三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
向量形式下的三角形四心相关结论
向量形式下的三角形四心相关结论
向量形式下的三角形四心相关结论三角形是几何学中的重要概念之一，其四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。
在向量形式下，我们可以得出一些有关这四个点的重要结论。
重心是三角形内部三条中线的交点，用向量表示为G=(A+B+C)/3，其中A、B、C分别是三角形的三个顶点。
重心具有平衡的作用，对于任意一点P，PG的向量和PA、PB、PC 的向量和为零。
外心是三角形外接圆的圆心，用向量表示为O=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是三角形的三个边长。
外心具有唯一性，且到三角形三个顶点的距离相等。
内心是三角形内切圆的圆心，用向量表示为I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是三角形的三条边的长度。
内心到三角形三个边的距离相等，且与三角形的角度有关。
垂心是三角形三条高的交点，用向量表示为H=A+B+C。
垂心到三角形三个顶点的距离相等，且与三角形的角度有关。
综上所述，向量形式下的三角形四心具有一些重要的性质。
研究这些结论不仅可以帮助我们更好地理解三角形的几何特性，还可以应用于解决一些与三角形相关的问题。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
5
又 = 12 + 2 = 3，∴ = 9 ，
1
2
5
9
5
9
∵ = + = + ，∴ = = +
5
5
5
∴ + = 9 + 18 = 6．
5
，∴
18
5
5
= ， = 18，
9
典型例题
题型三：外心定理
【典例3-1】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点 O是△ABC的外心，AB＝4，AC
2
1
则 × 4 × = × 6 × 4 × 2 + 16 ，得3 + 4 = 2②，
4
1
4
1
11
①②联立解得 = 9， = 6，所以 + = 9 + 6 = 18．故选：C．
典型例题
题型三：外心定理
【变式3-1】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点 O是△ABC
，
+ ��
sin
= || ( + ) = 2|| ，
所以点在三角形的中线 上，则动点P的轨迹一定经过△ 的重心．故选：D．
典型例题
题型二：内心定理
【典例2-1】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为 6的等边△ABC的内心，
则 + ⋅ + ＝
1
2
1
1
1
+ 3 ⋅ = 2 ⋅ + 3 2 = 30；
所以 2 = 45，由 = 30 2可得 = 2 10，即2 = 40；
三角形四心向量结论
三角形四心向量结论
三角形四心向量结论：
1、三角形有四个中心：重心，质心，内心，中心。
2、重心：三角形的重心是三角形两条边的交点，即三边的重心线的交点，是三边的平分线的交点，也就是三条边的中点。
3、质心：三角形的质心是三角形的三条边的重心，也就是三边的向量矢量的重心，以及三角形的面积重心。
4、内心：内心是三角形三个内角的公共点，是三角形的垂心，也叫外心，但是它不是三角形三边的重心。
5、中心：中心是三角形三个顶点的共同中点，它在三边上，也就是三条边的向量矢量中点。
它是三边中等分线的交点，也是三角形三条边的垂心。
专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件(解析版)
三角形”四心“向量形式的充要条件本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：ABC 的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔ABC 的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔ABC 的外心sin 2:sin 2:sin 2C S A B C =⇔sin ABC 的垂心⇔::tan :tan A B C S S S A =ASCS BSA．外心B．内心【答案】B【法一】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，【法二】记点O 到AB 、BC 、C A 的距离分别为123h h h ，，，212OBC S a h =⋅ ，312OAC S b h =⋅ ，112OAB S c h =⋅ ，因为0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△，则233111=0222a h OAb h OBc h OC⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ，即2310a h OA b h OB c h OC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，又因为0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，所以123h h h ==，所以点P 是△ABC 的内心.故选：B【反思】设O 为ABC ∆所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC ∆的内心⇔0aOA bOB cOC ++=.利用结论可直接得到O 为ABC 的内心.例题2：已知G 是ABC ∆的重心，且满足56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=，求角B【详解】因为G 是ABC ∆的重心，所以0GA GB GC ++=,所以56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =，所以sin :sin :sin 5:7:8A B C =，由正弦定理::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C ==，由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，因为(0,)B π∈，所以3B π=.【反思】设G 是ABC ∆的重心,直接利用奔驰定理结论O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=，所以在本例中，已知56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=可得到56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =，从而得到sin :sin :sin 5:7:8A B C =，再利用正弦定理，余弦定理求解.例题3：设点O 在ABC ∆内部，且5370OA OB OC ++=,则ABC ∆与AOC ∆的面积之比为.【详解】因为点O 在ABC ∆内部，满足奔驰定理0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，且5370OA OB OC ++=，所以::5:3:7A B C S S S =,从而得到::(537):35:1ABC AOC S S ∆=++=【反思】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆,AOC ∆,AOB ∆的面积分别记作A S ,B S ,C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，对于满足条件的选择，填空题，都可以直接使用该结论.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足ASCS BSA ．外心B ．内心【答案】B【详解】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理A ．25B ．12C ．16【答案】D【详解】解：O 为三角形ABC 内一点，且满足2OA + ∴233()2()()3OA OB OC OB OA OC OB OA OC OA ++=-+-+-⇒．13C A B C S S S S ==++，△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠A ．若230OA OB OC ++=，则:A S S B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，C ．若O 为△ABC 的内心，34OA OB +=设AF m =，tan A ∠又:tan BE AE EC A =∠由AB FC AC BE ⋅=⋅S 的三个内角，以下命题正确的有（A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC B ．若230OA OB OC ++=，则::A B S S C ．若5π||||2,6OA OB AOB ==∠= ，2OA B ：若2,OE OB OD == 所以AOE DOE S S S == 则::1:2:3A B C S S S =，正确；C ：由题设1225π6ins 2C S =⨯⨯⨯=所以0OF OE OD ++=，即O 为而16C EOF S S =，则6EOF S = ，故所以1391244ABC S =++= ，错误；D ：由BOC BAC π∠+∠=，则OB 同理，||||cos OB OA OB OA BOA ⋅=∠A ．O 为ABC 的外心B ．BOC ∠C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C = D ．