湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(一)数学(文)试题答案
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雅礼中学 # 一 $ " % 届高三月考试卷
数学 文科 参考答案
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2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(一)数学(文)试题含答案
2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（一）数学（文科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．已知集合{}{}2lg(4),2,0,1,2A x y x B ==-=-，则A B =A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,01,2-2．在复平面内，复数121i i-+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3执行如图所示的程序图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为A ．7B ．8C ．12D ．164．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．3C ．4D ．55．已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A ． 1.234y x ∧=+B ． 1.230.8y x ∧=+C ． 1.230.08y x ∧=+D ． 1.230.08y x ∧=-6．在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则20193log a 等于 A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．20207．设()s i n ()c o s ()5f x a x b x παπβ=++++，且(2018)2f =，则(2019)f 等于 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8-8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为A ．32π B．π．52π+．32π+9．将函数sin 2y x =的图象向右平移16π个单位后得到的函数为()f x ，则函数()f x 的图象 A ．关于点（12π，0）对称 B ．关于直线12x π=对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于点（5,012π）对称 10．若函数6,2()(03log ,2x a x x f x a x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1a ≠）的值域是［4，＋∞），则实数a 的取值范围是A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2,)+∞ D．(1 11．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是饨角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(1,2) C．[1,1 D ．(2,)+∞12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．32-B ．2-C ．43- D ．1- 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13．锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC 的面积为BC ＝_______。
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|log 4Mx x =<，{}|21N x x =≥，则M N ∩=（）A.{}08x x ≤< B. 182xx≤<C.{}216x x ≤< D. 1162xx≤<2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ）A.3B.2C.－2D.－33.已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B.1C.D.24.函数sin exx xy =的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−，则k m +的值为（ ）A 1B.2C.-1D.-2.6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++−=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -38. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A 6πB. 9πC.31π4D. 21π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα +=B. 函数()2sin 23f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π=+的图象.C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π=+−单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈D. ()22tan 1tan xf x x =−的最小正周期为2π 10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A −组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11A C D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存极值点.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a −⋅−<，则下列选项正确的是（ ）的在A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=−=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x −≤ =−>，则函数()()g x f x =的零点个数为______. 15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ′′，则20n n n y y =′=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CACB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离.18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c �已知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1−分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N∗+=+∈.（1）令11n n n b a a +=−+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 设函数()()2cos 102x f x x x =−+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n =∈N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =−，证明：1217 (6)n k k k n −+++>−.的大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4Mx x =<，{}|21N x x =≥，则M N ∩=（ ）A. {}08x x ≤< B. 182xx≤<C. {}216x x ≤<D. 1162xx≤<【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.详解】{}{}2|log 4|016Mx x x x =<=<<，1|2N x x=≥ ，则1162M N x x ∩=≤<.故选：D.2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3 B. 2C. －2D. －3【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d = += 即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7， 设等差数列的公差为d ，所以11+27516a d a d = += ，解之得3d =.故选：A.3. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）【A.B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，得122z z +=， 所以()21221i 1i z z =−=−+=−，所以21i z =−=法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，得122z z ⋅=， 所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ===++.故选：C . 4. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x −−−−===，所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy >，排除C 选项. 故选：D.5. 已知220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−，则k m +的值为（ ） A. 1 B. 2C. -1D. -2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x −为方程220x kx m +−=的一个根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−， 所以=1x −为方程220x kx m +−=的一个根， 所以2k m +=． 故选:B ．6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10R ABAC=，100tan10RBC =−=− ， 25250.760.985RR ==， 故选:B.7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++−=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==−=−. 