集合---排列组合
职 高 数 学 单 元 测 试 集合---排列组合 (时间:100分钟,满分100分) 姓名________成绩__________ 一．填空：(每空2分,共38分) 1.从1,2,3,4,5中任选两数组成加法式子,共可组成______个不同的加法式子, 若组成无重复数字的二位数,则可组成_______个不同的二位数. 2.计算：0!+5!- C 62+P 62=____ 3.四人排成一列,甲只能站右边第一个位置,则有 种不同站法. 4.1,2,3,4,5中任取2数,可以组成______个两位偶数,如果数字可以重复, 则可组成________个两位偶数. 5.-8和-2的等比中项为________，等差中项为_______ 6.等比数列{a n }中S n =2n+1-2，则此数列的公比q=_________ 7.数列{a n }为等差数列，a n =2-3n 则S 10=__________ 8.集合A={0,1,2,3}的所有真子集有_______个. 9.已知aa 13. 6名护士，3名医生分派到三所不同的学校为学生体检，每校两名护士和一名 医生，则有 种不同的分派方法。 14.已知函数 x a y log 3=的图象过点)9 1 3(，，则a= 二．选择填空题：（每小题3分，共30分） 15．从甲地到乙地，一天中有两班火车，五班汽车开出，则在一天中不同的乘车方 法有 种 A 25 B 52 C 10 D 7 16．某地有4个不同的邮筒，现将三封信投放到邮筒中，则不同的投法有 种 A 34 B 43 C P 43 D C 43 17．4×5×6×……×(n-1)×n ×(n+1)= A C n+1n-3 B (n+1)!-3! C P n+1n-2 D P n+1n-3 18．已知C 202x-7=C 20x ，则x= A 9 B 7 C 9或7 D 5或9 19．三数m-1，2m ，4成等差，则m= A 0 B 1 C 2 D 3 20．等差数列｛a n ｝中，a 3+a 7=20，则S 9= A 9 B 20 C 90 D 180 21．等比数列：-1，2.......的第8项为 A 256 B -256 C -128 D 128 22．已知等差数列-1，1……则此数列的S 10= A 70 B 80 C 90 D 100 23．函数13sin()25 y x π =--周期和最大值分别为 A 2,3π B ,3π C 4,3π D 3 2,2 π 24.已知平面上有八个点，其中有四点在同一直线上，此外再无三点共线情形，则 此八点可组成 个三角形。 A 50 B 52 C 54 D 56 三．解答题(25、26、27小题每小题6分，28、29小题，每小题7分，共32分) 25.计算：C 63 +C 62 -P 52 +2-1 +lg2-lg20+cos600
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
(完整版)排列组合知识点与方法归纳
排列组合知识点与方法归纳 一、知识要点 1.分类计数原理与分步计算原理 （1）分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办 法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完 成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。 （2）分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 2.排列 （1）定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，记为 . （2）排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！ =1 b)排列数的性质： （Ⅰ） =（Ⅱ） （Ⅲ） 3.组合 （1）定义
a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 （2）组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示） 特例： b)组合数的主要性质： （Ⅰ）（Ⅱ） 4.排列组合的区别与联系 （1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 二、经典例题 例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种 解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有
高二数学排列组合二项式定理单元测试题(带答案)
排列、组合、二项式定理与概率测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是 由四个色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ） A ．96种 B ．180种 C ．240种 D ．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能排在一起，则 不同的选排方法共有（ ） A ．12种 B ．20种 C ．24种 D ．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod m )。已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020· 219，b ≡a (mod 10)，则b 的值可以是（ ） A.2015 B.2011 C.2008 D.2006 6、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ） A ．22种 B ．23种 C ．24种 D ．25种 7、令1 ) 1(++n n x a 为的展开式中含1 -n x 项的系数，则数列}1 { n a 的前n 项和为 （ ） A ． 2) 3(+n n B ． 2) 1(+n n C ． 1+n n D ． 1 2+n n 8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ）
排列 组合 定义 公式 原理
排列组合公式 久了不用竟然忘了 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 这就是我们用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
(好题)小学数学三年级下册第八单元《数学广角——搭配》 单元测试(答案解析)
（好题）小学数学三年级下册第八单元《数学广角——搭配》单元测试（答 案解析） 一、选择题 1．新年到了，三名同学在新年之夜打电话问好，如果任意两人之间通话一次，一共可以通( )次电话。 A. 3 B. 6 C. 9 2．12月20日、21日、22日三天为期末考试时间，每天考一年级和二年级，三年级和四年级，五年级和六年级中的一个年级段。一共有( )种考试时间安排法。 A. 6 B. 9 C. 1 2 3．小静有两件上衣和三条裤子，可以有（）种不同的搭配方法． A. 3 B. 6 C. 5 4．饮料和点心只能各选一种，共有( )种不同的搭配。 A. 4 B. 6 C. 8 5．袋中有 3 个红球，4 个黄球和5 个白球，小明从中任意拿出6个球，那么他拿出求的颜色搭配情况一共有（）种可能． A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20 6．下一幅图是（） A. B. C. D. 7．根据如图所给图形的规律，问号处应填什么图形？（）
