专题47两个基本计数原理知识点
计数原理知识点
计数原理知识点
计数原理是组合数学中的基本概念之一，用于计算某个事件发生的可能性。
其核心思想是将复杂的问题拆解为若干个简单的子问题，然后通过对这些子问题进行计数来得到最终的答案。
计数原理包括三个基本概念：乘法原理、加法原理和排列组合。
1. 乘法原理：当一个事件可以分成多个独立的步骤时，可以通过将每个步骤的可能性相乘得到最终结果的总可能性。
例如，在一次实验中，如果第一个步骤有m种可能性，第二个步骤
有n种可能性，那么整个实验的可能性就是m乘以n。
这个原理也可以推广到更多步骤的情况。
2. 加法原理：当一个事件可以通过多种不同的方式实现时，可以通过将每种方式的可能性相加得到最终结果的总可能性。
例如，在一个实验中，如果第一个步骤有m种可能性，第二个
步骤有n种可能性，而这两个步骤不能同时发生，那么整个实验的可能性就是m加上n。
3. 排列组合：当从一个集合中选择元素进行排列或组合时，可以使用排列和组合的方法进行计数。
- 排列是指在选择元素时考虑元素的顺序。
当从n个元素中选
择r个元素进行排列时，可以使用排列数P(n,r) = n! / (n-r)!来
计算不同排列的总数，其中n!表示n的阶乘。
- 组合是指在选择元素时不考虑元素的顺序。
当从n个元素中
选择r个元素进行组合时，可以使用组合数C(n,r) = n! / (r!(n-
r)!)来计算不同组合的总数。
通过灵活应用乘法原理、加法原理和排列组合，可以解决各种不同的计数问题，例如生日问题、抽签问题、排队问题等。
计数原理不仅在组合数学中有广泛的应用，也被应用于统计学、概率论等领域。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。
这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。
那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。
再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。
去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。
那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。
加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。
那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。
基本计数原理
《基本计数原理》复习学案（一）2010.5知识点回顾（一）两个基本计数原理1.分类计数原理2.分步计数原理（二）排列组合1.排列数公式_________A =m n2.组合数公式_________C =m n3.组合数公式的两个重要的性质（三）二项式定理1.二项式展开式的通项2.二项式系数的性质例题分析（Ⅰ）两种计数原理应用例1： 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书,(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的选法?(2) 若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本, 有多少种不同的选法?(3) 若从这些书中取不同科目的书两本, 有多少种不同的选法?变式1：四封信，投入三个不同的信箱，有多少种不同的投法？变式2：三封信，投入四个不同的信箱，有多少种不同的投法？变式3：三封信，投入四个不同的信箱，要求每个信箱最多投一封信，有多少种不同的投法？（Ⅱ）排数问题例2：用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数（1）奇数；（2）偶数（3）比20300大的数；（4）被5整除的数（Ⅲ）排队问题例3：有5名男生，3名女生排成一排（1）若男生甲既不站在排头又不站在排尾，则有多少不同的排法？（2）若男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾，则有多少不同的排法？（3）若女生全部站在一起，则有多少不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少不同的排法？（5）若有且仅有两名女生相邻，则有多少不同的排法？（6）若甲乙两人必须排在一起，丙丁两人不能排在一起，则有多少不同的排法？（7）如果3名女生不全在一起, 有多少种不同的排法?（8）如果甲在乙左, 丙在乙右,顺序固定, 有多少种不同的排法?（Ⅳ）抽取分配问题例4：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少有甲型和乙型各1台, 有多少种不同的取法?变式：从5男4女中选4位代表，其中至少2位男士，且至多2位女士，分到四个不同的工厂调查，不同的分配方法有多少种？（Ⅴ）分配分组问题例5：6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
计数原理必备知识点总结
计数原理必备知识点总结一、计数原理的基本概念1.1 事件和样本空间在概率论中，事件是指可能发生的结果，样本空间是指所有可能的结果的集合。
在计数原理中，我们通常需要计算在一定条件下事件发生的次数，因此需要对事件和样本空间进行分析和计算。
1.2 事件的互斥和独立在计数原理中，我们需要考虑事件之间的互斥和独立关系。
互斥事件是指两个事件不能同时发生，而独立事件是指两个事件之间没有相互影响。
1.3 条件概率和联合概率在计数原理中，我们需要考虑事件的条件概率和联合概率。
条件概率是指在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；联合概率是指两个事件同时发生的概率。
1.4 达成事件的概率在计数原理中，我们需要计算事件发生的概率。
达成事件的概率是指在一定条件下事件发生的可能性，通常通过计数原理来进行计算。
二、排列组合2.1 排列在计数原理中，排列是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行排列，排列中元素的顺序是重要的。
在计算排列时，通常使用阶乘的方法进行计算。
2.2 组合在计数原理中，组合是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行组合，组合中元素的顺序是不重要的。