【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x −，又由()()40f x f x ++−=，得()()4f x f x +=−−，所以()()()846f x f x f x +=−−−=−+，所以()()2f x f x +=−，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==−=−．故选:B ．8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE，则CE BE ==，AE DE ==，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF=4AF =，点O 为最大球球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ， 设最大球的半径为R ，则OF OM R ==， 因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF==1R =， 即1OM OF ==，则413AO =−=，故1sin 3OM EAF AO ∠== 设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ， 连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =−=−， 又JK a b =+，所以33b a a b −=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=−=−，故432b R =−=，解得12b =， 所以14a =， 模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +×+×=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα +=B. 函数()2sin 23f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π=+的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π=+−的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈D. ()22tan 1tan xf x x =−的最小正周期为2π 【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα+，知A 正确； 根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确； 利用二倍角公式化简得到()f x ，由正切型函数的周期性可求得结果知D 正确.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα++−+===，A 正确； 对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π−=，即()2sin 2g x x =，B 错误；对于C ，()13sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π=+=++， 则由222262k x k πππππ−+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ−+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈，C 正确； 对于D ，()22tan tan 21tan xf x x x ==−，tan 2y x ∴=的最小正周期为2π，D 正确.故选：ACD.10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A −组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11A C D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ， 但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11A C D ， 平面11AC D ∩平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确； 对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R ， 所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确； 对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A的点D 到平面11ACC A 的最大距离为R ，所以D 正确. 故选：BD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x −−=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x −−，故()()0e e x xa b b a −−+−=， 即()()2e =xa b a b −−，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b −+−+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b −+−+++，因为e 0x >，e 0x −>，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xa f xb −−′，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxa xb f −−>′恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxa xb f −−<′恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==ex xxxa ba b f x −−−′， 令()=0f x ′得1=ln 2bx a，又0ab >， 若0,0a b >>，当1,ln 2b x a∈−∞，()0f x ′<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a∈−∞，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a∈+∞，()0f x ′<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a −⋅−<，则下列选项正确的是（ ）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a −⋅−<可得：20221a −和20231a −异号，即202220231010a a −> −< 或202220231010a a −<−> . 而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q −=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =−<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a = ()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ×= ()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=−=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=−=，可得(1,1)a bλ+=+ ， 又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b ba λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=−， 所以(2,4)a =−−，所以a =故答案为：14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x −≤ =−>，则函数()()g x f x =零点个数为______. 【答案】3 【解析】【分析】令()0g x =得()f x =，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象如下：由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点， 故答案为：3.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.的【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D −中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边，所以其面积为26S .16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ′′，则20n n n y y =′=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914 【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y ′=+=，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y ′=+=，则()20201192000011.111.121.1201.1211.1n n n n n y y n =′=+=×+×++×+×∑∑L ， 可得2012202101.111.121.1201.1211.1nn n yy =′×=×+×++×+×∑L ，两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.1211.1211.11 1.1n n n y y =−′−×=+++−×=−×−∑L 2121221 1.10.1211.11 1.118.1491.40.10.10.1−+××++====−−−−， 所以20914nn n yy =′=∑.故答案为：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CACB ==，AB =13AA =，M 为AB 中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)利用等体积法求解.的【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ， 则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点， 所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM . 