自动控制原理C作业(第二章)答案

第二章控制系统的数学模型

2.1RC无源网络电路图如图2－1所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数

U c(s)/U r(s)。

图2－1

解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：

)

(

)

(

)

(

s

Z

s

I

s

U

=

如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s。

(1)用复阻抗写电路方程式：

s

C

S

I

S

V

R

S

U

S

U

S

I

s

C

S

I

S

I

S

U

R

S

U

S

U

S

I

c

c

c

c

C

r

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

)

(

)

(

1

)]

(

)

(

[

)

(

1

)]

(

)

(

[

)

(

1

)]

(

)

(

[

)

(

⋅

=

-

=

⋅

-

=

⋅

-

=

(2)将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2－1（a）。

2－1（a）。

(3)用梅逊公式直接由图2－1(a)写出传递函数U c(s)/U r(s) 。

∆

∆

=

∑K

G

G K

独立回路有三个：

S

C R S C R L 11111

11-=

⋅-

=

S

C R S C R L 22222111-=⋅-

=

回路相互不接触的情况只有L 1和L 2两个回路。则

2

221121121

S C R C R L L L == 由上式可写出特征式为：

2

2211122211213211

1111)(1S C R C R S C R S C R S C R L L L L L ++++

=+++-=∆

通向前路只有一条

221212*********S

C C R R S C R S C R G =⋅⋅⋅=

由于G 1与所有回路L 1，L 2， L 3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为

Δ1=1

代入梅逊公式得传递函数

1

)(1

111111

21221122121222111222112

221111++++=++++=

∆∆=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C R s C R s C R s C R C R G G

2-2 已知系统结构图如图2-2所示，试用化简法求传递函数C (s )/R (s )。

图2－2

解：（1）首先将含有G 2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-2（a ）所示。

（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-2（b ）。 （3）最后将两个方框串联相乘得图2-2（c ）。

S

C R R S C L 12213111-=

⋅-

=

图2-2 系统结构图的简化

2.3化简动态结构图,求C(s)/R(s)

图2－3

解： 单独回路1个，即

3211G G G L -=

两个互不接触的回路没有 于是，得特征式为

3211 1G G G L a +=-=∆∑

从输入R 到输出C 的前向通路共有2条，其前向通路传递函数以及余因子式分别为

211G G P = 11=∆

422G G P = 12=∆

因此，传递函数为

∆

∆+∆=2211)()(P P s R s C

3

212

4121G G G G G G G ++=

2.4 用梅森公式求系统传递函数。

图2－4

解： 单独回路5个，即

11G L -=212G G L =23G L -=214G G L -=215G G L -=

两个互不接触的回路没有

于是，得特征式为

2

1211 1G G G G L a

+++=-=∆∑

从输入R 到输出C 的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为

11G P = 11=∆ 22G P = 12=∆ 213G G P = 13=∆

214G G P -= 14=∆

因此，传递函数为

∆

∆+∆+∆+∆=44332211)()(P P P P

s R s C 2

1212

11G G G G G G ++++=