第八章卡方检验
第八章χ2检验
次数资料分析
问男女比例是否符合1：1，。
即与1：1性别比差异是否显著
性别比差异是否显著。
∑−=T T A 22)(χA —实际次数T —理论次数χ2是度量实际观察次数与理论次数偏离程度的一个统计量论次数偏离程度的一个统计量，，χ2越小越小，，表明实际观察次数与理论次数越接近论次数越接近；；χ2 =0，表示两者完全吻合者完全吻合；；χ2越大越大，，表示两者相差越大相差越大。
∑−−=T T A c 2
2
)5.0(χ
当自由度大于当自由度大于1时，时，χχ2分布与连续型随机
分布与连续型随机变量χ2分布相近似，这时这时，，可不作连续性矫正，但要求各组内的理论次数不小于5。
若某组的理论次数小于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并一组或几组合并，，直到理论次数大于5 为
止。
第二节适合性检验
一、目的
判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学说的假设检验
（一）提出无效假设与备择假设（二）计算χ2
求理论次数求理论次数：：
T 白=260×3/4=195
T 黑=260×1/4=65
表χ2
计算表
c
头，黑色有角牛红色无角牛72头，红色有角牛18头，共360头。
试问这两对性状是否符合孟德尔遗传规律中的遗传比例？？
9∶3∶3∶1的遗传比例
检验步骤检验步骤：：
（一）提出无效假设与备择假设
H ：实际观察次数比符合9∶3∶3∶1的理论比例论比例。
H A ：实际观察次数比不符合9∶3∶3∶1的理论比例（二）计算χ
2
T
=360×9/16=202.5；
黑无
T
=360×3/16=67.5；
黑有
；
=360×1/16=22.5。
=0.5444+1.6333+1.6333+0.9（三）统计推断
χ0.05(3)=7.81，因χ<χ005(3) ，
P >0.05，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，即两对性状分离现象符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例的遗传比例。
∑−=T T A 2
2)(χ
三、卡方再分割
具体做法是:
第一步，剔除总χ2检验，这时k -1类的χ2分量之和产生新的第二步，将差异不显著的
分量最大的观测次数，重复第一步。
分割后新的χ2值之和等于分割前χ2值。
这是χ2的可加性，各分量的χ2值不作校正。
两对相对性状杂交子二代4种表现型A -B -、A -bb 、aaB -、aabb 的观察次数依次为152、39、53、6，问这两对相对性状的遗传是否符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的比例的比例。
1、提出无效假设与备择假设2、计算χdf =3，不需矫正不需矫正。
2
χ2χ8.972
250
250
总和
5.929-9.62515.6256aa bb 0.800
6.12546.87553aa B- 1.323-
7.87546.87539A-bb 0.92011.375140.625152A-B-（A-T ）2/T
A-T T A 表现型
χ察次数与理论观察次数差异显著，即该资料不
因此有必要进一步检验，以具体确定哪样的表现型的实际观察次数不符合9∶3∶3∶1的比例。
这时须采用χ2检验的再分割法。
偏差最大偏差最大，，因此将其剔除因此将其剔除（（分割分割）。
）。
）。
检验剩下的检验剩下的其理论次数分别是T ＝244×9/15 2.543
244
244
总和
0.3614.248.853aaB- 1.968-9.848.839A-bb 0.2145.6146.4152A-B-（A-T ）2/T
A-T T A 表现型
于是，我们再分析表现型aabb
其理论次数分别是T 合并＝250×15/16＝
234.375；Taa bb＝250×1/16＝15.625。
6.324
250.000
250
总和
