不等式的基本性质
不等式的基本性质
110,又 a0, aa0, 一
dc
dc
性质四
又 ab0,10, ab0,二
c cc
性质四
由一二可得
ab还0有,其a他 方b d c 法d吗 c
性质二
性质六
c> d > 0性质{四cc>d d o
c1 d1 0 cd cd
1 10 dc
课堂互动讲练
一．实数大小的比较
一数轴上的点与实数一一对应可以利用数轴上点的左
二．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实可以得到不等式的一些基
本性质：
一如果a＞b那么b＜a；如果b＜a那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a .
二如果a＞bb＞c那么
.a即＞ac＞bb＞c⇒ . a＞c
三如果a＞b那么a＋c> b＋. c
四如果a＞bc>0那么ac bc；>如果a>bc<0那么ac bc.
b是正数；如果a=b那么a-b等于零；如果a < b那么a-b 是负数；反过来也对.
用数学式子表示为:
表示等价于
a b a - b 0 a b a - b 0 a b a - b 0
基本理论
a b a-b 0；
a b a-b 0；
ab a-b0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序而右 边部分则是实数的运算性质合起来就成为实数的 大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质不仅 可以用来比较两个实数的大小而且是推导不等式 的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
20＞ 0
所以 （x+1)(x+2) ＞ （x-3)(x+6)
课堂小结与作业
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式；同解不等
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b<O L> a<b。
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数，3 3 2 2 2设x1, X2《(-m,+ m), X<X2, f(x i)_f(X 2)=X1 _X2 =(X1_X2)(X1 +X1X2+X2 )=(X1_X2)[(X l+ -)3+ X22]5 3再由(X什- )2+ X22>0, X1-X2<0,可得 f(X l)<f(X2), ••• f(X)为单增。
2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1)a>b三b<a (对称性)(2)a>b, b>c 二a>c (传递性)⑶ a>b = a+c>b+c (c € R)(4) c>0 时，a>b A，ac>bcc<0 时，a>b ac<bc。
运算性质有：(1) a>b, c>d —a+c>b+d。
⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。
⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。
⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的基本性质
等式的基本性质一：
等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个 整式 , 所得结果仍是等式。
如果 a = b , 那么 a + c = b + c (或 a – c = b – c ) 等式的基本性质二：
等式两边都乘以（或除以）同一个 数（除数 不能是零），所得结果仍是等式。
如果a = b , 那么 a c = b c（或 a／c =
2 ＜3 2 ×5 ＿ 3 ×5 2×0.3 ＿ 3× 0.3 10×2 10÷5 10＞－10 ＿ －10×2 ＿ －10÷5
2×（－1）＿ 3×（－1） 2÷（－3）＿ 3÷（－3）
10×（－3）＿－10×（－3）
10×（－7）＿－10×（－7）
思考并交流，你发现了不等式的那些性质？
不等式的基本性质二：
不等式的基本性质一：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式， 不等号的方向不变。
如果a﹤b , 那么a + c﹤b + c (或 a – c﹤b – c)
Hale Waihona Puke 如果a﹥b , 那么a + c﹥b + c (或 a – c﹥b – c)
做一做： 如果在不等式的两边都乘以（或除
以）同一个数，结果会怎样？完成下列填空。
b／c，c ≠ 0 ）
做一做: 如果在不等式的两边都加上（或减去）
同 一个整式，结果会怎样？完成下列填空。
2 ＜ 5
2 －1 ＿ 5 －1 2＋3 ＿ 5＋3
7 ＞ － 7
7 ＋2 ＿ － 7 ＋2
7－(－5）＿－7－（－5） 7 －3 ＿ －7 －3 7 －b ＿ －7 －b
2＋（－7）＿ 5＋（－7） 2 ＋a ＿ 5 ＋a
不等式的基本性质有哪些
不等式的基本性质有哪些基本性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。
不等式的基本性质有哪些1不等式8个基本性质如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；如果x>y，y>z；那么x>z；如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;如果x>y，z<0，那么xz<yz,即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。
2不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图、建模、构造法。
3基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
不等式的基本性质
(a b)( a b ) ( a b )( a b )2 ab ab 2 1 2 1 a 2 b 2 （定号） 0 ( ) ( ) a b b a
三、例题分析：
a b 例4:已知a 0, b 0，比较 ( ) ( ) b a 与 a b 的大小。
变式练习
已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a
＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想) 1 1 x＝ a＋ b a＝3x＋6y 令 ，则 y＝ 4a－ 2b b＝2x－ 1y 3 6
.
