空间位置关系的判断与证明

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高考要求

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

1．集合的语言：

我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A = ，简记为l m A = ； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ= ． 2．平面的三个公理：

⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所

有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图：

知识内容

符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂

⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，

也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，

符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．

⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且

只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：

符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈ ．

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．

3．平面基本性质的推论：

推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．

<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一

个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．

2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们．

确定一个平面的意思是有且仅有一个平面． 3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．

4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．

线线关系与线面平行

1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．

平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

2．空间中两直线的位置关系：

⑴共面直线：平行直线与相交直线；

⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．

3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．

这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．

如右图中的空间四边形ABC D ，它有四条边,,,A B B C C D D A ，两条对角线,A C B D ． 其中,A B C D ；,A C B D ；,A D B C 是三对异面直线．

4．直线与平面的位置关系：

⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；

⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α= ，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．

5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，

那么这条直线和这个平面平行．

符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：

6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．

符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒ ． 图象语言表述：如右图：

D

C

B

A

l

3()

2()

1()

l

A

α

α

α

l

m

l

α

βα

l m

<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：

已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB

与A B ''同向，射线A C 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠

证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，

下面证明两个角不在同一平面内的情形．

分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和

A D A E ''''、，

使,A D AD A E AE ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形

所以//AA D D ''．

同理可得//AA EE ''，因此//D D EE ''． 所以D D E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=．

于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．

3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线

的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．

异面直线所成角的范围是π

(0,

]2

4．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα

⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行． 要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相

交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．

5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共

面且无交点）．

面面平行的判定与性质

1．两个平面的位置关系

⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；

画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：

E'

E D

C B

A

A'

D '

B '

C

'