0.3959.625234.375244合并组 5.929-9.62515.6256aabb （A-T ）2/T
A-T 理论次数T A 表现型，
0.01<P<0.05，表明实际观察次数与理论次数差异显著差异显著，，aabb 表现型与其它三种表现型组合不符合1∶15的比例的比例。
即4种表现型的差异主要由aabb 表现型造成的表现型造成的。
χ=8.922略有差异，这是由于计算的舍入
值或总自由度，说明所分割的列联
表相互不独立。
目的
独立性检验实际上是基于次数资料因
独立性检验的资料形式r×c列联表
列数。
r—行数
行数，，c—列数
自由度df=(r-1) （c -1)
一、2×2列联表的检验
2×2列联表自由度 df=( c -1) (r-1) =(2-1) (2-1)=1，需作连续性矫正， 需作连续性矫正，计算
2 χ c值。
表
2×2列联表的一般形式
上一张 下一张 主 页
退 出
【例】 某猪场用80头猪检验某种疫苗是 否有预防效果。
否有预防效果。
结果是注射疫苗的44头中 有 12 头发病， 头发病，32头未发病； 头未发病；未注射的36 头中有22头发病， 头发病，14头未发病， 头未发病，问该疫苗 是否有预防效果？ 是否有预防效果？
A11
A12 A22
A21
表
2×2列联表
（a） （c）
（b） （d）
44 a b = = 80 34 46
36 = c = d 34 46 80
1、 提出无效假设与备择假设 H0：注不注疫苗差异不显著， 注不注疫苗差异不显著，即发病与 注射疫苗无关。
注射疫苗无关。
HA：注不注疫苗差异显著， 注不注疫苗差异显著，即发病与注 射疫苗有关。
射疫苗有关。
2、 计算χ2 df＝（2-1）（2-1）＝1，需矫正。
需矫正。
计算理论次数： 计算理论次数：
a=44×34/80=18.7 b=44×46/80=25.3 c=36×34/80=15.3， d=36×46/80=20.7
(|12−18 .7 | −0.5) (|32− 25 .3| −0.5) + χ = 18.7 25.3 2 2 (| 22−15 .3| −0.5) (|14− 20.7 | −0.5) + + 15.3 20.7 = 7.944
2 c 2 2
3、统计推断： 统计推断：
χ20.05（1）＝3.84， χ20.01（1） = 6 . 6 3 ，
2 χc
>χ20.01（1），P<0.01，该疫苗是有预防效
果是极显著的。
果是极显著的。
表现为注射组发病率极显著低于未注射组。
表现为注射组发病率极显著低于未注射组。
上一张 下一张 主 页
退 出
2×2列联表简式列联表简式：：
此式不需计算理论次数此式不需计算理论次数，，计算简便计算简便，，且舍......)2/..(21212
211222112
T T T T T T A A A A c −−=χ944.74436463480)280|22321412(|2=××××−×−×=c χ
【例】用甲药治疗6头病畜，痊愈3头，未愈3头，乙药治疗8头病畜，痊愈7头，未愈1头。
结果见表，问两药疗效有无差异？
表不同药物的治疗结果14410合计T.j
81（2.285 7）7（5.714 3）
乙药63（1.714 3）3（4.285 7）
甲药合计T i .未愈痊愈
药物
在合计6、8与合计10、4不变时，有5种四格表表不同组合结果
表中︱A -T ︱算法是算法是：：以1为例为例，，4个A 值（2、4、8、0）分别减对值均是2.2857，即︱A -T ︱=2.2857。
1.714 30.714 30.285 71.285 72.285 7︱A -T ︱
0.069 90.335 70.419 60.159 80.015 0
p 6 0 4 4 5 15 3 4 2 6 2 3 37 1 2 4
8 0
5
4321组合
1.H0：甲、乙两药疗效无差异
HA ：甲、乙两药疗效有差异。
2.计算概率值
的概率相加即可P1P2P56!8!10!4!0.015014!2!4!8!10!
==6!8!10!4!0.159814!3!3!7!1!
==6!8!10!4!0.069914!6!0!4!4!