:A S S 【答案】BCD【详解】依题意，()OA OB OB OC OB OA OC ⋅=⋅⇔⋅-= 同理OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，则O 为ABC 的垂心，A 错误；AB ，AC 于P ，Q ，由选项2OBC ACB π∠+∠=，OCB ∠又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=A ．O 为ABC 的垂心B ．AOB ACBπ∠=-∠C ．sin :sin :sin ::OA OB OC BAC ABC ACB ∠∠∠=D ．tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=【答案】ABDOB OC ⋅ ，即OA OB OB OC ⋅-⋅ 0CA =，OB CA ⊥ ，AB，正确；因为OA CB ⊥，所以90ADB ∠=o ，BAO Ð因为OB CA ⊥，所以90BEA ∠= ，ABO Ð则(90AOB ABO BAO ππ∠=-∠-∠=-A ．O 为ABC 的垂心B ．C ．:sin :si n :n :si O A A OB O C C B =D ．【答案】ABD【详解】对于A ，OA OB OB OC ⋅=⋅ ，(OB OA ∴⋅由A 可知：AD BC ⊥，BE ⊥AOE C ∴∠=∠，又AOE ∠+∠对于C ，由B 可得：OA OB ⋅= 同理可得：OB OC OB OC ⋅=-⋅对于②：记点P 到AB 、为PBC PAC S PA S PB ++ △△a h b h PA PB c h PC +⋅⋅⋅+。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形四心的向量性质及应用(教师用标准答案版)
三角形四心的向量性质及应用(教师用答案版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等； (3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证明：延长AO 交BC 于D ，如图必有：||||OA OD S S S OAB OCA OBC =+∆∆∆，||||BC BD S S S OAB OCA OAB =+∆∆∆，||||BC CD S S S OAB OCA OCA =+∆∆∆； ---（*）由D O A ,,共线，得：0||||=+OD ODOA OA进而得：0||||=+⋅OD OA OA OD ----------------① 由C D B ,,共线，得：OC BC BD OB BC CD OD ⋅+⋅=|||||||| ----------② 由①②得：OA OA OD ⋅||||0||||||||=⋅+⋅+OC BC BD OB BC CD 代入（*）结论 得+⋅+∆∆∆OA S S S OAB OCA OBC +⋅+∆∆∆OB S S S OAB OCA OCA 0=⋅+∆∆∆OC S S S OABOCA OAB消去分母得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证毕.另证：作AC OG AB OH //,//，如图：AGOH 为平行四边形；由OC S OB S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆)()(AC OA S AB OA S OA S OAB OCA OBC +⋅++⋅+⋅=∆∆∆ AC S AB S OA S OAB OCA ABC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆)(AC S SAB S S OA S ABCOAB ABC OCA ABC ⋅+⋅+=∆∆∆∆∆ )(AC ACAHAB AB AG OA S ABC ⋅+⋅+=∆ )(AH AG OA S ABC ++=∆ 0)(=+=∆AO OA S ABC ．AB CODAB CODHFEG反方向思考：设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 必有：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS S S S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S S S S ∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ． 验证式思考：先证引理：若b a ,不共线，对p ，有0=⋅p a 且0=⋅p b ，必有.0=p证明：若.0≠p 必有p a ⊥且p b ⊥，得b a //，与题设矛盾，故必有.0=p 再证：设α=∠BOC ，β=∠COA ，则βαπ--=∠2AOB ； 由)(OC S OB S OA S OA OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆OC OA S OB OA S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆2ββαπβαπβαcos )2sin(21)2cos(sin 21sin 212⋅⋅⋅--⋅⋅+--⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=OC OA OB OA OB OA OA OC OA OC OB ]cos )sin()cos(sin [sin 212ββαβαβα+-++⋅⋅=OC OB OA )]}(sin[{sin 212βαβα+-+⋅⋅=OC OB OA 0)]sin([sin 212=-+⋅⋅=ααOC OB OA ； 有对称性知：0)(=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OB OAB OCA OBC ，又OA ，OB 不共线， 故：必有0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 成立． 一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)略证：1:1:1::=∆∆∆GAB GCA GBC S S S ，得：0=++GC GB GA ．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔=='A 'B 'C OABCABCO02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S OAB OCA OBC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S HAB HCA HBC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=． 又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a cb a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．ABDOHCE略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 3．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)cos cos (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，R ∈λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 4．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)sin sin (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，R ∈λ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足])21()1()1[(31OC OB OA OP λλλ++-+-=，*R ∈λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( ) A ．2 B ．23C ．3D ．6 10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S ∆∆=2λ，ABC PAB S S∆∆=3λ．BCA M N G定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 且21||||=⋅AC AC AB AB , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 4 ． 19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 20．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 22．在ABC ∆中，1,3,==⊥AD BD BC AB AD ，则=⋅AD AC3 ．三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB =u u u u v u u u v ，AN y AC =u u u v u u u v ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP从而得：3211)(||2121222121=⋅-+=-==OP OP OP OP P P P P 同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值． 解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521221|)(|21||22=++=+⋅+=+=b b a a b a AD221162025214421|)2(|21||22=+-=+⋅-=-=b b a a b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=⋅>=<BE AD BEAD BE AD'A 'B 'C OABCA BED C27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
