2012备考高考精品教学案：三角函数单元(教师版全套)

三角函数

1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．

2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．

3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．

5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．

6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．

三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．

2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．

3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．

第1课时 任意角的三角函数

一、角的概念的推广

1．与角α终边相同的角的集合为 ．

2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为

，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．

4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．

6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；

10．三角函数的符号与角所在象限的关系：

1213．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．

－ ＋ －

+

cos x , ＋ ＋ －

－

sin x ,

－ ＋ ＋

－

tan x ,

x y O x

y O x y O

2α,

2α ,3

α

的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，

∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），

∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.

（2）∵k·180°+45°＜

2

α

＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜

2

α

＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2

α

＜n·360°+270°.∴

2

α

是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜

3

α

＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜

3

α

＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜

3

α

＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3

α

＜n·360°+300°.∴

3

α

是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问

3

α

是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜

3

α

＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3

α

＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故

3

α

的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜

3

α

＜210°+m·360°（m ∈Z ).

故

3

α

的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3

α

＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故

3

α

的终边在第四象限.综上可知，

3

α

是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥

2

3

;(2)cos α≤21-.

解：（1）作直线y=

2

3

交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区

域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为

α|2k π+

3

π

≤α≤2k π+32π，k ∈Z .

（2）作直线x=2

1-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）

即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为

⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：

（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥2

1

.

由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+-3

2,32ππππk k （k ∈Z ）.

（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜4

3

,∴-

23＜sinx ＜2

3.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3

π

）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.

解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,

r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,