数列通项特征根法的证明
特征方程特征根法求解数列通项公式
特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p).（2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则λ=1/（1-2）= -1那么A（n+1）+1=2（An+1）二：再来个有点意思的,三项之间的关系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],则m+k=p, mk=q（2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意：①m n为（※）两根。
②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。
例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。
数列特征根法推导过程
数列特征根法推导过程咱们得明白什么是数列，数列其实就是一串数字，像是一条长长的彩带，彩带上每一个小节都是一个数字。
你看，这数字有时候规律性满满，有时候却像是个调皮的孩子，让人摸不着头脑。
特征根法就是帮助我们找到这些数字之间的关系。
它就像一位老练的侦探，凭借自己的智慧，迅速抓住关键。
想象一下，侦探在解谜，眼前有各种线索，越深入，越能明白背后的故事。
如何来应用这个特征根法呢？简单说，咱们要把一个数列化作一个方程，嘿，听起来是不是有点复杂？其实也不然！只要你知道如何将数字和它们之间的关系用公式表示出来，就能逐步解开这个谜团。
就像你在厨房里做菜，先准备好食材，再来一步一步烹饪。
把数列写成一个递推关系式，大家是不是开始有点眼前一亮了？接下来呢，咱们需要找到这个方程的特征根。
特征根就像是数列的灵魂，找到它，数列的秘密就不再是秘密。
你就想，特征根就像是那个聚会里最受欢迎的人，大家都围着他转。
怎么找特征根呢？其实很简单，咱们把这个方程转化成一个特征方程，像是在列出参与聚会的嘉宾名单。
求解这个方程，得到的结果就是特征根。
得到特征根后，咱们就可以利用这些根来构造数列的通项公式了。
哇，这可是个令人兴奋的过程！好比说，你已经找到了聚会的VIP，接下来要和他们一起舞动，构成一幅美丽的画面。
数列的每一个项，就像是舞蹈中每一个优雅的动作，相互协调，形成和谐美丽的整体。
在这个过程中，咱们也会遇到一些小麻烦，比如说特征根可能是重复的，或者是复数。
别担心，这就像是舞会上有些人跳得特别出色，或者是有些人来得有点晚，咱们只需要调整一下，找到合适的方法就好。
重复的特征根会让咱们的通项公式多一个因素，复数特征根呢？那就要记得用复数的性质，灵活运用，给数列增添色彩。
得到的通项公式就像是一把打开宝藏的钥匙，咱们可以用它去计算数列的任意项，真正实现了从复杂到简单的转变。
这就像是你终于找到了一条能通往心仪目的地的捷径，省时省力，心里美滋滋的。
数列特征根法就像一场旅程，让你从懵懂无知的状态，变得游刃有余。
特征根法求数列的通项公式
.
1−
证明：因为 ≠ 0、1, 由特征方程得 =
作换元 = − ,则
−1 = −1 − = −2 + −
= −2 −
1−
1−
= −2 − = −2 .
故数列 是以为公比的等比数列， =
1 −1 , 1 = 1 − .
已知数列 满足：1 = 4,+1 =
1
− − 2， ∈ , 求 的通项公式.
3
3
1
3
+1 + = − 性递推式型题目的做题方法
概念：一阶线性递推式：+1 = + .
1、做出方程 = + ,称之为特征方程；解
出的值称之为特征根.
2、 = + ，其中数列 是以为公比
的等比数列， = 1 −1 , 1 = 1 − .
证明
证明：若数列 满足1 = ,+1 =
+ , 其中 ≠ 0、1,证明：这个数列的通项
公式为 = + ，其中数列 是以为公比
的等比数列， = 1 −1 , 1 = 1 − .
解：做方程 =
1 = 4
=
3
−
2
1
−
3
− 2,解得 =
3
− .