【小问2详解】连接1AB ,因为2CACB ==，所以CM AB ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ∩=,所以CM ⊥平面11ABB A , 又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC 是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112CMB S CM MB =⋅=△1111222ACM ACB S S CA CB ==×⋅=△△, 设点A 到平面1B CM 的距离为d ， 因为11A B CM B ACM V V −−=,所以111133B CM ACM S d S AA ××=×× ,所以11ACM B CMS AA dS ×= .18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c �已知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）2516. 【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12ba C R Ab A R === ，然后等量代换出2211a b +，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【小问1详解】 证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B −=−， 所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B −=−, 所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B = 因为A 为锐角，即cos 0A ≠ ， 所以sin cos sin cos B C C B =， 所以tan tan =B C ， 所以B C =. 【小问2详解】 由（1）知：B C =， 所以sin sin B C =， 因为sin 1a C =， 所以1sin C a=， 因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b aR A B R=， 所以sin 2sin sin 12b a C R A b A R=== ,所以1sin A b =， 因为2A B C C ππ=−−=− ，所以1sin sin 2A C b==， 所以222211sin sin 2a bC C++ 221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C −+−=−−+因为ABC 是锐角三角形，且B C =， 所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C −<<， 当1cos 24C =−时，2211a b +取最大值为2516， 所以2211a b +最大值为：2516. 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1−分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算. 【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1111233P A =×−= ，()1111224P B =×−= ， 甲的得分X 的可能取值为1,0,1−，()()()()11111346P X P AB P A P B =−===−×= ，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+=×+−×−=()()()()11111344P X P AB P A P B ====×−= ，所以X 的分布列为：()1711101612412E X =−×+×+×=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ==， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P =×=， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分的概率为2233111C 4632P =×= ， 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P =××=， 所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=.20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N∗+=+∈.（1）令11n n n b a a +=−+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3n =. 【解析】 【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +−+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c −−=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=， 11n n n b a a +=−+ ，则12112b a a −+，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++−−=−+=+−+−+=−+=，所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b −=×=；（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +−=−，可得2123211212121n n n a a a a a a −−−=− −=−−=− ， 累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n −−−−=+++−−=−−=−−− ，21n n a n ∴=−−.213n n n n c −−∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++−+−−−==， 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++−−−−+−∴−=−=， 令()212nf n n =+−，则()11232n f n n ++=+−，所以，()()122nf n f n +−=−.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =−<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> . 所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +−=或11n n a a q −=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n −= = −≥ 进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S −与1n a −的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n −−=，即第n 项与第n 1−项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a −=，即第n 项与第n 1−项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：�一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b −=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）. 一般化方法：设()1n n a m k a m −+=+，得到()1b k m =−，1b m k =−，可得出数列1n b a k+ −是以k的等比数列，可求出n a ；�取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p∗−−=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b −=+的式子； �1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N ∗∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用�中的方法求解即可. 21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，�双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，�双曲线E 的标准方程为221169x y −=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −±，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−= ，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， �CD 的方程为8x my =+，�直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −= ，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=．将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−．整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． �CD 的方程为8x my =+，�直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22. 设函数()()2cos 102x f x x x =−+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n =∈N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =−，证明：1217 (6)n k k k n −+++>−. 【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. （2）见解析 【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥−≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>−×，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式. 【小问1详解】()sin f x x x ′=−+，设()sin s x x x =−+，则()cos 10s x x ′=−+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数， 故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. 【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥−≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =−+≥，则()2cos 1()02x u x x f x ′=−+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数， 故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥−≥恒成立. 当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i ig g k ++++ − ==− − 11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++=−=×−由（1）可得()2cos 102x x x ≥−>，故12311cos 1022i i ++≥−>， 故111112311112sin2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++ ×−≥×−−1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++ ×−≥−− × 2222224422117111711111622626262i i i i i +++++ =−−=−×+×>−× × , 故1214627111...16222n nk k k n −+++>−−+++41111771112411166123414n n n n −− =−−×=−−×−× −771797172184726n n n n =−−+×>−>−. 【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(六)数学(文科)试题含答案