1 1 2 1 8 1 ∴ 4a＋2b＝4( x＋ y)＋ 2( x－ y)＝ x＋ y， 3 6 3 6 3 3 8 32 3≤ x≤ 4 8≤3x≤ 3 又 ⇒ 1≤ y≤ 2 1≤1y≤2 3 3 3 25 8 1 34 ⇒ ≤ x＋ y≤ ， 3 3 3 3
1 2 2 a, b, , 2ab, a b 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a 2ab a b b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a , b 4 4
三、例题分析：
2 2 2 x 4 y 1 x y 例2:(2)已知 ，比较
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． 5 λ ＝－ 3 9＝λ＋4μ ∴ ，解得 －1＝－λ－μ μ＝8. 3 5 8 ∴f(3)＝－ f(1)＋ f(2)．下同方法 1，略． 3 3
• 【方法总结】 本题把所求的问题用已 知不等式表示，然后利用同向不等式性 质解决．本题常用待定系数法解决，设 出方程，求出待定系数即可．
不等式的基本性质
做一做
根据2<3完成下列填空：
2×5_<__3×5； 2× 1 < 3×1 ；2×(-1)_>_3×(-1)；
2
2
2×(-5)_>_3×(-5)；
2×(-
1 2
)__>_3 ×(- 1
2
).
你发现了什么？
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或 除以）同一个正数，不等号的方向不变.
2
x ≤ 3.
解:（1）x＞3；
（2）x＞-
5 6
； （3）x≤6.
在上节课的问题中，我们猜想，无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即：
l 2 ＞l 2 . 4 π 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本 性质解释这一结论吗？
汇报完毕！谢谢！
不等式的基本性质
填一填
1.若x是正数，则 x＞0 2.若x是负数，则 x＜0 3.若x是非负数，则 x≥0 4.若x是非正数，则 x≤0 5.若x大于y，则 x＞y 6.若x小于y，则 x＜y 7.若x不小于y，则 x≥y 8.若x不大于y，则 x≤y 9.若x不等于y，则 x≠y 10.若xy同号，则 xy＞0或y/x＞0 11.若xy异号，则 xy＜0或y/x＜0
2.已知 x ＞ y ,下列不等式一定成立吗？
（1）x – 6 ＜ y – 6； （2） 3x＜3y； （3）-2x＜-2y ； （4） 2x +1＞2y +1.
不成立 不成立 成立 成立
随堂练习
1.将下列不等式化成 x ＞ a或 x ＜ a的形式：
（1）x –1 ＞2；
不等式的基本性质
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然，它大于或等于CD，
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值），则和 y有最小值2 P
作业：
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一．常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0（ 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 ）。
2.若 a, b R, 则a b 2ab （当且仅当a=b时取等号）.
2 2
a, b R ，则 a b 2 ab （当且仅当a=b时取等号）. 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) （当且仅当a=b时取等号）. 4.若a, b R , 则 2 2
1 3：（1）已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3
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课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时)教学目标：1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。
教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。
教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ，C 、D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ，点A 在点B 右边，那么a ＞b 。
而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。
命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。
类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。
逆命题也都正确。
结论：(1)“a ＞b ”⇔“a －b ＞0”(2)“a ＝b ”⇔“a －b ＝0”(3)“a ＜b ”⇔“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。
正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性)证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0∵b ＞c ∴b －c ＞0∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质)则a ＞c反思：证明要求步步有据。
性质2：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c (不等式的加法性质)x证明：∵a＞b ∴a－b＞0∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0 ∴a＋c＞b＋c反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。
思考：逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”成立吗？——两边加“－c”即可证明。
[例1] 求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)证明1：∵a＞b ∴a＋c＞b＋c (性质2)∵c＞d ∴b＋c＞b＋d (性质2)则a＋c＞b＋d (性质1)证明2：∵a＞b ∴a－b＞0∵c＞d ∴c－d＞0∴(a－b)＋(c－d)＞0 即(a＋c)－(b＋d)＞0 (作差比较法)则a＋c＞b＋d反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。
)练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质) ——作业证明1：∵c＜d ∴c－d＜0得d－c＞0 即－c＞－d (正数得相反数为负数)亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d (性质2)∵a＞b ∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性质)则a－c＞b－d (加减法运算法则)证明2：∵a＞b ∴a－b＞0∵c＜d ∴d－c＞0∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0 (作差比较法)则a－c＞b－d性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质)证明：ac－bc＝(a－b)c (作差比较法)∵a＞b ∴a－b＞0(1)当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc (正负数运算性质)(2)当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc (正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。