A. B. C. D. 8．找规律，在空缺的地方应该填哪个图片（） A. B. C. D. 9．四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（） A. B. C. D. 10．如图所示，按前三个图的顺序，第四个图应是ABCDE的（）
A. B. C. D. E. 11．观察已知图形的相同点，想一想，“？”处应填（） A. B. C. D. 12．找一下规律，空格内的应该是（）图． A. B. C. D. 二、填空题 13．四个小朋友，每两人击一次手掌，一共击________次手掌 14．姐姐有红、绿、粉三件上衣，白，灰两条裤子，一共有________种搭配方法 15．吃什么，我说了算.饮料水果各选一种，有________种不同的搭配呢? 16．用2、5、8三个数字能组成________个不同的两位数。 17．你是否用电脑进行过图案设计？图（1）是小明在电脑上设计的小房子，然后他又进行
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； ' (3)111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ① ；②；③；④ 11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 " 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； ) （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空
二年级下册数学单元测试卷及答案.docx
二年级下册数学单元测试卷及答案 一、培优题易错题 1．动脑筋，想一想。 在右面的方格中，每行每列都有1～4 这四个数，并且每个数在每行、每列只出现一次。A 应该是几 ?B 应该是几 ? 4 A 2 2 B1 3 【答案】解：A是 1，B是 3。 【解析】【分析】观察 A 所在的第四行可知， A 不可能是 2、 4，观察 A 所在的第二列可知， A 不可能是 3，则 A 是 1； 第二列出现了数字 1、 2、 3，则剩下的数是 4，观察 B 所在的第二行可知， B 不可能是 1、4，观察B 所在的第 3 列可知， B 不可能是 2，则 B 是 3，据此推理。 2．小松鼠回家有多少条路? 【答案】 2 ×2=4（条），
【解析】【分析】此题主要考查了排列组合的应用，利用乘法计算，据此列式解答。 3．在下面图形的“ ?"处，应该是哪一个图形? 【答案】，剩下的图形是②。 答：在下面图形的“?"处，应该是②号图形。 【解析】【分析】观察图可知，左面一列的图形顺时针旋转90°，得到右面一列的图形， 据此解答。 4．你能给下面的钟面画上时针吗？ 【答案】解：
【解析】 5．，，三种图形有多少不同的排法?把这几种排法写出来． 【答案】解：有六种不同的排法： ，，，， ，，，， ，，，， 【解析】 6．有一个图形徽标，分成四块区域，如下图所示，每块涂红，黄，蓝三种颜色中的一种， 要求相邻的两块不能涂同一种颜色，那么共有几种涂色方案 ?（请你设计其它涂色方案：颜色用文 字表示） 【答案】解：共 6 种（包括所列方案），具体方案如图： 【解析】【分析】先确定上面区域的颜色，那么最下面区域的颜色一定和这个颜色相同， 最后确定中间的两个区域的颜色。这样列举出所有的涂色方案即可。 7．假如你有：
最新人教版小学数学二年级上册《简单的排列和组合》同步测试题
第八单元单元测试试卷 一、填一填 1．用4、6和7组成两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成（）个两位数，它们分别是（）。 2．用4、0和7可以组成（）个不同的三位数，其中最大的数是（），最小的数是（）。 3．3位小朋友每两个人通一次电话，一共要通（）次话。 4．一辆客车往返于合肥、南京、上海三地载客，要准备（）种不同的车票。 5． 34、35、43、45、53、54这些数是用（）、（）和（）这三个数字组成的。 二、选一选 1．用5、0、2可以组成（）个不同的两位数。 A．4 B．5C．6 2．我和爸爸、妈妈坐成一排合影，有（）种坐法。 A．2B．4 C．6 3．莉莉和她的3个好朋友，每两人握一次手，一共要握（）次手。 A．3 B．4C．6
4．可以有( )种早餐搭配方法？ A．2 B．4 C．6 5．有一些1元、5角和1角的钱币，要买一支1元5角的笔，有（）种不同的付钱方法。 A．5B．6 C．7 三、解答 1．看！小猫、小熊和小兔要进行赛车比赛了，它们比赛完谁会是第一？谁是第二？会有多少种结果呢？ 2．猜猜电话号码： 最后三个数字是由1、6、9组成的，猜一猜，丽丽家的电话号码可能是多少？ 3．下面三张扑克牌上分别有2、6、8三个数，请你从这3个数中任意选取两个数求和，得数有几种可能？
4．水果店里有下面的四种水果搞促销，降价卖。菲菲的妈妈想挑其中的两种买，她有几种买法？可以怎样搭配呢？ 5．玲玲从家去上学必须要经过一家医院，玲玲从家到学校有多少种不同的路线？ 考查目的：通过操作、观察等活动，巩固学生对于简单事物排列和组合的规律的知识，进一步渗透排列和组合的思想方法，培养学生有序，全面地思考问题的意识。 答案：1． 6 ；46、47、64、67、74、76 2．4 ；740 ；407 3． 34． 65． 3、4、5 解析：第1题，学生在组数时一定要做到有序，不漏、不重复。可以灵活运用交换数字的位置、固定十位数或固定个位数等排列的方法。第2题，学生组数时要注意“0”不能放在十位上，因此只能组成4个不同的两位数。
排列组合的基本理论和公式
排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
排列组合专题复习及经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法． 2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法． 特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列. 4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示. 5．排列数公式：）、（+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒： 规定0!=1
2018届人教B版 排列组合解答策略 单元测试
【高考再现】 1. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】 D 考点：排列、组合 【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．. 2.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项 为0，m 项为 1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规 范01数列”共有 （ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：