在计算组合时，通常使用二项式系数的方法进行计算。
2.3 组合公式在计数原理中，我们可以使用组合公式来计算组合的数量。
组合公式是指C（n，k）=n!/(k!(n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示选取的元素的数量。
2.4 排列组合的应用在计数原理中，排列组合的方法具有广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要考虑元素的排列和组合，例如在排列组合中考虑位置的排列和顺序的组合等。
三、二项式系数3.1 二项式定理在计数原理中，二项式定理是指一个式子的平方等于两个式子相乘的和。
例如，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，这就是一个二项式定理的例子。
3.2 二项式系数的计算在计数原理中，我们可以使用二项式系数来计算二项式的展开式。
二项式系数是通过排列组合的方法进行计算的，通常使用组合公式来计算。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。
而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。
那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。
比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。
假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。
那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。
那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。
接下来，我们说一说乘法原理。
假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。
那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。
比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。
两个基本原理-PPT课件
例1、某班共有男生28名、女生20名，
从该班选出学生代表参加校学代会。
（1)若学校分配给该班1名代表，有多少种
不同的选法？
（2）
若学校分配给该班2名代表，且男女生代表
各1名，有多少种不同的 不同方法各有多少种？
A
B （1）
A
B
（2）
8
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册
1.1 两个基本计数原理
1
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有 2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
2
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
例5、自然数2520有多少个正约数？
例6、书架上原来并排放着5本不同的书， 现要插入三本不同的书，那么不同的插法有 多少种？
15
时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设
置的信箱中，
（1）
密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一
个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码
为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，
或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的
密码共有多少个？
（3）密码
为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一
个。这样的密码共有多少个？
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
例4、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳 远三个项目，每人报一项，共有多少种报名 方法？
高二数学两个基本原理
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
N m1 m2 mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
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，使得收敛送终，尽其子道”夏五月，诏曰“父子之亲，夫妇之道，天性也。虽有患祸，犹蒙死而存之。诚爱结於心，仁厚之至也，岂能违之哉。自今，子首匿父母、妻匿夫、孙匿大父母，皆勿坐。其父母匿子、夫匿妻、大父母匿孙，罪殊死，皆上请廷尉以闻”立广川惠王孙文为广川王。秋七月， 大司马霍禹谋反。诏曰“乃者，东织室令史张赦使魏郡豪李竟报冠阳侯霍云谋为大逆，朕以大将军故，抑而不扬，冀其自新。今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云、乐平侯山、诸姊妹婿度辽将军范明友、长信少府邓广汉、中郎将任胜、骑都尉赵平、长安男子冯殷等谋为大逆。显前 又使女侍医淳于衍进药杀共哀后，谋毒太子，欲危宗庙。逆乱不道，咸伏其辜。诸为霍氏所诖误未发觉在吏者，皆赦除之”八月已酉，皇后霍氏废。九月，诏曰“朕惟百姓失职不赡，遣使者循行郡国问民所疾苦。吏或营私烦扰，不顾厥咎，朕甚闵之。今年郡国颇被水灾，已振贷。盐，民之食，而贾 咸贵，众庶重困。其减天下盐贾”又曰“令甲，死者不可生，刑者不可息。此先帝之所重，而吏未称。今系者或以掠辜若饑寒瘐死狱中，何用心逆人道也。朕甚痛之。其令郡国岁上系囚以掠笞若瘐死者所坐名、县、爵、里，丞相、御史课殿最以闻”十二月，清河王年有罪，废迁房陵。元康元年春， 以杜东原上为初陵，更名杜县为杜陵。徙丞相、将军、列侯、吏二千石、訾百万者杜陵。三月，诏曰“乃者凤皇集泰山、陈留，甘露降未央宫。朕未能章先帝休烈，协宁百姓，承天顺地，调序四时，获蒙嘉瑞，赐兹祉福，夙夜兢兢，靡有骄色，内省匪解，永惟罔极。《书》不云乎