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2019湖南长沙市雅礼中学高三上学期11月月考(三)数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．复数(i为虚数单位)等于A ．1B ．C ．iD ．2．若集合，则 A ． ， B ． ， C ． D ．3．已知向量 ，向量 且 ，则实数x 等于 A ．9 B ．4 C ．0 D ．4．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为 A ．12-B ．2-C ．12D ．25．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a =A ．1±B ．4±C ．D ．2±6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是 ，若角成等差数列，且 ，则 的值是A ．B ．C ．D ．7．如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则A ．B ．C ．D ．08．把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．B ．C ．D ．9．不等式组所表示的平面区域的面积等于A ．B ．C ．D ．10．阅读右面的程序框图，则输出的S=A ．14B ．20C ．30D ．5511．函数则集合 中元素的个数有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个12．已知定义在R 上的函数 满足 且 时，，则A ．1B ．C ． D．二、填空题13．已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm3.14．已知＞0，＞，则的最小值为________．15．已知点，又是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________．16．若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是________________．三、解答题17．设数列的前项和为，且．(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项的和．18．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，、分别是AB、PD 的中点．(1)求证：平面PCD．(2)求三棱锥的体积．19．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a和n的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数和中位数m；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：．20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，若．(1)求抛物线的方程；(2)若AB的中垂线交抛物线于C、D两点，求过A、B、C、D四点的圆的方程．21．已知函数．(1)若是的极值点，求的值，并求的单调区间；(2)在（1）的条件下，当时，求证：．22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知某圆的极坐标方程为（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II）若点在该圆上，求的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算可得结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】算出后可计算.【详解】，，故，选B.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3．A【解析】【分析】算出的坐标利用可得的值.【详解】，又，故，所以，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.4．A【解析】试题分析：159553,3a a a a aππ++===，()()28521cos cos2cos32a a aπ+===-.考点：数列，三角函数．5．B【解析】试题分析：圆心为()3,1，半径为2，由于圆上有3个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离等于1，即1,4d a===±.考点：直线与圆锥曲线位置关系.6．D【解析】【分析】利用余弦定理可得，结合成等差数列可得，从而.【详解】由余弦定理可以得打，又成等差数列，故，所以，，，所以，因，所以为等边三角形，故，选D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.7．C【解析】略8．C【解析】，将其图像向左平移个单位长度后得到函数的图象，则其对称轴为即，所以，则。
2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(二)数学(文)试题
雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。
8、本科目考试结束后，请将试卷自行保管，以供教师讲评分析试卷使用。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1．已知命题p ：2,0x R x ∀∈>，则A ．命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为假命题 B ．命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C ．命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D ．命题p ⌝：200x ∃≤，为真命题2．已知i 是虚数单位，则41()1i i+-等于 A ．i B ．—i C ．1 D ．—1 3．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是 A ．13 B ．16 C ．14 D ．1124．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，一2），则它的离心率为A B C D 5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则()()AB AC AB DB +⋅-的值为A ．32-B ．32C ．34-D ．346．已知0x 是11()()2x f x x=+的一个零点，1020(,),(,0)x x x x ∈-∞∈，则A ．f (x 1)<0,f (x 2)<0B ．f (x 1)>0,f (x 2)>0C ．f (x 1)>0,f (x 2)<0D ．f (x 1)<0,f (x 2)>07．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且a 1、12a 3、2a 2成等差数列，则91078____a a a a +=+A ．3+B ．1C ．1D ．3-8．函数2sin 2xy x =的部分图象可能是9．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π10若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=+++<的图象关于点(,0)6π对称，则f （x ）的单调速增区间为A ．5[,],36k k k z ππππ++∈ B ．[,],63k k k z ππππ-++∈C ．7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈D ．5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 11．设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为A B ．12 C ．1 D ．e12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为A ．3 B ．23 C ．1 D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21題为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23題为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知函数2()2()log xa f x +=，若f （2）＝0，则a ＝_____。
湖南省长沙市雅礼中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
增，所以1
h(x)
Hale Waihona Puke e2．当k
1
时，
g
'( x)
0
，
g(x)
在 [0,
]上递增，
g(x)
g (0)
0
，符合题意；当
2
k
e2
时，
g
'( x)
0
，
g(x)
在 [0,
] 上递减，
g(x)
g (0)
0
，与题意不合；当1
k
e2
时，
g ( x)
为一
2
个递增函数，而
g
'(0)
1
k
0
，
g
'( )
2
e2
k
0
，由零点存在性定理，必存在一个零点
2． 【答案】D 【解析】