【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（） （A）144个（B）120个（C）96个（D）72个 【答案】B 【考点定位】排列组合. 【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560． 【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全 班共写了2 4040391560 A=?=条毕业留言，故应填入1560． 【考点定位】排列问题． 【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题． 5.【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 【答案】120 【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55 961266120. C C -=-=
排列组合公式 全
排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的
排列组合典型例题
排列组合典型例题
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 A个； 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，
则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2 8181 4 A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9 A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个． 解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有
有限集合上的组合数学问题
2012有限集合上的组合数学问题 知识点： 1.偏序集合基本概念 一个集合A 是所谓偏序的，是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件： 1．若y x 且x y 同时成立，则y x =（反对称律） 2．若,y x z y ，则z x （传递律） 3．对于A 的每一个x ，都有x x （反身律） 4. .,y x y x y x ≠?< 特别地，如果每一对元素之间存在关系 ，则称其为一个全序集合。 这里，符号"" 读作“小于等于”。 假定),( A 是一个有限的偏序集合。由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”（或象一些学者所讲的，“反链”）；包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”（或极大“反链”）。用 M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。 2.偏序集合基本问题和定理。 定理1（Dilworth 定理）.在将偏序集合A 分解成不相交链（相交亦可）的并时，所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。 注意：（1）这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理，用它可以轻易地推出例7-15中的结论。 与Menger 定理，“最大流-最小割定理”和二部图中的“K ' 'o nig 定理”遥相呼应。其实，这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。 （2）由于这个结果是如此重要，我们有必要再给出一个快捷的证明（注意：快捷而简单的证明不一定是“好”的证明！因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。没有经验的研究人员往往忽视这一点。）下面这个证明来自于https://www.360docs.net/doc/881112600.html,erberg 在1967年的篇文章。 证明2：设P 是一个有限偏序集合。P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。 显然有M m ≥。对于||P 实行数学归纳。当||P =0时定理显然成立。令C 是一个极大链。如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素，则定理成立。因此，设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。我们定义： }.,|{i a x i P x S ?∈=- 类似第可以定义+ S 。因为C 的及大性，所以C 中的最大元素不再- S 里面。故，按照归纳假定，- S 是M
排列组合专题总结复习及经典例题详解 .docx
排列组合专题复习及经典例题详解 1.学目 掌握排列、合的解策略 2.重点 （1）特殊元素先安排的策略： （2）合理分与准确分步的策略； （3）排列、合混合先后排的策略； （4）正反、等价化的策略； （5）相捆理的策略； （6）不相插空理的策略． 3.点 合运用解策略解决． 4.学程 : (1)知梳理 1．分数原理（加法原理）：完成一件事，有几法，在第一法中有m1种不同的方法，在第 2 法中有m2种不同的方法??在第n 型法中有m n种不同的方法，那么完成件事共有N m1m2... m n种不同的方法． 2．分步数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法??，做第n 步有m n种不同的方法；那么完成件事共有 N m1 m2...m n种不同的方法． 特提醒： 分数原理与“分”有关，要注意“ ”与“ ”之所具有的独立性和并列性； 分步数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之具有的相依性和性，用两个原理行正确地分、分步，做到不重复、不漏． 3．排列：从 n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素，按照一定的序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列，m n叫做排列，m n 叫做全排列. 4．排列数：从 n 个不同元素中，取出m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号P n m表示. 5．排列数公式：P n m n(n1)( n2)...( n m1) (n n!（ m n,n、 m N）m)! 排列数具有的性： P n m1P n m mP n m 1 特别提醒： 规定 0!=1
第十章 排列组合单元测试卷
第十章 排列组合单元测试卷 一、选择题（每小题5分，共50分） 1、设+∈N a ，且则,27