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和学习中，计数是一项经常会遇到的任务。
比如，计算从家到学校有多少种不同的路线，或者在商店里挑选衣服时有多少种搭配方式。
而在解决这些计数问题时，两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就发挥着至关重要的作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有m2 种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
为了更好地理解加法原理，我们来看一个例子。
假设你要从 A 地去B 地，有三种交通方式可以选择：飞机、火车和汽车。
如果选择飞机有 5 个航班可选，选择火车有 10 趟车次可选，选择汽车有 8 趟班车可选。
那么从 A 地到 B 地，总的出行方式就有 5 ＋ 10 ＋ 8 ＝ 23 种。
在这个例子中，选择飞机、火车、汽车这三种交通方式是相互独立的，彼此之间没有交叉和关联。
无论选择哪种方式，都能够完成从 A地到 B 地的行程。
所以，我们只需要将每种方式的可选数量相加，就可以得到总的出行方式数量。
再来看乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如说，你要从你的衣柜里挑选一套衣服出门，上衣有 5 件可选，裤子有 3 条可选。
那么你搭配出一套衣服的方式就有 5 × 3 ＝ 15 种。
这里，挑选上衣和挑选裤子是两个相互独立的步骤。
只有先完成挑选上衣的步骤，才能进行挑选裤子的步骤。
而且，对于每一件上衣，都可以与 3 条裤子进行搭配；对于每一条裤子，也都可以与 5 件上衣进行搭配。
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学世界中，经常会遇到需要计算可能性、数量或者方案的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就像是我们解决这类问题的得力工具。
它们虽然看似简单，但却有着极其重要的应用和深刻的内涵。
先来说说加法原理。
想象一下，你要从北京去上海，有两种交通方式可以选择，一种是坐飞机，另一种是坐高铁。
那么你去上海的方式总共有几种呢？答案很明显，就是 2 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理说的是，如果完成一件事有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
再来看一个稍微复杂点的例子。
假设你周末想去运动，有三种选择：打篮球、踢足球或者打羽毛球。
如果打篮球有 5 个场地可以选择，踢足球有 3 个场地可以选择，打羽毛球有 4 个场地可以选择，那么你周末运动的场地选择总共有多少种呢？根据加法原理，就是 5 ＋ 3 ＋ 4＝ 12 种。
加法原理的关键在于“分类”，每一类方法都能独立完成这件事，而且这些类之间是相互独立的，没有重叠和交叉。
接下来聊聊乘法原理。
假如你要从 A 地去 B 地，中途需要经过 C 地中转。
从 A 地到 C 地有 3 条路线可以选择，从 C 地到 B 地有 2 条路线可以选择。
那么从 A 地经过 C 地到 B 地总共有多少条路线呢？答案是 3×2 ＝ 6 条。
这就是乘法原理的体现。
乘法原理是说，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
乘法原理的核心在于“分步”，每一步都不能单独完成这件事，只有完成所有步骤，才能最终完成这件事，而且每一步的方法之间是相互独立的。
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1．两个计数原理
分类加法计数原理分步乘法计数原理
条
件
完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种
不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m
种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结
论
完成这件事共有N m n
=+种不同的方法完成这件事共有N m n
=⨯种不同的方法
【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．
2．两个计数原理的区别与联系
原理分类加法计数原理分步乘法计数原理
联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
区别一
每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、
一次的，且每次得到的是最后结果，只需一
种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都
不能独立完成这件事，缺少任何一步也不
可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复
也不能遗漏
1．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种
C．54种D．720种
2．在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示：
A大学B大学
生物学数学
化学会计学
医学信息技术学
物理学法学
工程学
如果这名同学只能选择一个专业，则这名同学可能的专业选择有
A．4种B．5种
C．9种D．20种
3．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有
A．8种B．12种
C．16种D．20种
4．某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，则不同的选法有
A．30种B．80种
C．96种D．960种
5．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有
A．510种B．105种
C．50种D．以上都不对
6．(2013年高考山东卷) 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A．243 B．252
C．261 D．279。