考 点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f x 0 将函数变为两个函 数 g x ex 2x 1 , h x ax a ，将题意中的“存在唯一整数，使得 g t 在直线 h x 的下方”，转化为 存在唯一的整数，使得 g t 在直线 h x ax a 的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得 m 的取值
湖南省长沙市雅礼中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】由已知等式，得 c 3b cos C 3c cos B ，由正弦定理，得 sin C 3(sin B cos C sin C cos B) ，则 sin C 3sin(B C) 3sin A ，所以 sin C : sin A 3 :1 ，故选 C．
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考二数学(文)试题(解析版)
雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知命题，则（）A. 命题：，为假命题B. 命题：，为真命题C. 命题：，为假命题D. 命题：，为真命题【答案】D【解析】【分析】命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【详解】命题，则命题：，为真命题故选：D【点睛】本题主要考查了命题的否定的写法，属于基础题．2.已知是虚数单位，则（）A. B. C. 1 D. —1【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除法运算即可得到结果.【详解】=，故选：C．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3.“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（）A. B. C. D.【解析】【分析】先排好医字，共有种排法，再排国字，只有一种方法.【详解】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n==3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=．故选：A【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．4.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【详解】∵渐近线的方程是y=±x，根据对称性，图象也过∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：C．【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.已知是边长为1的等边三角形，为中点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由题意得到，进而由线性运算及数量积运算得到结果.【详解】∵是边长为1的等边三角形，为中点，∴而故选：B【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6.已知是的一个零点，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=﹣，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g （x）的大小，从而进行求解；【详解】∵已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），可令h（x）=，g（x）=﹣，如下图：当0＞x＞x0，时g（x）＞h（x），h（x）﹣g（x）=＜0；当x＜x0时，g（x）＜h（x），h（x）﹣g（x）=＞0；∵x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），∴f（x1）＞0，f（x2）＜0，故选：C．【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．7.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，所以，得，因此，故选A．考点：1、等比数列的通项公式；2、等比、等差数列的性质．8.函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【详解】设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点睛】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．10.若函数的图象关于点对称，则的单调速增区间为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点对称，求出θ的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．【详解】f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ），=2sin（2x+θ+），∵图象关于点对称，∴2×+θ+=kπ，（k∈Z）∴θ=kπ，（k∈Z），∵|θ|＜，∴，∴f（x）=2sin（2x+）；由（k∈Z）解得：（k∈Z）∴函数f（x）的增区间为．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把三角函数式化成标准形式，在求θ值时要注意其范围．11.设函数恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】的几何意义是函数上的点到直线上的点的距离的平方【详解】的几何意义是函数上的点到直线上的点的距离的平方，当切点为时，切线的斜率为1，到直线的距离为，∴．故选：B【点睛】不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，本题解题的关键是理解函数式隐含的几何意义.12.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知函数，若，则_____.【解析】【分析】推导出f（2）=log2（4+a）=0，由此能求出a的值．【详解】∵函数f（x）=log2（x2+a），f（2）=0，∴f（2）=log2（4+a）=0，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_______.【答案】12【解析】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积视频15.设的内角所对的边长分别为，且，则面积的最大值为_______.【答案】3【解析】【分析】利用余弦定理得出ac的最大值从而得出面积的最大值．【详解】由余弦定理可得cosB===，∴a2+c2=+4≥2ac，解得ac≤10，∴S△ABC=acsinB=≤3．∴△ABC面积的最大值是3．【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.已知数列满足，且，记为数列的前项和，则_______. 【答案】304【解析】【分析】由na n+1=（n+1）a n+n（n+1），变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式可得：，可得a n．由b n=a n cos=，对n分类讨论利用三角函数的周期性即可得出．【详解】∵，∴，∴数列是公差与首项都为1的等差数列．∴，可得．∵，∴，令，，则，，同理可得，，，．∴，，则．故答案为：304【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、三角函数的周期性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大題共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2当时，求函数的值城.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角函数的公式化简已知函数可得f（x）=，易得周期；（2）由x的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案．【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期为．（2）时，，∴．∴．∴的值域为．【点睛】本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属中档题．18.已知四棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，是侧棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证平面平面BDE，转证平面，即证（2）过点E作于H，则平面PBD，故为BE与平面PBD所成的角，解三角形即可得到结果．【详解】（1）由已知，平面ABCD，∵平面，又∵，∴平面．因平面EBD，则平面平面BDE．（2）法1：记AC交BD于点O，连PO，由（1）得平面平面BDP，且交于直线PO，过点E作于H，则平面PBD，∴为BE与平面PBD所成的角．∵，∴．∴．又，则．于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．法2：（等体积法）∵，∴E点到平面PBD的距离为．又，则．于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.19.二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数（单位年）与销售价格（单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：下面是关于的折线图.（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程，并预测当某辆型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（小数点后保留两位有效数字）（2）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预測在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,,.【答案】（1）万元；（2）11.【解析】【分析】（1）利用最小二乘估计公式计算、，写出z与x的线性回归方程，求出y关于x的回归方程，计算x=9时的值即可；（2）利用线性回归方程求出≥0.7118时x的取值范围，即可得出预测结果．【详解】（1）由题意，计算，，且，，利用最小二乘估计公式计算，∴，∴z关于x的线性回归方程是，又，∴y关于x的回归方程是；令，解得，即预测当某辆A型号二手车使用年数为9年时售价约1.46万元．（2）当时，，∴，解得，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。
精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期11月份月考数学(理)试题(原卷版)