==
P=P1+P2+P5=0.015 0+0.159 8+0.069 9=0.245。
列数为c（c≥3）的列联表。
d f = (2-1)
的列联表。
不需矫正。
，不需矫正
表2×c 联列表一般形式
表两地水牛体型分类统计。
《卡方检验正式》课件
卡方检验的结果可以直接解释为实际意义 ，例如，如果卡方值较大，则说明观察频 数与期望频数存在显著差异。
缺点
对数据要求高
卡方检验要求数据量较大，且各分类的期望频数不能太小，否则可能 导致结果不准确。
对离群值敏感
卡方检验对离群值比较敏感，离群值可能会对结果产生较大的影响。
无法处理缺失值
卡方检验无法处理含有缺失值的数据，如果数据中存在缺失值，需要 进行适当的处理。
案例二：市场研究中的卡方检验
总结词
市场研究中，卡方检验用于评估不同市 场细分或产品特征与消费者行为之间的 关联。
VS
详细描述
在市场研究中，卡方检验可以帮助研究者 了解消费者对不同品牌、产品或服务的偏 好。例如，通过比较不同年龄段消费者对 某品牌的选择比例，企业可以更好地制定 市场策略和产品定位。
案例三：社会调查中的卡方检验
小，表示两者之间的差异越小。通常根据卡方值的概率水平来判断差异
是否具有统计学显著性。
02
卡方检验的步骤
建立假设
假设1
观察频数与期望频数无显著差异
假设2
观察频数与期望频数有显著差异
收集数据
从样本数据中获取观察频数 确定期望频数，可以使用理论值或预期频数
制作交叉表
将收集到的数据整理成二维表格形式，行和列分别表示分类变量
卡方检验的基本思想
01
基于假设检验原理
卡方检验基于假设检验的原理，通过构建原假设和备择假设，利用观测
频数与期望频数的差异来评估原假设是否成立。
02
比较实际观测频数与期望频数
卡方检验的核心是比较实际观测频数与期望频数，通过卡方值的大小来
评估两者之间的差异程度。
03
卫生统计学：第八章 χ2检验
-
6（c）
54（d）
60
合计
30
90
120
配对四格表资料的χ2检验
配对设计
对子号
甲
乙
1
+
+
2
+
-
…
…
…
120
-
-
成组设计
编号 剂量组 结果
1
甲
+
2
乙
+
…
…
…
120
甲
-
甲、乙两种真菌培养基的培养结果
乙
甲
合计
(+)
(-)
(+) 24（a） 36（b） 60
(-) 6（c） 54（d） 60
合计 30
90
6
4
2
9
2.19*
0.0568*
8
7 1
3 10
3.19
0.0065
8
2
9
0
11
4.19
0.0002
* 为实际数据的四格表
d )!
！：阶乘
例8.4
表8.12 某中药制剂预防HIV垂直传播临床试验
组别
新生儿HIV阴性 新生儿HIV阳性 合计
中药制剂
6（a）
4（b）
10
对照组
2（c）
9（d）
11
合计
8
13
22
N=22<40，采用Fisher确切概率计算法 周边合计最小是8，共计可获得8+1=9种组合的四格表
Fisher’s exact probability
=2， x2 =5.99
第八章卡方检验ppt课件
2 (A T )2
T
2
(ad bc)2 n
(a b)(c d)(a c)(b d)
当n ≥40 ，且某格子出现1≤ T＜5时，用校正公式：
2 ( A T 0.5)2 T
( ad bc n)2 n
2
2
(a b)(c d )(a c)(b d )
如果样本例数不是很大，计算时应先估计表中最小的T值。
17
设有k个相互独立的标准正态分布随机变量Z1、Z2…..Zν ，则Z12+Z22+…+Zν2的分 布服从自由度为ν的x2分布，记为x2（v）。 ν是指上式中包含的独立变量的个数。
当ν趋于∞时， x2分布逼近正态分布。各种自由度的x2分布右侧尾部面积为α时 的临界值记为x2（α，v）
=1 =2
=3 =4
组对象其它方面“同质”的前提下才能比较两个频率，才能进行2×2列联表 的x2检验。
26
小结
1、2检验的基本思想
2、四格表资料2检验，通常规定： （1） n ≥ 40，且T ≥ 5时，用2 检验基本公式和专用公式 （2） n ≥ 40，但有1≤ T<5时，用四格表2检验校正公式 （3） n< 40，或T<1时，改用fisher确切概率法 （4）连续性校正仅用于ν＝1的四格表资料。
表 8-6 儿童急性白血病患者与成年人急性白血病患者的血型分布
分组 A 型 B 型 O 型 AB 型
合计
儿童 30 38 32 12
112
成人
19 30 19
9
77
合计 49 68 51 21
2 0.005,2
10.60
32.74 2
2
• 认为因三而种P＜药0物.0的05治,在疗α效=0果.05不水全准相上同拒。绝H0.00，05接,2受H1，差别有统计学意义。可以
8_八、卡方检验 PPT课件