但不等式的情况完全不同！——强调！思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。
(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0。
练习：(1)《教材》P.30-练习2.1(1)-1 (学生口答，教师点评)(2)《教材》P.30-练习2.1(1)-2、3 (学生板书，教师点评)2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)证明：∵a＞b，c＞0 ∴ac＞bc (性质3)∵c＞d，b＞0 ∴bc＞bd (性质3)则ac＞bd (性质1)特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2”推而广之：若a＞b＞0，则a n＞b n (n∈N*) (不等式的乘方性质)推而广之：若a＞b＞0(n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质) ——可用反证法进行证明。
3、求证：若a＞b＞0，则0＜1a＜1b(不等式的倒数性质)——作业证明：∵a＞b＞0 ∴1a＞0，1b＞0，a－b＞0∴1b－1a＝a bab－＞0 (正负数运算性质) 则0＜1a＜1b[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。
解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a(1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1(2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1(3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。
解：(m－1) x＞－m(1)当m＝1时，x∈R(2)当m＜1时，x＜－mm1－；(3)当m＞1时，x＞－m m1－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法(3) 数学思想：分类讨论第1课时作业：《练习册》P.13-习题2.1-A、B组(做在练习册上)第2课时：讲评作业或者做《教材》P.30-练习2.1(2)-1 (学生口答，教师点评) [例1] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。
解：(1) m2－4＝0即m＝－2或m＝2①当m＝－2时，x∈∅②当m＝2时，x∈R(2) m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜1 m2－(3) m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞1 m2－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m2－4值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质[例2] 若m＞0，y＞x＞0，试比较x my m＋＋与xy的大小。
解：x my m＋＋－xy＝(x m)y(y m)x(y m)y＋－＋＋＝m(y x)(y m)y－＋∵y＞x ∴y－x＞0∵y＞0，m＞0 ∴y＋m＞0又∵y＞0，m＞0 ∴m(y x)(y m)y－＋＞0 则x my m＋＋＞xy引申：若a、b、c、d均为正数，且ab＜cd，求证：ab＜a cb d＋＋＜cd证明1：(作差比较法) a cb d＋＋－ab＝bc ad(b d)b－＋∵ab＜cd，b＞0，d＞0 ∴bc＞ad 得bc ad(b d)b－＋＞0 则a cb d＋＋＞ab同理可证：a cb d＋＋＜cd证明2：(变更论证法) ∵b＞0，b＋d＞0 ∴ab＜a cb d＋＋⇔a(b＋d)＜b(a＋c)a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc∵ab＜cd，b＞0，d＞0 ∴ad＜bc 得a(b＋d)＜b(a＋c)则ab＜a cb d＋＋同理可证：a cb d＋＋＜cd分析：直接作差显然不可取。
可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。
解：2＝2x＋3＋2＝2x＋3＋∴2x＋3＋2x＋3＋得2＜2反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。
[例4] 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。
甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。
问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？分析：何为合算？——平均单价便宜。
解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。
设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，∴甲平均单价为ax bx2x＋＝a b2＋，乙平均单价为2yy ya b＋＝2aba b＋∵a b2＋－2aba b＋＝2(a b)2(a b)－＋∴(1) a＝b时，a b2＋＝2aba b＋；(2) a≠b时，a b2＋＞2aba b＋由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。
[例5] (第1课时的引例) 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
解：(1)取A、B：(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a＋b)2(a－b) 无法确定大小(2)取A、C：(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a2＋b2) (a－b) 无法确定大小(3)取A、D：(a3＋b3)－(ab2＋a2b)＝(a＋b) (a－b)2由于a≠b，则(a＋b) (a－b)2＞0，即a3＋b3＞ab2＋a2b ——先取A、D则必胜！能否推广？——观察a3＋b3＞ab2＋a2b的特征，进行猜测。
a4＋b4＞ab3＋a3b，a4＋b4＞a2b2＋a2b2a5＋b5＞ab4＋a4b，a5＋b5＞a2b3＋a3b2……更为一般性的结论：a、b∈R，m、n∈N*，则a m+n＋b m+n≥a m b n＋a n b m 证明：(a m＋n＋b m＋n)－(a m b n＋a n b m)＝(a m－b m)(a n－b n)≥0课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证(3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明作业：《一课一练》P.35-1～10、P.36-1～6、9、10 (做在书上) 选做：《一课一练》P.35-11(1)、P.36-11 (做在书上)。