ❖ 4、 两种写法: sinA 与 sin∠BAC 。
2020年5月27日星期三
练习巩固
A组
1.判断对错:
B
1) 如图 (1) sinA= BC （√ ） 10m
C C'
A的对边 斜边
B'C' AB'
1, 2
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
30° 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于
，那么不管三角
1
形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值,都等于 2 。
2020年5月27日星期三
自主学习
如图，任意画一个Rt△ABC， A
使∠C＝90°，∠A＝45°，
当∠A＝45°时，我们有
2020年5月27日星期三
sin A sin 45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求
sinA和sinB的值．
B
解：在Rt△ABC中，因为AC=4、BC=3，
5
3
由勾股定理求得AB=5，
B
由演示得到的结论:
A
C
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形
的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值，这个固
定值会随着∠A的改变而改变。
在这个变化过程中，有两个变量 ∠A 和 ∠A的对边与斜 边的比， 对于 ∠A 在锐角范围内（0°﹤ ∠A ﹤90°）的每 一个确定的值， ∠A的对边与斜边的比 都有唯一确定的值与 它对应，因此，∠A的对边与斜边的比是∠A的函数，这种函
第1课时 锐角三角函数 公开课获奖课件
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ∠A斜的边对边＝ABCB＝21， 可得 AB＝2BC＝70 m，即需要准备 70 m 长的水管． 思考 1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50 m，那么需要准备 多长的水管？ 学生按与上面相似的过程，自主解决． 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么不管三角形
sinB＝∠B斜的边对边＝bc.
思考 3：一般地，当∠A 取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否 也是一个固定值？
探究：如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠ A＝∠A′＝α，那么AACB与AA′′CB′′有什么关系？
教师用类比的方法引导学生思考、讨论． 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如 何改变，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值． 余弦的概念： 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余 弦，记作 cosA，即 cosA＝∠A斜的边邻边＝bc.
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12.
锐角三角函数1
教师备课稿学科_ 数学__ _九_年级第_下册教师朱晶_课题1.1锐角三角函数（1）第课时教学目标1.经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念.2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数.3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系.4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.重难点教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念. 教学难点：锐角三角函数的概念.教具、学具准备ppt课件学教安排教法及学法指导、反思课前准备一、创设情境，引入新课小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(坡角，上升高度，所走路程)？她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢?（通过学生自主探索，教师引导，从而发现小红在上山过程中，坡角是常量，上升高度和所走路程是变量.她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值不会变化.）定义：一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比值BCAB,ACAB,BCAC都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因此，比值BCAB,ACAB,BCAC都是锐角α的三角函数.比值BCAB叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.比值ACAB叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.30°B45°西东比值BCAC叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．2、sinα、cosα、tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有sin cos tanAAAAAAA∠=∠=∠=∠的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边那么B∠呢？追问：你能求出sinA 与cosA的取值范围吗？.三、新知运用用一用1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.判断：（1）sinA=513（√）（2）tanB=512（×）2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.⑴若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值;⑵若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值;⑶若sinA=513, 求sinB的值.解后语：已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=90ο,AC=200, sinA=0.6.求BC的长.解后反思：本题属于简单题，属于知识的简单运用.练一练：1.在Rt△ABC中，∠C为Rt∠，AC:BC=1:2，求sinA+cosA的值.四、课堂小结1.正弦，余弦和正切的概念；2.三角函数的概念；3.如果∠A是直角三角形的一个锐角，那么它的三角函数与边的关系.4.锐角三角函数的值都是哪一类数，正弦和余弦有什么范围限制？课后反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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数学导学案（5） 第二十八章 锐角三角函数 §28.1锐角三角函数（一）
课型：新课 主备：陆明和 审稿： 领导签字： 班级： 学生姓名： 【学习目标】1.知道锐角的正弦、余弦、正切三角函数的定义，并记住它们的符号； 2.知道锐角的正弦、余弦、正切值的范围，以及随角度的变化情况；
3.会求锐角的正弦、余弦、正切值。
【学习重点】目标1、2、3。
【学习难点】目标2。
【学习过程】 一、
独立看书80~76P 完
二、 完成下列预习作业： 1. 据下图求sinA 和sinB 的值。
2.若Rt △ABC 中, ∠C= 900, AB = 13,AC = 12, 则sinA = , cosA = , tanA = .sinB= , cosB = , tanB = .
3. .若Rt △ABC 中, ∠C= 900, BC = 3,AC = 2, 则sinA = , cosA = ,
tanA = ,sinB= , cosB = , tanB = .
4. 若Rt △ABC 中,各边长都扩大2倍，则锐角A 的正弦值、余弦值、正切值的变化情况是（ ）
A. 正弦值不变；
B. 余弦值不变；
C. 正切值不变；
D. 正弦值、余弦值、正切值都不变。
5．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 900, AC = 8 ，tan A = 4
3 ,求sin A 、 cosB 的值。
小组评价： 组长签字： 三、 师生合作探究，解决问题 探究一
如图，在Rt △ABC 中, ∠C= 900
, 求sinA 和sinB 的值。
探究二
如图，在Rt △ABC 中，∠C= 900,BC= 6 ,sinA = 5
3
,求cosA 、tanB 的值
※探究三
如图，在△ABC 中，A D ⊥BC 于点D ，C E ⊥AB 于点E ，且EB = 2AE,若AD= 33,
tan ∠BCE =33
, 求CE 的长
B C
5
3
A
A B C 8
A
B
C
3
4
(1)
A
B
C
5 13
(2)
四、 达标检测： 1. 若Rt △ABC 中，∠C= 900, AB = 4, BC = 3, 则sinB 的值为（ ） A.
54
B. 7
4 C. 47 D. 37
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0）和B （0，-4），则 cos ∠OAB = 。
3. 在Rt △ABC 中，∠C= 900, AC= 5,BC = 12,则tanA = , tan B = 。
4. 直角三角形中，两个锐角的正弦平方和等于 。
5．在Rt △ABC 中，∠C= 900,∠A= 300,则tanB = .
6. 在Rt △ABC 中，∠C= 900, BC = 5 , sinA= 0.7, 求cosA 、tanA
※ 7. 已知△ABC 的两边长分别为a = 3,c = 5,且第三边长b 是关于x 的一元二次方程2x －4x +m=0的两个正整数根之一，求sinA 的值。
五.课时小结：
在Rt △中, ∠α为锐角，
则①sin α= ,cos α= , tan α= ；
②sin 2α+cos 2 α= ；
③sin α÷cos α= ；
④sin α随α的 增大而 ，cos α随α的增大而 ，tan α随α的增大而 ；⑤sin （900－α）= ，cos （900－α）= 。
六.学习后的评价
1.你自己对本节课学习后的评价： 理由： 组长评价： 组长签字：
2.教师对你学习的评价：。