相关问题－两个率或构成比的比较
分别指定行列 变量到Row（s） 和Columns中。
浙浙江江大大学学医医学学院院流流行行病病与与卫卫生生统统计计学学教教研研室室 沈沈毅毅
相关问题－两个率或构成比的比较
浙浙江江大大学学医医学学院院流流行行病病与与卫卫生生统统计计学学教教研研室室 沈沈毅毅
相关问题－两个率或构成比的比较
浙浙江江大大学学医医学学院院流流行行病病与与卫卫生生统统计计学学教教研研室室 沈沈毅毅
两分类变量间关联程度的度量
浙浙江江大大学学医医学学院院流流行行病病与与卫卫生生统统计计学学教教研研室室 沈沈毅毅
两分类变量间关联程度的度量
分别指定 行列变量到 Row（s）和 Columns中。
浙浙江江大大学学医医学学院院流流行行病病与与卫卫生生统统计计学学教教研研室室 沈沈毅毅
卡方检验基础－用途
检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布一致，如是否符合正 态分布，Possion分布等
检验某个分类变量各类的出现概率是否等于指定概率 检验两个分类变量是否相互独立，如吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验控制某种或某几种分类变量因素的作用之后，另两个分类变量 是否独立，如上例控制年龄、性别之后，吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验两种方法的结果是否一致，如两种诊断方法对同一批人进行诊 断，其诊断结果是否一致
卡方检验基础
2检验是以2分布为基础的一种假设检验方法，主 要用于分类变量，根据样本数据推断总体的分布与 期望分布是否有显著差异，或推断两个分类变量是 否相关或相互独立。其原假设为：
H0：观察频数与期望频数没有差别
浙浙江江大大学学医医学学院院流流行行病病与与卫卫生生统统计计学学教教研研室室 沈沈毅毅
Odds Rati o for Newspaper subscri pti on (Yes / No) For cohort Response = Yes For cohort Response = No N of Val id Cases
《卡方检验》课件
制作交叉表
确定交叉表的行列变量
根据研究目的和内容，选择合适的行列变量，构建交叉表。
制作交叉表
将分组后的数据按照行列变量制作成交叉表，以便于进行卡 方检验。
计算理论频数
确定期望频数
根据交叉表中的数据，结合各组 的概率计算期望频数。
计算理论频数
根据期望频数和实际频数计算理 论频数，为后续的卡方检验提供 依据。
计算卡方值
计算卡方值
使用卡方检验的公式计算卡方值，该 值反映了实际频数与理论频数的差异 程度。
自由度的确定
在计算卡方值时，需要确定自由度， 自由度通常为行数与列数的减一。
显著性水平的确定
选择显著性水平
显著性水平是衡量卡方值是否显著的指标，通常选择0.05或0.01作为显著性水 平。
判断显著性
根据卡方值和自由度，结合显著性水平判断卡方检验的结果是否显著，从而得 出结论。
3.84、6.63等），可以确定观测频数与期望频数之间的差异是否具有统
计学显著性。
02
卡方检验的步骤
收集数据
确定研究目的
制定调查问卷或收集程序
在开始收集数据之前，需要明确研究 的目的和假设，以便有针对性地收集 相关数据。
根据研究目的和内容，制定合适的调 查问卷或建立数据收集程序，确保数 据的完整性和准确性。
详细描述
例如，在市场调研中，我们可以通过卡方检验来分析不同年龄段、性别、职业等 人群对于某产品的态度或购买意愿是否有显著差异，从而为产品定位和营销策略 提供依据。
实际案例二：医学研究中的应用
总结词
在医学研究中，卡方检验常用于病例 对照研究和队列研究中的分类变量关 联性分析。
详细描述
例如，在病例对照研究中，我们可以 通过卡方检验来比较病例组和对照组 在某些基因型、生活方式或暴露因素 上的分布是否有统计学差异，从而探 讨病因或危险因素。
9第八章 卡方检验
也称卡方检验。 检验也称卡方检验 χ2 检验 也称卡方检验 。 是英国统计 学家Pearson于 1900年提出的一种应 于 学家 年提出的一种应 用范围很广的假设检验方法， 用范围很广的假设检验方法，可用于 检验两个率间的差异； 检验两个率间的差异 ； 检验多个率 (或构成比 间的差异；判断两种属性 或构成比)间的差异 或构成比 间的差异； 或现象间是否存在关联性； 或现象间是否存在关联性；了解实际 分布与某种理论分布是否吻合； 分布与某种理论分布是否吻合；判断 两个数列间是否存在差异等。 两个数列间是否存在差异等。
计算公式
(a + b)!(c + d )!(a + c)!(b + d )! P= a!b!c!d!n!