2019届湖南雅礼中学高三上学期11月份月考试题第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集I 是实数集R ，都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为A.B.C.D. 2.设,其中是实数,则 ( )A. 1B.C.D. 2 3.已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D.4.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是学,科,网...学,科,网...A. 56B. 60C. 120D. 1405.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①；②；③；④.则输出的函数是（ ）A. B.C. D.6.若变量x，y满足则x2+y2的最大值是A. 4B. 9C. 10D. 127.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
”则下列说法错误的是（）A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C. 此人第三天走的路程占全程的D. 此人后三天共走了42里路8.如图，下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中为焦点．从左到右设图①②③中双曲线的离心率分别为，则A. B. C. D.9.已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（）A. B. C. D.10.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（）A. B. 4 C. 3 D.11.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为A. 36B. 42C. 49D. 5012.已知函数设，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为A. 31B. 32C. 33D. 34第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知{}是等差数列，是其前项和.若，=10，则的值是.14.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.15.若直线（都是正实数）与圆相交于两点，当（是坐标原点）的面积最大时，的最大值为__________．16.如图，在棱长为1的正方体中，作以A为顶点，分别以AB，AD，AA1为轴，底面圆半径为的圆锥．当半径r变化时，正方体挖去三个圆锥部分后，余下的几何体的表面积的最小值是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知三个内角的对边分别为，的面积满足．（1）求角的值；（2）求的取值范围．18.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，.（1）证明：；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.19.已知椭圆两焦点分别为是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．(1)求P点坐标；(2)求证：直线AB的斜率为定值；(3)求△PAB面积的最大值．20.十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．21.已知函数（Ⅰ）当时，取得极值，求的值；（Ⅱ）当函数有两个极值点，且时，总有成立，求的取值范围.22.在极坐标系中，曲线：，曲线： .以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值．23.已知函数．(1)若时，解不等式：；(2)对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期11月份月考数学(理)试题(精品解析)
2019届湖南雅礼中学高三上学期11月份月考试题第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集I是实数集R，都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，由图知阴影部分所表示的集合为故选B．【点睛】本题考查Venn图表达集合的关系及运算，解题的关键是根据图象得出再由集合的运算求出阴影部分所表示的集合．2.设，其中x，y是实数，则A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.3.已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，，所以命题为假命题；若函数为偶函数，即函数的图象向右平移1个单位后关于轴对称，所以的图象关于直线对称，所以命题为假命题。
由此可判断选项A 为真命题.考点：逻辑联结词与命题。
4.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A. 56B. 60C. 120D. 140【答案】D【解析】【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【详解】根据频率分布直方图，200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选：D．【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．5.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①；②；③；④.则输出的函数是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：对①，显然满足，且存在零点.故选A.考点：程序框图及函数的性质.6.若变量x，y满足则x2+y2的最大值是A. 4B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A（3，1）到原点距离最大，所以，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.【此处有视频，请去附件查看】7.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
精品解析：【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期11月月考(三)数学(文)试题(解析版)
雅礼中学2019届高三月考试卷(三)数学(文科)一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个，选项中只有一个选项是符合题目要求的．1.复数(i为虚数单位)等于A. 1B.C. iD.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算可得结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2.若集合A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】算出后可计算.【详解】，，故，选B.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3.已知向量，向量，则实数x等于A. 9B. 4C. 0D.【答案】A【解析】【分析】算出的坐标利用可得的值.【详解】，又，故，所以，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.4.已知数列为等差数列，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，.考点：数列，三角函数．5.若圆上有且仅有三个点到直线（是实数）的距离为1，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：圆心为，半径为，由于圆上有个点到直线的距离等于，所以圆心到直线的距离等于，即.考点：直线与圆锥曲线位置关系.6.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是，若角成等差数列，且的值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可得，结合成等差数列可得，从而.【详解】由余弦定理可以得打，又成等差数列，故，所以，，，所以，因，所以为等边三角形，故，选D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.7.如图，函数的图象在点处的切线方程是A. B. C. D. 0【答案】C【解析】略8.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，向左平移m个单位得，由于所得图象关于y轴对称，所以的最小值为，选C.考点：三角变换及三角函数的图象.9.不等式组所表示的平面区域的面积等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在坐标平面中画出可行域，求出直线与直线的交点后可求面积.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由得到，两条直线的纵截距分别为和，故不等式组对应的可行域的面积为，故选C.【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，如果是规范图形，则利用面积公式计算，如果不是规范图形，则需要把其分割成规范图形分别计算．10.阅读如下图的程序框图，则输出的S=A. 14B. 20C. 30D. 55【答案】C【解析】【分析】流程图的功能是计算，计算其和可得正确选项．【详解】执行第一次判断前，；执行第二次判断前，；执行第三次判断前，；执行第四次判断前，，此时，终止循环，故选C．【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.11.函数则集合中元素的个数有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】D【解析】【分析】令，考虑的解后再考虑的解可得集合中元素的个数.【详解】令，先考虑的解，由的解析式可以得到或，所以或，再考虑的解和的解，前者的解为或，后者的解即为①或的解，①一个解为，②有两解，它们与其他的解都相异，故集合有5个元素，选D.【点睛】复合方程的解实际上就是的解，有时方程组的具体解无法求得，但可以利用两个函数的图像估算交点的个数从而得到方程的解的个数.12.已知定义在R上的函数满足时，A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】为奇函数且为周期函数，周期为，所以，，利用奇函数的性质和给定的解析式可求函数值的和.【详解】因为且定义域为，所以为奇函数，又，所以是周期函数且周期为，所以.又，因为，所以，所以，故选C.【点睛】一个周期函数具有奇偶性且给定范围上的解析式已知，那么不在给定范围上的自变量的函数值的计算应通过周期性和奇偶性转化到已知的范围上进行计算.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________.【答案】【解析】试题分析：该几何体由一个正方体和三棱柱构成，正方体的体积为，三棱柱的体积为，则该几何体的体积为。