与三角形四心相关的向量结论
与三角形四心相关的向量结论.doc
下面是一些与三角形的四个特殊点（重心、外心、内心和垂心）相关的向量结论：
1. 重心：三角形的重心是三条中线的交点，表示为G，并且满足以下向量等式：
AG + BG + CG = 0
2. 外心：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，表示为O，并且满足以下向量等式：
AO = BO = CO = R（半径）
3. 内心：三角形的内心是三角形内切圆的圆心，表示为I，并
且满足以下向量等式：
AI = BI = CI = r（半径）
4. 垂心：三角形的垂心是三条高线（从顶点到对边垂直的线段）的交点，表示为H，并且满足以下向量等式：
AH + BH + CH = 0。
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例2．H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.
由,
同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
解析:由.
即
则
所以P为的垂心.故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。
则．
证明：，，
．
点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，
证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）
若与重合，则上式变0．
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
例7若为内一点，，则是的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
由题设可设,
即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2
【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
证点G是△ABC的重心，知，得
，有。
又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，
于是存在λ，μ，使得，
有=，得，于是得。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：
一．知识点总结
1）O是的重心;
若O是的重心，则故;
为的重心.
2）O是的垂心;
若O是(非直角三角形)的垂心，则
故
3）O是的外心(或)
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.
4、练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的( B)
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点
分析：取AB边的中点M，则，
由=(++2)可得3，
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
变式：已知分别为的边的中点．则．
证明：
．．
变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。
2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：2+2=2+2＝2＋2，则Ｏ为△ABC的( D )
A.外心B.内心C．重心D．垂心
3．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为△ABC的( C #43;+=0，||=||=||=1，
求证：△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明：由已知+=-，两边平方得·=，
同理·=·=，∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||，即O是△ABC所在平面内一点，
4．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的(C )
A.外心B.内心C.重心D．垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：，则P点为三角形的( D )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
6．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的(B )
∴AB=AC，又=，∠A=，所以△ABC为等边三角形.
9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= 1
10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的(B)
(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点(D)三条高的交点
11.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.
求证.
证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴，.又垂心为H，，，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴，故.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
将代入=0，
得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））
例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.
证明
∵G是△ABC的重心
∴=0=0，即
由此可得.（反之亦然（证略））
例6若 为内一点， ，则 是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上OB⊥CA故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上由条件可推出故选答案D
例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
即O是△ABC所在平面内一点，
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，
求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明由已知+=-，两边平方得·=，
同理·=·=，
∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||.
变式：若H为△ABC所在平面内一点，且
则点H是△ABC的垂心
证明:
0
即0
同理，
故H是△ABC的垂心
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4．G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.
证明作图如右，图中
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
（A）外心（B）内心
（C）重心（D）垂心
事实上如图设都是单位向量
易知四边形AETF是菱形故选答案B
例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
7．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点一定通过△ABC的(B )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
8.非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为(D)
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D．等边三角形
解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，
若O是的外心
则
故
4）O是内心的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成：
O是内心的充要条件也可以是
若O是的内心，则
故;
的内心;
向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
二．范例
(一)．将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上 故选答案D
例5：2005年全国（I）卷第15题“的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数=________”
先解决该题：
作直经，连，,有，，，，，故，
故是平行四边形，进而，又
∴
故，所以