式中ａ、ｂ、ｃ、ｄ 和ｎ的意义同前 ， ！为阶乘符号。0！＝ 1， 为阶乘符号。 1！＝ 1 ，3！＝ 3×2×1 ＝ 6。
（三）求Ｐ值的步骤
• 1 . 列四格表 。 使四格表周边合计数 列四格表。 不变， 不变 ， 依次增减四格表中任一格子 的数据，列出所有可能的四格表。 的数据，列出所有可能的四格表。 • 列四表格的数量 ＝ 最小合计数 ＋ 1 。 列四表格的数量＝ 最小合计数＋ • 如例 8 -3 ， 增减 ａ 格的数据 ，得 9 个 如例8 格的数据， 四格表。 四格表。
χ2分布的特点
• ⑴ χ2 分布的形状依赖于 ν 的大小 ： 当 ν≤2 时 ， 曲线呈 L 型 ； 随着 ν 的增加 ， 曲线呈L 的增加， 曲线逐渐趋于对称； →∞时 曲线逐渐趋于对称 ； 当 ν→∞ 时 ， 分布 趋近于正态分布。 趋近于正态分布。 • ⑵χ2分布具有可加性：如果两个独立的 分布具有可加性： 随机变量X1和X2分别服从ν1和ν2的χ2分 那么它们的和( 也服从( 布，那么它们的和(X1＋X2)也服从(ν1＋ ν2)的χ2分布。 分布。
第八章 卡方检验
20（25.8） 24（18.2） 21（15.2） 5（10.8） 41 29
表8-1中是两组样本的频数分布。我们的问题是 这两个频数分布的总体分布是否相等？或者这 两份样本是否来自同一个总体？ 因为这里是二分类变量，问两个总体分布是否 相等就相当于问两组样本的总体有效率是否相 等。 四个格子的数据20、24、21、5是基本数据，其 余的数据44、25、41、29、70都是从这四个数 据计算得来的，因此，该表称为四格表 （fourfold table ），又称为2 × 2列联表。 在此四格表中， 20、24、21、5是实际频数A， 在这四个数字旁边括号内的数字是理论频数T， 通过实际频数和理论频数的差异的大小可以确 定 χ2 检验中检验统计量的大小。
2（d）0.85 14（固定值） 5 （固定值） 82 （固定值）
假设检验的过程
1.建立假设： H0 ： π 1 = π 2 H1 ： π 1 ≠ π 2 2.确定显著性水平， α取0.05。 3.确定比当前表格更极端表格的组合数，并计算 概率值P。 4.做出结论
在边缘合计数不变的条件下，比当前四 格表更极端的组合情况可根据最小的理 论频数所在的格子来寻找。本例中为d。 实际频数为2，理论频数为0.8536。差值 为1.15。所以d取值为2，3，4，5，这4 种组合就是满足条件的四格表。计算它 们的概率之和为0.20。 因为P > 0.05；不拒绝H0，差异无 统计学意义，还不能认为两组患者的 病死率存在差异。
42 2 ( 2 × 9 − 26 × 5 − ) × 42 2 2 χ = 28 × 14 × 7 × 35 = 3.62
V=（2-1）（ （ ）（2-1）=1 ）（ ）
=3.62 < 3.84， P > 0.05；不拒绝H0， 差异无统计学意义，还不能认为两个年级学生 的近视眼患病率有差异。
第八章卡方检验-精选文档
第一节 行×列表资料的χ2检验
表8-1 三 个 不 同 地 区 血 型 样 本 的 频 数 分 布 地 区 亚 洲 欧 洲 北 美 洲 合计 A 321 258 408 987 B 369 43 106 518 A B 95 22 37 154 O 295 194 444 933 合 计 1080 517 995 2592
在进行多个样本率或构成比的比较时，可将原始资料整理成 频数表。当行或（和）列数超过2组时，统称为行×列表， 或称Ｒ×Ｃ表。
例8-1 某研究人员收集了亚洲、欧洲和北美洲人的A、B、AB、 O血型资料，结果见表8-1所示，其目的是研究不同地区的人 群血型分类构成比是否一样。
表 8-1 三个不同地区血型样本的频数分布 地区 亚洲 欧洲 北美洲 合 计 A B AB O 295 388.75 194 186.10 444 358.15 933 36.00 合计 1080 517 995 2592 100.00