2
11
11
1 −1
= , =
−
2
2
3
3
11
1 −1
= − +
−
,
2
2
3
1
−
3
= 1 −1
3
+
2
+
特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
特征根求数列通项原理
特征根求数列通项原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个超有意思的东西——特征根求数列通项原理！这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开数列这个神秘宝库的大门呢！
比如说这个数列：1，3，5，7，9……哎呀，这不是很明显的奇数数列嘛！那通过特征根的方法，咱就能找到它通项的秘密哦！就好像我们在迷宫中找到了那条正确的路。
你想想看，数列就像一群小精灵，它们有着自己的规律和特点。
而特征根呢，就是我们抓住这些小精灵的工具！我们可以通过计算特征根，找到数列背后隐藏的结构。
这多有趣啊！
你再看这个例子，1，2，3，4，5……这么简单的数列，用特征根求通项原理也能让我们更深入地理解它呢！就好像我们给这个普通的数列穿上了一件特别的外衣，让它变得更加独特。
咱就说，这特征根求数列通项原理，可不是随便说说的。
它是数学家们经过不断研究和探索才发现的呀！这多了不起。
我们可以用它来解决各种难
题，就像拥有了超能力一样。
比如知道了前几项，就能推测出后面的项会是什么。
哇塞，这也太酷了吧！
别人可能觉得数列很枯燥，但是我们一旦掌握了这个原理，就会发现它充满了惊喜和乐趣！它就像一个隐藏的宝藏，等待我们去挖掘。
我们可以和小伙伴们一起探讨，一起研究，那多有意思呀！
总之，特征根求数列通项原理真的是太神奇、太有趣啦！我觉得它就像是数学世界里的一颗璀璨明珠，等着我们去欣赏和探索呢！。
特征根法求数列通项
特征根法在求递推数列通项中的运用各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
如：（08年广东高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………2）求数列{x n }的通项公式。
3）若1=p ，41=q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年江西高考)各项均为正数的数列{}n a 中都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，=+++)1)(1(m n mn a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++，1）当时，求通项54,21==b a n a 。
像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。
本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。
类型一、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。
先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足⎩⎨⎧-==+q x x px x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。
1） 如果0112=-a x a ，则0112=-++n n a x a ，n a 成等比，很容易求通项公式。
2）如果0112≠-a x a ，则{112++-n n a x a }成等比。
公比为2x ，所以1211211)(-+-=-n n n x a x a a x a ，转化成：)(1122221121a x a x a x x x a n nn n -=---+，(I)又如果21x x =，则{121-+n n x a }等差，公差为)(112a x a -，所以))(1(11122121a x a n a x a n n --+=-+，即：1211221)])(1([-+--+=n n x a x a n a a 12211222])()2([---+=n n x x a x a n x a a 可以整理成通式：12)(-+=n n x Bn A a Ii)如果21x x ≠，则令1121+-+=n n n b x a ，A x x =21，B a x a =-)(112,就有 B Ab b n n =-+1，利用待定系数法可以求出n b 的通项公式所以2221211212121221])()()1([-------=n n n x x x x a x a x x x x x x a a ，化简整理得：1221211112121)1(----+--=n n n x x x a x a x x x x a a ，小结特征根法：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
数列特征根和不动点法解题原理
数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。
1. 原理。
- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。
- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。
- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。
- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。
2. 例题。
- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。
- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。
- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。
- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。
- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。
- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。
- 所以a_n=-1 + 2^n。
- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。
- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。
- 解得x_1=x_2=1。
- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。
- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。
- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。
- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。
- 所以a_n=n。
二、数列不动点法。
1. 原理。
- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+......①其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ.定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++−−−=⋅−−−.证明:2()0,ax b a d bx cx d a x b cx d c cαβαβ+−=⇒+−−=⇒+==−+(),d a c b cαβαβ∴=−+=−11()()()()()()()()n n n n n n nn n n n n aa ba ca d aab ca d ac a bd aa b a aa b ca d a c a b d ca d αααααβββββ+++−−++−+−+−∴===+−+−+−+−−+()[()]()()()[()]()()n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβααααβαβαβββββ−+−−−−−−−==−+−−−−−−−n n a a c a c a ααββ−−=⋅−−证毕定理2:若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+−+−.证明:22,d a c b cαα=−=−∵111()()()n n n n n n n n ca d ca daa b a aa b ca d a c a b dca dααααα+++∴===+−+−+−+−−+22222()(2)()()()2n n n n n nca a c ca a c ca a ca d a c a c a c a c a a αααααααααα+−+−+−===+−−+−−−−2242(2)2()()()()()()()()n n n n n n ca a c ca a c d c a a d a d a a d a a d a αααααα+−+−+−++===+−+−+−21n c a d a α=++−证毕例1.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++.(1)当14,25a b ==时,求通项n a ;(2)略.解:由(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a −−++=++++将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a −−+=+考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =±所以11111121112112113112n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−−+−−+−==⋅+++++所以数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=−+为首项,公比为13的等比数列故11111()()1333n nn n a a −−=−⋅=−+即3131n n na −=+例2.已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a −==−∈,求通项n a .解:考虑特征方程12x x=−得特征根1x =111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a −−−−−====+−−−−−−所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭是以1111a =−为首项,公差为1的等差数列故11n n a =−即1n n a n+=例3.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a −−+==≥+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x −=，解得121,1x x ==−，令111111n nn n a a c a a ++−−=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =−，∴数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=+为首项，以13−为公比的等比数列，1111133n n n a a −−⎛⎞∴=⋅−⎜⎟+⎝⎠，3(1)3(1)n nn n n a −−∴=+−例4.已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +−==∈+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2146x x x −=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==−，令1111122n n ca a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+−⋅=−+，135106n n a n −∴=−2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+②其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈.定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n n n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩.定理4:若12λλλ==,则12()n n a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩.设)(11−+−=−n n n n ta a s ta a ，则11)(−+−+=n n n sta a t s a ,令⎩⎨⎧−==+qst p t s （*）（1）若方程组（*）有两组不同的解),(),,(2211t s t s ,则)(11111−+−=−n n n n a t a s a t a ,)(12221−+−=−n n n n a t a s a t a ,由等比数列性质可得1111211)(−+−=−n n n s a t a a t a ,1212221)(1−+−=−n n n s a t a a t a ,,21t t ≠∵由上两式消去1+n a 可得()()()n n n s t t s a t a s t t s a t a a 21221221121112..−−−−−=.（2）若方程组（*）有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11t s =，则()()112112112111111)(a t a s a t a s a t a s a t a n n n n n n n −==−=−=−−−−−+…，211121111s a t a s a s a nn n n −=−∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列性质可知()21112111.1s a t a n s a s a n n −−+=，所以n n s n s a t a s a t a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=．例5.已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =−，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩，112n n a −∴=+例6.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2441x x =−，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+×=⎪⎪⎨⎪=+×=⎪⎩，得1246c c =−⎧⎨=⎩，1322n n n a −−∴=例7.已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===−,求通项n a .解:考虑特征方程244x x =−得特征根2λ=则12()2n n a b b n =+其中1211222()2024(2)81nn b b b a n b b b +==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项是一种解线性递推数列的方法，其原理如下：
1.对于递推数列$a_n$，可以写成线性递推方程$a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$的形式，其中$b_n$是已知数列。
2.将递推方程转化为特征方程，令$a_n=r^n$，带入递推方程，得到：$r^n=r^{n-1}+b_{n-1}$。
3. 令特征方程的根为 $r_i$，则 $a_n$ 的通项公式为
$a_n=\sum_{i=1}^k C_ir_i^n$，其中 $C_i$ 是由初始条件求出的常数。
4.当特征方程的根为实数时，通项公式中的系数$C_i$可以通过初始
条件和根的值求解。
当特征方程的根为复数时，通项公式中的系数
$C_i$可以通过欧拉公式求解。
5.对于非齐次递推数列，通项公式需要加上一个特解，其形式可以根
据非齐次项的不同而不同。
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式类型一、n n n qa pa a +=++12 对于由递推公式n n n qa pa a+=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根.(1)当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；(2)当21x x=时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）.例1. 数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n aa a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为232xx =-，解得121,2x x ==，令n n n B A a 21⋅+⋅=，由⎩⎨⎧=+==+=342221B A a B A a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==211B A ， 112n na-∴=+.例2.已知数列{}na 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项n a .解：其特征方程为2441xx =-，解得1212x x ==，令n nnB A a)21)((+=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=241)2(121)(21B A a B A a ，得⎩⎨⎧=-=64B A ， 1322n n n a --∴=.类型二、 hra qpa a n n n ++=+1如果数列}{na 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa an n n ++=+1， （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h ar qr ph -≠≠≠1,0,），那么，其特征方程为hrx qpx x ++=，变形为0)(2=--+q x p h rx(1)若方程有二异根1x 、2x ，则可令212111x a x a c x a x an nn n --⋅=--++（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列12nn ax a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为2111x a x a --，公比为c 的等比数列，于是可求得na .(2)若方程有二重根0x ，则c x a x a n n +-=-+00111（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为011x a -，公差为c 的等差数列，于是可求得na .例3. 已知数列{}na 满足11122,(2)21n n n a aa n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a=得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn nna --∴=+-.例4.已知数列{}na 满足*11212,()46n n n a aa n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410xx ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a=得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-.例5（2005，重庆,文,22）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a aa n n n n n且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{nb 的通项公式及数列}{nn b a 的前n 项和.nS解：由已知,得nn n a a a816521-+=+,其特征方程为xx x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=⋅--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++ 1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-.。
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数列 {a(n)}，设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为
x^2-px-q=0 .
若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同)
若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*A^n
以上部分内容的证明过程：
设 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。
然后进一步证明那个通项公式：
如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，两边同时除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r 等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。
显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。
根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]
整理一下，并设 a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再设 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那个 r 用 A 来代，就可以得到 a(n)=(c+nd)*A^n 了。
至于那个方程有两个不等的实根的情况，证明起来原理基本一致，就是略微繁琐一点，这里就不多说了，lz自己试试，当成数列练习把~~
如果r不等于s，那么可得，a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] (1)
a(n+2)-s*a(n+1)=r[a(n+1)-s*a(n)] (2)
(1)公式，[a(n+2)-r*a(n+1)]/[a(n+1)-r*a(n)]=s,换元得b(n+1)/b(n)=s等比
数列，则有b(n)＝a(n+1)-r*a(n)= [a(2)-r*a(1) ]s^(n-1) (3)
(2)公式，[a(n+2)-s*a(n+1)]/[a(n+1)-s*a(n)]＝r等比数列,
则有a(n+1)-s*a(n)= [a(2)-s*a(1) ]r^(n-1) (4)
(3)-(4)可得，(s-r) a(n)= [a(2)-r*a(1) ]s^(n-1)- [a(2)-s*a(1) ]r^(n-1)
a (n)= ([a(2)-r*a(1) ]/[s(s-r)])*s^n-([a(2)-s*a(1) ] /[r(s-r)])* /[s(s-r)] *r^n
a(n)=a*s^n+b*r^n
若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同)
若方程有两等根 A=B，则a(n)=(c+nd)*A^n。