2 1 2 .5 9 0 .0 5 ， 6
P0 .0 5
在α =0.05检验水准上，拒绝H0，认为三个不同地区的人群血 型分布构成的差别有统计学意义，说明三个不同地区的人群血 型分布构成不同或不全相同。
例8-2 某研究人员欲研究某新药治疗失眠的效 果，将122名患者随机分成三组，分别服用新药、 传统治疗失眠药和安慰剂，并跟踪观察三组患者 的治疗情况，结果如表8-2所示，试问三种药物 的疗效是否一样？
对例8-3做行列表χ 2检验的步骤如下：
1.建立检验假设并确定检验水准 H0：3种治疗方案的有效率相同 H1：3种治疗方案的有效率不同或不全相同 α =0.05 2.计算检验统计量χ 2值
2 2 2 2 A 5 1 4 9 1 5 2 n 1 2 5 4 1 n n 1 0 0 1 4 51 0 0 1 0 9 7 4 1 0 9 R C 22.81
R×C表卡方检验
2020年月27日
（1） 新复方与安慰剂比较：列出表A，
2=30.50，P=0.000，按α’=0.025水准
拒绝H0，可以认为新复方治疗高血压有效。
表A 新复方与安慰剂比较
药物
有效
无效
新复方
35
5
安慰剂
7
25
合计
42
30
合计 40 32 72
2020年4月27日
（2）降压药与安慰剂比较：列出表B，
2020年4月27日
R×C表2 检验应注意的问题
❖2.多组比较时，若效应有强弱的等级，如+，++
，+++，最好采用后面的非参数检验方法。 2检
验只能反映其构成比有无差异，不能比较效应的 平均水平。 ❖3.行列两种属性皆有序时，可考虑趋势检验或 等级相关分析。
❖4.多个率比较的2检验，结论为拒绝H0时、需
2020年4月27日
相关性分析
结果分析： Spearman等级相关系数＝0.214，近似概率P
＝0.001<0.05，可认为行和列两等级变量之间的总体相关系 数不等于0，两变量之间有一定的相关关系。
2020年4月27日
线性趋势检验
结果分析： MH 2 ＝10.281，近似概率P＝0.001<0.05，
拒绝H0，可以认为三种疗法效果不同。
2020年4月27日
三、两组或多组构成比的比较
例8-5 用三种治疗方法治疗199例消化性 溃疡住院病人资料如表8-6，试分析三组 病人按4种中医分型的构成比有无差别。
2020年4月27日
表8-6 三种消化性溃疡住院病人四种证型的构成
中医分型 疗法 肝胃不和 胃阴不和 脾胃虚寒 寒热夹杂 合计
第八章 检验(卡方检验)
乙疗法
45
50
95
47.37
合计
97
84
181
53.59
6. 2界值表
表 8-4 2 界值表
自由度
概率：（P）
0.05
0.01
1
3.84
6.63
2
5.99
9.21
3
7.81 11.34
4
9.49 13.28
…
20 31.41 37.57
图8.1 不同自由度的2分布曲线图
小结：2检验的基本思想
2
A T 2
1、四格表资料的2检验
• 基本公式：
专用公式：
2
A
T T
2
2
(ad bc)2 n
(a b)(c d)(a c)(b d)
应用条件：n≥40,且T≥5。 SPSS 输出结果选择：
• 校正公式：
Pearson’s Chi-Square。
2
( AT
0.5)2
T
2 (| ad bc | n / 2)2 n
34
86
60.47
乙疗法
45
50
95
47.37
合计
97
84
181
53.59
男 女 合计
表 8-2 四格表资料示意
有
无
a（A11） c（A21）
a+c
b（A12） d（A22）
b+d
合计 a+ b c+d n
2. 检验假设: π1=π2=π，如检验假设成立，则两样本合计率 是π的最佳估计值。
3. 理论频数：
TRC = n R n C / n n R 为第R行合计数， n C为第C列合计数。 如：T11=86×97/181=46.09 T21=95×97/181=50.91